沪教版中考数学复习几何证明50道压轴题专练（含答案解析）

几何证明（10大题型）（50道压轴题专练）

压轴题型一线段垂直平分线的性质与判定

1.如图，在△4BC中，ZBAC>90°,N3的垂直平分线分别交4B,于点E,F,4c的垂直平分线分

别交/C,8C于点N,直线斯，MN交于HP.

（1）求证：点P在线段的垂直平分线上；

（2）已知ZFAN=56°,求ZFPN的度数.

【答案】（1）证明见解析；

Q）NFPN=62。.

【分析】（1）连接BP,AP,PC,根据线段垂直平分线的性质证明尸8=尸2=PC,从而证明结论即可；

（2）先根据相等垂直平分线的性质证明£4=q，NA=NC,ZAEP=ZAMP=NBEF=NCMN=90。,再

设ZB=x,ZC=y,然后根据三角形内角和定理，求出x+y,再根据直角三角形的性质求出NBEE和

NCNM,再根据对顶角的性质求出/尸网，ZPNF,最后利用三角形内角和定理求出答案即可.

本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，对顶角相等，解题

关键是熟练掌握知识点的应用.

【详解】（1）证明：如图所示，连接8尸，AP,PC,

A

E"、

:用1垂直平分奶，尸M垂直平分/C,

：.PA=PB,PA=PC,

：.PB=PC,

...点P在线段BC的垂直平分线上;

(2)解：：尸£垂直平分垂直平分/C,

:.FA=FB,NA=NC,NAEP=NAMP=NBEF=NCMN=90。,

：.ZB+ZBFE=ZC+ZMNC=90°,

设N2=x,ZC=y,

：.ZB=ZBAF=x,ZC=ZCAN=y,ZBFE=90°-x,ZMNC=90°-y,

：.ZPFN=NBFE=90°-x,ZPNF=ZMNC=9Q0-y,

■：AB+AC+ZCAB=m°,ZFAN=56°,

2x+2y+56°=18O°,即x+y=62°,

,/ZPFN+ZPNF+AFPN=180°,

90°-x+90°-y+"PN=180°,

/./FPN=180°-180°+(x+y)=62°.

①如图1,若4B=CD,ZB=90°,则44Z)E=；

②如图2,若AB丰CD,求证：DE平分NADC；

(2)力和CZ>不平行时，AELDE,求证：AB+CD>AD.

【答案】(1)①45。；②证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，作

辅助线构造全等三角形是解题关键.

⑴①根据平行线的性质，证明”反知DCE(SAS),得到4E=DE,/BAE=NCDE,再根据等边对等

角的性质以及角平分线的定义，得出NBAE=NE4D=N4DE=NCDE,即可求出/4DE的度数；

②延长他交。。的延长线于点尸，证明“3E之△尸CE(AAS),AE=EF,根据等边对等角的性质以及角平

分线的定义，得到N及4O=N厂，进而得到仞=£0,再结合等腰三角形三线合一的性质证明即可；

（2）延长,至点G,使得4E=EG,证明"HE丝”。石岱八5）,得到4B=CG,再根据垂直平分线的性

质，得到ZD=QG,最后利用三角形的三边关系证明即可.

【详解】（1）解：①<AB〃CD,

ZBAD+ZADC=1SO°,ZS+ZC=180°,,

•・•ZB=90°,

ZC=90°=ZB,

,・•点E为线段5C的中点，

/.BE=CE,

在“BE和ADCE中，

AB=DC

</ABE=ZDCE=90°,

BE=CE

:△ABERDCE（SAS）,

:.AE=DE,ZBAE=ZCDE,

：.AEAD=AADE,

•・・4E平分/D4B,

/BAE=ZEAD,

/.NBAE=ZEAD=NADE=ZCDE

•••ZBAD+ZADC=\S00,

/BAE+ZEAD+/ADE+ZCDE=4ZADE=180°,

:.AADE=45°,

故答案为：45°；

②如图，延长4E交。。的延长线于点尸，

•・•AB〃CD,

:"BAE=/F,

在a/BE和△打CE中，

ZBAE=/F

<NAEB=ZFEC,

BE=CE

:."BE知FCE(AAS),

AE=EF,

•••4E1平分/ZMB,

/./BAE=ZEAD,

:.ZEAD=/F,

AD=FD,

•・・E是"的中点，

.•.。£平分//DC；

(2)证明：如图，延长4E至点G,使得4E=EG,

在△力§石和△GC£中，

BE=CE

</AEB=ZGEC,

AE=GE

:."BE知GCE(SAS),

AB=CG,

VAE=EG,AEtDE,

AD=DG,

CG+CD>DG,

3.【阅读理解】

(1)如图1,在△4BC中，48=3,/C=5,。是3c的中点，求3c边上的中线/D的取值范围.小芳在

组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(也叫“倍长中线法”)：延长40到£,使DE=AD,再证明

“△ADC—EDB”.探究得出AD的取值范围是.

