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文档简介
2024-2025学年江苏省南京市高二上学期期末数学检测试卷
一、选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.题只有一个选项符合题意.)
1.已知加eR,则“掰=一1”是“直线如+(2加T)y=2=°与直线3x+町+3=°垂直,,的
A.充要条件B.必要而不充分条件
C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【详解】“直线加x+(2加—l)y=2=0与直线3x+町+3=0垂直”的充要条件为
3m+m(2m-1)=0=>m=O§Km=-1,因止匕“加=一1"是"直线加x+(2加-l)y=2=0与
直线3x+叼+3=0垂直”的充分而不必要条件,选c
2,若数列{。"}满足%=2,—1,则"2024=()
A.-B.2C.3D.-1
2
【正确答案】A
【分析】根据递推式写出数列的前几项,可得{an}是周期为3的周期数列,从而可求得答案.
[详解】数列{册}满足q=2,an+ian=an-l,
an+l=1---,
an
.a—I——
222
%=1—2=—1,
a4=1-(-1)=2,
,{aj是周期为3的周期数列,
而2024=3x674+2,
故。2024=。2=万.
故选:A
3.已知函数/(x)的定义域为R,其导函数为/'(x),/'(x)的部分图象如图所示,则()
A./(x)在区间(0,1)上单调递减B./(x)的一个增区间为(-覃)
C./(x)的一个极大值为/(—I)D./(x)的最大值为/(I)
【正确答案】B
【分析】
由导函数在某个区间上为正,则原函数在此区间上为增函数,若导函数在某个区间上为负,
则原函数在此区间上为减函数,若导函数在某一个点左右两侧的函数值异号,则此点就为极
值点,逐个判断即可
【详解】由/'(X)的部分图像可得:
在(-1,1)上,/'(幻>0,所以/(X)单调递增,所以A不正确,B正确;
由/'(-1)=0,导函数在x=-l左右两侧的函数值异号,
所以/(-1)是/(x)的一个极小值,所以C不正确,
同理可知/(I)是/(x)的一个极大值,并不一定是最大值,D不正确.
故选:B.
4.已知数列{4}是等差数列,数列出}是等比数列,若为+生+。9=9也贴8=36,则
1+aa
A.2B.V3C.-D.②
23
【正确答案】C
【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.
a+a+a=3as=9牝二3
【详解】由题意可得<159,解得《
也贴8=W=364=百
所以,氏-+--a2.__--2-42__..6.-—3
1+b2a1+公1+32,
故选:C.
5.已知点P(2,0),点0在圆/+/=i上运动,则线段尸。的中点M的轨迹方程是().
A.(X-1)'+J2=1B.尤2+(了-1)2=]
C.4(1『+49=]D.4x2+4(y-l)2=1
【正确答案】C
【分析】设出点M坐标,得出。点坐标,代入圆方程,即可得到线段P。的中点〃的轨迹方
程.
【详解】由题意,P(2,0),
在圆必+丁=1中,点。在圆上,线段尸。的中点为
设则Q(2x-2,2y),
/.(2x-2)2+(2y)2=1,即:4(x-l)2+4y2=1,
故选:C.
6.分形几何学是数学家伯努瓦・曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的
创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路,按照如图1的分形规律可得知图2
的一个树形图,记图2中第〃行黑圈的个数为%,白圈的个数为4,若%=55,则,=()
第1行
第2行
Oe第3行
图1图2
A.34B.35C.88D.89
【正确答案】A
【分析】每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈,一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑
圈,从而可得递推公式,然后由递推公式可求得结果.
【详解】由题可知,每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈,
一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈,
所以有4=24T+如,bn=an-\+b”.i,
又因为q=0,所以。2=1,%=1,4=3,4=2,
%=8,匕4=5,—21,4=13,4=55,b6=34.
故选:A.
7.三个数。=^,/)=■一,c=变的大小顺序为()
e223
A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.
a<b<c
【正确答案】D
【分析】据题意可设/(x)=2,求导/'(x)=t学,从而可根据导数符号得出/(X)在
XX
(e,+8)上单调递减,并且可得出。=/卜2),6=/(4),c=/(3),从而得出。,b,c的
大小顺序.
【详解】设/(x)=叱,贝U/'(x)=匕学,
XX
当X>e时,则ln%>L可得/'(x)<o,
可知/(X)在(e,+8)上单调递减,
因为。=之=^^=/(金),分=竽=等=/(4),。=野=/(3),
ee」43
且e2>4>3,则/卜2)</(4)</(3),所以a<b<c.
