函数的单调性与参数取值范围期中、期末复习八大题型（解析版）

重难点09函数的单调性与参数取值范围期中、期末复习八大题型汇总

题型解读

好量满分技巧/

技巧一.一次函数y—kx+b（k0）

/.当左＞0时，在R上单调递增；

2.当左＜0时，在R上单调递减.

技巧二反比例函数y=：（kR0）

/.当左＞0时，在（-吗0）和（0,口＞）上单调递减；

2.当左＜0时，在（-8,0）和（0,一）上单调递增.

技巧三.二次函数y=ax2+by=+c(a*0)

bb

—00,----------

2。」上单调递减，在

/当a＞0时，在五上单调递增;

bb

—00,----------——,+GO

2。」上单调递增，在

2.当。＜°时，在2a上单调递减.

技巧四.对勾函数（耐克函数）

定义：形如y=x+"（p>0，且p为常数）

X

单调性：在（---J引和［后,+8）上为增函数，在（-J万,。）和（O,J万）上为减函数.

渐近线：对勾函数有两条渐近线：一条是y轴（x#0,图象无限接近于y轴，但不相交），

另一条是直线y=x（当x趋近于无穷大时，“趋近于0,y趋近于x,因为3片0,所以丁力龙）.

XX

技巧五.分段函数的单调性

1.分段函数在其定义域内是增函数必须满足的条件:

（1）每一段都是增函数;

（2）相邻两段函数中启变量取值小的一段函数的最大值（或上边界）小于等于自变量取值大的

一段函数的最小值（或下边界）。

2.分段函数在其定义域内是减函数必须满足的条件：

（1）每一段都是减函数;

（2）相邻两段函数中启变量取值小的一段函数的最小值（或下边界）大于等于自变量取值大的一段函数的最大

值（或上边界）。

技巧六.函数单调性的性质：

1.增函数+增函数=增函数；

2.增函数-减函数=增函数；

3.减函数+减函数=减函数;

4.减函数-增函数=减函数；

■3*题型提分练

题型1一次函数型

【例题1](2023春•江西•高一宁冈中学校考期末)设函数=(a-l)x+1是R上的减函数，则有()

A.a>1B.a<1C.a>1D.a<1

【答案】D

【分析】根据函数的单调性列出相应的不等式，即可求得答案.

【详解】由题意函娄好(%)=(a-l)x+1是R上的减函数，

则a71,否则〃无)=1为常数函数，不合题意，故f(x)=(a-1)%+1为一次函数，

故a—1<0,a<1,

故选：D

【变式(2021秋•陕西延安•高一校考期末股函数f⑴=(1-2a)x+b是R上的增函数，则有：)

A.aV-B.a>—C.CL<C—D.a>—

2222

【答案】A

【解析】函数/'(久)=(1-2a)x+b是R上的增函数很!|1一2a>0,可得答案.

【详解】函数"X)=(1—2a)x+b是R上的增函数很111一2a>0,即a<之

故选：A

【变式1-1J2.(多选)(2021秋•河北石家庄•高一石家庄一中校考期末)"函数f⑴=(a-l)x+a(aGR)

为增函数"的一个充分不必要条件是()

C.a>1D.(a—l)(a—2)<0

【答案】AD

【分析】先利用一次函数的单调性求出a的范围，再求出选项ABCD中a的范围，利用充分性和必要性判断

选项即可.

【详解】由函数f(吗=(a-1)乂+a(aGR)为增函数，

可得a-l>0na>l；

对于选项A：由W>。，得a>2,

则a>2是a>1的充分不必要条件，

故选项A正确；

对于选项B：由：<1,得a<0或a>1,

则a<。或a>1是a>1的必要不充分条件，

故选项B不正确；

对于选项C：a>1是a>1的充要条件，

故选项C不正确；

对于选项D:由(a-l)(a一2)<0,得1<a<2,

则1<a<2是a>1的充分不必要条件，

故选项D正确；

故选：AD.

【变式1-1】3.(2021秋・湖南邵阳•高一统考期末)已知f(x)=ax+1在R上是增函数，则a的取值范

围为()

A.a>0B.a<0C.a>0D.a<0

【答案】C

【分析】利用一次函数的单调性与一次项系数有关，函数单调递增只需一次项系数大于零即可.

