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文档简介

第12讲能被2、3、5整除的数

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学习目标

1、掌握能被2、3、5整除的数的特征

2、掌握能同时被2、5整除的数的特征

3、掌握偶数、奇数的特征,以及它们的运算性质

I[由基础知识]jQ考点嬴'

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知识点01能被2、5整除的数

1、能被2整除的数

能被2整除的数的特征:个位上是0,2,4,6,8的整数;

能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数.

'偶数(2n);(否则是奇数(2nT))

即:能被2整除的数<

特征:个位上是0,2,4,6,8.

2、奇数偶数的运算性质

奇数土奇数=偶数;奇数土偶数=奇数;偶数土偶数=偶数;奇数x奇数=奇数;

奇数X偶数=偶数;偶数X偶数=偶数.

推广结论:

(1)奇数个奇数的和为奇数;偶数个奇数的和为偶数;任意有限个偶数的和为偶数;

(2)若干个奇数的乘积为奇数,偶数与整数的乘积为偶数;

(3)如果若干个整数的乘积是奇数,那么其中每一个整数都是奇数;

如果若干个整数的乘积是偶数,那么其中至少有一个整数是偶数;

(4)如果两个整数的和(或差)是偶数,那么这两个整数的奇偶性相同;

如果两个整数的和(或差)是奇数,那么这两个整数的奇偶性不同;

(5)两个整数的和与差的奇偶性相同.

3、能被5整除的数

能被5整除的数的特征:个位上是。或5的整数.

4、能同时被2、5整除的数

能同时被2和5整除的数的特征:个位上是0的整数.

【典例分析】

1.下列各数中,既能被2整除又能被5整除的是()

A.16B.18C.20D.22

【答案】C

【分析】个位是0的数既能被2整除又能被5整除,依此即可求解.

【详解】解:20既能被2整除又能被5整除.

故选:C.

【点睛】考查了整数和整除的意义,解题的关键是熟练掌握2和5的倍数特征.

2.下列各组数中能同时被2和3整除的一组数是()

A.10和35;B.42和24;C.15和16;D.22和20.

【答案】B;

【解析】解:能同时被2和3整除的数一定能被6整除,故42和24都能被6整除,故答案选B.

3.四位数245一是3的倍数,W里最大填()

A.7B.8C.9

【答案】A

【分析】根据3的倍数的特征:各个数位上的数字之和是3的倍数,则这个数是3的倍数,逐项进行检验,

即可得出答案.

【详解】A.四位数2457,其各个数位上的数字之和是2+4+5+7=18,18是3的倍数,所以四位数2457是

3的倍数;

B.四位数2458,其各个数位上的数字之和是2+4+5+8=19,19不是3的倍数,所以四位数2458不是3的

倍数;

C.四位数2459,其各个数位上的数字之和是2+4+5+9=20,20不是3的倍数,所以四位数2459不是3的

倍数;

故选A.

【点睛】本题考查了3的倍数的特征和有理数的加法运算,熟练掌握知识点是解题的关键.

4.从1写到100,一共写了()个数字“5”.

A.19B.20C.21D.25

【答案】B

【分析】分3段找出写了数字“5”的个数,再将个数相加求和即可.

【详解】从1到49写了5个数字“5”,从60到100写了4个数字“5”,从50到59写了11个数字“5”,总计

写了数字“5”的个数为:5+4+11=20(个).

故选B.

【点睛】本题考查确定数字的个数.在找数字个数的时候要注意进行分段计算.

知识点04能被3、9整除的数

1、能被3整除的数

一个整数的各个数位上数字之和能被3整除,这个整数就能被3整除.

2、能被9整除的数

能被9整除的数的特征:各个数位上的数字和是9的倍数.

3、能同时被2、3和5整除的数:

能同时被2、3和5整除的数的特征:个位数是0,且各个数位上数字之和能被3整除.

【典例分析】

5.已知一个三位数而c,试证明:若q+b+c能被9整除,贝!Jabc能被9整除.

