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文档简介
第02讲空间向量基本定理
【人教A版2019】
1.空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(无,y,z),使得p
—xa+yb+zc.
我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.
2.用基底表示向量的步骤:
(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合
相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
(3)下结论:利用空间的一个基底{。,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含
有7b,c,不能含有其他形式的向量.
3.空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用
[i,j,A}表示.
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知,对空间任一向量”,均可以分解为三个向量xi,yj,z左使得a=xi+W+z左像
这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
►题型归纳
【题型1用空间基底表示向量】
【例1.1](23-24高一下•安徽•阶段练习)在直三棱柱ABC—4/iG中,4B=ABC重心为点G,棱/G
的中点为M,设荏=江,前=西=冷则流=()
A.—ad—b+cB.—ctH—b-c
3666
C.-1aT——lMb—c-DTA.——1af——lzb—c-
6666
【解题思路】由空间向量基本定理求解即可.
【解答过程】取BC中点N,连接MN,AN,由底面为正三角形,
知4N过点G,且丽=[丽.
于是丽=MN+~NG=_标_:前=-AA1-i(AB+ZC)=-^a-^b-c,
故选:D.
【例1.2](23-24高二上•安徽宣城•期末)在三棱柱ABC—4BiG中,已产分别是B&CG的中点,E=2谣,
则闲=()
A.B.[荏+|尼+|理
C一|万+!而后标D.V通+|市+1痂
【解题思路】根据条件,利用空间向量的线性运算,即可求出结果.
【解答过程】如图,因为分别是8C,CCi的中点,AG=2GE,又矶=南,
所以而=Tc+CE+EG=-|Z47+|(AB-XC)-|AE=|XB-|XC-1X|(XB+ZC)-|Z42,
得到前=-|ZC-]京,
故选:A.
【变式1.1](23-24高二上.陕西宝鸡.期末)如图,在四面体。4BC中,OA=a,OB=b,方=落点”、
N分别在线段。4、BC上,且20M=M4CN=2NB,则丽等于()
1fI2二11TD1712宣1T
A.——a+-D+-cB.——a+-b——c
333333
IT2二I1Tn172T2T
C.-a——b+-cD.—CL—bH—C
333333
【解题思路】由空间向量基本定理结合线段比例关系分解向量即可.
【解答过程】由题意而=诟+M=--OA+OB+JN=--OA+OB+^~BC
=-i0X+UB+|(B0+0C)=-|a+|^+|c.
故选:A.
【变式1.2](23-24高三上.山东临沂.期末)正方体ABCD中,M是棱的中点.记力名=出
AC=b,ADr=c,24M用出b,8表2K为()
A1T,37",1T
A.—dH—b4—cB.-3a~+1-1b-+-1c-
444444
C1TI1NI3T
C.一。4—bH—cD.一a+-b+-c
444444
【解题思路】根据几何体的特征,结合向量的线性运算,即可求解.
【解答过程】前=荏+而,AB^=AB+AA^,而=诟+砧,
三个式子相加得前+南+福=2(AB+而+丽>)=2福\
T1TT11T1T1TT
=—(ACr+Acy=-f—i4C+-AB1+-ADr+Acy
乙\/乙\乙乙乙/
17111
=—A4—AC4—AD^=—ci4—bH—c.
4441444
4G
故选:A.
【题型2由空间向量基本定理求参数】
【例2.1】(23-24高二上•河南南阳・期末)如图,在三棱柱ABC-Z/iCi中,砸=2丽,若而xCA+yCB+
zCC;,则%+y+z=()
44s
A.1B.-C.-D.-
323
【解题思路】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可.
【解答过程】由题意知:
________________________________2___>___>__>2___>__>__>
CD=CC]+C]/]+A^D=CC]+CA>4-=C+CA+~4~AC+CB)
----->---->9---->9----»7--»1----»7---»1------>
=CC1+CA--CC--CA+-CB=-CA+-CB+-CQ,
131r333331
又而=xCA+yCB+zCC;,
所以<y=I,则%+y+z=:
故选:B.