【详解】函数f(x)=ax+1在R上是增函数，则a>0.

故选：C

【点睛】本题考查一次函数的单调性，需熟记一次函数的性质，属于基础题.

【变式1-1J4.(2022秋・云南玉溪•高一统考期末)函数y=(2k+l)x+6在(-叼+8)上是减函数，则()

Q-k>-lD.k<-9

【答案】D

【详解】：函数y=(2k+l)x+。在(-8,+8)上是减函数,2fc+1<0,fc<-1,故选D.

题型2反比例函数型

【例题2］(2021秋・浙江•高一期末)函数f⑴=含在［1,3］上单调，则实数a的取值范围()

A.(-3,-1)B.(1,3)

C.(-00,1)U(3,+oo)D.(-00,-3)U(―1,4-00)

【答案】D

【分析】结合函数/(乃=书的单调性分类讨论即可.

【详解】因为函数f(x)=上在(-2-a)和(-/+8)上单调递减，由题意，/(x)=上在［1,3］上单调，所以

—CL<1或一a>3,解得a>—1或a<—3,所以a的取值范围为(一8,-3)U(―1,+°o).

故选：D

【变式2-1］1.(2021秋•黑龙江大庆•高一铁人中学校考期末)函数/(%)=三|在区间(1,+8)上单调递减,

则实数a的取值范围为

【答案】(1,+00)

【解析】由已知结合反比例函数的图像平移及函数的单调性求解即可.

【详解】因为函数/(乃==在区间(1,+8)上单调递减,

X—1

所以a-1>0,

即a>1,

则实数a的取值范围为(1,+8);

故答案为:(1,+8).

【变式2-1]2.(2023秋•吉林•高一吉林市田家炳高级中学校考期末)若函数f(久)=簧(。eZ)在区间

(-2,+8)上单调递增，贝必的最小值为

【答案】1

【分析】由/(©=a+翳以及复合函数的单调性可得1-2a<0,再根据a6Z可求出结果.

【详解】因为"X)=策=a+翳在区间(-2,+8)上单调递增，

所以1-2a<0,即a>|,

因为aeZ,所以a的最小值为L

故答案为：1.

【变式2-1]3.(2022秋•天津河西•高一统考期末)若函数f(久)=合在区间(-2,+8)上单调递增，则实数

k的取值范围是()

A.(—00,—1)B.{-2}C.(-00,-2]D.(-00,-2)

【答案】C

【分析】根据函数的单调性得到关于k的不等式组，解出即可.

【详解】解：f(x)=合=1+程，

若f(x)在(-2,+8)上单调递增，

则，故居4,

故选：C.

【变式2-1J4.(2023秋•湖南衡阳•高一衡阳市八中校考期末)已知函数/Xx)=竺二在(2,+8)上单调递减,

X—CL

则实数a的取值范围是()

A.(—00,—1)u(1,+8)B.(—1,1)

C.(-8,-1)u(1,2]D.(-8,—1)u(1,2)

【答案】C

【分析】先用分离常数法得到f(x)=W+a,由单调性列不等式组，求出实数a的取值范围.

【详解】解：根据题意，函数/(乃=/二==贮二+口，

x—ax—ax—a

若/在区间(2,+8)上单调递减，必有产-/彳°,

解可得：a<—1或1<a<2,即a的取值范围为(—8,—1)U(1,2],

故选：C.

【变式2-1]5(2021秋•上海浦东新•高一上海市进才中学校考期末)"a<1"是"函数y=分在区间

(一吗1)上严格递减”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先求解出函数y=可在区间(_8,1)上严格递减时a的取值范围，然后根据a<1与所求a的范围之

间的关系确定出属于何种条件.

【详解】因为、=答=智詈=2+三，

所以y==若在(-8,1)上严格递减则有2-a>0,所以a<2,

X-1

又因为(—8,1)(—8,2),

所以是〃函数y=在区间(-8,1)上严格减〃的充分不必要条件，

X—1

故选：A.