【解析】因为a+6+c能被9整除,贝!|可得a+>+c=9"z(:"为正整数),又abc=100<7+10/+c

=(99a+90)+(a+6+c),因为99a+9b能被9整除,也a+b+c能被9整除,所以诙能被9整除.

【总结】本题一方面考查三位数的表示方法,另一方面考查整除的运用.

6.一个五位数诟诬能被3整除,且荏能被2整除,这样的五位数有个.

【答案】16.

【解析】荏能被2整除,则3为0、2、4、6、8;4A978能被3整除,则2O+A+3能

被3整除.当B=0时,A可为1、4、7;当B=2时,A可为2、5、8;当B=4时,

A可为0、3、6、9;当B=6时,A可为1、4、7;当B=8时,A可为2、5、8;所以这样的五位数

有16个.

7.从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数,使得这个三位数同时被2、3和5整除,

那么这样的三位数有个.

【答案】4.

【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0,则有240、420、580、850、250、520、280、820、450、

540、480、840,其中能够被3整除的有240、420、450、540、480、

840.

l]域真题演练

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1.(2022秋.上海浦东新•六年级校考期末)一个两位数,既是3的倍数,又有因数5,则这个数最小是

2.(2022秋・上海嘉定・六年级统考期中)在75,50,42,40,66中,既是2的倍数又能被5整除的数有

3.(2021秋・上海嘉定•六年级统考期中)能被3整除的最小正整数是.

4.(2019秋•上海静安•六年级校联考期中)有15张分别标记着1至15数字号码的纸片按从小到大的顺序

排列着,如果先将号码数为3的倍数的纸片取出,然后把剩下的纸片中号码为2的倍数的纸片取出,最后

剩下的纸片的号码数的和为:.

5.(2021秋•上海浦东新•六年级上海市民办新竹园中学校考期中)一个两位数加2是2的倍数,加5是5

的倍数,加7是7的倍数,此数是.

6.(2022秋・上海徐汇•六年级上海市第四中学校考阶段练习)在细生的口内填上同一个正整数,使这个数

能同时被3和5整除,贝后内填.

7、用0、1、2、5四个数字中的两个或三个,按下列要求排成没有重复数字的数字:

(1)能被2整除,但不能被5整除;

(2)能被5整除,但不能被2整除;

(3)能被2整除,但不能被3整除;

(4)能被3整除,但不能被2整除;

(5)既能被2整除,又能被5整除;

(6)既能被2整除,又能被3、5整除;

8、2005至少加上一个什么正整数能被2整除?至少减去一个什么正整数能被5整除?至少乘以一个什么正

整数能被2和5整除?

参考答案:

1.15

【分析】根据能被5整除的数的特征,能判断出个位数是0或者5,进而根据能被3整除的数的特征,各位

上的数的和是3的倍数,推断出这个数十位上的数最小是1,继而得出结论.

【详解】解:一个两位数既是3的倍数,又有因数5,这个数最小是15.

故答案为:15.

【点睛】本题考查倍数与因数.理解5的倍数个位是。或5,3的倍数各位上的数的和也是3的倍数是解题

关键.

2.50、40

【分析】根据既是2的倍数又能被5整除的数,个位数为0,进行判断即可.

【详解】解:既是2的倍数又能被5整除的数,个位数为0,因此在上述数中有:50、40.

故答案为:50、40.

【点睛】本题考查2和5的倍数特征.熟练掌握既是2的倍数又能被5整除的数,个位数为0是解题的关

键.

3.3

【分析】根据能被3整除的数的特征解答即可.

【详解】解:能被3整除的最小正整数是3.

故答案为:3

【点睛】本题考查了被3整除的数的特征,即所有位数上的数字的和是3的倍数.

4.37

【分析】先找出号码数为3的倍数,再找出号码数为2的倍数,然后把剩余的数相加即可.

【详解】解:1至15中,号码数为3的倍数有3,6,9,12,15,

号码为2的倍数有:2,4,6,8,10,12,14,

剩下的纸片为:1,5,7,11,13,

所以:1+5+7+11+13=37,

故答案为:37.