【例2.2](23-24高二下•甘肃兰州•期末)已知矩形4BCD,P为平面力BCD外一点,P41平面2BCD,点M,N满
足丽=亚,~PN=|PD.若标=无荏+丫而+zZ?,贝l|x+y+z=()
A.-1B.1C.-jD.|
【解题思路】根据题意,由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算,即可得到结果.
【解答过程】
因为两=(而,丽=|丽,
所以丽=两一两=|而丽=|(前—而)_((前一而)
=|(AD-ZP)-|(AB+AD-AP)=-^AB+^AD-^AP,
因为而=%荏+y而+zZ?,所以X=-L,y=-,Z=
266
所以久+y+z=—[.
故选:C.
【变式2.1](23-24高二上.广东江门•阶段练习)如图,在三棱锥。-ABC中,点G为底面AABC的重心,
点M是线段。G上靠近点G的三等分点,过点M的平面分别交棱。4,OB,。。于点D,E,F,若前=k次,
OE=mOB,OF=nOC,则工+工+乙=()
kmn
o
【解题思路】由空间向量基本定理,用瓦?,0B,况表示由,由D,E,F,M四点共面,可得存在实数尢〃,
使丽=ADE+fiDF,再转化为丽=(1-A-i£)kOA+AmOB+finOC,由空间向量分解的唯一性,分析
即得解.
【解答过程】由题意可知,0M=10G-|(01+^4G)=|[OX+|x|(AB+ZC)]
2r_____.1____,____,i____T9_____9_________2_________
=i\oA+L(oB-oA)+L(oc^oA)\=ioA+ioB+ioC
JLJJJ.zJJ
因为。,E,F,M四点共面,所以存在实数尢〃,使丽=2屁+〃而,
所以南-0D=A(OE-0D)+n(OF-0D),
所以丽=(1-A-n)OD+WE+iiOF=(1一4一^kOA+AmOB+[mOC,
/(1-"〃)k=:2
所以{2m=-7,
[^n=l
1119999
++A++
----------
kn2222
rn
故选:D.
[变式2.2](23-24高二下•江苏南通・期末)已知产是448C所在平面外一点,M是2C的中点,若前xPA+
yPB+zPC,贝ij()
A.%+y+z=0B.%+y+z=1
C.x-y—z=1D.x—y—z=—1
【解题思路】推导出施=^(AB+AC),利用空间向量的减法结合空间向量的基本定理可得出小y、z的值,
即可得出合适的选项.
【解答过程】如下图所示:
P
AC
R
因为M为BC的中点,则宿=屈+丽=荏+(丽=荏+](左-荏)=j(Zfi+ZC),
所以,AM=^(PB-JA+PC-PA)=-E?+1PB+|PC,
又因为前=+y而+z无,且可、丽、而不共面,则%=-1,y=z=$
故x+y+z=O,x—y—z=-2,
故选:A.
【题型3正交分解】
【例3.1](23-24高二上•河北•期中)已知BD1平面ABC,AB1BC,BD=1,AB=2,BC=3,则空间
的一个单位正交基底可以为()
A.{萍,丽(呵B.[|BC,BD,|B2]
C.(BC,BD,yAD]D.国丽,|网
【解题思路】先得到4B,8C,B0两两垂直,再根据其长度得到空间的一个单位正交基底.
【解答过程】因为801平面ABC,u平面48C,
所以8。1AB,BD1BC.
因为力B1BC,即4B,BC,BD两两垂直,
又BD=1,AB=2,BC=3,
所以空间的一个单位正交基底可以为《阮,BD,^BA\.
故选:B.
【例3.2](23-24高二上.河南洛阳•阶段练习)已知{乙3,百是空间的一个单位正交基底,向量万=a+2h+3c,
色+风之-江码是空间的另一个基底,向量日在基底{2+3,2-3,成下的坐标为()
【解题思路】设p=x(a+B)+y(a-刃+z*根据空间向量基本定理建立关于%,%z的方程,解之即可得
解.