故选:D.
22
8.已知片,月分别为双曲线C:二—京=1(。〉0,人〉0)左、右焦点,过点片的直线与双
sinNNFF,2,----.
曲线C的左、右两支分别交于M,N两点,且一.八此.=齐飞MF#MN、NF、=b,
sin/NF?F'3")
则双曲线。的离心率是()
A.V5B.叵C.V?D.叵
22
【正确答案】C
【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得△"工N是正三角形,从而/月"工=120°.在
△孙月中,由余弦定理即可得到答案.
sinZJVFR2八iii1
【详解】由."一「结合正弦定理得2|八%|=3|叫|,
//v-Z21
因为|明|-|明|=24,所以|g|=6a,|鹤|=4*
又(加+荻>丽=0,即(汨+而)•(而一丽)=0,
则指丽Jo,所以|M^=|ACV|.
设|九里|=|肱¥=加,贝1J|上名|=6a-加,
5l\MF^-\MF^=2a,则加一(6。一加)=2a,解得加=4a,
所以|5|=|肱V|=4a,|叫|=2〃,
所以△〃区N是正三角形,从而/片血里=120。.
在丛MF'F2中,由闺月『=|M『+|摩『_2x|九®x|九/xcosl20。,
ifl(2c)2=(2«)2+(4o)2-2x2«x4«xcos120°,得c?=7a2,所以e=Q.
故选:C.
二、多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.每题有多项符合题意,全对得5
分,部分选对得2分,有错选得0分.)
9.已知圆。1:/+/一2x—3=0和圆。2:一+/一23;—1=0交于48两点,则()
A,两圆的圆心距|aal=2
B.两圆有3条公切线
C,直线48的方程为》一了+1=0
D.圆01上的点到直线45的最大距离为2+J5
【正确答案】CD
【分析】根据圆的一般方程求出圆心与半径,利用两点间的距离公式求解圆心距判断A;根据
两圆的位置关系,判断B;将两圆的方程作差,得公共弦所在直线方程,即可判断C;通过圆上的
点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径,即可判断D.
【详解】圆。1:一+/—2x—3=0的圆心。](1,0),半径=2;圆。2:/+y2一2了一1=0
的圆心Q(0,1),半径%=J5.
对于A,两圆的圆心距I。。?|=VT+T=C,A错误;
对于B两圆相交于48两点,有2条公切线,..B错误;
对于C,将两个圆的方程作差,得—2x+2〉—2=0,即直线AB的方程为x—y+l=0,:.C正
确;
对于D,圆心已到直线AB的距离d=7二=J5,.•.圆a上的点到直线AB的最大距离为
V1+1
q+d=2+V2,D正确.
故选:CD.
10.设等差数列{%}的前项和为邑,公差为d,已知生=12,S12〉0,%<0.贝!I()
A.a6>Q
B.—4<d<—3
C.S“<0时,〃的最小值为13
D.Sn最大时,〃=7
【正确答案】AC
【分析】根据S12=6(%+。7)〉0,。7<0,即可得到。6>0,进而即可判断A;根据。6>0,
%<0,%=12,4+%〉0,从而列出%和d的方程组,求解即可判断B;结合A选项
知四<0,从而得到S13=13%<0,再结合百2>0,进而即可C;结合选项A和B知,当
1<〃<6时,«„>0,当〃之7时,%<0,进而即可判断D.
【详解】对于A,由百2〉0,则品=t+32AI2=(牝+:)义12=6(4+%)>0,又
出<°,则以〉。,故A正确;
对于B,结合选项A知&〉0,%<0,&+%>0,
a,=12+3d>0
24
又名=12,所以彳%=12+4d<0,解得——<d<-39故B错误;
&+%=24+7">0
对于C,结合选项A知S,=(4+3?)*13=13%<o,又S|2〉0,所以S"<0时,〃的最
小值为13,故C正确;
对于D,结合选项A和B知,当时,an>0,当〃27时,an<0,所以当S“最大
时,n=6,故D错误.
故选:AC.