【变式2-1]6.(2020秋云南玉溪•高一云南省玉溪第一中学校考期末)函娄好⑴="在区间(6,+8)上

单调递增，则下列说法正确的是()

A.a>—2,b2—1B.a〉一2,b>—1C.a<—2,b2—1D.a<-2,b>—1

【答案】A

【解析】利用分离常量的方法分离函数为f(x)=2-翳若2+a>0,/(x)在(-8,—1),(—1,+8)上为增函数

若2+a<0/。)在(-8,-1),(-1,+8)上为减函数.

[详解]fM=—=2(x+>"2=2一四

八'x+1x+1x+1

1•,fO)在区间(瓦+8)上单调递增,

,2+a>0产>—2

[b>-1[b>-r

故选：4

【点睛】本题考查函数中分离常量的方法，函数单调性的性质，难度一般.

【变式2-1】7.(多选)(2022秋・江苏连云港•高一期末)已知函数/⑺=誓|在区间(-2,+8)上单调递

增，则a,6的取值可以是()

A.a=1,/?=2B.a=b=-

，2

C.a=-1rb=1D.0<a<lfb=2

【答案】AD

3_2&

【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得f(x)=晟亳+，再结合反比例函数的性质以及函数图象平

移的规律可得-2W-2,3-也<0,分析可得a,b的关系，据此分析选项可得答案.

aa

【详解】根据题意，

b-(ax+2)+3--3--

f(X)=--x--+--3=@----------------=—2-+-b

ax+2ax+2ax+2a

其定义域为｛x|x4-3，

若函数了(X)="|上单调递增，必有-2W-2,3-弛<0

'、'ax+2aa

即0<aw1且弛>3,

a

据此分析选项AD符合.

故选：AD

题型3二次函数型

【例题3](2023春•云南昆明•高一校考期末)若函数y=/+(2a-l)x+1在区间(-8,2]上是减函数,

则实数a的取值范围是()

A1-|,+8)B,(-00,|]C,[|,+oo)D.(-00,-j]

【答案】D

【分析】根据二次函数的对称轴得到不等式，求出答案.

【详解】y=x2+(2a-l)x+1的对称轴为％=号^,

要想函数y=x2+(2a-l)x4-1在区间(一8,2]上是减函数，则上罗>2,

解得aW-1,

故选：D

【变式3-1]1.(2023秋・甘肃临夏•高一校考期末)函数f。)=/一4%+3在区间[a,+8)上单调递增,

则a的取值范围是()

A.(2,+oo)B.[2,+oo)

C.(—co,2)D.(—oo,2]

【答案】B

【分析】令二次函数对称轴大于小于a即可求解.

【详解】/(x)=%2-4%+3的对称轴为：久=一^=2,

要使函数在区间[a,+8)上单调递增，贝!]a>2,解得aG[2,+8).

故选：B.

【变式3-1J2.(2022秋•江苏南京•高一校考期末)若函数y=/-2ax+1在区间[-2,1]上为单调减函数,

则实数a的取值范围为（）

A.a<—2B.a<—2C.a>1D.a>1

【答案】D

【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案.

【详解】y=x2-2ax+1开口向上，对称轴为x=a,

要想y=/-2ax+1在区间［—2,1］上为单调减函数，贝必>1.

故选：D

【变式3-1］3.（2023秋•天津红桥•高一天津市瑞景中学校考期末）已知函娄好㈤=/+2kx-5在［-2,4］

上具有单调性，则实数k的取值范围为（）.

A.fc<-4B.fc>2

C.k<—4或k>2D.k<-4或k>2

【答案】C

【分析】首先求出二次函数的对称轴，再结合题意求解即可.

【详解】函数/'（x）=x2+2kx-5的对称轴为尤=-k,

因为函数f（久）=/+2kx-5在［-2,4］上具有单调性，

所以一卜>4或—k<-2,即k<一4或k>2.

故选：C

【变式3-1J4.（2023秋•甘肃天水・高一统考期末）已知aGR，则"0<a<1"是"函数f（x）=ax2-2x-

5在内单调递减”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求得"函数/(久)=叱-2x-5在(-1,1)内单调递减"时a的取值范围，根据充分、必要条件的知

识求得正确答案.

