江苏省南京市2024-2025学年高二年级上册期末数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省南京市高二上学期期末数学检测试卷

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.题只有一个选项符合题意.）

1.已知加eR,则“掰=一1”是“直线如+（2加T）y=2=°与直线3x+町+3=°垂直,，的

A.充要条件B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【详解】“直线加x+（2加—l）y=2=0与直线3x+町+3=0垂直”的充要条件为

3m+m（2m-1）=0=>m=O§Km=-1,因止匕“加=一1"是"直线加x+（2加-l）y=2=0与

直线3x+叼+3=0垂直”的充分而不必要条件，选c

2,若数列｛。"｝满足%=2,—1，则"2024=（）

A.-B.2C.3D.-1

2

【正确答案】A

【分析】根据递推式写出数列的前几项，可得｛an｝是周期为3的周期数列，从而可求得答案.

［详解】数列｛册｝满足q=2,an+ian=an-l,

an+l=1---,

an

.a—I——

222

%=1—2=—1,

a4=1-（-1）=2,

，｛aj是周期为3的周期数列,

而2024=3x674+2,

故。2024=。2=万.

故选：A

3.已知函数/(x)的定义域为R,其导函数为/'(x),/'(x)的部分图象如图所示，则()

A./(x)在区间(0,1)上单调递减B./(x)的一个增区间为(-覃)

C./(x)的一个极大值为/(—I)D./(x)的最大值为/(I)

【正确答案】B

【分析】

由导函数在某个区间上为正，则原函数在此区间上为增函数，若导函数在某个区间上为负，

则原函数在此区间上为减函数，若导函数在某一个点左右两侧的函数值异号，则此点就为极

值点，逐个判断即可

【详解】由/'(X)的部分图像可得：

在(-1,1)上，/'(幻＞0,所以/(X)单调递增，所以A不正确，B正确；

由/'(-1)=0,导函数在x=-l左右两侧的函数值异号，

所以/(-1)是/(x)的一个极小值，所以C不正确，

同理可知/(I)是/(x)的一个极大值，并不一定是最大值，D不正确.

故选：B.

4.已知数列｛4｝是等差数列，数列出｝是等比数列，若为+生+。9=9也贴8=36,则

1+aa

A.2B.V3C.-D.②

23

【正确答案】C

【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.

a+a+a=3as=9牝二3

【详解】由题意可得＜159,解得《

也贴8=W=364=百

所以，氏-+--a2.__--2-42__..6.-—3

1+b2a1+公1+32,

故选：C.

5.已知点P（2,0）,点0在圆/+/=i上运动，则线段尸。的中点M的轨迹方程是（）.

A.（X-1）'+J2=1B.尤2+（了-1）2=]

C.4（1『+49=]D.4x2+4（y-l）2=1

【正确答案】C

【分析】设出点M坐标，得出。点坐标，代入圆方程，即可得到线段P。的中点〃的轨迹方

程.

【详解】由题意，P（2,0）,

在圆必+丁=1中，点。在圆上，线段尸。的中点为

设则Q（2x-2,2y）,

/.（2x-2）2+（2y）2=1,即：4（x-l）2+4y2=1,

故选：C.

6.分形几何学是数学家伯努瓦・曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的

创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2

的一个树形图，记图2中第〃行黑圈的个数为%,白圈的个数为4，若%=55,则，=（）

第1行

第2行

Oe第3行

图1图2

A.34B.35C.88D.89

【正确答案】A

【分析】每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑

圈，从而可得递推公式，然后由递推公式可求得结果.

【详解】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，

一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，

所以有4=24T+如，bn=an-\+b”.i，

又因为q=0,所以。2=1，%=1,4=3,4=2,

%=8,匕4=5,—21,4=13,4=55,b6=34.

故选：A.

7.三个数。=^,/)=■一，c=变的大小顺序为()

e223

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.

a<b<c

【正确答案】D

【分析】据题意可设/(x)=2,求导/'(x)=t学，从而可根据导数符号得出/(X)在

XX

(e,+8)上单调递减，并且可得出。=/卜2),6=/(4),c=/(3),从而得出。，b,c的

大小顺序.

【详解】设/(x)=叱，贝U/'(x)=匕学，

XX

当X>e时，则ln%>L可得/'(x)<o,

可知/（X）在（e,+8）上单调递减,

因为。=之=^^=/（金），分=竽=等=/（4），。=野=/（3），

ee」43

且e2>4>3,则/卜2）</（4）</（3）,所以a<b<c.