11.抛物线/=2/(0>0)的焦点为尸,P为其上一动点,当尸运动到(2,。时,忸下|=4,
直线/与抛物线相交于4,2两点,点河(4,1),下列结论正确的是()
A.抛物线的方程为/="
B,存在直线/,使得/、3两点关于x+〉-6=0对称
C.|m4+归刊的最小值为6
D.当直线/过焦点尸时,以//为直径的圆与y轴相切
【正确答案】ACD
p
【分析】根据归尸|=2+万=4得到故/=8X,A正确,4s中点。(2,4)在抛物线上,B错
误尸M+户-=庐图+归£号6,C正确,计算。G=;4F,D正确,得到答案.
【详解】产=2"(夕>0),故忸司=2+^=4,0=4,故J?=8X,A正确;
设/(西,乂),5(和%),设48中点£>(%,%),则《,相减得到
(凹+%)(%一'2)=8(』一%2),即2yo也B=8,因为48两点关于x+y—6=0对称,所以
自”1,故%=4,故/=2,点(2,4)在抛物线上,不成立,故不存在,B错误;
过P作PE垂直于准线于£,则归时+归耳=归闾+归£|之6,当P,瓦M共线时等号成立,
故C正确;
如图所示:G为N尸中点,故£>G=g(O尸+==尸,故N尸为直径的圆与了轴
相切,故D正确;
故选:ACD.
12.已知有序数对(芭,%)满足In%]一再一%+2=0,有序数对(入2,%)满足
2
x?+2%—4—2In2=0,定乂。二(石一x2^+(乂一,则()
A.。的最小值为拽
B.。取最小值时%的值为不
5
4D.。取最小值时々的值为g
C.。的最小值为一
5
【正确答案】BC
【分析】将。=(再—9)2+(必一乂?表示为函数y=lnx—x+2图象上的点到直线
x+2y-4-21n2=0上的点的距离的平方,利用导函数与函数切线的关系即可求解.
【详解】由InX]—再—必+2=0,得:乂=In%]—石+2,
。=(石—%)2+(%一%y的最小值可转化为函数y=lnx-x+2图象上的点到
直线x+2y—4—21n2=0上的点的距离的平方的最小值,
由y=lnx—x+2得:yr=——1,
.x
与直线x+2y—4—21n2=0平行的直线的斜率为—工,
2
则令--1=——,解得:x=2,:.切点坐标为(2,ln2),
x2
;.(2,ln2)到直线x+2y—4—21n2=0的距离j2+21n^^21n2]=疲.
即函数歹=lnx—x+2上的点到直线x+2y—4—21n2=0上的点的距离的最小值为
2^5
5
4
所以。=(%—%)+(%-%)的最小值为屋=《,
过(2,ln2)与x+2y—4—21n2=0垂直的直线为y—ln2=2(x—2^,即
2x—y—4+ln2=0.
x+2y-4-21n2=01212
由<c-“,cc,解得:X=一,即当。最小时,%=一
2x-v-4+to2=055
故选:BC.
三、填空题:(本题共4小题,共20分.)
13.在平面直角坐标系中,P(Xi/J,。(/,%)是直线/上不同的两点,直线/上的向
量而以及与它平行的非零向量都称为直线/的方向向量.已知直线/的一个方向向量坐标为
(-3,73),则直线/的倾斜角为______.
【正确答案】150°
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率,再利用斜率与倾斜角的关系可求出直线/的倾
斜角.
【详解】因为直线/的一个方向向量为(-3,6),
所以直线/的斜率左=走=—走,
-33
设直线/的倾斜角为,,则tan(9=-立,
3
因为0°《。<180°,所以。=150。,
即直线/的倾斜角为150°.
故150°
22
14.己知椭圆赤+}=1(20〉左〉0)的焦距为8,过椭圆的一个焦点,作垂直于长轴的直线
交椭圆于48两点,贝iJ|48|=.
【正确答案】
55
【分析】由题意可知2c=8,得c=4,然后可求出左,从而可求出椭圆方程,再将x=4代
入椭圆方程中求出了,从而可求得|48
【详解】由题意可知2c=8,得c=4,所以k=20—16=4,
22
所以椭圆方程为二+匕=1,
204
椭圆的右焦点为厂(4,0),当x=4时,—+^=1,得”|=拽,
2041"15
所以=2|y|=
5
【正确答案】1
71
【分析】根据题意,求导可得/'(x),令尤=1,即可得到了',然后代入计算,即可得
到结果.
