解三角形-2024年高考数学一轮复习提升卷（新高考）

单元提升卷06解三角形

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.己知中，a=2,b=2A/3,5=y,则角/的值是（）

,71n71八兀-5兀兀-2兀

A.—B.—C.一或D.一或——

636633

【答案】A

【分析】由正弦定理结合大边对大角即可得出答案.

ab

【详解】由正弦定理可得：/=/，则sin/一.兀，

sin/sin5sm—

3

解得：sin/==，则/=£或4=程

260

7T

因为;>>“，所以8>/,所以/=7

6

故选：A.

2.在“BC中，角4瓦。所对的边分别为。也GB=60。且“的面积为百，若c+〃=6,贝股=（）

A.2芯B.5C.2疗D.V30

【答案】A

【分析】利用余弦定理结合面积公式可求限

【详解】因为的面积为G，故,acsinB=，acx=道，故ac=4,

222

又/=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（Q+c/-3ac=36-12=24,

故b=2显，

故选：A.

3.在A/BC中，角）,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin?B+sin?C=sin?4-百sinBsinC,则角/的

大小为（）

【答案】D

【分析】根据给定条件结合正、余弦定理求出cos/即可得解.

【详解】在中，由正弦定理进行角换边得〃+c2=a2_®c,

再由余弦定理得cosA='+/-片=/Mbc-Q=一且，

2bc2bc2

而0</〈兀，所以4=±兀.

6

故选：D.

4.已知在△/BC中，角4,8,。的对边分别是。，b,cos2A-cos2B-cos2C=sinBsinC-1,右

。=1,则小台。外接圆的面积是()

1T冗…71

A.—B.—C.乃D.一

324

【答案】A

【分析】由题意，根据同角三角函数的关系、正弦定理可得/+，-/=曲，代入余弦定理可求得角4根

据正弦定理，可求得外接圆半径R即可得答案.

【详解】因为cos?A-cos2B-cos2C=sinBsinC-1,

所以(1-sin2Z)-(l-sin25)-(l-sin2C)=sin5sinC-1,

整理得sin?B+sin2C-sin2A=sin5sinC，由正弦定理得〃+c2-a2=bef

jl2__2

由余弦定理得cosA=Pcibe_1

2bc2bc~2

因为/e(O,万)，所以4=9，

cna122c

由正弦定理得“BC外接圆的直径2"一—一一耳一亍

sm§

所以“8C外接圆的面积S=?t&2=y.

故选：A.

5.已知在AABC中，a=x,b=2g,5=30。，若三角形有两解，则x的取值范围是()

A.x>2^/3B.2A/3<x<4A/3C.0<x<2A/3D.2<X<3

【答案】B

【分析】根据正弦定理即可结合图形关系得忸C|>6>|CZ)|oa>2G>；a,即可求解.

【详解】由NC=b=2g,要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为的圆与胡有两个交点,

过。作CD_L45,贝1“。回=忸。卜出8=。5亩5=；。,

要使以C为圆心，半径为2G的圆与A4有两个交点，则需要忸C|>6>|C必na〉2C〉；a,

解得a的取值范围是2c<a<4A/3.

故选：B.

6.已知。BC的内角4反。的对边分别为q/,c,下列结论错误的是（）

A.若sin/〉sin5,则a>Z>

B.若5=30。）=后,c=2,则符合条件的三角形有2个

C.若sin2/=sin25,则a=b

D.若A4BC的面积$邛伊+。2一叫,则.J

【答案】c

【分析】对于A,利用正弦定理即可求解；

对于B,利用正弦定理及大边对大角即可求解；

对于C,利用已知条件及诱导公式即可求解；

对于D,利用余弦定理及三角形的面积公式，结合同角三角函数的商数关系即可求解.