【灵活运用】

(2)如图2,ZUBC中，ZB=9Q°,AB=2,AC=1,40是△ABC的中线，CELBC,AE=6,且

ZADE=90°,求CE的长.

【拓展延伸】

(3)如图3,在△4BC中，平分/且/。交2。于点。，2c的中点为G,过点G作GE平行于

AD,交48于点E,交C/的延长线于点尸.若N8=10,AC=6,求BE的长.

图1图2图3

【答案】(1)1<AD<4-.(2)4：(3)8

【分析】(1)利用全等三角形的判定及性质可得8E=/C=5,再利用三角形的三边关系可得2<4£<8,

进而可求解.

(2)延长/。交EC的延长线于尸，证明△NAD名△尸8,得至IJCR=48=2,AD=DF,

ZDE=90。,再证明可垂直平分肠，得到/£=收=6,据此根据线段的和差关系可得答案；

(3)延长EG到使EG=GH,连接CH,如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判

定与性质，最后数形结合得到8E=；(N8+NC),代值求解即可得到答案.

【详解】解：⑴是△4BC的中线，

BD=CD,

在△4DC和AEDB中,

'AD=ED

<ZADC=ZEDB,

CD=BD

△ADC知EDB(SAS),

：.BE=AC=5,

在中，BE-AB<AE<BE+AB,

/.5—3=2<AE<5+3=8,

:.1<AD=-AE<4,

2

故答案为：1<AD<4；

(2)延长皿交EC的延长线于尸，如图:

•/ABLBC,EF1BC,

ZABD=ZFCD=90°,

在△45。和AFCD中，

"/ABD=ZFCD

<BD=CD,

AADB=ZFDC

.△ABD珏FCDgA},

CF=AB=2,AD=DF,

•••/ADE=90°,

・•・/)£垂直平分呼，

.・.AE=EF=6,

'：EF=CE+CF=CE+2=6,

：.CE=4；

(3)延长石G到〃，使£G=G〃，连接CH,如图所示:

图3

NF=ACAD,NAEF=ZBAD,

•.•⑷）平分/B4C,

/BAD=ZCAD,

ZF=ZAEF,

AF=AE,

••♦点G是5C的中点，

BG=CG,

在△BGE和KGH中，

BG=CG

<NBGE=ZCGH,

EG=GH

，A3GE/ACG〃（SAS）,

CH=BE,NBEG=/H,

■：ZBEG=NAEF=ZF,

ZF=ZH,即FC=C〃，

vAB=10,AC=6,

:.BE=AB-AE=AB-AF=AB-（FC-AC）=AB-FC+AC=AB-BE+AC,

:.BE=^AB+AC}=^.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、

角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键.

4.【阅读理解】

（1）如图1,在中，AB=3,AC=4,。是3c的中点，求3c边上的中线4D的取值范围.小明在

组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长4D到E,使DE=AD,再证明“A/DCgAE/M探究得

出4。的取值范围是；

【灵活运用】

(2)如图2,中，NB=90。,AB=\,4D是A/3C的中线，CE工BC,CE=2,且N/DE=90。,

求/E的长.

【拓展延伸】

(3)如图3,在A/3C中，4D平分N8/C,且2D交8C于点D,8C的中点为G,过点G作GE平行于

AD,交4B于点E,交C4的延长线于点尸.若/3=5cm,AC=3cm,求BE.

17

【答案】(1)-<AD<~.(2)AE=3；(3)4cm.

【分析】(1)利用全等三角形的判定及性质可得BE=/C=4,再利用三角形的三边关系可得1<ZE<7,进

而可求解.

(2)延长40交EC的延长线于尸，利用全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的性质即可求解.

(3)利用倍长中线法，延长EG到使EG=G〃，连接C",如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，

三角形全等的判定与性质，最后数形结合得到3E=g(43+4C),代值求解即可得到答案.