【详解】若函数f⑺=此一2x一5在内单调递减，

当a=0时，f(x)=-2x-5在(—1,1)内单调递减，符合题意.

当a>。时，/(x)=ax2-7.x-5的开口向上，对称轴为％=亍,

贝421，解得。<a<l.

当a<0时，f(x)=ax2-2x-5的开口向下，对称轴为x=:,

则工<—1,解得一1<a<0.

CL

综上所述，若函数f(X)=以2一2%-5在(-1,1)内单调递减，则-1WaW1.

所以"0<a<1"是"函数/(X)=a/-2x-5在(-1,1)内单调递减”的充分不必要条件.

故选：A

【变式3-1]5.(2023秋•湖南常德・高一汉寿县第一中学校考期末)若函数/(©=a/+x+a在[1,+8)上

单调递增，则a的取值范围是()

A.(0,+oo)B.(0,1]C.[1,+8)D.[0,+oo)

【答案】D

【分析】分a=0和a丰0两种情况进行讨论即可

【详解】当a=0时，则f0)=%,在[L+8)上单调递增，满足题意；

当a牛。时，/(%)-ax2+x+a的对称轴为久=一卷，

要使函数/(%)在[L+8)上单调递增，只需(一/W1,解得a>0

Ia>0

综上,a的取值范围是[0,+8)

故选：D

2e

【变式3-1]6.(2022・全国•高一期末)已知函数fQ)=ax+x-3,若对任意的打多口，+°°)(且比i丰

%回3<3恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(—8,1)B.(-OO,1]C.(-8,0)D.(—00,0]

【答案】D

2

【分析】不妨设1<xt<x2,令g(x)=/(x)-3x=ax-2x-3,由题分析可得函数g(x)在[1,+8)上单

调递减，讨论a=。和a丰0时，要使g(x)在[1,+8)上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案.

【详解】不妨设1-<X2,则X1-小<0,根据题意,可得/'01)-/(%2)>301-％2)恒成立，即/O1)-

2

3/>/(x2)—3久2恒成立♦令g(x)=/(x)—3%=ax—2%—3,

则gCq)>。(超)恒成立,所以函数g(x)在[1,+8)上单调递减

当a=0时，g(x)=-2x-3在[1,+8)上单调递减，符合题意；

当a牛。时，要使g(x)=ax2-2x-3在[1,+8)上单调递减，

贝”—二W1解得a<0.

综上所述，实数a的取值范围是(-8,0].

故选：D.

题型4分段函数型

一久2—0%—9%v1

(±X>1'—在R上单调递增，则

实数a的取值范围为()

A.[-5,0)B.(—co,—2)

C.[—5,—2]D.(—8,0)

【答案】C

【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.

【详解】由题意，％eR,

—丫2—ny—9YV1

a丫、；—中，函数单调递增，

->X>1

{x

———>1

2x(-1)-

a<0,解得：-5Wa4-2，

-l-a-9<^

故选：C.

【变式4-1】1.(2023春云南保山・高一统考期末)已知的=以；誓二黑‘二「'为增函数，则a的

取值范围是()

A.-2<a<4B.2<a<4

C.—3<a<4D.3<a<4

【答案】D

【分析】根据分段函数为增函数，根据每一段都是增函数，且注意节点处的取值，列出不等式组，解之即

可.

【详解】因为f(x)=HU；")"一「为增函数，

—a+4〉0

(-^<-1，解得3Wa<4.

d—4-3a<1—CL—8

故选：D.

【变式4-1】2.(2022秋・全国•高一期末)已知函数&)=把+在R上单调递增，则实数a

的取值范围是()

A.(—1,1]B.(—1,2)C.[1,2)D.(0,+oo)

【答案】A

【分析】根据八久)在R上递增列不等式，由此求得a的取值范围.

【详解】y=/一2x+4的开口向上,对称轴为x=1,

由于“X)在R上递增，

所以[a+I)xl+"1<12-2x1+4,解得T<aWL*

所以a的取值范围是(-1,4

故选：A

【变式4-1]3.(多选)(2023秋•山西大同•高一山西省阳高县第一中学校校考期末)设函数f(x)=

L工a，当/⑺为增函数时，实数a的值可能是()

A.2B.-lC.|D.1

【答案】CD

【分析】由题知a?-:L<a?-2a2+1,且a>0,进而解不等式即可得0<aW1,再结合选项即可得答案.

