沪教版上海六年级数学暑假课讲义：能被2、3、5整除的数（解析版）

第12讲能被2、3、5整除的数

----------------------

学习目标

1、掌握能被2、3、5整除的数的特征

2、掌握能同时被2、5整除的数的特征

3、掌握偶数、奇数的特征，以及它们的运算性质

I［由基础知识］jQ考点嬴'

------------------lllllllllllllllllllltlllillllllllllllllll--------------------------------------------llllllllillllillllllillllllllllllllllllll-----------------------

知识点01能被2、5整除的数

1、能被2整除的数

能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8的整数;

能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数.

'偶数(2n)；(否则是奇数(2nT))

即：能被2整除的数＜

特征：个位上是0,2,4,6,8.

2、奇数偶数的运算性质

奇数土奇数=偶数；奇数土偶数=奇数；偶数土偶数=偶数；奇数x奇数=奇数;

奇数X偶数=偶数；偶数X偶数=偶数.

推广结论：

(1)奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；任意有限个偶数的和为偶数；

(2)若干个奇数的乘积为奇数，偶数与整数的乘积为偶数；

(3)如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；

如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数；

(4)如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；

如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数的奇偶性不同；

(5)两个整数的和与差的奇偶性相同.

3、能被5整除的数

能被5整除的数的特征：个位上是。或5的整数.

4、能同时被2、5整除的数

能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数.

【典例分析】

1.下列各数中，既能被2整除又能被5整除的是（）

A.16B.18C.20D.22

【答案】C

【分析】个位是0的数既能被2整除又能被5整除，依此即可求解.

【详解】解：20既能被2整除又能被5整除.

故选：C.

【点睛】考查了整数和整除的意义，解题的关键是熟练掌握2和5的倍数特征.

2.下列各组数中能同时被2和3整除的一组数是（）

A.10和35；B.42和24；C.15和16；D.22和20.

【答案】B；

【解析】解：能同时被2和3整除的数一定能被6整除，故42和24都能被6整除，故答案选B.

3.四位数245一是3的倍数，W里最大填（）

A.7B.8C.9

【答案】A

【分析】根据3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数，逐项进行检验,

即可得出答案.

【详解】A.四位数2457,其各个数位上的数字之和是2+4+5+7=18,18是3的倍数，所以四位数2457是

3的倍数；

B.四位数2458,其各个数位上的数字之和是2+4+5+8=19,19不是3的倍数，所以四位数2458不是3的

倍数；

C.四位数2459,其各个数位上的数字之和是2+4+5+9=20,20不是3的倍数，所以四位数2459不是3的

倍数；

故选A.

【点睛】本题考查了3的倍数的特征和有理数的加法运算，熟练掌握知识点是解题的关键.

4.从1写到100,一共写了（）个数字“5”.

A.19B.20C.21D.25

【答案】B

【分析】分3段找出写了数字“5”的个数，再将个数相加求和即可.

【详解】从1到49写了5个数字“5”，从60到100写了4个数字“5”,从50到59写了11个数字“5”，总计

写了数字“5”的个数为：5+4+11=20(个).

故选B.

【点睛】本题考查确定数字的个数.在找数字个数的时候要注意进行分段计算.

知识点04能被3、9整除的数

1、能被3整除的数

一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除.

2、能被9整除的数

能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数.

3、能同时被2、3和5整除的数：

能同时被2、3和5整除的数的特征：个位数是0,且各个数位上数字之和能被3整除.

【典例分析】

5.已知一个三位数而c,试证明：若q+b+c能被9整除，贝!Jabc能被9整除.

【解析】因为a+6+c能被9整除，贝!|可得a+>+c=9"z(:"为正整数)，又abc=100<7+10/+c

=(99a+90)+(a+6+c),因为99a+9b能被9整除，也a+b+c能被9整除，所以诙能被9整除.

【总结】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用.