【详解】解：(1)延长4D到E,使DE=AD,

。是2C的中点，

BD=CD,

在△4。。和△瓦)5中，

AD=ED

</ADC=ZEDB,

CD=BD

Z\AD8AEDB@AS),

，BE=AC=4,

:A<AE<1,

117

.-<AD=-AE<-

222

17

故答案为：—<AD<—；

(2)延长/Q交EC的延长线于b，如图2：

・・・40是△ZBC的中线，

/.BD=CD,

*：EFIBC,/B=90。,

:.NABD=NFCD=90。,

在△45。和△/CQ中，

ZABD=ZFCD

<BD=CD,

AADB=ZFDC

之△尸CQ(ASA),

CF=AB=\,AD=DF,

•:/ADE=90。，

AE=EF,

•;EF=CE+CF=CE+AB=2+1=3,

AE=3；

连接C〃，如图3所示:

图3

:.NGFC=ACAD,NAEF=ABAD,

•••/O平分/5/C,

/./BAD=/CAD,

NGFC=NAEF,

AF=AE,

•・•点G是5C的中点，

/.BG=CG,

在△灰；£和△CG〃中，

'BG=CG

</BGE=ZCGH,

EG=GH

:ABGEg△CGH（SAS）,

/.CH=BE,/BEG=/H,

•・•/BEG=ZAEF=ZCFG,

/.ZCFG=AH,即尸C=C〃，

AB=5cm,AC=3cm,

BE=AB-AE=AB-AF=AB-（FC-AC）=AB-FC+AC=AB-BE+AC,

:.BE=^（AB+AC）=4cm-,

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、

角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题

的关键.

5.【定义学习】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.

【定义理解】（1）如图1,△W3C中，AB^BC,点尸在NC边上，请用不带刻度的直尺和圆规作线段8尸，

使与是偏等积三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）；

【综合应用】（2）四边形是一片绿色花园，△NC8、ZiDCE是等腰直角三角形，

ZACB=ZDCE=90°（0°</BCE<90°）；

①如图2,判断A/CD与是否偏等积三角形，并说明理由；

②如图3,已知BE=100m,△/。。的面积为30001112.计划修建一条经过点C的笔直的小路CF,F在BE

边上，FC的延长线经过40中点G.若小路每米造价400元，请计算修建小路CF的总造价.

【答案】(1)见解析；(2)①与A3CE是偏等积三角形，理由见解析；②修建小路CF的总造价为24000

元

【分析】(1)作/C的垂直平分线交/C于点P,连接8尸即可；

(2)①过A作/于过8作8N1CE于N,证A4cM咨ASCN(AAS),得AM=BN,贝U

S3=Sm再证A4co与ASCE不全等，即可得出结论；②过点A作/N〃CD,交CG的延长线于N,则

ZN=ZGCD,证得MGN之AT>GC(AAS),得到/N=CD,再证ZUCN之ACBE(SAS),得ZACN=NCBE,由余

角的性质可证,然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得%〃尸，S4gCLS^CD=3000,

求出CF=60(m),即可求解.

【详解】解：(1)如图，线段8尸即为所求；

(2)①A/CD与ABCE是偏等积三角形，理由如下:

过A作4W1,OC于过8作3N1CE于N,

/.ZAMC=NBNC=90°,

•:“CB、AZJCE是等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90°,

AC=BC,CD=CE,

：.ZBCN+ZACD=360°-ZACB-ZDCE=360°-90°-90°=180°,

•・・ZACM+ZACD=1SO°f

：.NACM=NBCN,

在工©1/和&BCN中,

ZAMC=NBNC

</ACM=ZBCN

AC=BC

:.AACMABCN(AAS),

：.AM=BN,

S^CD=-CD-AM,S,BCE=-CE-BN,

•v—v

••^^ACD-"ABCE，

•：NBCE+NACD=18。。,00<ZBCE<90°,

・・・ZACDwNBCE,

•；CD=CE,AC=BC,

・・・△ZCQ与不全等，

・・・"CD与ABCE是偏等积三角形；

②如图，过点A作ZN〃CQ,交CG的延长线于N,则/N=/GC。,

图3

•「G点为Z0的中点，

.・.AG=GD,

在"GN和△OGC中，

'4N=ZGCD

</AGN=/DGC,

AG=DG

:."GN%DGC(AAS),

AN=CD,

,：CD=CE,

AN=CE,

・・,AN//CD,

：.ZCAN+ZACD=ISO°,

,：NACB=NDCE=90°,

：.NACD+NBCE=360。一90°-90°=l80°,

・・・NBCE=NCAN,

在△ZCN和zkCBE中，

‘AN=CE,

</CAN=/BCE,

AC=CB

：.^ACN^CBE(SAS),

・•.NACN=NCBE,

・.・NACB=90。,

：.ZACN+NBCF=180。-90。=90°,

・・・NCBE+NBCF=90。,

：.ZBFC=90°,

：.CF1BE.

由①得：与是偏等积三角形，

•••S,BCE=gBE-CF,S.BCE=S.ACD=3000,

A400x60=24000（元）.

答：修建小路CF的总造价为24000（元）.