【详解】解：当x<a时，/(%)="-1为增函数，则a>0,

当x>a时，/'(%)=%2—2ax+l=(x—a)2+1—a?为增函数，

故/⑺为增函数,则a?-1Wa?-2a2+1,且a>0,解得0<a<1,

所以，实数a的值可能是(0H内的任意实数.

故选：CD.

【变式4-1]4.(2023秋•上海松江•高一校考期末)若函数f(x)=4x+港区间[3,+8)上是严格增函数,

则实数a的取值范围是

【答案】(-«>,36]

【分析】利用函数在区间上的单调性，结合定义法求实数a的取值范围，

【详解】函数/(%)=4x+£在区间[3,+8)上是严格增函数，则任取3<%!<x2,都有/(/)<g,

即f(的)-即*2)=4/+2-(轨+£)=3-*2)C或；")<0，

由34/V冷/有%1—x2<0z%62>0;所以4%I%2—a>0,

由4工62>36,贝！Ja<36,即实数a的取值范围是(一8,36].

故答案为：(—co,36]

【变式4-1】5.(2022秋•全国•高一期末)设函数f(x)=[”+：'”>°，贝妤(-4)=，若f⑷=

1/(%+3),x<0

f(-2),则实数a的最大值为

【答案】|/3.53

【分析】第一空，直接根据分段函数的解析式即可求得答案;第二空，判断a的最大值一定是正数，由此分

析当x>0时，/(%)=%+(的单调性，结合f(1)=/(3)=4,求得答案.

【详解】由题意得/'(—4)=/(-I)=/(2)=2+|=|,

又“0=/(-2)=/(I)=4，结合解析式可知a的最大值一定是正数，

当x>0时，/(X)=x+l,f⑺在(0,百)上递减，在(旧,+8)上单调递增，

且/(I)=/(3)=4,

若X>3/0)>7(3)=4,所以实数a的最大值为3,

故答案为：13.

题型5对勾函数型

【例题5](2023秋广东东莞•高一统考期末)"a<-2"是"/⑴=%+%(0,+8)上单调递增"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】充分性直接证明，必要性举特值验证.

【详解】Va<-2/(%)=%+三在(0,+8)单调递增，充分性成立，

若a=-1时/(*)=%+：在(0,+8)单调递增，但是不满足a<-2,所以必要性不成立.

故选：A

【变式5-1]1.(2022秋•河南濮阳•高一濮阳一高校考期末)已知函数f⑺=/一缶-5)久+a,若f⑺在

区间(0,+8)上单调递增，目修在区间(0,2)上单调递减，则a的取值范围是

【答案】[4,5]

【分析】由二次函数性质与对勾函数性质列式求解

【详解】/(x)=x2-(a-5)x+a对称轴为x=?,

蜉=%+三一一5),当a>0时，在(0,孤)上单调递减,

C—<o

由题意得2-U,解得4<a<5,

IVa>2

故答案为：[4,5]

【变式5-1J2.(2021秋•上海杨浦•高一复旦附中校考期末港函数/⑸==|手(％N0)的值域为阿+8),

则实数a的取值范围是.

【答案】(一8,2]

【解析】分离常数，根据a的取值范围，分类讨论函数单调性及值域.

【详解】由题意"X)=胃芦=x+1，

当a-1W0,即aW1时,函数了(久)在[0,+8)单调递增,

故/(x)min=/(0)=a，值域为[a,+8)恒成立；

当a—1>0,即a>1时,f(x)=x+14——227a—1,

当且仅当X+1=M，即X=折I-1时取等，

又/(%)在[而=I-1,+8)单调递增，且/(0)=a,

若值域为[a,+8),则有域-1—1<0,解得1<a42,

综上所述，a的取值范围为(-8,2],

故答案为：(-8,2].