【解答过程】解:设p=%(a+W+y(a_1+zi
=(x+y)a+(%—y)b+zc=a+2h+3c,
%+y=1
所以%—y=2,解得
z=3
所以向量力在基底缶+b,a-b,或下的坐标为(I,6,3).
故选:A.
【变式3.1](23-24高二上.江西抚州.期末)已知色是同是空间的一个基底,归+3,2-另,码是空间的另一
个基底,一向量力在基底但2,}下的坐标为(4,2,3),则向量力在基底{2+3,2-3,现下的坐标是()
A.(4,0,3)B.(3,1,3)C.(1,2,3)D.(2,1,3)
【解题思路】利用空间向量基本定理求解即可.
【解答过程】设向量力在基底向+3,N-3,4下的坐标为(x,y,z),则万=x(N+3)+y(2-3)+z落
又向量力在基底值b,成下的坐标为(4,2,3),则万=4a+2b+3c,
所以4d+2b+3c=x(a+b)+y(d—b)+zc,即4五+2h+3c=(%+y)a+(x—y)b+zc,
x+y=4,俨=3,
所以x-y=2,解得y=1,
z—3,z—3f
所以向量力在基底但+b,a-b,耳下的坐标为(3,1,3).
故选:B.
【变式3.2](23-24高二上.湖北武汉•阶段练习)己知优3,现是空间的一组单位正交基底,若向量力在基底
优b,4下用有序实数组表示为(3,2,1),则与向量力同向的单位向量在基底优b+c,b-4下用有序实数组表
示为()
/3V463^46V46\/3V14V14V14\
,\231461467,\14/7/14/
/3V143^1^V14\34H3^1^_V14\
rD.
,\14/28'2871428,28)
【解题思路】求出与向量力同向的单位向量沆的有序实数组,设与向量力同向的单位向量沆在基底
[a,b+c,b-a下有序实数组表示为{x,y,z},根据记=%五+(y+z\b+(y—z)c=a+b+曹c,
可得%,y,z,从而求出答案.
【解答过程】因为向量力在基底低员订下用有序实数组表示为(3,2,1),
所以与向量洞向的单位向量记的有序实数组表示为品q(3,2,1)=(雪,等岑),
设与向量力同向的单位向量沅在基底伺1+5,3-仃下有序实数组表示为{x,y,z},
所以沆=xa+y(b+c)+z(b—c)=xa+(y+z)b+(y—z)c,
BPP4-3mT.2V147*.V14->
又因为7n=卞。+丁6+京c,
3V1413A/14
X=X=
1414
_2V143y/14
所以,y+z--------,解得<
14y=28
V14V14
j-z、
Fz=28
故选:C.
模块二用空间向量基本定理解决相关的几何问题。|
►知识梳理
1.证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a,a〃%的充要条件是存在实数九使。=M.
(2)如果两个向量a,5不共线,那么向量p与向量a,》共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),
使p—xa+yb.
2.求夹角、证明垂直问题
(1)。为a,〜的夹角,则cos(9=j^卷.
⑵若a,6是非零向量,则a,60az>=0.
3.求距离(长度)问题
\tt\=yja-a(|XB|AB-AB).
4.利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题;点线共面可以转化为向量共面问题;
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题,解题中要注意角的范围;
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模,用向量的数量积可以求得.
【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点:
(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量
的始点指向末尾向量的终点的向量.
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
A题型归纳
【题型4证明平行、共线、共面问题】
【例4.1](23-24高二上.上海.课后作业)四棱柱4BCD—49的六个面都是平行四边形,点M在对角
线43上,且14Ml点N在对角线4C上,且|4N|=:|NC|,
CBf
DA
(1)设向量AB=a,AD=b,AAr=c,用N、b、3表示向量D'N;
(2)求证:M、N、D'三点共线.
【解题思路】(1)借助空间向量的线性运算计算即可得;
(2)借助向量共线定理证明丽〃而即可得.