【点睛】本题考查了新定义“偏等积三角形”的定义、尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质、等

腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明

A/1CAgASCN和ZUCN与AC3E是解题的关键，属于中考常考题型.

压轴题型二角平分线的性质与判定

6.已知：如图，。为△48。外角44c9平分线上一点，且D1=D3,于点M

(1)若NC=6,DM=2,求A/CD的面积；

⑵求证：AC=BM+CM.

【答案】(1)6；

⑵证明见解析.

【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的全等等知识.

(1)作DN工AC于N,先证明Z)M=DN=2,再根据三角形面积公式即可求解；

(2)先证明△COM四△CDN,得至1JCM=CN,再证明RtA4DN空RtZsBDM,得至UAN=BM,即可证明

AC=AN+CN=BM+CM.

【详解】(1)解：如图，作DN上AC于N.

「CZ)平分4CP,DM1BP,DN1AC,

：.DM=DN=2,

■'S^„=-AC-DN=-x6x2^6；

I^ADCr22，

(2)证明：TCQ平分N4c尸，DM±BP,DN1AC9

：.ZMCD=ZNCD,ZDMC=ZDNC=90°,

在△CDM和△CZ)N中，

ZDMC=ZDNC

<ZMCD=ZNCD,

CD=CD

ACDM^ACDN,

，CM=CN.

在RtLADN和RLBDM中,

\AD=BD

[DN=DM'

R3ADN咨RQBDM,

AN=BM,

/.AC=AN+CN=BM+CM.

7.如图，在△0/2和AOC£>中，0A=0B,0C=0D,OA>OC,ZAOB=ZCOD=40°,连接/C,BD

交于点"，连接。

(1)证明：AC=BD；

⑵求N/MB的度数；

(3)问X。是否平分N8MC?并说明理由.

【答案】(1)见解析

⑵N/M8=40。

(3)〃0平分/8的，理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识.

(1)由SAS证明A/OCGAB。。，根据全等三角形的性质得出/C=5D；

(2)令。/与BD的交点为P,由全等三角形的性质得出=由三角形的外角性质得：

ZAPB=ZAMB+NOAC=ZAOB+ZOBD,据止匕得出ZAMB=ZAOB=40°；

(3)作OG1MC于G,OH上MB于H,则/。GC==90。，由AAS证明AOCG丝AOD〃(AAS),

得出OG=OH,由角平分线的判定方法得出平分/BMC.

【详解】(1)证明：•"OB=NCOD,

ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,

即ZAOC=ZBOD,

在△ZOC和中,

OA=OB

<乙40c=ZBOD,

OC=OD

：.A(SAS),

AC=BD；

(2)解：如图，令CM与BD的交点为P,

由(1)得"OC%BOD,

：.NOAC=NOBD,ZOCA=ZODB,

又・・,/APB=/AMB+/OAC=/AOB+/OBD,

/AMB=ZAOB=40°；

(3)解：MO平分NBMC,理由如下：

如图所示，作OG1MC于G,OH_LMB于H,

贝iJ/OGC=NO7TO=90。,

在△OCG和AODH中，

AOCA=AODB

<ZOGC=ZOHD,

OC=OD

；.AOCG^AOZ)//(AAS),

/.OG=OH,

二.MO平分

8.如图，射线AB平分/MAN,过点3作BC,创交/N于点C；动点、E、。同时从A点出发，

其中动点石以2cm/s的速度沿射线必方向运动，动点D以lcm/s的速度在射线⑷/上运动；已知/C=6cm,

设动点£>,E的运动时间为：s.

备用图1备用图2

(l)^ACB的度数为；

⑵若SA^B'BEC=2：3,试求动点。、E的运动时间，的值；

(3)试问当动点。、E在运动过程中，存在某个时间乙使得△4DB四△CE8,直接写出t的值.

【答案】(1)45。

12

⑵当t=—或12时，SAADB-SXBEC=2：3

⑶f=2

【分析】(1)根据/"DN,AB平分/MAN,得出=工x9(T=45。，根据得出

2

Z^C5=90°-45°=45°；

(2)分两种情况分别讨论，①当点E在线段/C上时，②当点£运动到点C的右侧时；

(3)先证明/MZ5=/A4N=/3C/=45。，得出=说明当£在线段4C上，且2O=CE时,

dDB知CEB(SAS),得出t=6-2f,求出f的值即可.