【点睛】本题考查了倍数的认识,准确掌握2的倍数和3的倍数是解题的关键.

5.70/七十

【详解】解:•••原数加上2是2的倍数,

原数为偶数;

•••原数加上5是5的倍数,

.。•原数的个位为0或5,

原数的个位必须是。

又,••原数加上7是7的倍数,

原数必须是7的倍数,

.•.7的两位数倍数中个位是0的是70.

故答案为:70.

【点睛】本题主要考查能被2和5整除数的数的特征,注意个位是0的数能同时被2和5整除.

6.5

【分析】根据整除的定义结合3的倍数特征和5的倍数特征,即可求解.

【详解】:.这个数能被5整除,

,这个数的个位上的数字为0或5.

当口内填0时,即这个数为8030,

V8+0+3+0=ll,11不能被3整除,

.••8030不能被3整除.

当口内填5时,即这个数为8535,

:8+5+3+5=21,21能被3整除,

•••8535能被3整除.

口内填5.

故答案为:5.

【点睛】本题考查数的整除.掌握一个数能同时被3和5整除时,那么这个数的个位的数为。或5,且各个

数位上的数字之和是3的倍数是解题关键.

7、(1)能被2整除,但不能被5整除;

12、52、102、502、152、512;

(2)能被5整除,但不能被2整除;

15、25、105、125、205、215;

(3)能被2整除,但不能被3整除;

52、502、152、512;

(4)能被3整除,但不能被2整除;

21、201、51、501、15、105;

(5)既能被2整除,又能被5整除;

10、20、50、120、210、150、510、250、520

(6)既能被2整除,又能被3、5整除;

120、150、210、510

8、解:(1)至少加1,能被2整除;

(2)至少减5,能被5整除;

(3)至少乘以2,能被2和5整除。

可过关检测

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一、单选题

1.要把一个奇数变成偶数,下列说法中错误的是()

A.加上1B.减去1C.乘以2D.除以2

2.下列各组数中能同时被2和5整除的是()

A.35B.42C.15D.20

3.既能被2整除又能被5整除的最小的三位数是()

A.102B.105C.110D.100

4.四位数2A3B能同时被2,5整除,则B等于()

A.2B.5C.0D.7

5.两个连续的自然数的和是()

A.奇数B.偶数C.奇数或偶数D.既不是奇数也不是偶数

6.下列说法正确的是()

A.任何整数的因数至少有2个B.一个数的因数都比这个数的倍数小

C.连续两个自然数相加的和一定是奇数D.8是因数,12是倍数

7.从1写到100,一共写了()个数字“5”.

A.19B.20C.21D.25

8.下面四个数都是六位数,N为非。且比10小的自然数,S是0,一定能被3和5整除的数是()

A.NNSNSNB.NSNSNSC.NSSNSSD.NSSNSN

9.有一个三位数,百位数字是最小的奇数,十位上是0,个位上是一位数中最大的偶数.这个数是()

A.102B.201C.801D.108

10.下列说法中错误的是()

A.任何一个偶数加上1之后,得到的都是一个奇数

B.一个正整数,不是奇数就是偶数

C.能被5整除的数一定能被10整除

D.能被10整除的数一定能被5整除.

二、填空题

11.个位上是的整数是奇数.

12.三位数75口能同时被2、3整除,那么口可以是.

13.下面各数哪些能被2整除?哪些能被5整除?哪些能被3整除?哪些能被10整数?205、44、75、1、

115、1000、60、128、495、1500、106、2000、478

能被2整除的数:

能被5整除的数:

能被10整除的数:

能被3整除的数:

14.能同时被2、5整除的最大两位数是.

15.的数能被3整除.

16.个位上是的整数,一定能被5整除.

17.两个奇数的积一定是,两个偶数的积一定是,一个奇数与一个偶数的积一定是一.(填

“奇数”或“偶数”).

18.。是一个大于2的偶数,那么与。相邻的两个奇数分别是和.

19.在15,27,34,62,90,135这6个数中,既能被3整除,又能被5整除的数是.

