大学物理上册第一至四章基础知识

大学物理上册（1-4章）质点运动学1-1质点运动的描述一、参考系质点参考系为描述物体的运动状态而选的参照物叫做参考系；选取的参照物不同，对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性。质点质点是一个理想模型。一般来说，物体的大小和形状的变化，对物体运动的影响一般是很大的，但在有些情况下，如能忽略这些影响，就可以把物体当作一个有质量的点（即质点）来处理。位置矢量运动方程位移位置矢量在直角坐标系中，在时刻t，质点p在坐标系里的位置可用位置矢量r（t）来表示；位置矢量简称位矢。是一个有向线段，其始端位于坐标系的原点O，末端则与质点P在时刻t的位置相重合。其值为位矢r的方向余弦由下式确定：式中α、β、γ分别是r与Ox轴、Oy轴和Oz轴之间的夹角。运动方程当质点运动时，它相对坐标原点O的位矢r是随时间而变化的，因此，r是时间的函数，即r=r（t）=x(t)i+y(t)j+z(t)k上式称为质点的运动方程；而x(t)、y(t)、z(t)则是r(t)在x轴、Oy轴、Oz轴的分量，从中消去参数t便得到了参数的轨迹方程，所以他们也是轨迹的参数方程。位移在平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻t1的点A运动到时刻t2的点B，质点由相对原点O的位矢变化到。我们将-=称作在时间∆t内质点的位移矢量，简称位移，它反映了在时间∆t内质点位矢的变化。位移可写成速度位矢和速度是描述质点运动状态的两个物理量。当∆t→0时，平均速度的极限值叫做瞬时速度，简称速度。或其中vx、vy是速度v在Ox轴和Oy轴上的分量。质点做曲线运动是，质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。总结：求解运动学问题有两类：一是由已知的运动方程求运动状态；二是已知运动方程求运动状态。加速度当∆t→0时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用a表示，有a的方向是∆t→0时∆v的极限方向，而a的数值是的极限值，即1-2圆周运动平面极坐标设有一质点在Oxy平面内运动，某时刻它位于点A.它相对于原点O的位矢r与Ox轴之间的夹角为θ.于是，质点在点A的位置可由（r，θ）来确定。这种以（r，θ）为坐标的坐标系成为平面极坐标系。X=rcosθy=rsinθ圆周运动的角速度角坐标θ（t）随时间的变化率即dθ/dt，叫做角速度，用符号ω表示，则有通常用弧度（rad）来量度θ，所以角速度ω的单位为弧度每秒，符号为rad·s-1。圆周运动的切向加速度和法向加速度角加速度1、切向加速度在点A处圆的切线方向上取一单位矢量et，叫做切向单位矢量，于是点A的速度可写为v=vet一般来说，质点作圆周运动时，不仅速度的方向发生改变，而且速度的值也会发生改变，即质点做变速率圆周运动，由上式可得质点作变速率圆周运动时，它在圆周上任意点的加速度为从上式可以看出，加速度a具有两个分矢量，式中第一项，是由于速度大小变化而引起的，其方向为et的方向，即与速度v的方向相同。因此，此项加速度分矢量称为切向加速度，用at表示，有，另外，由式子，可得式中为角速度随时间的变化率，叫做角加速度，用符号α表示，有角加速度α的单位名称是弧度每二次方秒，符号为rad·s-2。把、两式带入式，可得上式是质点作变速率圆周运动时，切向加速度与角加速度之间的瞬时关系。法向加速度我们在指向圆心的法线方向上取单位矢量et，称为法向单位矢量，那么，在∆t→0时，的极限值为这样，中的第二项可以写成这个加速度沿法线方向，故叫做法向加速度，用an表示，有=4\*GB3④考虑到，故上式为，=5\*GB3⑤由式子和=5\*GB3⑤，可将质点做变速圆周运动时的加速度a的表示为或其中切向加速度at是由于数值的变化而引起的，法向加速度an则是由于速度的方向的变化而引起的。匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动匀速率圆周运动质点做匀速率圆周运动时，其速率v和角速度ω都为常量，故角加速度α=0，切向加速度，而法向加速度为常量，于是匀速圆周运动的加速度为由式子，可得如取t=0，θ=θ0，则有θ=θ0+ωt匀变速率圆周运动质点做匀变速率圆周运动时，其角加速度=常量，故圆周上某点的切向加速度的值为a=r=常量，而法向加速度的值为，但不为常量。于是云变速率圆周运动的加速度为如果t=0时，θ=θ0，ω=ω0，那么由式子和可得这三个公式与在中学物理里已学过的匀变速直线运动的公式是相似的。