故选：D.

22

8.已知片，月分别为双曲线C：二—京=1（。〉0,人〉0）左、右焦点，过点片的直线与双

sinNNFF,2,----.

曲线C的左、右两支分别交于M,N两点，且一.八此.=齐飞MF#MN、NF、=b,

sin/NF?F'3"）

则双曲线。的离心率是（）

A.V5B.叵C.V?D.叵

22

【正确答案】C

【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得△"工N是正三角形，从而/月"工=120°.在

△孙月中，由余弦定理即可得到答案.

sinZJVFR2八iii1

【详解】由."一「结合正弦定理得2|八%|=3|叫|,

//v-Z21

因为|明|-|明|=24,所以|g|=6a,|鹤|=4*

又（加+荻>丽=0,即（汨+而）•（而一丽）=0,

则指丽Jo,所以|M^=|ACV|.

设|九里|=|肱¥=加，贝1J|上名|=6a-加，

5l\MF^-\MF^=2a,则加一（6。一加）=2a,解得加=4a,

所以|5|=|肱V|=4a,|叫|=2〃，

所以△〃区N是正三角形，从而/片血里=120。.

在丛MF'F2中，由闺月『=|M『+|摩『_2x|九®x|九/xcosl20。，

ifl（2c）2=（2«）2+（4o）2-2x2«x4«xcos120°,得c?=7a2，所以e=Q.

故选：C.

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.每题有多项符合题意，全对得5

分，部分选对得2分，有错选得0分.）

9.已知圆。1：/+/一2x—3=0和圆。2：一+/一23；—1=0交于48两点，则（）

A,两圆的圆心距|aal=2

B.两圆有3条公切线

C,直线48的方程为》一了+1=0

D.圆01上的点到直线45的最大距离为2+J5

【正确答案】CD

【分析】根据圆的一般方程求出圆心与半径，利用两点间的距离公式求解圆心距判断A；根据

两圆的位置关系，判断B；将两圆的方程作差，得公共弦所在直线方程，即可判断C；通过圆上的

点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径，即可判断D.

【详解】圆。1：一+/—2x—3=0的圆心。］（1,0）,半径=2；圆。2：/+y2一2了一1=0

的圆心Q（0,1）,半径％=J5.

对于A,两圆的圆心距I。。?|=VT+T=C,A错误；

对于B两圆相交于48两点,有2条公切线,..B错误；

对于C,将两个圆的方程作差，得—2x+2〉—2=0,即直线AB的方程为x—y+l=0,:.C正

确；

对于D,圆心已到直线AB的距离d=7二=J5,.•.圆a上的点到直线AB的最大距离为

V1+1

q+d=2+V2,D正确.

故选:CD.

10.设等差数列｛%｝的前项和为邑，公差为d,已知生=12,S12〉0,%<0.贝!I（）

A.a6>Q

B.—4<d<—3

C.S“<0时，〃的最小值为13

D.Sn最大时，〃=7

【正确答案】AC

【分析】根据S12=6（%+。7）〉0,。7<0,即可得到。6>0,进而即可判断A；根据。6>0,

%<0，%=12,4+%〉0，从而列出%和d的方程组，求解即可判断B；结合A选项

知四<0,从而得到S13=13%<0，再结合百2>0,进而即可C；结合选项A和B知，当

1<〃<6时，«„>0,当〃之7时，％<0,进而即可判断D.

【详解】对于A,由百2〉0,则品=t+32AI2=（牝+：）义12=6（4+%）>0,又

出<°，则以〉。，故A正确；

对于B,结合选项A知&〉0，%<0，&+%>0，

a,=12+3d>0

24

又名=12,所以彳%=12+4d<0,解得——<d<-39故B错误；

&+%=24+7">0

对于C,结合选项A知S,=（4+3?）*13=13%<o，又S|2〉0,所以S"<0时，〃的最

小值为13,故C正确；

对于D,结合选项A和B知，当时，an>0,当〃27时，an<0,所以当S“最大

时，n=6,故D错误.

故选：AC.