【详解】对于A,由sin/>sin5及正弦定理，得三〉二，所以。>人故A正确；

对于B,由题意及正弦定理得工―=二-，所以sinC=Y2，因为c>6,所以C>3,所以C=45。或

sin30°sinC2

C=135。，即符合条件的三角形有2个，故B正确；

TTTT

对于C,由sin24=sin28,得2/=23或2/+28=兀，所以/=3或/+5=—,所以或4+8=—,故

22

C错误；

对于D,由S=中仅2+02一”2）,得?csin4=/.2Z?ccos4,所以tan/=百，由于力£（0,兀），所以，弋，

故D正确.

故选：C.

7.08c的三个内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若。=2ccos8,ccosB+bcosC=y/2c，则的

形状是（）

A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】由ccos8+6cosC=J5c利用正弦定理边角互换可得a=，代入a=2ccosB可得3,然后利用余

弦定理代入q=2ccosB可得b=c,然后可得答案.

/+2_*

【详解】因为。=2ccos5,所以牛=2cx〃十。D,整理得b=c,

2ac

又ccosB+bcosC=V2c，所以sinCcos2+sin3cosC=也sinC，

即sin(B+C)=sin/=V2sinC,即a=41c

/y

又。=2ccos5,所以=2ccos5，得cos5=—

2

TTTTTT

因为L,所以8="所以c="/=故—等腰直角三角形.

故选：D

8.在锐角三角形/3C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin8-6cosc=®二^

，则

labc

的取值范围为（）.

A.P2B.2，+0°

C.I2JD.t——,+8J

【答案】A

【分析】利用正余弦定理进行边角互化，从而可得sin4=，L,进而求得/=m，再把2化为

23。

sin5sin(/+C)sinAcosC+cosAsinC717t

结合°，即可求解.

sinCsinCsinC652

【详解】「smB-限。=,...labsinB-2y[3abcosC=出c?-y/3a2,

2absinB=VJc2-y/3a2+2y[3abcosC=^3(^c2-a2+2abcosC^=\/3^c2-a2+a2+b2-c2^

即2absinB=y/3b2,/.2sinAsin2B=sin2B，

sin5w0,，sinA=——

2

Ae\0,—71j,.\A=—,:.cosA=—bsinB_sin（24+C）_sinAcosC+cosAsinCJ3十1

2{232csinCsinCsinC2tanC2

BG

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知。BC的内角4瓦。的对边分别为。,仇。，已知。=3,6=4,锐角C满足sinC=姮，贝U()

A.△45C的面棋为3后B.cosC=—

4

C.c-VT9D.cos5=

19

【答案】BC

【分析】由三角形的面积公式，可判定A错误；由三角函数的基本关系式，可判定B正确，由余弦定理,

可判定C正确，D错误.

【详解】在中，因为。=3,6=4,且sinC=叵，

4

由三角形的面积公式，可得S"c=La6sinC=Lx3x4xY^=豆叵，所以A错误；

"ABC2242

由C为锐角，>sinC=—,可得cosC=Jl-sin2c=；,所以B正确；

44

由余弦定理得-2a6cosc=9+16-2x3x4x；=19,可得c=M，所以C正确；

.人曰ca~+c--b~9+19—162J19匚口、1卜三十丁人

由余弦定理得cosB=---------------=-----------=-------,所以D不正确.

lac2x3x71919

故选：BC.

10.在。8C中，角42,C的对边分别是。,仇。，则能确定3为钝角的是()

A.sin2^4+sin2C<sin25B.AB-BC<Q

c

C.—<cosAD.0<tarUtanC<1

b

【答案】ACD

【分析】选项A,利用正弦定理化角为边，并结合余弦定理，可得cos8<0；

选项B,由方•前=-|在川南IcosBcO,可得cos3>0；

选项C,利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，化简可得cos3<0；

选项D,根据同角三角函数的商数关系，两角和的余弦公式，化简可得cos8<0.