1-3、相对运动质点相对于基本参考系的绝对速度v，等于运动参考系相对基本参考系的牵连速度u与质点相对运动参考系的相对速度v'之和。即V=v'+u牛顿定律2-1牛顿定律牛顿第一定律1686年，牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》一书中写道：任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。这就是牛顿第一定律。其数学形式表示为：F=0时，v=恒矢量（2-1）任何物体的运动都是相对于某个参考系而言的，如果在这个参考系中物体不受其他物体的作用，而保持静止或匀速直线运动，这个参考系就称为惯性系；若一参考系相对惯性系作加速运动，那么这个参考系就是非惯性系。牛顿第二定律物体的质量m与其运动速度v的乘积叫做物体的动量，用p表示，即P=mv（2-2）牛顿第二定律表明，动量为p的物体，在合力F（）的作用下，其动量随时间的变化率应当等于作用于物体的合外力，即（2-3a）当物体在低速情况下运动时，即物体的运动速度v远小于光速c（v≦c）时，物体的质量可以视为不依赖于速度的常量。于是上式可写成（2-3b）应当指出，若运动物体的速度v接近于光速c时物体的质量就依赖于其速度了，即m（v）。在直角坐标系中，式子（2-3b）也可写成即（2-3c）式2-3是牛顿第二定律的数学表达式，又称牛顿力学的质点动力学方程。应用牛顿第二定律解决问题时必须注意一下几点：牛顿第二定律只适用于质点的运动。牛顿第二定律所表示的合外力与加速度之间的关系是瞬时对应的关系。牛二定律表明，力是物体产生加速度的原因，而不是物体具有速度的原因。力的叠加原理。当几个外力同时作用于物体时，其合外力F所产生的加速度a，与每个外力Fi所产生加速度ai的矢量和，这就是力的叠加原理。质点在平面上做曲线运动时，在自然坐标系中牛二定律可写成（2-4）如以Ft和Fn代表合外力F在切向和法向的分矢量，则有（2-5）Ft=叫做切向力，Fn叫做法向力（向心力）；at和an相应地叫做切向加速度和法向加速度。牛顿第三定律牛三定律说明物体间相互作用力的性质。两个物体之间的作用力F和反作用力F'，沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。这就是牛顿第三定律，其数学表达式为F=-F'(2-6)力的相对性原则相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性系。当由惯性系S变换到惯性系S'时，牛顿运动方程的形式不变。对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相同的形式，在一切惯性系内部所做的任何力学实验，都不能确定该惯性系相对于其他惯性系是否在运动。这个原理叫做力学相对性原理或伽利略相对性原理。2-2物理量的单位和量纲国际单位制规定，力学的基本量是长度、质量和时间，并规定：长度的基本单位名称是“米”，单位符号为m；质量的单位名称为“千克”，单位符号为kg；时间的基本单位是“秒”，单位符为s。其他的力学物理量都是导出量。在物理学中，导出量与基本量之间的关系可以用量纲来表示。我们用L、M和T分别表示长度、质量和时间三个基本量的量纲，其他力学量Q的量纲与基本量量纲之间的关系可按下列形式表达出来：2-3几种常见的力万有引力万有引力可以表述为：在两个相距为r，质量分别为m1,m2的质点间有万有引力，其方向沿着它们的连线，其大小与它们的质量乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比，即（2-8a）式中G为一普适常数，叫做引力常数。引力常数最早是由英国物理学家卡文迪许于1798年由实验测出的。在一般计算时取G=6.67×10-11N·m2·kg-2用矢量形式表示，万有引力定律可写成(2-8b)弹性力弹性力是由物体形变而产生的。常见的弹性力有：弹簧被拉伸或被压缩时产生的弹簧弹性力；绳索被拉紧是所产生的张力；中午放在支承面上产生作用在支承面上的正压力和作用在物体上的支持力等等。摩擦力两个相互接触件的物体有相对滑动的趋势但尚未滑动时，在接触面上变发生阻碍发生相对滑动的力，这个力称为静摩擦力。实验表明，最大静摩擦力的值与物体的正压力Fn成正比，即叫做静摩擦因素。静摩擦因素与两接触物体的材料性质以及接触面的情况有关，而与接触面的大小无关。物体在平面上滑动时所受的摩擦力叫做滑动摩擦力Ff，其方向总是与物体相对平面的运动方向相反，其大小也是与物体的正压力FN成正比，即叫做滑动摩擦因素，与两接触物体的材料性质、接触表面的情况、温度、干湿度等有关，海域两接触面的相对速度有关。