【详解】(1)M：'：AMLAN,

：.ZMAN=90°,

；A5平分/M4N,

Z.ZBAC=-x90°^45°,

2

---BCIBA,

：.ZASC=90°,

：.ZACB=90°-45°=45°；

(2)解：①当点E在线段/C上时，过3作瓦7LNC于H,8G，/赫于G,如图所示:

Mi

AHECN

■:AB平分/MAN,

，BG=BH,

由题意得，AD=tcm,AE=2/cm,

・S丛ADB-S2BEC=2:3,

•c--S

,•2"DB_3"ABEC'

121

・Y

♦.七；

②当点E运动到点。的右侧时，

i?1

232、)

解得：，二12,

12

综上分析可知：当％=7或12时，S^DB：SABEC=2：3.

(3)解：AMrAN,AB平分/MAN,

・・・/MAB=/BAN=45。,

・・,BCLAB,

：.ZABC=90°f

/BCA=45°,

・・・ZMAB=/BAN=NBCA=45°,

AB=CB,

・••当E在线段NC上，且4）=CE时，"DB%CEB（SAS）,

.,*/—6-2z,

解得：f=2,

.•.当f=2时，AADB之ACEB.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，以及一

元一次方程的应用，进行分类讨论是解答本题的关键.

9.在△4BC中，AB=5,AC=3.若点。在NR4c的平分线所在的直线上.

(1)如图1,当点。在ZUBC的外部时，过点。作。E2/8于E,作。交/C的延长线于尸，且

BE=CF.

①求证：点。在3c的垂直平分线上；

②BE=；

(2)如图2,当点。在线段8c上时，若/C=90。，BE平分NABC,交/C于点E,交AD与点尸,过点尸

作尸GL2E,交2C于点G.

@ZDFG=；

4

②若8C=4,EC=~,求GC的长度；

(3)如图3,过点/的直线/〃3C,若NC=90。，3c=4,点。到△4BC三边所在直线的距离相等，则点。

到直线I的距离是.

【答案】(1)①见解析；②1

2

⑵①45。；②]

(3)2或6.

【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质

定理是解决问题的关键.

(1)①点。在284C的平分线所在的直线上，过点。作。于E,作。尸交/C的延长线于尸,

得出DE=DF,借助RtABDE也RMC。尸(SAS),得到BD=CZ),即可证明点。在BC的垂直平分线上；

②通过RtA/。E空RtA/。R(HL)证出4E=/F,从而有4B-2E=/C+C尸，即可得出BE=1：

(2)①先利用角平分线的定义求得N/8尸+NA4尸=45。，再利用三角形的外角性质求得

2DFB=ZABF+NBAF=45°,即可求解；

②延长尸G交4g于8,证明A/E?7%/FE(ASA),得到==再由A/G均区也(ASA),即可求

解;

(3)分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可.

【详解】(1)①证明：连接

•..点。在/8/C的平分线所在的直线上，过点。作。£128于£,作DF1/C交ZC的延长线于尸,

:.DE=DF,

在Rt/XBDE和RtACDF中,

BE=CF

<ABED=NCFD=90°,

DE=DF

：.RSBOE空RtACD尸(SAS),

BD=CD,

二点。在2c的垂直平分线上;

②由①知：DE=DF,

在RtdDE和RUADF中，

[AD^AD

[DE=DF'

RUADE^RUADF(HL),

/.AE=AF,

•：BE=CF,

：.AB—BE=AC+CF,

：.5—BE=3+BE,

BE=\；

故答案为：1;

(2)①•；BE平分NABC,必平分ZR4C,ZC=90°,

・•・1/ABC+1ABAC=；x90。=45。，即/ABF+ZBAF=45°,

/DFB=/ABF+ZBAF=45°,

■:FGLBE,BPABFG=90°,

ZDFG=90°-/DFB=45°；

故答案为：45°；

②延长FG交AB于H,

・.・ZAFH=ZDFG=45°,ZAFE=ZBFD=45°,

/.ZAFH=AAFE,

・.,ZHAF=ZEAF,AF=AF,

：.AAFHgAAFE(ASA),

・•・AH=AE,

_4

AB=5,AC=3,BC=4,EC=—,

3

45

・・・AE=AC—CE=3——=-,

33

・・・AH=AE=-

3f

：.BH=AB-AH=—

3f

ZCBE=ZABE,ABFH=ZBFG=90°,BF=BF,

:"BFGABFHgZ,

：.BH=BG=—,

3

102

・・・GC=BC—BG=4——=—；

33

（3）当点。在△Z5C内部时，如图:

A

3x4=(3+4+5)•〃,

.*.//=1,

点D到直线/的距离是ZC—%=3—1=2；

当点。在的下方时，如图：

设点。到三边的距离为X,

由题意得：BE=A-x,AE=AF,

・・5+4—x=3+x,

x=3f

点。到直线/的距离是/尸=6；

综上，点。到直线/的距离是2或6.

