沪教版上海六年级数学暑假课讲义：图形与面积+口奥4（原卷版）

第09讲图形与面积专题+口奥4

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学习目标

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掌握平面图形的周长和面积

掌握立体图形的基本知识

完成口奥知识的训练

||豳基础知识^

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模块一：平面图形的周长与面积

1、周长

几个重要的解题思想

(1)平移

在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算.其

中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，

所以图形面积是保持不变的.利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有

新意.

(2)割补

割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算

术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理.这个原理的内容是几何图形

经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变.

(3)旋转

在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的

图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变.利用这种新的图形结构可以帮我们解决

面积的计算问题.

(4)对称

平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形.轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧

可以完全重合.也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积.熟

悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助.

(5)代换

在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧.

小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形

转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、害I补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学

生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力.

2、面积

平面图形所围成的平面的大小叫做平面图形的面积，常见的几种规则图形的面积公式有：

(1)三角形：S^-ah,其中表示三角形一条底边”上的高；

2

(2)正方形：S=a2,

(3)长方形：S=ab

(4)平行四边形：S=ah

(5)梯形：S=；(a+6)/z

3、圆

(1)、圆和圆周长

1)圆的几个要素：圆心O、半径r，直径d.

2)圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长.计算公式：C=7td,也可表示为

C=2".

(2)、弧与弧长

1)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，用符号"”表示，如以A,B为两端点的弧，

记作AB，读作弧A3,如图中的又称作半圆•

2)圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，如图中的NAOB称为圆心角.

w

3）弧长计算公式：/=——x2〃r=r2iTr.r

360180

(3)、圆的面积计算公式：S=7T，=!不

4

(4)、扇形

1)扇形概念：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，图中的扇形记

作扇形OAB.

2）扇形的面积公式一：3=/一兀户=二二（理解记忆：逛=」。）

360360S圆360

公式二：S=-lr（其中/为扇形的弧长，r为扇形的半径）

2

模块二：立体图形

1、当相同的正方体拼在一起的时候，这里重叠的地方就把它叫做接缝，重叠部分的面积就

叫做接缝处的面积。

2、接缝条数=正方体个数一1。

3、每有1条接缝就减少了原来的2个面的面积。

4、拼成的长方体的表面积=原来正方体表面积之和一减少的面的面积。

5、接缝处的面积=接缝条数x2x每个面的面积。

6、涂色问题：（需要添加对应的题目）

对于nxnxn的正方形，其涂色情况如下：

3面涂色：8个,（每个顶点均有一个涂色）、

2面涂色：（n-2）X12个

1面涂色：（n-2）x（n-2）x6个

各面均没有涂色：总数减去上面3个总数或者（n-2）x（n-2）x（n-2）个

模块三：口奥

1.计算：17.48x37-174.8x1.9+1.748x820=

2.双休日，学生们到郊外去玩。甲买了5只面包，乙买了同样的面包

4只，当午餐用。不料丙也参加午餐，但没有买面包，三人就均

分着吃。丙按买价拿出钱来，他给甲1元5角，给乙1元2角。

问：他这样算对不对，为什么？

3.长方体的表面积是74平方厘米，其中一个底面的面积是10平方

厘米,底面的周长是9厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？

4.甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2O甲、乙两

数之和是478,那么甲、乙、丙三数之和是多少？

5.计算：98+998+9998+99998=

6.甲、乙两名运动员在环行跑道上从同一地点同时背向而跑，已知甲

运动员跑一圈要80分钟。如果在出发后30分钟两人第一次相遇。问:

乙运动员跑一圈要多少分钟？

7.如图：一个长方形被分成4个不同的三角形，如果绿色三角形的面

积是原长方形面积的;，黄色三角形面积是15平方厘米，那么原长

方形的面积是多少平方厘米？

模块一：平面图形的周长与面积

例1.如图，在一块梯形稻田中间修两条1米宽的路。

(1)稻田实际种植的面积是多少平方米？

(2)若每公顷收割水稻8000千克，这块稻田共能收割水稻多少吨?

例2.如图，两个正方形边长分别是10和6,则阴影部分的面积是多少？(/取3)

例3.学校操场的平面图如下，两头是半圆形，中间是长方形。

（1）小明沿跑道跑了5圈，他跑了多少米？

（2）学校要在操场上铺塑胶地面，铺塑胶的面积有多少平方米?

例4.小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形

的周长是（）cm（兀取3）o

例5.求出下图的周长和面积。（单位：厘米）

例6.直角三角形ABC中，阴影甲比乙的面积大28平方厘米，BC=40厘米，AB有多长？

例7.一个长方形ABCD被分成了4部分（如图），其中甲的周长是16厘米，乙的周长比

甲短4厘米。原来长方形ABCD的周长是多少厘米？

DC

AB

例8.下图中两个正方形的边长分别为4厘米和6厘米。求阴影部分的面积。

'模块二：立体图形

【例1】8个棱长是1分米的正方体，拼成一个长方体，怎样拼表面积最小，最小的表面积

是多少？

【例211000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体,

大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数

目是多少个？

解析：表面涂漆的小正方体都在大正方体的表面上，由此可以先求得内部没有涂色的小正

方体的个数，再利用小正方体的总个数-没有涂色的即可解答.

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1.在边长为6的正方形内有一个三角形BEF,线段AE=3,DF=2,求三角形BEF的面积.

2.下图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部

分）的面积是多少？

3.数学思考。

如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中

点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米）

4.如下图，在桌面上放置着3个两两重叠的圆纸片，每个圆纸片的面积都是160平方厘米,

三个圆纸片盖住桌面的总面积是330平方厘米，三个圆纸片共同重叠部分的面积是15平方

厘米。图中阴影部分的面积一共是多少平方厘米？

5.有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形.已知等腰直角三角形的面积是36

平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？

图1图2

6.如图，一个长8厘米，宽6厘米的长方形与一个边长5厘米的正方形叠放在桌面上，求

这两个图形盖住桌面的面积？

7.如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上.三个纸片共同重叠的面积是8

平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米.图中阴影部分的面积之和是多少平

方厘米？

（1）画出三角形ABC；

（2）把三角形ABC向右平移6个单位，得三角形4瓦£（A与A对应，B与易对应）画

出变化后的图形

(3)求三角形ABC的面积.

9.如图所示，在△ABC当中，D是BC的中点，E是AC的中点，已知阴影部分的面积为

5,△ABC的面积为多少？

,上A

10.如图，在边长为12的正方形中，有一个四边形，那么阴影部分的面积是多少？

11.如图，OABC是正方形，扇形的半径是6厘米。求阴影部分的面积。

OC

12.如图所示，用一张斜边长为17厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长为29厘米的黄

色直角三角形纸片，一张蓝色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，求红、黄两张三角形纸

片面积之和。

13.仔细看图，活学活用。

(1)画出三角形A3C的边上的高AO。

(2)根据图中提供的信息，不用测量任何数据，画一个与三角形A3C面积相等的三角形

PBC

(3)应用：在如图所示的梯形中，三角形与三角形。OC的面积分别是4平方厘米和

9平方厘米。梯