动量守恒定律和能量守恒定律3-1质点和质点系的动量定理冲量质点的动量定理在上一章中，将牛二定律表述为上式可写成一般来说，作用在质点上的力是随时间而改变的，即力是时间的函数，F=F（t）。在给定的时间内，外力作用在时间上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。这就是质点的动量定理。一般来说，冲量的方向并不与动量的方向相同，而与动量增量的方向不同。上式是质点动量定理的矢量表达式，在直角坐标系中，其分量式为物体做机械运动时，动量p和位矢r是描述物体运动状态的物理量。质点系的动量定理作用于两质点组成系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增量，即系统的动量增量。（3-3）将其推广到由n个质点所组成的系统，有（3-4a）式（3-4a）表明，作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。这就是质点系的动量定理。对于无限小的时间间隔内，质点系的动量定理可写成或 （3-4b）上式表明，作用于质点系的合外力等于质点系的动量随时间的变化率。3-2动量守恒定律当系统所受的合外力为零，系统的总动量亦为零，即P-P0，这时系统的总动量保持不变，即（3-5a）这就是动量守恒定律，表述为：当系统所受合外力为零时，系统的总动量将保持不变。在直角坐标系中，其分量式为(3-5b)式中C1、C2和C3均为恒矢量。在应用动量守恒定律时应该注意一下几点：在动量守恒定律中，系统的动量是守恒量或不变量。由于动量是矢量，故系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢量和不变，而不是其中某一个物体的动量不变。此外，各物体的动量还必须都应相对于同意惯性参考系。系统的动量守恒是有条件的，这个条件就是系统所受的合外力必须为零。碰撞爆炸等过程的前后，系统的总动量可近似为是不变的。如果系统所受力的矢量和不为零，但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零，此时，系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴的分动量却是守恒的。动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一。3-4动能定理功功的定义：力在位移方向的分量与该位移大小的乘积。力F所做的元功为(3-8a)如用ds表示的大小，那么上式可写成(3-8b)当90o>θ>0o时，功为正值，即力对质点做正功；当90o<θ<180o时，功为负值，即力对质点做负功。（3-8c）虽然力和位移都是矢量，但它们的标积---功是标量。（3-9a）上式是变力做功的表达式。在直角坐标系中，F和dr都是坐标x、y、z的函数，即和因此式（3-9a）可写成（3-9b）式（3-9b）是变力做功的另一表达式，它与式（3-9a）是等同的。合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。W=W1+W2+W3+···+Wi+···（3-10）在国际单位制中，力的单位是N，位移的单位是m，所以力的单位是N·m，我们把这个单位叫做焦耳（Joule），简称焦，符号是J。功的量纲是ML2T-2.功随时间的变化率叫做功率，用P表示，则有利用式（3-8a），可得（3-11）在国际单位制中，功率的单位名称为瓦特(Watt)，简称瓦，符号位W.质点的动能定理（3-12a）我们把叫做质点的动能，用Ek表示，即这样，和分别表示质点在起始和终了位置时的动能，式（3-12a）可写成上式表明，合外力对质点做的功，等于质点动能的增量。这个结论就叫做质点的动能定理。关于质点的动能定理，还应说明一下两点：功与动能之间的关系。只有合外力对质点做功，才能使质点的动能发生变化。功是能量变化的量度，功是与在外力作用下质点的位置移动过程相联系的，故功是一个过程量。而动能则是决定于质点的运动状态的，故动能是状态量。与牛二定律一样，动能定理也适用于惯性系。此外，在不同的惯性系中，质点的位移和速度是不同的，因此，功和动能依赖于惯性系的选取。但对不同惯性系，动能定理的形式相同。3-5保守力与非保守力势能万有引力和弹性力做功的特点万有引力做功的特点有两个质量为m和m'的质点，其中质点m'固定不动，m经任意路径由点A到点B。如取m'的位置为坐标原点，那么A、B两点对m'的距离分别为rA、rB。设在某一时刻质点m距质点m'的距离为r，其位矢为r，这是质点m受到质点m'的万有引力为er为沿位矢r。