11.抛物线/=2/（0>0）的焦点为尸，P为其上一动点，当尸运动到（2,。时，忸下|=4,

直线/与抛物线相交于4,2两点，点河（4,1）,下列结论正确的是（）

A.抛物线的方程为/="

B,存在直线/，使得/、3两点关于x+〉-6=0对称

C.|m4+归刊的最小值为6

D.当直线/过焦点尸时，以//为直径的圆与y轴相切

【正确答案】ACD

p

【分析】根据归尸|=2+万=4得到故/=8X,A正确，4s中点。（2,4）在抛物线上，B错

误尸M+户-=庐图+归£号6,C正确，计算。G=；4F,D正确，得到答案.

【详解】产=2"（夕＞0）,故忸司=2+^=4,0=4,故J?=8X,A正确；

设/（西,乂）,5（和%），设48中点£＞（%,%）,则《,相减得到

（凹+%）（%一'2）=8（』一%2），即2yo也B=8,因为48两点关于x+y—6=0对称,所以

自”1,故％=4,故/=2,点（2,4）在抛物线上，不成立，故不存在，B错误;

过P作PE垂直于准线于£,则归时+归耳=归闾+归£|之6,当P,瓦M共线时等号成立,

故C正确；

如图所示：G为N尸中点，故£＞G=g（O尸+==尸，故N尸为直径的圆与了轴

相切，故D正确；

故选：ACD.

12.已知有序数对（芭,％）满足In%］一再一%+2=0,有序数对（入2，％）满足

2

x?+2%—4—2In2=0,定乂。二（石一x2^+（乂一，则（）

A.。的最小值为拽

B.。取最小值时％的值为不

5

4D.。取最小值时々的值为g

C.。的最小值为一

5

【正确答案】BC

【分析】将。=（再—9）2+（必一乂?表示为函数y=lnx—x+2图象上的点到直线

x+2y-4-21n2=0上的点的距离的平方，利用导函数与函数切线的关系即可求解.

【详解】由InX]—再—必+2=0,得：乂=In%]—石+2,

。=（石—%）2+（%一%y的最小值可转化为函数y=lnx-x+2图象上的点到

直线x+2y—4—21n2=0上的点的距离的平方的最小值，

由y=lnx—x+2得：yr=——1,

.x

与直线x+2y—4—21n2=0平行的直线的斜率为—工，

2

则令--1=——，解得：x=2,：.切点坐标为（2,ln2）,

x2

;.（2,ln2）到直线x+2y—4—21n2=0的距离j2+21n^^21n2]=疲.

即函数歹=lnx—x+2上的点到直线x+2y—4—21n2=0上的点的距离的最小值为

2^5

5

4

所以。=（%—%）+（%-%）的最小值为屋=《，

过（2,ln2）与x+2y—4—21n2=0垂直的直线为y—ln2=2（x—2^,即

2x—y—4+ln2=0.

x+2y-4-21n2=01212

由＜c-“，cc，解得：X=一，即当。最小时，％=一

2x-v-4+to2=055

故选:BC.

三、填空题：（本题共4小题，共20分.）

13.在平面直角坐标系中，P(Xi/J，。(/，%)是直线/上不同的两点，直线/上的向

量而以及与它平行的非零向量都称为直线/的方向向量.已知直线/的一个方向向量坐标为

(-3,73),则直线/的倾斜角为______.

【正确答案】150°

【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可求出直线/的倾

斜角.

【详解】因为直线/的一个方向向量为(-3,6)，

所以直线/的斜率左=走=—走，

-33

设直线/的倾斜角为，，则tan(9=-立，

3

因为0°《。＜180°,所以。=150。，

即直线/的倾斜角为150°.

故150°

22

14.己知椭圆赤+}=1(20〉左〉0)的焦距为8,过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线

交椭圆于48两点，贝iJ|48|=.

【正确答案】

55

【分析】由题意可知2c=8,得c=4,然后可求出左，从而可求出椭圆方程，再将x=4代

入椭圆方程中求出了,从而可求得|48

【详解】由题意可知2c=8,得c=4,所以k=20—16=4,

22

所以椭圆方程为二+匕=1,

204

椭圆的右焦点为厂(4,0),当x=4时，—+^=1,得”|=拽，

2041"15

所以=2|y|=

5

【正确答案】1

71

【分析】根据题意，求导可得/'(x)，令尤=1,即可得到了',然后代入计算，即可得

到结果.