【解答过程】⑴因为|AM|则而=(彳厉=式前5+福)=一市+市,
33
CB'
DA
所以西+而=-AD+(-|A7+jA6)
又因为|AN|=||NC|,则=]衣=;(卬/+而+前),
了
所以而=西+祈=-而+[(0+同+而)=*-:而-那
IT37*1-
--a—b—c;
444
(2)因为而=行一行=:衣一]诵/一祠)一卷初=£BC--W
12
=:画-3幅),且iiTF=40'一行=A,D;一=前一■市,
所以标=工而,即M、N、。三点共线.
4
【例4.2](23-24高二上.福建厦门•阶段练习)已知何是。是空间的一个基底,且31=32+3京OC=-a+
2b+3c,OD=2a+b—c.
(1)求证:A,B,C,。四点共面;
(2乂瓦?,4,而}能否作为空间的一个基底?若能,试用这一基底表示砺;若不能,请说明理由.
【解题思路】(1)确定4B=—3+£>+2c,AC=—4a—/74-3c,AD=一3.一2b—c,得到4D=——AB+—AC)
得到证明.
(2)计算得到瓦?=?加+反,故不能作为基底,得到答案.
【解答过程】(1)南=费一市=(2d+跖+22一(3N+3&=一2+3+2旗
AC=0C-0A=(一a+2b+3c)—(3a+3b)=-4a—£>+3c;
AD=OD-OA=(2a+b-c)—(3a+3b)=-a-2b-c;
设4Z)A.AB+p.AC,即—a—2b—c—2(—a+b+2c)+“(—4a—b+3c)
'―1—X_4fl4=—_
5
故一2=2-4,解得|3,故而=-2荏+三元,
「1=22+3〃=g
故A,B,C,。四点共面.
(2)假设市=mOB+nOC,贝!J3d+3b=m(2d+4b+2c)+n(2a+b—c),
(3=2m+2nr_i_>_
故3=4m+n,解得{m2,OA=|OB+OC,
.0—2m—n(n=1
故就,丽,反不能作为基底.
【变式4.1](23-24高二上.湖北武汉.阶段练习)在正四棱锥P-4BCD中,点MMS分别是棱P4,PB,PC上
的点,且丽=久两,两=y而,丽=z而,其中久,y,z6(0,1].
(1)若x=l,y=}且PD〃平面MNS,求z的值;
(2)若x=|,y=且点。6平面MNS,求z的值.
【解题思路】(1)由PD〃平面MNS利用共面定理可得丽=4而+〃而再将而、示转化为用同、PB,
丽来表示,再利用空间向量的基本定理即可求解.
(3)由点。e平面MNS,可知D、M、N、S四点共面,再利用共面定理的推论即可求解.
【解答过程】(1)PM=xPA,~PN=yPB,~PS=z正且x=l,y=
・•.PM=PA,PN=:PB,
在正四棱锥P—48CD中丽=瓦?+前,
可得丽-丽=丽一丽+玩一方,
即而^~PA-PB+~PC,
又PD〃平面MNS.•.所以存在实数入〃使得丽=力而+〃而,
即丽=A(PN-PM)+fi(PS-PM)=(-2-iiyPA+^PB+(izPC,
又丽=方一而+而且西、PB.而不共面,
-A—〃=1
;=-1解的z=l.
{〃
z=1
(2)由(2)可知丽=方一丽+而
又两=xPA,PN=yPB,~PS=z而且x=|,y=}
可得而=-PM—2PN+-PS
2z
又点。e平面MNS,即0、M,N、S四点共面
所照-2+工=1解得z=|.
2z3
【变式4.2](23-24高二.全国.课后作业)已知同可,}为空间的一个基底,且而=2久-瓦+3石,0A=
e1+262—03,0B=—3e1+e2+Ze3,0C=e1+e2一.
(1)判断P,4B,C四点是否共面;
(2)能否以{初,砺,云}作为空间的一个基底?若能,试以这一组基表示M;若不能,请说明理由.