当m沿路径移动位移元dr时，万有引力作的功为又于是，上式为所以m从点A沿任一路径到达点B的过程中，万有引力做的功为即(3-13)上式表明，当质点的质量m'和m给定时，万有引力做的功只取决于质点m的起始和终了位置，而与所经的路径无关。这就是万有引力做功的一个重要特点。2、弹性力做功(3-14)对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧来说，弹性力所做的功只由弹簧起始和终了的位置决定，而与弹簧形变的过程无关。保守力与非保守力保守力做功的数学表达式所做的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关，我们把具有这种特点的力叫做保守力。保守力：万有引力、弹性力、电荷间相互作用的库仑力、原子间相互作用的分子力。设一质点在保守力作用下自点A沿路劲ACB到达点B，或沿路劲ADB到达点B。根据保守力做功与路劲无关的特点，有（3-15）如果质点沿ACBDA闭合路劲运动一周时，保守力对质点做的功为（3-16）上式表明，质点沿任意闭合路劲运动一周时，保守力对它所做的功为零。是反映保守力做功特点的数学表达式。势能我们把与质点位置有关的能量称作质点的势能。用符号Ep表示。引力势能（3-17a）弹性势能（3-17b）重力势能（3-17c）重力做功一般可写为（3-17d）式（3-13）、（3-14）和式（3-15）可统一写成（3-18）上式表明，保守力对质点所做的功等于质点势能增量的负值。在一维的情况下，由式（3-18）可得对于足够小的∆x来说，在积分范围内F（x）可视为固定的，于是有在的情况下，得（3-19）上式表明，作用于质点上的在Ox轴上的保守力，等于势能对坐标x的倒数的负值。加深：（1）势能是坐标的函数，亦是状态的函数。（2）势能的相对性。势能的值与势能零点的选取有关。（3）势能是属于系统的。势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的，因而它是属于系统的，单独谈单个质点的势能是没有意义的。3-6功能原理机械能守恒定律质点系的动能定理设一系统内有n个质点，作用于各个质点的力所做的功分别为：W1、W2、W3、···，使各质点由初动能、、、···改变为末动能、、···由质点的动能定理式（3-12），可得······以上各式相加，有（3-20）上式的物理意义是：作用于质点系的力所做的功，等于该质点系的动能增量。这也叫做质点系的动能定理。系统内的质点所受的力，既有来自系统外的外力，也有来自系统内各质点间相互作用的力。因此，作用于质点系的力所作的功，应当是一切外力对质点系所作的功与质点系内一切内力所作的功之和，即这样式（3-20）亦可写成（3-21）这是质点系动能定理的另一数学表达式，它表明，质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力做的功与一切内力做的功之和。质点系的功能原理以表示质点系内各保守内力作功之和，表示非保守内力作功之和，则质点系内一切内力作功之和应为由式（3-18）已知，系统内保守力作的功等于势能增量的负值，则有故式（3-21）可写成（3-22）在力学中，动能和势能统称为机械能。若以E0和E分别代表质点系的初机械能和末机械能，则式（3-22）可写成(3-23)上式表明，质点系的机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和。这就是质点系的功能原理。机械能守恒定律当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，质点系的总机械能是守恒的，这就是机械能守恒定律。（3-24）在机械能守恒定律中，机械能是不变量或守恒量。宇宙速度1、人造地球卫星第一宇宙速度其中RE=6.37×103km，这就是在地面上发射人造地球卫星所需达到的最小速度，即为第一宇宙速度。人造行星第二宇宙速度式中v2是使抛体脱离地球引力范围，在地面发射是抛体所必须具有的最小发射速度，即为第二宇宙速度。飞出太阳系第三宇宙速度3-7完全弹性碰撞完全非弹性碰撞完全弹性碰撞：如果在碰撞前后，两物体的动能之和完全没有损失，这种碰撞即为完全弹性碰撞。实际上，在两物体碰撞时，由于非保守力的作用，致使机械能转换为热能、声能、化学能等其他形式的能量，或者其他形式的能量转换为机械能，这种碰撞就是非弹性碰撞。如两物体在非弹性碰撞后以同一速度运动，这种碰撞叫做完全非弹性碰撞。3-8能量守恒定律对于一个与自然界无任何联系的系统来说，系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是不论如何转换，能量既不能产生，亦不能消灭。这就是能量守恒定律。