6.一个五位数诟诬能被3整除，且荏能被2整除，这样的五位数有个.

【答案】16.

【解析】荏能被2整除，则3为0、2、4、6、8；4A978能被3整除,则2O+A+3能

被3整除.当B=0时，A可为1、4、7；当B=2时，A可为2、5、8；当B=4时，

A可为0、3、6、9；当B=6时，A可为1、4、7；当B=8时，A可为2、5、8；所以这样的五位数

有16个.

7.从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，

那么这样的三位数有个.

【答案】4.

【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0,则有240、420、580、850、250、520、280、820、450、

540、480、840,其中能够被3整除的有240、420、450、540、480、

840.

l］域真题演练

-------------------llllllllllllllllllllllllllllllllllllllill------------------------

1.（2022秋.上海浦东新•六年级校考期末）一个两位数，既是3的倍数，又有因数5,则这个数最小是

2.（2022秋・上海嘉定・六年级统考期中）在75,50,42,40,66中，既是2的倍数又能被5整除的数有

3.（2021秋・上海嘉定•六年级统考期中）能被3整除的最小正整数是.

4.（2019秋•上海静安•六年级校联考期中）有15张分别标记着1至15数字号码的纸片按从小到大的顺序

排列着，如果先将号码数为3的倍数的纸片取出，然后把剩下的纸片中号码为2的倍数的纸片取出，最后

剩下的纸片的号码数的和为：.

5.（2021秋•上海浦东新•六年级上海市民办新竹园中学校考期中）一个两位数加2是2的倍数，加5是5

的倍数，加7是7的倍数，此数是.

6.（2022秋・上海徐汇•六年级上海市第四中学校考阶段练习）在细生的口内填上同一个正整数，使这个数

能同时被3和5整除，贝后内填.

7、用0、1、2、5四个数字中的两个或三个，按下列要求排成没有重复数字的数字：

（1）能被2整除，但不能被5整除；

(2)能被5整除,但不能被2整除;

(3)能被2整除,但不能被3整除;

(4)能被3整除,但不能被2整除;

（5）既能被2整除，又能被5整除;

（6）既能被2整除，又能被3、5整除;

8、2005至少加上一个什么正整数能被2整除？至少减去一个什么正整数能被5整除？至少乘以一个什么正

整数能被2和5整除？

参考答案：

1.15

【分析】根据能被5整除的数的特征，能判断出个位数是0或者5,进而根据能被3整除的数的特征，各位

上的数的和是3的倍数，推断出这个数十位上的数最小是1,继而得出结论.

【详解】解：一个两位数既是3的倍数，又有因数5,这个数最小是15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查倍数与因数.理解5的倍数个位是。或5,3的倍数各位上的数的和也是3的倍数是解题

关键.

2.50、40

【分析】根据既是2的倍数又能被5整除的数，个位数为0,进行判断即可.

【详解】解：既是2的倍数又能被5整除的数，个位数为0,因此在上述数中有：50、40.

故答案为：50、40.

【点睛】本题考查2和5的倍数特征.熟练掌握既是2的倍数又能被5整除的数，个位数为0是解题的关

键.

3.3

【分析】根据能被3整除的数的特征解答即可.

【详解】解：能被3整除的最小正整数是3.

故答案为：3

【点睛】本题考查了被3整除的数的特征，即所有位数上的数字的和是3的倍数.

4.37

【分析】先找出号码数为3的倍数，再找出号码数为2的倍数，然后把剩余的数相加即可.

【详解】解：1至15中，号码数为3的倍数有3,6,9,12,15,

号码为2的倍数有：2,4,6,8,10,12,14,

剩下的纸片为：1,5,7,11,13,

所以：1+5+7+11+13=37,

故答案为：37.

【点睛】本题考查了倍数的认识，准确掌握2的倍数和3的倍数是解题的关键.