故答案为：2或6.

10.在△4BC中，BD平分NABC,CE平分2/C8,BD与CE交于点、O.

图1图2图3

(1)如图1,若44=80。，直接写出/3OC的大小为.

(2)如图2,若44=60。，求证：BC=BE+CD；

(3)如图3,若44=90。，08:00=5:3,则OE:OC=.

【答案】(1)130。

(2)见解析

⑶1:4

【分析】(1)利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可；

(2)过点。作。尸_L4B,OGVBC,OHLAC,证明AOE尸丝AOD"(AAS),得到跖=DH,

RMO//C丝RtAOGC(HL),RM。尸8段RMOGB(HL),得到C〃=CG,BF=BG,即可得到结论，

(3)在2C上截取3尸=3E,CN=CD,连接尸O,NO,作FHLON,FGLOB,由N"4C=9O。，BD

平分/4BC,CE平分/ACB,得到N3OC=135。，ZCOD=ZBOE=45°,由。：OD=5:3,得到

S.OCB:S.OCD=5:3,设S“OCB=5a,SAOCD=3。，由AOBE沿AOBF(SAS),AOCD丝AOCN(SAS),得到

OE=OF,ZBOF=ZBOE=45°,ON=OD,ZCON=Z.COD=45°,进而得至U=$“℃»=3。，

N尸。可=45。=/8。尸，根据角平分线的性质定理，得到

FH=FG,由SAOFB-=5:3,S^0BN=S^OCB—S^OCN=5。-3"2%得至=SqFB~《S&OBN~~7a，根

o4

据。氏OC=SMEB:S.OCB即可求解，

本题考查了，角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：等高三角形的面积比等于

底边之比.

【详解】(1)解：在A/BC中，ZABC+=180°-=180°-80°=100°,

•:BD平分NABC,CE平分NACB,

：.NOBC=^ZABC,ZOCB=^ZACB,

：.ZOBC+NOCB=g(N42C+NACB)=50°,

在4OBC中,NBOC=180。一(NO3C+ZOCB)=180°-50°=130°,

(2)解：过点。作OFLNB,OGIBC,OHLAC,垂足分别为尸，G,H,

在AABC中,NABC+Z^C5=180°-Z^=180°-60°=120°,

：平分/NBC,CE平分NACB,

・・.ZOBC=L/ABC,/OCB=L/ACB,

22

.・・ZOBC+ZOCB=j-(ZABC+ZACB)=60°,

在△05。中，ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-60°=120°,

・・・/EOD=120。，

在四边形AEOD中，ZAEO+/ADO=360°-ZEAD-ZEOD=360°-60°-120°=l80°,

ZAEO+ZFEO=1SO°,

：.ZOEF=ZODH,

,/OFLAB,OHLAC,

：.ZEFO=ZDHO=90°,

•：BD平分/ABC,CE平分N4CB,OFLAB,OG1BC,OHVAC,

：.OH=OG,OF=OG,

：.OF=OH,

ZOEF=ZODH

在△OEF和△OQH中，＜ZEFO=ZDHO,

OF=OH

：.^OEF^ODH(AAS),

：・EF=DH,

OFLAB,OG.LBC,OHVACfOH=OG,OF=OG,

：.RMOHC也RbOGC(HL),RMOF5之RMOGB(HL),

:・CH=CG,BF=BG,

：.BE+CD=BF+EF+CH-DH=BF+CH=BG+CG=BC,

：.BC=BE+CD,

(3)解：在BC上截取5尸=CM=CD连接R9,NO,过点尸作万HLON于，，/GLOB于G,

：.ZABC+ZACB=90°,

•；BD平分N4BC,CE平分NACB,

：.ZOBC=NOBA=-/ABC,40cB=ZOCD=-AACB,

22

・・.ZOBC+ZOCB=1(ZABC+/ACB)=45°,

在/\OBC中，/BOC=180。—(NO5C+ZOCB)=180。—45。=135。，

ZCOD=/BOE=45°,

•：OB:OD=5:3,

•C•C-5-Q

••»AOCB,_J.J,

**•设S^OCB=5。,S&OCD=3a,

■:BE=BF,NOBC=NOBA,OB=OB,

：."BE知OBF(SAS),

：.OE=OF9zBOF=ZBOE=45°,

同理可证，△OS也△OQV(SAS),ON=ODfZCON=ZCOD=45°,

：.S.OCN=SqcD=3a,ZFON=135°-45°-45°=45°=zBOF,

又♦：FHION,FGIOB,

：.FH=FG,

S.°FB:S.OFN=；FG-OB:；FH-ON=；FG-OB:；FG-OD=5:3,邑刎=5-S.℃N

0Cfi5a-3a=2a,

S-OEB=S-OFB=《S.OBN=W*2。=W"'

••OE:OC=S^OEB''S、OCB=w"："=1：4.