【详解】选项A,由正弦定理及si/Z+sirCvsi/B,知°2+C2<62,

2,2_72

由余弦定理得，cos8—<0,由340,无)，所以3为钝角，即选项A正确；

2ac

选项B,~AB-BC^~AB\-\BC\COS(TI-5)=-1181-|SC|cos5<0,则cos8>0,显然3不可能为钝角，即选

项B错误；

选项C,由正弦定理及：<cos/,得一工<cosZ,

bsiiw

由5£(0,兀)，sin8>0,所以sinC<sin5cos/,

又sinC=sin(/+8)=siib4cos3+cosZsinB,所以siib4cos5<0,

由/£(0,兀)，sinA>0,所以cosH<0,由8£(0,兀)，所以5为钝角，即选项C正确;

选项D,由0<tan/ltanC<1,知0vsiMsinC<1,

cosAcosC

由幺£(0㈤,Ce(0,7i),则siMsinC>0,有cosAcosC>0

所以cos/cosC-siiL4sinC>0,即cos(/+C)=-cosB>0,

所以cosBcO,由5£(0,兀)，所以B为钝角，即选项D正确.

故选：ACD.

11.记》5。的内角力,B,C的对边分别为Q,b,c,若a,b,c成等比数列，贝U()

JT

A.5的最小值为§B.cos(^-C)+cos5=1-cos2B

C.，+，=4D.2的取值范围为(0,与1■

tanAtanCsin8a12J

【答案】BC

【分析】这道题是数列结合三角函数的一道综合题目，由。，b,c成等比数列，则可以求得8的取值范围,

进而对选项进行逐一判断.

【详解】因为。，b,c成等比数列，所以/="c,则COSY"",

laclac2

：.0<B<^,5max=j,A错.

对选项B,cos(A-C)+cosB=cosAcosC+sin/sinC-(cosAcosC-sinAsinC)

=2sin^4sinC=2sin2B=1—cos25,B对.

11cosAcosCsinCcosZ+sin/cosCsinB1

对于选项C,----------1----------=---------H----------,C对.

tanAtanCsinAsinCsinAsinCsin2Bsin5

2

a+aq>aq

bc2

对于选项D,令一=4，则工=4,••b~~aq，c=aq,a+aq>aq,

ab

aq2+aq>a

.-1+Vs<”，D错.

2

故选：BC

12.在学习了解三角形的知识后,为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动•他位于河东岸，在靠

近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点B位于点A的南偏西45。的方向上，由于受到地势的限制,

他又选了点C,D,E,使点5,C,。共线，点B位于点。的正西方向上，点C位于点。的正东方向上,

测得C〃=CE=100m,/BAD=75。，N/EC=120。，AE=200m,并经过计算得到如下数据，则其中正确

B.△4DC的面积为lOOoGn?

C./8=100&mD.点A在点C的北偏西30。方向上

【答案】AC

【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；

对于A,先求出4408=60。，/4DC=120°,乙8=45°,MtMiSAC2=AE-+CE2-2AE-C£cosl20°,

AC2=CD2+AD2-2AD-CDcosl20°,即可判断;

对于B,根据三角形的面积公式求解即可，即可判断;

ABAD

对于C,在中，由正弦定理即可判断;

sinZADBinsB

对于D,过点A作NGLBC于点G,易知ND4G=30。，即可判断.

【详解】对于A,因为/胡。=75。，点B位于点A的南偏西45。的方向上,

所以NB=45°,N4DB=60°,ZADC=120°,

又N4EC=ZADC=12。。,CD=CE=100m,AC=AC,AE=200m,

在△/DC中，AC2=AE2+CE2-2AE-C£cosHO0,AC2=CD2+AD2-2AD-CZ）cosl20°,所以

AD=AE=200m,故A正确；

对于△的面积为工百（2

B,4DCx4DxCDxsinZADC=-x200xl00x—=5000m故B错误;

222'

4RAT)

对于C,在中,由正弦定理'得八万=茄,解得

ADsmAADB200?