3-9质心质心运动定律质心在直角坐标系中，有n个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定：（3-26a）式中m'为质点系内各质点的质量总和；为第个质点对原点O的位矢，为质心对原点O上的位矢，它在Ox轴、Oy轴和Oz轴上的坐标，分别为：（3-26b）质量元dm，式（3-26b）中的求和，可用积分来替代。于是，质心的坐标为（3-26c）质心运动定律式3-26a可写成上式对时间的一阶导数为（3-27）式中是质心的速度，用表示，是第个质点的速度，用表示，故上式为（3-28）上式表明，系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度乘以系统的质量。系统内各质点间相互作用的内力的矢量和为零，即=0.因此，作用在系统上的合力就等于合外力，即，于是由式（3-28）可得（3-29）上式表明，作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以乘以系统质心的加速度。我们把式（3-29）作为质心运动定律的数学表达式。刚体的转动4-1刚体的定轴转动若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说缸体内任意两点间的连线总是平行于他们初始位置间的连线，则刚体的这种运动叫做平动。当刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动时，这种运动叫做转动，这条直线叫转轴。如果转轴的位置或方向是随时间改变的，这个转轴为瞬时转轴。如果转轴的位置和方向是固定不动而不随时间改变的，这种转轴为固定转轴，此时刚体的运动叫做刚体的定轴转动。刚体转动的角速度和角加速度当r从Ox轴开始沿逆时针方向转动时，角坐标为正；当r从Ox轴开始沿顺时针方向转动时，角坐标为负。角速度（4-1）角速度ω的方向可由右手法则确定：把右手的拇指伸直，其余四指弯曲，使弯曲的方向与刚体转动的方向一致，这时拇指所指的方向就是角速度ω的方向。当时，趋近于某一极限值，它叫做瞬时角加速度。简称角加速度，即（4-2）匀变速转动公式当刚体绕定轴转动时，如果在任一相等时间间隔内，角速度的增量相等，这种变速转动叫做匀变速转动。匀变速转动的角加速度为一恒量，即=恒量。质点做匀变速直线运动刚体绕定轴作匀变速转动角量与线量的关系有一刚体以角速度绕定轴OO'转动，刚体内点P的线速度与角速度的关系为（4-3）显然，刚体上各点的线速度v与各点到转轴的垂直距离r成正比，距轴越远，线速度越大。点P的切向加速度和法向加速度则分别为（4-4）由这两个式子可看出，对一绕定轴转动的刚体，距轴越远处，其切向加速度和法向加速度也越大。4-2力矩转动定律转动惯量力矩对绕定轴转动的刚体来说，外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关，还与力的作用点的位置和力的方向有关。我们用力矩这个物理量来描述力对刚体转动的作用。力F的大小和力臂的乘积，就叫做力F对转轴的力矩，用M表示，即(4-6)对于绕定轴转动的刚体，力矩的正负反映了力矩的矢量性。由矢量的矢积定义，力矩矢量M可用r和F的矢积表示，即(4-7)M的大小为M的方向垂直于r与F所构成的平面。也可由右手法则确定：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向是由r通过小于1800的角转向F的方向，这是拇指的方向就是力矩的方向。如果有几个外力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上，且这几个外力都在与转轴相垂直的平面内，则它们的合外力矩等于这几个外力矩的代数和，即若M>0，合力矩的方向沿Ox轴正向；若M<0，合力矩的方向则与Ox轴正向相反。在国际单位制中，力矩的单位名称为牛顿米，符号为N·m。力矩的量纲为ML2T-2。二、转动定律式中的只与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，也就是说，它只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关，叫转动惯量，对于绕定轴转动的刚体，它为一恒量，以表示，即(4-9)这样，就有(4-10)式（4-10）表示，刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，这个关系叫做绕定轴转动时刚体的转动定律，简称转动定律。