压轴题型三直角三角形全等的判定

11.如图，DEJ.AB于E,DFJ.AC于F,BD=CD,BE=CF.

(1)求证：4D平分/8ZC；

(2)直接写出NB+NC与故之间的等量关系.

【答案】(1)见解析

(2)AB+AC=2AE

【分析】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，

(1)根据“HL”定理得出ABOE之AC。尸，故可得出=尸，所以4D平分ZBNC；

(2)根据HL证明AYIED之AYIFD,所以/E=4F,^AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE^1AE.

【详解】(1)解：•••DEJLAB于E,DFJ.AC于F,

NE=NDFC=9Q。,

i\BDE与4CDF均为直角三角形，

[BD=CD

'[BE=CF，

:.ABDE注ACDF(HL),

:.DE=DF,BE=CF,

.•.”。平分一创。；

(2)解：AB+AC=2AE.

理由：ZE=ZAFD=90°,

在RtAAED与RtA^FD中，

jDE^DF

[AD=AD'

：."ED出AAFD(HL),

AE=AF,

AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=1AE.

12.如图，在△4BC中，BE平分NABC,CE平分44cD.

(1)如图1,若//=46。，求—E的度数；

(2)如图2,过点£作EMLBC,EN1BA,垂足分别为N,若/N=2,CM=4,求/C的长.

【答案】(1)/E=23。

(2)6

【分析】本题考查角平分线的定义及性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质.

(1)根据角平分线的性质结合三角形的外角可得==。，代

入计算即可；

(2)连接4E,作比FZC于耳，根据角平分线的性质可得所=E",再证明Rt△尸CE丝RbMCE(HL),

得到CF=CM=4,同理得到/尸=/N=2,最后根据=/尸+C产求解即可.

【详解】(1)解：・・・CE平分N48,BE平分N4BC,

：.ZACE=AECD=-AACD,/ABE=ACBE=-/ABC,

22

-ZBAC=46°,

ABAC=ZACD-/ABC=46°,

?.ZECD-ZEBD=-ABAC=-x46°=23°,

22

/E=/ECD-/EBD,

/.ZE=23°；

(2)解：连接在，作跖，4C于厂，

EMIBC,ENVBA,

:.EM=EN,

同理，EF=EM,

:.EF=EN,

在Rt△尸CE和RtZ\MCE中,

(CE=CE

\EF=EM"

：.Rt^FCE^Rt^MCE(HL),

：.CF=CM=4f

同理，AF=AN=2,

:.AC=AF+CF=4+2=6.

13.如图，CD是//CE的平分线.DP垂直平分AB于点P,DFJ.AC于点F,DELBC于点、E.

（2）若3C=6cm,AC=10cm,贝（jCE=_.

【答案】（1）见解析

（2）2cm

【分析】此题考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；

（1）连接4D,BD,根据角平分线的性质和HL证明RM4D尸和全等，进而解答即可;

（2）根据工尸=2E,得出方程解答即可.

【详解】（1）证明：连接NDBD,

■.,8平分N/CE,DE1BC,DF1AC,

DE=DF,ZAFD=ZBED=90°,

在Rt"DF和R3BDE中，

AD=BD

DF=DE

Rt^ADF咨RaBDE(HL),

;.AF=BE-,

(2)解：在RtzXCD尸，RtZ\CDE中,

[CD=CD

\DE=DF

RUCDF^RUCDE

CE=CF,

谈CE=CF=x,

贝U/F=/C-CF=10-x,BE=BC+CE=6+x,

AF=BE,

10-x=6+x,

..x=2,

CE=2cm.

故答案为：2cm.

14.如图，在锐角三角形/BC中，AB<AC,2。是角平分线，DM,DN分别是A4BD,A/CD的高，点

£在DC上，S.DE=DB,动点/在边/C上(不包括两端点)，连接EE,FD.

备用图

【问题感知】

(1)填空：DMDN（填“>”，"=”或“<”）；

【探究发现】

(2)若=4,小杰经过探究，得到结论：ZAFD=ZEFD.请你帮小杰证明此结论;

【类比探究】

(3)若/FE8+/8=180。，请判断上述结论是否成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由;

【拓展提升】

(4)已知48=5,BM=1,0M=3,若点£关于。尸的对称点E落在边NC上，连接。夕，请直接写出

的面积.