AB=---------------=-----j=^-=100V6（m）,故C正确;

sinBy/2

~2

对于D,过点A作/GL5C于点G,易知ZD/G=30。，所以/C/G〉30。，故D错误,

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在。8C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且/=^+c2+®c,则/=

【答案】T57r弓5万/150。

66

【分析】根据已知等量关系，利用余弦定理求得cos/=-立，即可确定角的大小.

2

【详解】由题设62+°2-/=-园c,而ss/J+C-M=_g

2bc2

又Ne(0,兀)，则Z=

6

故答案为：?

6

14.如图，在“BC中，点。在3c边上，AD的垂直平分线过点/,且满足=

)/s

cosNCAD=',则的大小为.

5

【分析】根据题意可得N8=AD，结合正弦定理与、三角形内角和定理与两角和差余弦公式即可求得

cosNADC,从而得ZADC的大小.

【详解】因为四的垂直平分线过点4所以"=皿则。=岛屋也所以矍

又因为在△/CD中，Z.CAD€(0,7i),cos/G4Z)=,所以sin/C4。.

55

ADCDrr•/oADsmACADVio

在△4CZ)中，由正弦定理，得，所S以rsmZDCA=------------------

sin/DCAsinZCADCD「而’

3V10

因为C£)>N。，所以/DC/为锐角，所以cosNDCA=Jl-sir?NDCA=

10

则cosNADC=cos(?t-NACD-NCAD)=-cos(ZACD+ACAD)

又/4DCe(0,兀)，所以N4DC=B.

4

故答案为：尸3兀.

4

15.已知△/3C中，角/,B,C所对应的边分别为a,b,c,且/=(°-h?+6,若△4BC的面积为，,

则sin4•sin8的取值范围为.

【答案】(0,；

【分析】由三角形面积公式，由已知条件结合余弦定理可得cosC=然后由正余弦的平方和为1,可

ab

19?!71

求得ab=2,从而可求得cosC=-^,则可得C=?~,0<A<~,则利用三角函数恒等变换公式和正弦函

数的性质可求得其范围.

【详解】VS/.AfiC=—absinC=^~,/.absinC=V3,

△AD(^22

Vc2=(fl-M2+6,由余弦定理可得cosC="一+"一厂=约二2

2abab

22

sinC+cosC==1,解得ab=2f

cosC——,

2

•：0<C<兀,C=—,0<A<—,

33

所以

sin/sin8=sin/sin（Z+C）=sin/sin[Z+g=sin^f--sin^+^cos^

22J

1.,y/3...cos2^4-1V3sin2^41.f.兀、1

=——sin2A+——sinAcosA=------------+-------------=—sin2A+———,

22442{6j4

.八,兀兀c/兀5兀1.Ac“兀1八

.0</<一,一<2,AH—<—,—<sin2/—1.

36662（6）

因止匕，sin/sinB=；sin（24+E）-；£[o,；.

故答案为:（0,1]

16.已知小8。的三个角A,B,。所对的边为“，b,c,若NB4C=60°,D为边3C上一点，且

AD=5,BD:DC=2c:b,则"BC面积的最小值为

【答案】2石

兀兀SARnBD2c

【分析】设/840=。（0＜。＜?）,则/。40=彳-6,利用面积关系甘迺=示=父可以得到

33^^ACDD

2sin6»=V3cos6»,从而求得tan。；再利用面积关系又《°=S“@+S”⑺可以得到bc=2c+6,再利用基本不

等式求出命的取值范围，再根据面积公式计算可得.

【详解】设/胡。=仇0＜。＜5），则/◎。=/一。，

■:AD=布，BD:DC=2c:b,

<-ADBD-sinZADB

、"BD__2_________________BD2c

v1~CD~~b

，A/CZ>-AD•CD-sinZADC

2

—xV?csin。？厂

即"T~\=~T9化简得2sing=V^cos8,BPtan0=,

lxV7-6-sinP-^b2

又〈t"1"cos。2,解得sin6='^或sin6=-R^（舍去）,

sin2+cos2^=17

所以sinf--—sin,

（3J214

又,AABC~S-BD+，AACD，

I冗11元

所以,bcsin]=/4£>.csine+2/Z）.6sin（H-。）,

即^-bc=近+近be=2c+b>2y/2cb»

2714

所以6cN8,当且仅当2c=6=4时取等号，

所以Sc=—besin—=^-be>2\/3，即“BC面积的最小值为26.