20.在1X2X3X...X49X50这个连乘积中,末尾有个0.

三、解答题

21.从3、0、5、8中任取不同的几个数字,组成能被2整除的最大三位数是多少?能被5整除的最小四位

数是多少?

22.一个三位数23,求出所有满足已知条件的三位数:

(1)这个三位数是偶数;

(2)这个三位数能被5整除;

(3)这个三位数能被3整除.

23.填空,使所得的三位数能满足题目要求

(1)3口2能被3整除,贝旧中可填入_

(2)32口既能被3整除,又能被2整除,贝旧中可填入_

(3)口3□能同时被2,3,5整除,则这个三位数可能是_

24.用0、2、5这三个数按要求组成没有重复数字的三位数.

(1)使它既能被2整除又能被5整除;

(2)使它能被2整除,但不能被5整除;

(3)使它能被5整除,但不能被2整除.

25.算式1x(-2)x3x(T)xy29><(-30)的积为正数还是负数?积的末尾有多少个零?

参考答案:

1.D

【分析】根据奇数和偶数的定义逐项判断即得答案.

【详解】解:A、一个奇数加上1可以变成偶数,故本选项说法正确,不符合题意;

B、一个奇数减去1可以变成偶数,故本选项说法正确,不符合题意;

C、一个奇数乘以2可以变成偶数,故本选项说法正确,不符合题意;

D、奇数不能被2整除,所以一个奇数除以2不能变成偶数,故本选项说法错误,符合题意.

故选:D.

【点睛】本题考查了奇数和偶数的定义,属于基础概念题型,熟知二者的概念是关键.

2.D

【分析】分别把35、42、15、20与2和5相除即可判断.

【详解】解:A.V35-5=7,35+2=17.5,故A不合题意;

42

B.42+2=21,42+7=7^,故B不合题意;

C.15+5=3,15+2=7.5,故C不合题意;

D.20-2=10,20+5=4,故D符合题意.

故选:D.

【点睛】本题主要考查了数的整除,熟练掌握除法法则是解题的关键.

3.D

【分析】根据2、5的倍数特征解答即可.

【详解】能被2和5整除的数个位上是0,则最小的三位数是100

故选:D.

【点睛】此题考查了2和5的倍数的特征数,熟记并熟练运用特征解题是关键.

4.C

【分析】根据被2,5整除的数的特征,可知个位上的数是0,由此即可判定.

【详解】个位上是。的整数能同时被2、5整除.

故选:C.

【点睛】本题考查了数的整除问题,解题的关键是记住被2,5整除的数的特征,所以基础题.

5.A

【分析】根据自然数的排列规律:偶数、奇数、偶数、奇数…;再根据偶数和奇数的性质,奇数+偶数=奇

数,偶数+偶数=偶数,奇数+奇数=偶数,据此判断即可.

【详解】两个连续的自然数,一个是奇数,另一个是偶数,奇数+偶数=奇数.

故选A.

【点睛】此题考查的目的是掌握自然数的排列规律、偶数和奇数的性质.

6.C

【分析】根据因数和倍数的概念分别判断即可.

【详解】解:A.1只有一个因数,故A错误;

B.一个数的最大因数与这个数的最小倍数相等,故B错误;

C.连续两个自然数相加的和一定是奇数,故C正确;

D.因数与倍数是指两个数之间的关系,如:8是16的一个因数,16是4的倍数等;故D错误;

故选:C.

【点睛】本题主要考查了因数和倍数的概念,熟练掌握倍数和因数的相关概念是解题的关键.

7.B

【分析】分3段找出写了数字“5”的个数,再将个数相加求和即可.

【详解】从1到49写了5个数字“5”,从60到100写了4个数字“5”,从50到59写了11个数字“5”,总计

写了数字“5”的个数为:5+4+11=20(个).

故选B.

【点睛】本题考查确定数字的个数.在找数字个数的时候要注意进行分段计算.

8.B

【分析】根据能被3和5整除的数的特点,进行判断即可.