5.70/七十

【详解】解：•••原数加上2是2的倍数，

原数为偶数；

•••原数加上5是5的倍数，

.。•原数的个位为0或5,

原数的个位必须是。

又,••原数加上7是7的倍数，

原数必须是7的倍数，

.•.7的两位数倍数中个位是0的是70.

故答案为：70.

【点睛】本题主要考查能被2和5整除数的数的特征，注意个位是0的数能同时被2和5整除.

6.5

【分析】根据整除的定义结合3的倍数特征和5的倍数特征，即可求解.

【详解】:.这个数能被5整除，

,这个数的个位上的数字为0或5.

当口内填0时，即这个数为8030,

V8+0+3+0=ll,11不能被3整除，

.••8030不能被3整除.

当口内填5时，即这个数为8535,

：8+5+3+5=21,21能被3整除,

•••8535能被3整除.

口内填5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查数的整除.掌握一个数能同时被3和5整除时，那么这个数的个位的数为。或5,且各个

数位上的数字之和是3的倍数是解题关键.

7、(1)能被2整除，但不能被5整除；

12、52、102、502、152、512；

(2)能被5整除，但不能被2整除；

15、25、105、125、205、215；

（3）能被2整除，但不能被3整除;

52、502、152、512；

（4）能被3整除，但不能被2整除;

21、201、51、501、15、105；

（5）既能被2整除，又能被5整除;

10、20、50、120、210、150、510、250、520

（6）既能被2整除，又能被3、5整除；

120、150、210、510

8、解：（1）至少加1,能被2整除；

（2）至少减5,能被5整除；

（3）至少乘以2,能被2和5整除。

可过关检测

lllllilllllllllllllllllllllllllllllllllll

一、单选题

1.要把一个奇数变成偶数，下列说法中错误的是（）

A.加上1B.减去1C.乘以2D.除以2

2.下列各组数中能同时被2和5整除的是()

A.35B.42C.15D.20

3.既能被2整除又能被5整除的最小的三位数是（）

A.102B.105C.110D.100

4.四位数2A3B能同时被2,5整除，则B等于（）

A.2B.5C.0D.7

5.两个连续的自然数的和是（）

A.奇数B.偶数C.奇数或偶数D.既不是奇数也不是偶数

6.下列说法正确的是（）

A.任何整数的因数至少有2个B.一个数的因数都比这个数的倍数小

C.连续两个自然数相加的和一定是奇数D.8是因数，12是倍数

7.从1写到100,一共写了（）个数字“5”.

A.19B.20C.21D.25

8.下面四个数都是六位数，N为非。且比10小的自然数，S是0,一定能被3和5整除的数是（）

A.NNSNSNB.NSNSNSC.NSSNSSD.NSSNSN

9.有一个三位数，百位数字是最小的奇数，十位上是0,个位上是一位数中最大的偶数.这个数是（）

A.102B.201C.801D.108

10.下列说法中错误的是（）

A.任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数

B.一个正整数，不是奇数就是偶数

C.能被5整除的数一定能被10整除

D.能被10整除的数一定能被5整除.

二、填空题

11.个位上是的整数是奇数.

12.三位数75口能同时被2、3整除，那么口可以是.

13.下面各数哪些能被2整除？哪些能被5整除？哪些能被3整除？哪些能被10整数？205、44、75、1、

115、1000、60、128、495、1500、106、2000、478

能被2整除的数：

能被5整除的数：

能被10整除的数：

能被3整除的数：

14.能同时被2、5整除的最大两位数是.

15.的数能被3整除.

16.个位上是的整数，一定能被5整除.

17.两个奇数的积一定是,两个偶数的积一定是,一个奇数与一个偶数的积一定是一.（填

“奇数”或“偶数”）.

18.。是一个大于2的偶数，那么与。相邻的两个奇数分别是和.

19.在15,27,34,62,90,135这6个数中，既能被3整除，又能被5整除的数是.

20.在1X2X3X...X49X50这个连乘积中，末尾有个0.