△yA^BZJC234

故答案为：2班

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.在“8C中，角4凤。的对边分别为a,6,c,cos2(ecz-6sinC)-6siiL8cosC=0.

(1)求角5；

⑵若c=2a,“8C的面积为百，求“BC的周长.

【答案】(呜

(2)372+76

【分析】(1)利用正弦定理、三角恒等变换化简已知条件，从而求得反

(2)利用三角形的面积求得这，进而求得见。，根据余弦定理求得6,从而求得“8C的周长.

【详解】(1)由cos5(百q—bsinC)-加in5cosc=0得，

△acosB-b(sinCcos^+cosCsin5)=0,

/.6〃cosB=bsin(B+C)=bsin/,

由正弦定理得Gsiib4cos5=sin康iih4，

•/sirUw0,/.taaS=,

5G(0,7C),.\B=".

(2)的面积为G，—acsvaB=ac=V3,得ac=4,

24

c=2a,:.2a2=4,

,/a>0,

a=V2,c=2。=2-\/2,

由余弦定理可得〃=a2+c2-2accosB=6，

b>0,:.b=4^，

•e•三角形的周长为〃+6+c=3A/2+V6.

18.在中，角A,B,。的对边分别是Q,b,。，若siiL4+sinC=psinS(p£R),且4QC=/.

(1)当夕=；,6=1时，求。，。的值；

⑵若角8为锐角，求实数夕的取值范围.

【答案】(1)Q=1,C=1或Q=J,C=\

44

【分析】(1)利用正弦定理将角化为边，再结合已知条件，解方程组，解得即可;

(2)结合余弦定理与cos5£(0,1),解不等式即可.

【详解】(1)因为sin4+sinC=〃sin5(，£R),

由正弦定理可得,

因为夕=3，b=l,

4

所以Q+C=。，

4

又4ac=b2=l»

所以a=1,。=或a=二,c=1.

44

(2)由(1)知Q+C=pb,且p>0,

22

百A在士询，曰R(a+c)-2ac-bP2b?一千人?

由余弦定理得cos5=-----=-——、-------=-----p------=2p-3,

2ac2ac_*_^2

2

因为8为锐角，所以cos2e(0,l),

所以。＜2/一3＜1,解得逅＜0＜后或_行＜”一逅（舍去），

22

故实数〃的取值范围为，血.

I2）

19.在①（4+c）（sinN-sinC）=6（sinN-sin8）；—--cos^=0；③向量成=与万=（cosC,sin5）

平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知小8C内角4B,C的对边分别为

a,b,c,且满足.

⑴求角C；

⑵若为锐角三角形，且。=4,求“8C面积的取值范围.

【答案】（呜；

⑵（26,8@.

【分析】（1）先选择条件，再根据三角形的正、余弦定理，求出角C；

（2）根据题（1）在结合余弦定理以及三角形的三边关系，得出b的范围，进而求出“8C面积的取值范围.

【详解】（1）若选择①：由①及正弦定理可得（。+。）（。-。）="。一6）,即/+62-02=成，

由余弦定理得cosC="一+"-X=L,又Ce（0,兀），

lab2

：.C=~.

3

'sin/?—ciriAccq/

若选择②：由②及正弦定理得-----------------=0,所以2sin8cosC—sin/cosC—cos/sinC=0,

sinCcosC

即sinB（2cosC_1）=0,由sinBw0,

/.cosC=1,又Ce（0,ir）,

故C=g.

若选择③：由③可得csinS=V3/JCOSC,；・sinCsinS=VJsin5cosC，

*'•tanC=VJ,又。£（°,兀），C=—.