【解题思路】
(1)假设P,4B,C四点共面,然后利用空间向量共面定理列方程求解;
(2)先判断出,布,反不共面,再利用空间向量基本定理列方程求解.
【解答过程】(1)
假设P,48,C四点共面,
则存在实数x,y,z,UOP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=l,
即福一石+3石=x(e7+2/一可)+y(-3瓦(+/+2可)+zQ7+/一瓦)
比较对应的系数,得到关于x,y,z的方程组
'x—3y+z=2(x=17
2%+y+z=-1,解得,y=-5与%+y+z=1矛盾,
-x+2y—z=3z=—30
故P,4SC四点不共面.
(2)
若8彳,而,反共面,则存在实数6,71,使万?=小丽+71沆,
所以q+2^2一久=血(-3q+3+2瓦)+九(前+葭一可),
—3m+n=1
所以'm+n=2,方程组无解,
2m—n=l
所以府,而,沆不共面,
所以{瓦5,赤,而}可以作为空间的一组基底,令瓦?=a,OB=b,OC=c,
'瓦+2eJ—e^=a=3a—b—5c
所以•一3瓦+£+2冤=3,解得e^-a-c
、可+石一瓦=3le^=4a—b—7c
所以。P=2e1—e2+363=2(3a—b—5c)-(a-c)+3(4a-b-7c)
=17a-5b-30c=17OA-SOB-30OC.
【题型5几何中的求夹角、证明垂直问题】
【例5.1](23-24高二下•江苏常州•阶段练习)如图所示,平行六面体48CD—4B1C1D1中,ABAD=
I,.=2/BAD=^,z.BAA1=ADAA1=
(1)用向量屈,而,瓦彳表示向量珂,并求|西|;
(2)求cos(BZ)i,4C).
【解题思路】(1)借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得;
(2)结合题意,借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.
【解答过程】(1)西=砧一荏=而+硒*-南,
贝山西广=(AD+~AA[-AB}2=AD2+AA^2+AB2+2AD-AA1-2AD-AB-2AB■AA[
11
=l+4+l+2xlx2x--0-2x2xlx-^6,
所以|西|
(2)由空间向量的运算法则,可得前=而+而,
因为4B=AD=1,AA1=2且NB/W==ND4&=p
所以|河=J廊+AD\2=J丽Z+2|祠.\AD\cos^+I珂2
=Vi+0+1=V2,
~BD1-AC=(AD+AAl-AB}-(AB+AD)
=AD-AB+AD2+AAi-AB+AA^-AD-AB2-AD-AB
=1x1xcos;+l2+2x1xcos=+2X1Xcos=-l2-lxlxcos;=2,
赃时西,祠=*=△=当
【例5.2](23-24高二・全国•随堂练习)已知在空间四边形ABCD中,DA1BC,DBVAC,求证:DC1AB.
【解题思路】选取基底,将已知直线垂直关系转换为数量积为0,得到相应的等量关系,进而证明瓦?•瓦=0
即可.
【解答过程】如图所示:
不妨选空间的一组基底向量为{离,丽,比},
由题意ZM1BC,DB1AC,
所以有病-~BC=DA-(BD+DC)=-DA~DB+DA-DC=0,即市-DC=DA-DB,
同理有丽■AC^'DB-(AD+DC)=-DA-DB+^B-DC^O,即丽-DC^DA-DB,
因此刀•皮=(前+市)•皮=-DC-JB+DCDA=DA-DB-DA-DB=0,
从而瓦?1反,即BAIDC.
【变式5.1](23-24高二上•山东聊城•阶段练习)如图,在棱长为1的正四面体。4BC中,M,N分别是边02,
BC的中点,点G在MN上,且MG=2GN,设瓦I=五,OB=b,0Cc.
o
(1)试用向量出b,5表示向量OG;
(2)求cos<OG,BA>.
【解题思路】(1)根据平面向量基底运算即可得到结果.