【详解】因为=三卜nx+cosx,所以/'(x)=/'C)cosx-sinx,
7171711
令x=1,则COSy-Sin—,即f
332
解得了'-V3,所以/'(x)=-百cosx-sinx,
所以一百cos—7i-sin—7i=-V3X1
662Jr-
故1
16.已知数列{%}满足%=4,〃°"+]=2(〃+l)a“,则数列{4}的通项公式为
若数列{证小}的前〃项和S.’则满足不等式S"'3°的〃的最小值为—
【正确答案】①.a„=n-2n+l②.6
【分析】根据给定递推公式变形构造新数列即可得解;利用裂项相消法求出J,再借助数列
单调性计算得解.
【详解】在数列{4}中,q=4,由〃。用=2(〃+1)4得:也=2・%,而a=4,
〃+1n1
于是得数列{2}是以4为首项,2为公比的等比数列,则%=4-2〃T,即%=",2"+I,
nn
n+l
所以数列{a,}的通项公式为a,t=n-2;
口Man-2n+'(«+l)-2,,+2-(n+2)-2n+12n+22n+'
,===,
(n+1)(/2+2)(n+1)(〃+2)(〃+1)(〃+2)n+2〃+l
«-42n2〃较22”项
则s=(--——)+(--——)+(--)+-••+(----------)+(--------------)=--------2,
"324354n+1nn+2n+1〃+2
277+22"22〃+2A,12(n+2)]
由S"230得:-——2230,即上一>32,令b=--,则^」>1,即数
〃+2n+2n+2%”+3
列{"}是递增数列,
0〃+2
由-----232,得“232,而d=32,因此,bn>b6,从而得%出=6,
〃+2
所以满足不等式S),N30的〃的最小值为6.
故%=/2+l6
四、解答题:(本题共6小题,共70分.)
17.已知函数—Inx.
(1)求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程;
(2)求函数/'(x)<0的解集.
【正确答案】(1)歹=%
6
(2)(0,—)
2
【分析】(1)求出/(I)、/'(I)的值,利用点斜式可得出所求切线的方程;
(2)求得函数/(x)=Y-Inx的定义域为(0,+”),然后在xe(O,+8)上解不等式
/'(x)<0即可得解集.
【小问1详解】
依题意,函数/(x)=V-Inx的定义域为(0,+力),
且/[x)=2x—,
/(l)=l2-lnl=l./'⑴=2-1=1,
因此,曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为歹一l=x-1,即^=%;
【小问2详解】
依题意,函数〃x)=x2—lnx的定义域为(0,+8),
且/'(X)=2X—L令/'(X)<0且X〉0,
2x2—1rr
------<0yJ2
〈xn0<x<——
八2
x>0
故不等式/'(x)〉0的解集为(0,日)
18.在数列{%}中,=2,%+]=4%+eN+)
⑴证明:数列{4一〃}是等比数列.
(2)求数列{%}的前〃项和J.
【正确答案】(1)证明见解析
/八c4"-1/+〃
(2)S=----+-----
n"32
【分析】(1)利用等比数列的定义证明即可;
(2)根据等比数列的通项公式得到%=41+”,然后分组求和即可.
【小问1详解】
由an+l=4a“—3〃+1得all+l—(〃+1)=4an-4〃=4(a“一〃),
%—1=1w0,
所以数列{%-〃}为首项为1,公比为4的等比数列.
【小问2详解】
由(1)得%—〃=1・4"T,贝i]a“=4"T+〃,
12,,1
Sn=(4°+4+4+---+4-)+(1+2+3+---+/7)
(1+〃)〃
=4-1+^—
4"-1n2+n
=-----+------.
32
19.已知圆C的圆心在直线3x-y=o上,且经过点4-1,3),3(1,5).
(1)求圆C的标准方程;
(2)过点P(2,l)的直线/与圆C相交于两点,且|〃N|=2G,求直线/的方程.
【正确答案】(1)(x—+(>—3/=4
(2)3x+4y—10=0或x=2
【分析】(1)由已知设出圆心的坐标(a,3a),再求出48的中点利用48J_CW求出。
的值,进而可以求出圆心和半径,即可解决问题;
(2)先判断直线的斜率是否存在,存在的话根据点斜式方程设出直线方程,求出圆心到直线
的距离,然后利用尺2=
求出直线的斜率即可解决问题.