【答案】(1)=

(2)证明见解析

(3)证明见解析

(吟或g

【分析】(1)由角平分线的性质定理可得Q"=DN；

(2)作OH_LE尸于点H可证明xBDM四&EDH,再证明RtADNFgRt^DHF得到ZAFD=ZEFD;

(3)延长MD交EE的延长线于点。，证明得DM=DQ,从而得3N=DQ,再由角平

分线的判定可得/如D=NETO.

(4)分两种情况讨论：=和/FE2+/8=180。时，分别画出图形，求出//和/N,得的

面积.

【详解】(1)平分/A4C,DM,DN分别是AABD,的高

DM=DN.

故答案为：=.

(2)证明：如图1,作。7/1EF于点H,

在ABDM和AEDH中

ZDMB=ZDHE=90°

14B=ZFEB,

DB=DE

：.4BDM丝AEDH(AAS),

DH=DM.

又由(1)知DM=DN,

：.DN=DH,

在RtADNF和RtADHF中

[DN=DH

[DF=DF'

；.RtADNF%RtADHF(HL),

/AFD=/F,FD.

图1

(3)成立，

证明：如图2,

VZFE5+Z5=180°,

：.EF//EQ,

延长刈交所的延长线于点0,

.・.BM//EQ,

：.ZB=ZDEQ,

在ABDM和AED。中

AB=ADEQ

<BD=ED,

ZBDM=ZQDE

：.^BDM2AEDQ(ASA)

DM=DQ,ZQ=ZBMD=90°.

*.•DM=DN,

：.DN=DQ,

又,：DN，AC,DQLFQ,

・・・。尸平分乙4尸0,

：.ZAFD=ZEFD.

(4)当NFES=NB时，如图3,在线段/N上取点E,4更得DE'=DE.

・••点E'是点E关于DF的对称点,

^DNE'0ADHEg"DMB,

E'N=BM=\,

可得A/A〃）会入4加，

DN=DM=3>,AN=AM=AB-BM=5-1=4,

：.AE'=AN-E'N=3,

10

：.S^AE,D=-A'E-DN=-.

当/人£3+/3=180°时，如图4,

图4

在线段⑷/上取点£,使得DE'=DE,

同理可得ZW=3,AE'=5,

:SAE.D=¥E.DN*.

故答案为：/15或9

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分

ZFEB=NB和/FEB+/B=1800两种情况讨论.

15.已知：如图，在△4BC中，点/在边8C的垂直平分线上，直线/经过点/,BD、CE分别垂直于直线

I,垂足分别为点。、E,且BD=4E.

(1)求证：AABD名乙CAE.

(2)取边BC的中点尸，连接跖，求证：EF平分NDEC.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据角平分线的性质可得/C=£4，结合已知条件可证△43。名ZiCNE；

(2)设/交于点0,连接心，过尸作M/_LC£于/,FNLAD于N,根据(1)结论可得

ZBAD=ZACE,推出/C48=90。，可得A/BC为等腰直角三角形，推出4F=CF,证/FAN=NFCM,

可得△CA炉之△/NF(AAS),得至IJFA/=EV,即得.

【详解】(1),/CEVI,BD11,

：.NAEC=ZCED=NADB=90°,AAEC与ABDA为直角三角形，

•.•点/在边垂直平分线上，

AC=BA,

在RMCE也RUBAD中,

\AE=BD

\AC=BA'

：.RtA4CE之Rt△&LD(HL),

即△48。%ACAE；

(2)设/交8。于点0,连接"，过尸作尸NLCE于作卬。于N,

由（1）知△48。段,

/./BAD=ZACE,

'：ZACE+ZCAE=90°,

：.ZBAD+ZCAE=90°,

即NCAB=90°,

,/AC=AB,

/.A/BC为等腰直角三角形,

:尸为BC中点,

Z.AF=CF=-BC,

2

•/ZFAN+ZAQF=90°,AFCM+ZAQF=90°,

：.ZFAN=ZFCM,

在ACMF与"NF中，

ZCMF=ZANF

<ZFCM=ZFAN,

CF=AF

：.丛CMF名AANF(AAS),

：.FM=FN,

又,：FMLCE,FNVAD,

:.EF平分NDEC.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂

直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问

题的关键.

压轴题型四含30度角的直角三角形

16.如图，在△4BC中，AB=AC,。为C/延长线上一点，且。于点E,交48于点尸.

(1)求证：△/£)尸是等腰三角形；

(2)连接CF,若NO=30。，ZCFE=60°,DF=8,求斯的长.

【答案】(1)答案见解析

⑵4

【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及

直角三角形的性质是解题的关键.

（1）根据等腰三角形的性质得到48=NC,然后根据直角三角形的性质，即可逐步证明加）=〃，再根

据等腰三角形的判定，即可证明结论；

（2）