(2)分别求出|直|,|而瓦?•赤的值,再结合向量的夹角公式即可求得结果.
【解答过程】(1)而=砺+标=(反+|(拓?+南+丽)
1211111
=—OA+—OA-[-OB-OA^-BCj=-OA+OB--OA+-
2322I画
1-,21111—.11]一
=X+-OB——OA+—OCI=-OA+—OB——OA+—OC
2°3222/2333
1111_1-1
=_0A+_0B+_0C=_a+-b+-c
(2)由题意知,|五|=网=Q=1,a-b=d-c=b-c=^fBA=a—bf
、、2
|a|2-2a-6+|b|=1,
.ir,i--i2r-V17
a+b+"讦+州『+打2z+-a-b+-a-c+-D-c=——
i39996
’14l1J
OG.B4=Q-司.(-a+-Dr+-c
633,
1一1一一1一一1一一1-1一一1
=-d2+-d-b+-a-c--d'b--b2--b-c=—
63363312
OGBA_V17
所以cos<OG,BA>=
|OG||RA|-34
【变式5.2](23-24高二下.江苏常州.阶段练习)如图,在底面/BCD为菱形的平行六面体/BCD-//1C1A
中,M,N分别在棱ZALCCI上,且=^AAltCN=|CC1,且44遇。=^ArAB=4DAB=60°.
(1)求证:D,M,B],N共面;
(2)当的为何值时,力
AD
(3)若AB=AA1=1,且2止=^A1C1,求4P的长.
【解题思路】(1)利用向量证明前=祈瓦,然后可证;
(2)以理,AD,荏为基底表示出扃,币,然后根据宿•碰=0求解可得;
(3)利用基底表示出衣,然后平方转化为数量积求解即可.
【解答过程】(1)在平行六面体4BCD-481的£)1中,连接MD、DN、NB】、BrM,
-1-1
因为=^A4i,CN=:CC「
所以]=:可+=/京+荏,
DN=DC+CN=A1B1+^CC1=^AA1+AB,
所以丽=瓦瓦,即。N="当且。N〃MB「
所以四边形DMB】N为平行四边形,即共面.
(2)当也=1时,力G1&B,理由如下,
AB
设441=c,AD=b,AB=a,且号与b、'与,、匕与日的夹角均为60。,
因为底面4BCD为菱形,所以同=|矶,
ACr=AA-^+AiQ=4+A1D1+AA1=a+b+c,ArB=AtA+AB=a—c,
若"iia/,则宿i京瓦
22
即4cl•A1B=(^a+c+b^(a.-c)=a.—c+a-b—c-b=0,
即|那—|c|2+|a|-|fo|cos60"—|c||b|cos600=\a\2—|c|2+1\a\2—||c|-|a|=0,
解得同=用或3㈤+2|c|=0舍去,
所以"1=1时,XQ14/
DyG
(3)-:A^P=^A1C1,
->-------->1---------->-------->1------»1------>
.•.XP=^1+-711C1=^1+-XB+-XD,
AB=AAr=1,
AP2=(丽++jAD)2
>21>c1>C>>>>1>»
22
=AA±+-AB+-AD+AA1-AB+AA±-AD+-AB•AD
144112
1111111
=1+-4+-4+2-+2^+4T=-4T
所以函=手,所以4P的长为手.
【题型6几何中的求距离(长度)问题】
【例6.11(23-24高二上•山东•阶段练习)如图,空间四边形OABC中,0A=2,。8=3,0C=4,且布,而,反
任意两个之间的夹角均为60。,OM=2MA,丽=2祝,则|而|=()
【解题思路】利用基底法表示出而=-|瓦5+,砺+|击,再根据向量模的计算公式和向量数量积的运
算律即可得到答案.
【解答过程】由题意得丽=丽一丽=方+而一血=前+:方一|瓦?