三、解答题

21.从3、0、5、8中任取不同的几个数字，组成能被2整除的最大三位数是多少？能被5整除的最小四位

数是多少？

22.一个三位数23,求出所有满足已知条件的三位数：

(1)这个三位数是偶数；

(2)这个三位数能被5整除；

(3)这个三位数能被3整除.

23.填空，使所得的三位数能满足题目要求

(1)3口2能被3整除，贝旧中可填入_

(2)32口既能被3整除，又能被2整除，贝旧中可填入_

(3)口3□能同时被2,3,5整除，则这个三位数可能是_

24.用0、2、5这三个数按要求组成没有重复数字的三位数.

(1)使它既能被2整除又能被5整除；

(2)使它能被2整除，但不能被5整除；

(3)使它能被5整除，但不能被2整除.

25.算式1x(-2)x3x(T)xy29><(-30)的积为正数还是负数？积的末尾有多少个零？

参考答案：

1.D

【分析】根据奇数和偶数的定义逐项判断即得答案.

【详解】解：A、一个奇数加上1可以变成偶数，故本选项说法正确，不符合题意；

B、一个奇数减去1可以变成偶数，故本选项说法正确，不符合题意；

C、一个奇数乘以2可以变成偶数，故本选项说法正确，不符合题意；

D、奇数不能被2整除，所以一个奇数除以2不能变成偶数，故本选项说法错误，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了奇数和偶数的定义，属于基础概念题型，熟知二者的概念是关键.

2.D

【分析】分别把35、42、15、20与2和5相除即可判断.

【详解】解：A.V35-5=7,35+2=17.5,故A不合题意；

42

B.42+2=21,42+7=7^,故B不合题意；

C.15+5=3,15+2=7.5,故C不合题意;

D.20-2=10,20+5=4,故D符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了数的整除，熟练掌握除法法则是解题的关键.

3.D

【分析】根据2、5的倍数特征解答即可.

【详解】能被2和5整除的数个位上是0,则最小的三位数是100

故选：D.

【点睛】此题考查了2和5的倍数的特征数，熟记并熟练运用特征解题是关键.

4.C

【分析】根据被2,5整除的数的特征，可知个位上的数是0,由此即可判定.

【详解】个位上是。的整数能同时被2、5整除.

故选：C.

【点睛】本题考查了数的整除问题，解题的关键是记住被2,5整除的数的特征，所以基础题.

5.A

【分析】根据自然数的排列规律：偶数、奇数、偶数、奇数…；再根据偶数和奇数的性质，奇数+偶数=奇

数，偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，据此判断即可.

【详解】两个连续的自然数，一个是奇数，另一个是偶数，奇数+偶数=奇数.

故选A.

【点睛】此题考查的目的是掌握自然数的排列规律、偶数和奇数的性质.

6.C

【分析】根据因数和倍数的概念分别判断即可.

【详解】解：A.1只有一个因数，故A错误；

B.一个数的最大因数与这个数的最小倍数相等，故B错误；

C.连续两个自然数相加的和一定是奇数，故C正确；

D.因数与倍数是指两个数之间的关系，如：8是16的一个因数，16是4的倍数等；故D错误；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了因数和倍数的概念，熟练掌握倍数和因数的相关概念是解题的关键.

7.B

【分析】分3段找出写了数字“5”的个数，再将个数相加求和即可.

【详解】从1到49写了5个数字“5”,从60到100写了4个数字“5”，从50到59写了11个数字“5”，总计

写了数字“5”的个数为：5+4+11=20（个）.

故选B.

【点睛】本题考查确定数字的个数.在找数字个数的时候要注意进行分段计算.

8.B

【分析】根据能被3和5整除的数的特点，进行判断即可.