【详解】解:A.NNSNSN,尾数不一定是0,5,不一定能被5整除,不符合题意;

B.NSNSNS,尾数为0,一定能被5整除,N+N+N也一定能被3整除,符合题意;

C.NSSNSS,尾数为0,一定能被5整除,N+N不一定能被3整除,不符合题意;

D.NSSNSV尾数不一定是0,5,不一定能被5整除,不符合题意;

故选B.

【点睛】本题考查能被3和5整除的数的特征.熟练掌握一个数的尾数为。或5,这个数能被5整除,一个

数各数位上的数字之和是3的倍数,这个数能被3整除,是解题的关键.

9.D

【分析】最小的奇数为1一位数中最大的偶数为8,代入三位数中即可求解.

【详解】最小的奇数为1,所以百位数为1

一位数中最大的偶数为8,所以个位数为8

所以这个百位数是108

故答案为D.

【点睛】本题考查了奇数和偶数的性质,奇数为不能被2整除的整数,偶数为能被2整除的整数.

10.C

【分析】根据数的倍数的特征,奇数与偶数的性质依次判断即可.

【详解】A、任何一个偶数加上1之后,得到的都是一个奇数;

B、一个正整数,不是奇数就是偶数;

C、能被5整除的数不一定能被10整除;

D、能被10整除的数一定能被5整除.

故选:C.

【点睛】此题考查数的倍数的特征,奇数与偶数的性质,正确理解并运算解题是关键.

11.1,3,5,7,9

【分析】不是2的倍数的整数,叫做奇数,所以奇数的个位上的数字一定是1、3、5、7、9;据此解答.

【详解】解::不能被2整除的整数叫做奇数,

.♦.个位上是单数的整数是奇数,即奇数的个位上一定是数字1、3、5、7、9.

故答案为:1,3,5,7,9.

【点睛】此题考查奇数的意义,明确不是2的倍数的整数叫做奇数是解答本题的关键.

12.6/0

【分析】能被2整除的数的个位数字一定是0、2、4、6、8;能被3整除的数的各位上数字之和是3的倍数,

然后综合在一起进行判断即可.

【详解】解::此三位数能被2整除,

,个位数为0、2、4、6、8,

「同时又能被3整除,

各位数字之和能被3整除,

7+5+6=18或7+5+0=12能被3整除,

,这个口可以是6或0.

故答案为:6或0.

【点睛】此题考查了2的倍数与3的倍数的特征,熟练掌握能被2或3整除的数的特征是解此题的关键.

13.44,1000,60,128,1500,106,2000,478;205,75,115,1000,60,495,1500,2000;1000,

60,1500,2000;75,60,495,1500,106

【分析】根据能被2、5、10、3整除的数的特点解答.

【详解】解:能被2整除的数有:44,1000,60,128,1500,106,2000,478;

能被5整除的数有:205,75,115,1000,60,495,1500,2000;

能被10整除的数有:1000,60,1500,2000;

能被3整除的数有:75,60,495,1500,106,

故答案为:44,1000,60,128,1500,106,2000,478;205,75,115,1000,60,495,1500,2000;

1000,60,1500,2000;75,60,495,1500,106.

【点睛】此题考查2、5、10、3的倍数的特征:个位上是0,2,4,6,8的整数都能被2整除,个位上是0

或者5的整数都能被5整除,个位上是0的整数能被10整除,各个位上的数字之和是3的整数倍的数能被

3整除,熟记特征并运用解题是关键.

14.90

【分析】同时能被2、5整除的整数个位上的数字为0,最大的整数即十位为9,由此得到答案.

【详解】个位上是。的整数能同时被2、5整除,最大的两位数是90,

故答案为:90.

【点睛】此题考查有理数的除法计算,掌握能被2和5整除的数的特点是解题的关键.

15.各个位上的数字之和是3的整数倍

【分析】能被3整除的数的各数位上的数字之和为3的整数倍,据此解答问题.

【详解】各个位上的数字之和是3的整数倍的数能被3整除.

故答案为:各个位上的数字之和是3的整数倍.