-OC+-(OB-OC)--0A--OA+-OB+-0C,
3vJ3333
而市•OB=|01|-|OB|cos60°=2X3X|=3,
OBOC=\0B\■|OC|cos60°=3x4x|=6,
OX-OC=|01|-|OC|cos60°=2x4x;4,
贝!J|丽|=J(-|04+|0B+|0C)2
414448
=\-OA2+-7)B2+-OC2--OA-OB+-OB-OC--OA-OC
(4ZZT1.4:4c,4,87V69
=-x22+-x32+-x42——x3+-x6——x4=—.
\9999993
故选:A.
【例6.2](23-24高二上・吉林•阶段练习)在三棱台力BC-力iBiQ中,AAr=AB=AC=2A1B1=2,
COSNBTMI=cos乙B2C=COSNCA4t=工,181G的重心为。,BC的中点为D,与4。相交于点E,则4E
的长为()
AV179DV178cV179nV178
A.---D.C.D.
4488
【解题思路】延长4。交BiG于点尸,通过三角形重心的性质得出F为BiG的中点,结合已知即可得出公。=
=2x24。=工4),再通过三棱台的性质得出AAIE。〜△DE4则会=黑=;,即可将荏分解为
3323DEDA3
:(6标+AB+AC),即可利用向量模的求法结合已知得出答案.
【解答过程】如图,延长久。交8停1于点尸,
,.,△&B1Q的重心为0,
&F为△&B1G在B】Ci边上的中线,即尸为BiG的中点,
;三棱台4BC—4/iCi中,A〜AABC,AB—AC—2X1B1-2
T
•••ArF—^AD,A1B1=41C1=1,
.•・&0=-2AF=-2x-A1D=1-AD,
131323
・・,三棱台/BC-AiBiG中,面4181cl||面/8C,且面/OF/1分别交面^ABC^ArF,AD,
・•・ArF||AD,
••.△A1LE。〜△。瓦4,则昼=&£=工,
DEDA3
得旗二河+海二河+;传同+4)•京+焉荏+押=式6丽+乐+硝,
所以网=^(6AA^+AB+AC)2=iJ36A472+AB2+AC2+12A4^•AB+12AA1-AC+2AB-AC=
8•
故选:D.
【变式6.1](23-24高二上•上海•期末)如图所示,在四棱锥M-4BCD中,底面ZBCD是边长为1的正方形,
侧棱4M的长为2,且AM和的夹角都是60。,N是CM的中点,设石=荏,b=AD,c=AM,试以出
b,1为基向量表示出向量前,并求BN的长.
【解题思路】根据题中条件,由向量的线性运算法则求出前另+:房再由向量模的计算公式,
结合题中条件求出I前I=当,即得出结果.
【解答过程】因为N是CM的中点,底面ABCD是正方形,
所以前=阮+丽=AD+^CM=AD+|(AM-AC}=AD+|(AM-XB-AD)
=--2AB2+-AD2+-AM2=--d2+-b2+-c,
由题意,可得|d|=\b\=lf\c\=2|,^MAB=Z.MAD=60°,乙BAD=90°,
因此互谭=f--a+-h+-c)=-a2+-b2+-c2--a-b--a-c+-b-c
\222J444222
11113
=-+-+1—0--xlx2cos60°+-x1x2cos60°=-
44222
所以忸所=?,即BN的长为当
【变式6.21(23-24高二上•浙江・期中)如图,空间四边形。48c中,。4=OB=0C=2,4AOC=乙BOC=p
AAOB=点点M,N分别在04BC上,且。M=2MA,BN=CN.
⑴以{瓦?,而,沆}为一组基底表示向量而;
(2)求MN的长度.
【解题思路】(1)利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解;
(2)利用空间向量数量积的运算性质,由而2=(_|而+|砺+(反丫展开计算即可.
【解答过程】⑴,;0M=2MA,BN=CN,
MN^ON-OM^-COB+~oc~\--OA=--OA+-OB+-oc.