（2）由已知及余弦定理可得。2=/+16-2b4cos四=〃一必+16,

3

由^ABC为锐角三角形可得〃+ft2-4Z）+16＞16_&16+62-4Z）+16＞Z）2，

解得2<b<8,

所以dBC面积S=；absing=同©℃,8月).

20.某海岸的/哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东30°方向20nmile处的。点出现可疑船只，因天气恶

劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所.早上5点15分位

于/哨所正西方向20nmile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60nmile处的E点，并

识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30nmile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速

度大小为30nmile/h.(假设所有船只均保持匀速直线航行)

(1)求走私船的速度大小；

(2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间.

【答案】⑴106nmile/h

(2)缉私船沿北偏西30°方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船.

【分析】(1)利用余弦定理即可求解；

(2)设在尸点处截获走私船，截获走私船所需时间为利用余弦定理即可求解.

【详解】(1)点位于A哨所北偏东30°方向20nmile处,

.•./以。=90°+30°=120°,AD=20,

■：AB=20,.'.BD=VAD"+AB2-2AD-ABcos120°=2073,

AB=AD,:.ZABD=ZADB=30°,

E点位于5哨所北偏西30°方向60nmile处，

ZDBE=90°-30°+30°=90°,

/.DE=ylBD2+BE2=4073，

40G/T•1小

v=-------=10V3nmile/h,

4

走私船的速度大小为106nmile/h.

(2)设在尸点处截获走私船，截获走私船所需时间为乙

BE=60,8c=30,NCBE=60",

:.CE=y]BE2+BC2-2BE-BCcos60°=30A/3，

•••BE2=BC2+CE2,:.NBCE=90°,NBEC=30°,ZCEF=120°,

•••走私船速度为IO。nmile/h,缉私船速度为30nmile/h,

EF=1Qyfit,CF=307,

在尸中，根据余弦定理，CF2=CE2+EF2-2CE-EFcosnO°,

900产=2700+300»_2x30V3xlo/cos120°,

3

化简得2r-3t-9=0,舍去），或"3,

此时CE=EF=30c，ZECF=30°,

•.•缉私船沿北偏西30°方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船.

jr

21.如图，在“8C中，已知N8=2,AC=4g,N3/C=.0为8C的中点.

(1)求的长；

(2)P是线段/C上的一点，当NP为何值时，AAQP=-.

【答案】(1)屈

⑵电1

6

【分析】(1)解法一：根据而=;(而+就)，两边平方求解;

解法二：利用cos4402+cos//0c=0,再结合余弦定理求解

(2)在中，先根据余弦定理求得5C,C0,再在ANC。中，由余弦定理得NQ/C的正余弦，进而根据

内角和/。/。+乙4。2+4尸。=万，结合两角和差的正弦公式求解sinN/尸。，最后再在△40P中，由正弦

定理求得/P即可

【详解】（1）解法一：因为。为8C的中点，所以而=；（而+就）

所以|而『=^|ZB|2+2AB-AC+1就°=13,即=V13

2[5

解法二：在“Be中，由余弦定理得忸C「=22+（4®）-2X2X4A/2X^--20,

所以3C=2逐，即。。=2。=6

AQ2+BQ2_4。+1

在^ABQ中,根据余弦定理得cosN/08=

-2AQBQ2VL40

/02+C02_/C2/02_27

在A/C。中，根据余弦定理得cos/4QC=

2AQ-CQ2面0

An2+1An2-27

因为cos//Q8+cos/4℃=0,所以2方.0+女敏=0

解得/。=布.

(2)在“BC中，由余弦定理得忸C『=2?+(4加了一2x2x40x1=20.

所以6c=2逐，即。。=逐

272g

在A/C。中，由余弦定理得cos/Q/C=，。：/50、等

2AQ-AC26

__________疾

所以sinAQAC=7l-cos2AQAC=-—，

26

因为/"C+/40P+//P0=»,

所以sinZAPQ=sin(/0/C+NAQP)=sin(NQ/C+