【详解】因为=三卜nx+cosx,所以/'(x)=/'C)cosx-sinx,

7171711

令x=1,则COSy-Sin—,即f

332

解得了'-V3,所以/'(x)=-百cosx-sinx,

所以一百cos—7i-sin—7i=-V3X1

662Jr-

故1

16.已知数列｛%｝满足％=4,〃°"+]=2(〃+l)a“，则数列｛4｝的通项公式为

若数列｛证小｝的前〃项和S.’则满足不等式S"'3°的〃的最小值为—

【正确答案】①.a„=n-2n+l②.6

【分析】根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出J,再借助数列

单调性计算得解.

【详解】在数列｛4｝中，q=4,由〃。用=2(〃+1)4得：也=2・%,而a=4,

〃+1n1

于是得数列｛2｝是以4为首项，2为公比的等比数列，则%=4-2〃T,即%=",2"+I,

nn

n+l

所以数列｛a,｝的通项公式为a,t=n-2；

口Man-2n+'(«+l)-2,,+2-(n+2)-2n+12n+22n+'

，===，

(n+1)(/2+2)(n+1)(〃+2)(〃+1)(〃+2)n+2〃+l

«-42n2〃较22”项

则s=(--——)+(--——)+(--)+-••+(----------)+(--------------)=--------2，

"324354n+1nn+2n+1〃+2

277+22"22〃+2A，12(n+2)]

由S"230得：-——2230,即上一>32,令b=--，则^」>1，即数

〃+2n+2n+2%”+3

列｛"｝是递增数列，

0〃+2

由-----232,得“232,而d=32,因此，bn>b6,从而得%出=6,

〃+2

所以满足不等式S),N30的〃的最小值为6.

故%=/2+l6

四、解答题：(本题共6小题，共70分.)

17.已知函数—Inx.

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程;

(2)求函数/'(x)<0的解集.

【正确答案】(1)歹=%

6

(2)(0,—)

2

【分析】(1)求出/(I)、/'(I)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

(2)求得函数/(x)=Y-Inx的定义域为(0,+”)，然后在xe(O,+8)上解不等式

/'(x)<0即可得解集.

【小问1详解】

依题意，函数/(x)=V-Inx的定义域为(0,+力),

且/[x)=2x—，

/(l)=l2-lnl=l./'⑴=2-1=1,

因此，曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为歹一l=x-1,即^=%；

【小问2详解】

依题意，函数〃x)=x2—lnx的定义域为(0,+8),

且/'(X)=2X—L令/'(X)<0且X〉0,

2x2—1rr

------<0yJ2

〈xn0<x<——

八2

x>0

故不等式/'(x)〉0的解集为(0,日)

18.在数列｛%｝中，=2,%+]=4%+eN+)

⑴证明：数列｛4一〃｝是等比数列.

(2)求数列｛%｝的前〃项和J.

【正确答案】(1)证明见解析

/八c4"-1/+〃

(2)S=----+-----

n"32

【分析】(1)利用等比数列的定义证明即可;

(2)根据等比数列的通项公式得到%=41+”,然后分组求和即可.

【小问1详解】

由an+l=4a“—3〃+1得all+l—(〃+1)=4an-4〃=4(a“一〃)，

%—1=1w0,

所以数列｛%-〃｝为首项为1,公比为4的等比数列.

【小问2详解】

由(1)得%—〃=1・4"T,贝i]a“=4"T+〃，

12,,1

Sn=(4°+4+4+---+4-)+(1+2+3+---+/7)

(1+〃)〃

=4-1+^—

4"-1n2+n

=-----+------.

32

19.已知圆C的圆心在直线3x-y=o上，且经过点4-1,3),3(1,5).

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点P(2,l)的直线/与圆C相交于两点，且|〃N|=2G，求直线/的方程.

【正确答案】(1)(x—+(>—3/=4

(2)3x+4y—10=0或x=2

【分析】(1)由已知设出圆心的坐标(a,3a),再求出48的中点利用48J_CW求出。

的值，进而可以求出圆心和半径，即可解决问题;

(2)先判断直线的斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线

的距离，然后利用尺2=

求出直线的斜率即可解决问题.