【小问1详解】
因为圆C的圆心在直线3x-y=0上,
所以设圆。的圆心为:(a,3a),
由4(—1,3),5(1,5),
所以48的中点M(0,4),
由题知:ABVCM,
所以3B-kCM=-1,
5—33a—4
即叩.力=T‘解得"1'
所以圆心为。(1,3),半径及=|/。|=1—1)2+(3-3)2=2
所以圆C的标准方程为.(x—+(>—3/=4
【小问2详解】
①当直线/的斜率不存在时,因为直线/过点尸(2,1),
所以方程为:x=2,代入(x—+(y—3/=4中解得:
y=3+V3,止匕时
满足题意;
②当直线/的斜率存在时,
设直线/方程为:y-1-k(x-T)<^kx-y-2k+\=Q,
由圆心C(l,3)到直线/的距离为:
公+1
2
4
所以直线/的方程为:3x+4y—10=0,
综上,直线/的方程为:3x+4y—10=0或x=2.
20.己知公差不为0的等差数列{%}的首项q=2,且成等比数列.
^^2^^4
(1)求数列{%}的通项公式;
(2)若数列也}满足4+2Z>2+22&+…+2"-也=%,求数列{地J的前〃项和北.
【正确答案】(1)%=2〃
n+2
(2)T=8-
n2"~2
【分析】(1)依题意可求得等差数列{%}的公差,从而可数列{4}的通项公式;
(2)由已知可得4+28+2~3+...+2",则由+2"+2~4+...+2""+]=。"+],
两式相减,可得"=22-",当〃=1时也适合,
故<----12”-,,用错位相减法即可
【小问1详解】
设等差数列{4}的公差为d,
.1丫11
由—二-----
得:(%+4=L+3d).
因为dwO,所以d=%=2
所以4=%+(〃-1)2=2〃.
【小问2详解】
2n}
1\+2b2+2/73H----F2bn—dn①
A+28+224+…+2"%=%②
n
②一①得:2bn+l=2.
所以4+产2~
当〃=1时,b、=%=2,
2"2021222”一
上述两式相减得
1_L1
W2><
LT=2+—+-+-■.+-____—=2+-2-2_I”"
2"2°212"-22"T「J2"一一2"-',
-2
所以小8-崇
221
21.己知椭圆C:j+\=l(a〉b〉O)的左、右焦点分别为《,心,离心率为一,过心的
直线与椭圆。交于A,B两点,若△片48的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设尸为椭圆。上的动点,过原点作直线与椭圆。分别交于点M、N(点P不在直线九W
上),求APAW面积的最大值.
【正确答案】(1)—+^=1;(2)2$
43
【分析】(1)根据周长可求。,再根据离心率可求c,求出b后可求椭圆的方程.
(2)当直线MNLx轴时,计算可得APAW的面积的最大值为26,直线上W不垂直x轴
时,可设=",联立直线方程和椭圆方程可求|〃M,设与W平行且与椭圆C相切
的直线为:y=kx+m,结合椭圆方程可求上,冽的关系,从而求出该直线到直线儿W的距离,
从而可求APMN的面积的最大值为2G.
【详解】(1)由椭圆的定义可知,△片48的周长为4a,
「・4a=8,a=2,又离心率为一,••c—1,b2=3,
2
22
所以椭圆方程为土+匕=1.
43
(2)当直线MVLx轴时,(S/^Jmax=gx2Kx2=2jl;
当直线W不垂直x轴时,设,MN:y=kx,
y=kx
1212k2
J2
3+4123+4k2
|MN|=473
设与小W平行且与椭圆C相切的直线为:y=kx+m,
y=kx-\-m
22
<xyn(3+4左2)]2+8左加x+4加2_]2=o,
143
A=64左2加2—4(3+4左2)(4加2一I2)=0,
2
m=3+4左2,
综上,APAW面积的最大值为2jL
方法点睛:求椭圆的标准方程,关键是基本量的确定,而面积的最值的计算,则可以转化为
与已知直线平行且与椭圆相切的直线与已知直线的距离来计算,此类转化为面积最值计算过
程的常规转化.
22.已知函数/(x)=X-加Inx(加eR).
(1)讨论/(x)的单调性;
(2)若存在不相等的实数占,x2,使得/(七)=/(%),证明:0<加<国+》2.
【正确答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)由已知条件求出了'(X),分情况讨论导数的正负,即可得函数的单调性;
(2)由(1)可判断出加>0,结合/(%)=/(々),得出加(1政2-11«1)=12-西,设
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0<X]<%,化简得=I>0,进而转化为证3—<ln2,然后换元,令”上>1,
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