【详解】解：A.NNSNSN,尾数不一定是0,5,不一定能被5整除，不符合题意；

B.NSNSNS,尾数为0,一定能被5整除，N+N+N也一定能被3整除，符合题意；

C.NSSNSS,尾数为0,一定能被5整除，N+N不一定能被3整除，不符合题意；

D.NSSNSV尾数不一定是0,5,不一定能被5整除，不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查能被3和5整除的数的特征.熟练掌握一个数的尾数为。或5,这个数能被5整除，一个

数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数能被3整除，是解题的关键.

9.D

【分析】最小的奇数为1一位数中最大的偶数为8,代入三位数中即可求解.

【详解】最小的奇数为1,所以百位数为1

一位数中最大的偶数为8,所以个位数为8

所以这个百位数是108

故答案为D.

【点睛】本题考查了奇数和偶数的性质，奇数为不能被2整除的整数，偶数为能被2整除的整数.

10.C

【分析】根据数的倍数的特征，奇数与偶数的性质依次判断即可.

【详解】A、任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数；

B、一个正整数，不是奇数就是偶数；

C、能被5整除的数不一定能被10整除；

D、能被10整除的数一定能被5整除.

故选：C.

【点睛】此题考查数的倍数的特征，奇数与偶数的性质，正确理解并运算解题是关键.

11.1,3,5,7,9

【分析】不是2的倍数的整数，叫做奇数，所以奇数的个位上的数字一定是1、3、5、7、9；据此解答.

【详解】解：：不能被2整除的整数叫做奇数，

.♦.个位上是单数的整数是奇数，即奇数的个位上一定是数字1、3、5、7、9.

故答案为：1,3,5,7,9.

【点睛】此题考查奇数的意义，明确不是2的倍数的整数叫做奇数是解答本题的关键.

12.6/0

【分析】能被2整除的数的个位数字一定是0、2、4、6、8；能被3整除的数的各位上数字之和是3的倍数,

然后综合在一起进行判断即可.

【详解】解：：此三位数能被2整除，

，个位数为0、2、4、6、8,

「同时又能被3整除，

各位数字之和能被3整除，

7+5+6=18或7+5+0=12能被3整除，

，这个口可以是6或0.

故答案为：6或0.

【点睛】此题考查了2的倍数与3的倍数的特征，熟练掌握能被2或3整除的数的特征是解此题的关键.

13.44,1000,60,128,1500,106,2000,478；205,75,115,1000,60,495,1500,2000；1000,

60,1500,2000；75,60,495,1500,106

【分析】根据能被2、5、10、3整除的数的特点解答.

【详解】解：能被2整除的数有:44,1000,60,128,1500,106,2000,478；

能被5整除的数有：205,75,115,1000,60,495,1500,2000；

能被10整除的数有：1000,60,1500,2000；

能被3整除的数有：75,60,495,1500,106,

故答案为：44,1000,60,128,1500,106,2000,478；205,75,115,1000,60,495,1500,2000；

1000,60,1500,2000；75,60,495,1500,106.

【点睛】此题考查2、5、10、3的倍数的特征：个位上是0,2,4,6,8的整数都能被2整除，个位上是0

或者5的整数都能被5整除，个位上是0的整数能被10整除，各个位上的数字之和是3的整数倍的数能被

3整除，熟记特征并运用解题是关键.

14.90

【分析】同时能被2、5整除的整数个位上的数字为0,最大的整数即十位为9,由此得到答案.

【详解】个位上是。的整数能同时被2、5整除，最大的两位数是90,

故答案为：90.

【点睛】此题考查有理数的除法计算，掌握能被2和5整除的数的特点是解题的关键.

15.各个位上的数字之和是3的整数倍

【分析】能被3整除的数的各数位上的数字之和为3的整数倍，据此解答问题.

【详解】各个位上的数字之和是3的整数倍的数能被3整除.

故答案为：各个位上的数字之和是3的整数倍.

【点睛】此题考查3的倍数的特点，熟记并熟练运用倍数的特点解题是关键.