【小问1详解】

因为圆C的圆心在直线3x-y=0上,

所以设圆。的圆心为：(a,3a),

由4(—1,3),5(1,5),

所以48的中点M(0,4),

由题知：ABVCM,

所以3B-kCM=-1,

5—33a—4

即叩.力=T‘解得"1'

所以圆心为。(1,3),半径及=|/。|=1—1)2+(3-3)2=2

所以圆C的标准方程为.(x—+(>—3/=4

【小问2详解】

①当直线/的斜率不存在时，因为直线/过点尸(2,1),

所以方程为：x=2,代入(x—+(y—3/=4中解得:

y=3+V3，止匕时

满足题意;

②当直线/的斜率存在时,

设直线/方程为：y-1-k(x-T)<^kx-y-2k+\=Q,

由圆心C(l,3)到直线/的距离为:

公+1

2

4

所以直线/的方程为：3x+4y—10=0,

综上，直线/的方程为：3x+4y—10=0或x=2.

20.己知公差不为0的等差数列｛%｝的首项q=2,且成等比数列.

^^2^^4

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)若数列也｝满足4+2Z>2+22&+…+2"-也=%，求数列｛地J的前〃项和北.

【正确答案】(1)%=2〃

n+2

（2）T=8-

n2"~2

【分析】(1)依题意可求得等差数列｛%｝的公差，从而可数列｛4｝的通项公式；

(2)由已知可得4+28+2~3+...+2",则由+2"+2~4+...+2""+]=。"+],

两式相减，可得"=22-",当〃=1时也适合，

故<----12”-，，用错位相减法即可

【小问1详解】

设等差数列｛4｝的公差为d,

.1丫11

由—二-----

得：(%+4=L+3d).

因为dwO,所以d=%=2

所以4=%+(〃-1)2=2〃.

【小问2详解】

2n｝

1\+2b2+2/73H----F2bn—dn①

A+28+224+…+2"%=%②

n

②一①得：2bn+l=2.

所以4+产2~

当〃=1时，b、=%=2,

2"2021222”一

上述两式相减得

1_L1

W2><

LT=2+—+-+-■.+-____—=2+-2-2_I”"

2"2°212"-22"T「J2"一一2"-'，

-2

所以小8-崇

221

21.己知椭圆C:j+\=l（a〉b〉O）的左、右焦点分别为《，心，离心率为一，过心的

直线与椭圆。交于A,B两点，若△片48的周长为8.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设尸为椭圆。上的动点，过原点作直线与椭圆。分别交于点M、N（点P不在直线九W

上），求APAW面积的最大值.

【正确答案】(1)—+^=1；(2)2$

43

【分析】（1）根据周长可求。，再根据离心率可求c,求出b后可求椭圆的方程.

（2）当直线MNLx轴时，计算可得APAW的面积的最大值为26，直线上W不垂直x轴

时，可设="，联立直线方程和椭圆方程可求|〃M，设与W平行且与椭圆C相切

的直线为：y=kx+m,结合椭圆方程可求上，冽的关系，从而求出该直线到直线儿W的距离,

从而可求APMN的面积的最大值为2G.

【详解】（1）由椭圆的定义可知，△片48的周长为4a,

「・4a=8,a=2,又离心率为一，••c—1,b2=3，

2

22

所以椭圆方程为土+匕=1.

43

（2）当直线MVLx轴时，（S/^Jmax=gx2Kx2=2jl；

当直线W不垂直x轴时，设,MN:y=kx,

y=kx

1212k2

J2

3+4123+4k2

|MN|=473

设与小W平行且与椭圆C相切的直线为：y=kx+m,

y=kx-\-m

22

<xyn（3+4左2）]2+8左加x+4加2_]2=o,

143

A=64左2加2—4（3+4左2）（4加2一I2）=0,

2

m=3+4左2,

综上，APAW面积的最大值为2jL

方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，而面积的最值的计算，则可以转化为

与已知直线平行且与椭圆相切的直线与已知直线的距离来计算，此类转化为面积最值计算过

程的常规转化.

22.已知函数/（x）=X-加Inx（加eR）.

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）若存在不相等的实数占，x2,使得/（七）=/（%），证明：0＜加＜国+》2.

【正确答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由已知条件求出了'（X）,分情况讨论导数的正负，即可得函数的单调性；

（2）由（1）可判断出加＞0,结合/（%）=/（々），得出加（1政2-11«1）=12-西，设

三_1

m

0＜X]＜%，化简得=I＞0,进而转化为证3—＜ln2，然后换元，令”上＞1,

lnx2-InXj巡+]E%]