2k73322
(2)0A=OBOC=2,^AOC=^BOC=-,^AOB=-,
23
所以市.沆=0,OBOC=0,OA-OB=\OA\\OB\cos^2,
2
所以而2=f-|o2+loB+|oc^
4__1______12__»__,2__»1_
=-OA2+-'OB2+-OC2--OA.~0B--OA-OC+-OB-OC
944332
=§|。川+-\0B\+-\0C\--OAOB
=-x22+-x22+-x22--x2=—
94439f
所以I而I=与.
【题型7空间向量基本定理与其他知识综合】
【例7.1](23-24高二上.江西•阶段练习)中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何
体,该几何体是上下两个底面平行,且均为矩形的六面体.现有一“刍童”BCD-4/1的。1,如图所示.45=
AA!=4,A1B1=AD=2,ArDr=1,AB/ZA^,ABAAr+^DAAr=y,416与Bi。1的交点为。,贝!]布•前
C.8V3+5D.21
【解题思路】设NB441=a,从而ND44i=詈-a,然后由{河,屈,而}为基底,表示向量福左,再利用
向量数量积的运算律求解.
【解答过程】解:设N8441=a,则ND44=*一处
由题意得前=矶+7^0=祐++可/;=彳否+^AB+^AD,AC=AB+AD.
所以南.前=(AAl+^AB+^AD)(AB+AD),
=丽.荏+可.而+[语+]砂+(两而,
=16cosa+8cos(詈-a)+4+1,
=4V3sina+12cosa+5=8>/3sin(a+0+5,
当NBA%=a=源.而尼取得最大值,且最大值为8百+5.
故选:C.
【例7.2](23-24高三下.湖南长沙.阶段练习)如图,已知四棱柱ABC。—&B1GD1的体积为忆四边形ABCD
是平行四边形,点E在平面ACC1al内,且荏=;而+|福,则三棱锥Oi-ADC与三棱锥E-BCD的公共部
分的体积为()
【解题思路】作出辅助线,找到两三棱锥的公共部分,结合三角形相似知识得到边长比,从而得到体积比,
求出答案.
【解答过程】先找两三棱锥的公共部分,由荏=;照+|宿知:X荏-而)=*宿-荏),故而=3可,
在CQ上取点E,使得CE=3EC「连接DE,
设DEnDiC=F,4CnBD=G,连接FG,
则三棱锥F-CDG为三棱锥劣-ADC与三棱锥E-BCD的公共部分,
•:ACEFSAD'DF,
D]F_DDt_4FC_3
二7F=7F=§=布=T
•・•点F到平面2BCD的距离是点到平面ABCD的距离的3又S^DG=衿嫉°,
Vp-CDG=-义—X—X/=一.
2LUh34728
故选:A.
【变式7.1](23-24高二上•江西新余•期末)已知点。在△ZBC确定的平面内,0是平面ZBC外任意一点,
正实数X,y满足时=3瓦-茄7-y砺,贝岭+:的最小值为()
A.1+V2B.-+V2C.1+2&D.3+2V2
2
【解题思路】根据空间四点共面的性质,结合基本不等式“1”的妙用即可得解.
【解答过程】因为而=3反-防7-y砺,且4B,C,D四点共面,
由空间四点共面的性质可知3-x-y=1,即%+y=2,
又%>0,y>0,
所以:+;=*x+y)G+3=X3+?+3213+2jf^)=|+a,
当且仅当过=与即x=4-2Vxy=2夜一2时,等号成立,
xy
所以三+三的最小值为;+y[2.
xy2
故选:B.
【变式7.21(24-25高二上•上海•课后作业)已知空间向量瓦?、而、前都是单位向量,且瓦?1而,万?1瓦,
布与反的夹角为60。,若尸为空间任意一点,且|而|=1,满足|赤•瓦|<\OP-OB\<|加,瓦?|,求而•瓦
的最大值.
【解题思路】根据空间向量基本定理设赤=mOA+nOB+sOC,由|而|=1,得/+n2+s2+sn=1^,
设巴+S=071+三=匕,则九=2(2b—a),s=2(2a—匕),代入①式,得Q2十一。力=?Q一7n2),结合已知可求
22
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