转动惯量转动惯量的物理意义也可以理解为：当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同刚体时，他们所获得的角加速度是不一样的，转动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变的快，也就是保持原有状态的惯性小。因此，转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。如果刚体上的质点是连续分布的，则其转动惯量可以用积分进行计算，即（4-11）在国际单位制中，转动惯量的单位名称是千克二次方米，符号是kg·m2，量纲是ML2。强调：只有几何形状简单、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分的方法求其转动惯量。如以代表刚体的体密度，为质量元dm的体积元，则转动惯量可写成刚体的转动惯量与以下三个因素有关：与刚体的体密度有关。与刚体的几何形状（及体密度的分布）有关。与转轴的位置有关。附表几种刚体的转动惯量细棒（转动轴通过中心与棒垂直）（a）圆柱体（转动轴沿几何轴）（b）薄圆环（转动轴沿几何轴）(c)球体（转动轴沿球的任一直径）(d)圆筒（转轴沿几何轴）(e)细棒（转动轴通过棒的一端与棒垂直）（f）四、平行轴定理设通过刚体质心的轴线为轴，刚体相对这个轴线的转动惯量为.如果另一轴线z与通过轴线的轴线相平行，可以证明，刚体对通过z轴的转动惯量为（4-12）式中m为刚体的质量，d为两平行轴之间的距离。上述关系叫做转动惯量的平行轴定理。4-3角动量角动量守恒定律质点的角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量设有一个质量为m的质点位于直角坐标系中的点A，该点相对于原点O的位矢为r并具有速度v（即动量）。我们定义，质点m对原点O的角动量为（4-13）质点的角动量L是一个矢量，他的方向垂直于和的平面，并遵守右手法则：右手拇指伸直，当四指由经小于1800的角转向时，拇指的指向就是的方向。质点角动量的值，由矢量的矢积法可得：（4-14）式中为和之间的夹角。注意：在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一点的角动量。若质点在半径为r的圆周上运动时，如以圆心O为参考点，那么与总是垂直的。于是质点对圆心O的角动量的大小为（4-15）质点的角动量定理设质量为m的质点，在合力的作用下，其运动方程为由于质点对参考点O的位矢为，故以叉乘上式两边，有（4-16）又式（4-16）可写成对比（4-7）的情形，式中成为合力F对参考点O的合力矩M。于是上式为（4-17）上式表明，作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率。上式还可写成,为力矩与作用时间dt的乘积，叫做冲量矩，取积分有(4-18)上式的物理意义是：对同一参考点O质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。这就是质点的角动量定理。质点的角动量守恒定律由式（4-18）可以看出，若质点所受合力矩为零，则有=恒矢量（4-19）上式表明，当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量。这就是质点的角动量守恒定律。在国际单位制中，角动量的单位是千克二次方每秒，符号为kg·m2·s-1，角动量的量纲为ML2T-2.刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量有一刚体以角速度绕定轴Oz转动，由于刚体绕定轴转动，刚体上每一个质点都以相同的角速度绕轴Oz作圆周运动。其中质点mi对轴Oz的角动量为，于是刚体上所有质点对轴Oz的角动量，即刚体对定轴的角动量为刚体对定轴Oz的角动量为（4-20）刚体定轴转动的角动量定理从式（4-17）可知，作用在质点上的合力矩应等于质点的角动量随时间的变化率，即而合力矩中含有外力作用在质点的力矩，即外力矩，以及刚体内各质点间作用力的力矩，即内力矩。对绕定轴Oz转动的刚体来说，刚体内各质点的内力矩之和应为零，即=0.故由上式，可得作用于绕定轴Oz转动刚体的合外力矩为亦可写成（4-21）上式表明，刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率。设有一转动惯量为的刚体绕定轴转动，在合力矩的作用下，在时间内，其角速度由变为。由式（4-21）得(4-22a)式中叫做力矩对给定轴的冲量矩，又叫角冲量。如果物体在转动过程中，其内部各质点相对于转轴的位置发生了变化，那么物体的转动惯量也必然随时间变化。若在时间内，转动惯量由变为.则（4-22b）上式表明，当转轴给定