【点睛】此题考查3的倍数的特点,熟记并熟练运用倍数的特点解题是关键.

16.0或者5

【分析】能被5整除的数的个位上是0或5,由此得到答案.

【详解】个位上是0或者5的整数都能被5整除.

故答案为:0或5.

【点睛】此题考查能被5整除的数的特点,正确理解并掌握其特点是解题的关键.

17.奇数偶数偶数

【分析】根据数的乘法运算法则进行解答.

【详解】奇数X奇数=奇数,偶数X偶数=偶数,奇数X偶数=偶数,

故答案为:奇数、偶数、偶数.

【点睛】此题考查数的乘法运算法则,乘积的奇偶性由两个乘数的奇偶决定:奇数X奇数=奇数,偶数X偶数

=偶数,奇数X偶数=偶数,正确理解即可正确解决问题.

18.6Z—1〃+1

【分析】根据偶数与相邻奇数之间的关系即可得到结果.

【详解】因为偶数与相邻的奇数之间相差1,

所以与。相邻的两个奇数分别是a—1和a+L

故答案为:a-1;a+L

【点睛】本题考查了奇偶数,掌握相邻奇偶数之间的关系是解题的关键.

19.15,90,135

【分析】既能被3整除又能被5整除的数的特征:个位上必须是0或5,各个数位上的数字和能被3整除;

据此选择.

【详解】解:能被5整除的数的特征:个位上必须是0或5,

所以15,90,135能被5整除,

能被3整除的数的特征:各个数位上的数字和能被3整除,

而1+5=6,9+0=9,1+3+5=9,都能被3整除,

所以既能被3整除,又能被5整除的数是15,90,135,

故答案为:15,90,135

【点睛】此题考查既能被3整除又能被5整除的数的特征,熟记特征是解决此类题的关键.

20.12

【分析】由于2x5=10,所以1X2X3X...X49X5O积的末尾有多少个零是由因数2和5的个数决定的,又

1X2X3X...X49X50中因数2的个数多于因数5的个数,因此,只要算出1X2X3X...X49X50中含有多少个因数5

即可得出积的末尾有多少个。.

【详解】解:由于2x5=10,

又1X2X3X...X49X50中因数2的个数多于因数5的个数,

只要算出1X2X3X...X49X50中含有多少个因数5即可得出积的末尾有多少个0:

5、10、15、20、25、30、35、40、45、50;

50+5+50+25

=10+2

=12(个)

即算式1X2X3X...X49X50中含有12个因数5,

所以1X2X3X...X49X50积的末尾有12个0.

故答案为:12.

【点睛】本题考查了2、5的倍数的特征,明确若干个数相乘积的末尾有多少个零是由因数2和5的个数决

定的是完成本题的关键.21.850,3085

【分析】(1)能被2整除,则个位应为。或8,组成一个最大的三位数,最高位应为8,十位为5,个位为

0;

(2)能被5整除的数,个位上是0或5,因为要找最小的数,所以3在最高位,0在百位,8在十位,5在

个位.

【详解】解:由题意得,满足条件的最大三位数:8在百位,5在十位,0在个位,即850;满足条件的最

小四位数:3在千位(0不能在首位),0在百位,8在十位,5在个位,即3085.

【点睛】此题重点考查能被2、5整除的数的特征及其运用,求组成的最大的数,该数从最高位到最低位,

数字选择由大到小;求组成的最小的数,该数从最高位到最低位,数字选择由小到大,但最高位上的数字

不能为0.

22.(1)230,232,234,236,238

(2)230,235

(3)231,234,237

【分析】(1)三位数如果是偶数,则是2的倍数,只要该三位数个位是偶数即可确定答案;

(2)三位数如果能被5整除,只要该三位数个位是0或5即可确定答案;

(3)三位数如果能被3整除,只要该三位数各位上的数字之和为3的倍数即可确定答案.

【详解】(1)解:「当三位数个位是偶数时,这个三位数个位数字必是偶数,

•••所有满足条件的三位数是230,232,234,236,238;

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