16.0或者5

【分析】能被5整除的数的个位上是0或5,由此得到答案.

【详解】个位上是0或者5的整数都能被5整除.

故答案为：0或5.

【点睛】此题考查能被5整除的数的特点，正确理解并掌握其特点是解题的关键.

17.奇数偶数偶数

【分析】根据数的乘法运算法则进行解答.

【详解】奇数X奇数=奇数，偶数X偶数=偶数，奇数X偶数=偶数，

故答案为：奇数、偶数、偶数.

【点睛】此题考查数的乘法运算法则，乘积的奇偶性由两个乘数的奇偶决定：奇数X奇数=奇数，偶数X偶数

=偶数，奇数X偶数=偶数，正确理解即可正确解决问题.

18.6Z—1〃+1

【分析】根据偶数与相邻奇数之间的关系即可得到结果.

【详解】因为偶数与相邻的奇数之间相差1,

所以与。相邻的两个奇数分别是a—1和a+L

故答案为：a-1;a+L

【点睛】本题考查了奇偶数，掌握相邻奇偶数之间的关系是解题的关键.

19.15,90,135

【分析】既能被3整除又能被5整除的数的特征：个位上必须是0或5,各个数位上的数字和能被3整除；

据此选择.

【详解】解：能被5整除的数的特征：个位上必须是0或5,

所以15,90,135能被5整除，

能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和能被3整除，

而1+5=6,9+0=9,1+3+5=9,都能被3整除，

所以既能被3整除，又能被5整除的数是15,90,135,

故答案为：15,90,135

【点睛】此题考查既能被3整除又能被5整除的数的特征，熟记特征是解决此类题的关键.

20.12

【分析】由于2x5=10,所以1X2X3X...X49X5O积的末尾有多少个零是由因数2和5的个数决定的，又

1X2X3X...X49X50中因数2的个数多于因数5的个数，因此，只要算出1X2X3X...X49X50中含有多少个因数5

即可得出积的末尾有多少个。.

【详解】解：由于2x5=10,

又1X2X3X...X49X50中因数2的个数多于因数5的个数，

只要算出1X2X3X...X49X50中含有多少个因数5即可得出积的末尾有多少个0：

5、10、15、20、25、30、35、40、45、50；

50+5+50+25

=10+2

=12(个)

即算式1X2X3X...X49X50中含有12个因数5,

所以1X2X3X...X49X50积的末尾有12个0.

故答案为：12.

【点睛】本题考查了2、5的倍数的特征，明确若干个数相乘积的末尾有多少个零是由因数2和5的个数决

定的是完成本题的关键.21.850,3085

【分析】(1)能被2整除，则个位应为。或8,组成一个最大的三位数，最高位应为8,十位为5,个位为

0；

(2)能被5整除的数，个位上是0或5,因为要找最小的数，所以3在最高位，0在百位，8在十位，5在

个位.

【详解】解：由题意得，满足条件的最大三位数：8在百位，5在十位，0在个位，即850；满足条件的最

小四位数：3在千位(0不能在首位)，0在百位，8在十位，5在个位，即3085.

【点睛】此题重点考查能被2、5整除的数的特征及其运用，求组成的最大的数，该数从最高位到最低位，

数字选择由大到小；求组成的最小的数，该数从最高位到最低位，数字选择由小到大，但最高位上的数字

不能为0.

22.(1)230,232,234,236,238

(2)230,235

(3)231,234,237

【分析】(1)三位数如果是偶数，则是2的倍数，只要该三位数个位是偶数即可确定答案；

(2)三位数如果能被5整除，只要该三位数个位是0或5即可确定答案；

(3)三位数如果能被3整除，只要该三位数各位上的数字之和为3的倍数即可确定答案.

【详解】(1)解：「当三位数个位是偶数时，这个三位数个位数字必是偶数，

•••所有满足条件的三位数是230,232,234,236,238；