【变式5-1]3.(2018秋・上海嘉定・高一统考期末)已知区间(0,+8)为函数/O)=办+女26eR,bK0)

的单调递增区间，贝以为满足的条件是

【答案】a>0,b<0.

【分析】由复合函数单调性的判断方法增函数+增函数=增函数即可得出a,6满足的条件.

【详解】令为=ax,y2=p

则由复合函数单调性的判断方法知，

函数月,必在（0,+8）上均为增函数；

”=纸（0,+8）上为减函数,

a>0,b<0.

故答案为：a20,6<0

【点睛】本题考查复合函数单调性的判断方法.属于中档题.

【变式5-1]4.（2021秋•上海浦东新•高一校考期末）已知函数/⑺=x-式a为实常数），

（1）判断函数/（久）的奇偶性并证明.

（2）若y=/O）在（0,1]上是减函数，求a的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）（-8,-1]

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断f（-x）与f（x）的关系，可得函数的奇偶性；（2）利用函数

的单调性，构建不等式即可得到结果.

【详解】（1）函数/（无）为奇函数，证明如下：

函数的定义域为（-8,0）U（0,+8）

/（-X）=-X+"-/（X）,

BP/（-x）=-/（x）

函数/（X）为奇函数；

(2)设0<x2<1,则

/(3一/0)=12-今-1】-3=出一创1+寻

又y=/(无)在(0,1]上是减函数，比2-%

.'.1d----<0,即a<-%i%2

%1欠2

又0<Xr<X2<1,「.一%1%2>—1

」.aW—1

故a的取值范围是(-8,-1]

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查学生对函数的性质理解与掌握的情况，属于中档题.

【变式5-1】5(2021秋・江西宜春•高一江西省铜鼓中学校考期末)已知函数/(无)=2x-争勺定义域为(0,1]

(aGR).

(1)当-1时,求函数y=f(%)的值域；

(2)若函数y=/(%)在定义域上是减函数，求a的取值范围；

(3)求函数y=/(久)在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值.

【答案】(1)[2企,+8);(2)(-oo,-2]；(3)见解析

【详解】(1)函数y=f(x)=2x+^>2V2,所以函数y=/'(%)的值域为[2&,+oo)

(2)若函数y=/(X)在定义域上是减函数，则任取比1/26(0.1旧X]<也都有/(xD>/(%2)成立，即

(%1-X2)>Q,只要a<一2*62即可，由Xi，%2e(0.1],故一2血%2e(-2,0),所以aW-2,故

a的取值范围是(-8,-2];

(3)当a20时，函数y=f(x)在(0.1]上单调增，无最小值，当久=1时取得最大值2-a；由(2)得当

a<—2时，y=/(x)在(0.1]上单调减，无最大值，当x=1时取得最小值2-a；当-2<a<0时，函数

y=f(x)在(0.亨]上单调减，在12'」上单调增，无最大值，当％=苧时取得最小值2、F.

【点睛】利用函数的单调性求值域是求值域的一种重要方法.特别注意当函数含有参数时，而参数又会影

响了函数的单调性，从而需要分类讨论求函数的值域.

题型6绝对值函数型

【例题6］（2021秋・上海长宁•高一上海市延安中学校考期末）若函数y=|2x+a|在区间［3,+8）上是严格

增函数，则实数a的取值范围是

【答案】［-6,+8）

【解析】首先判断函数的单调性，再利用区间［3,+8）是增区间的子集，求a的取值范围.

【详解】函数y=|2x+a|在（-8,-习是减函数，在（-也+8）是增函数，

若函数在区间［3,+8）是增函数，则—与W3na2-6.

故答案为：［—6,+00）

【变式6-1］1.（2023秋•湖北武汉•高一武汉市新洲区第一中学校考期末）已知f（2x）=|x-a|,若函数f（x）

在区间（-8,2］上为减函数，则a的取值范围是（）

A.a>1B.a>1

C.a>2D.a>2

【答案】A

【分析】先求出函数解析式，再求出函数的单调减区间，然后结合已知条件可求出a的取值范围.

【详解】令力=2%,则/⑴=||-a|,

.।-a,x>2a

所以/'（X）=5-a=2x，

1

"a——2,x<2a

所以/（%）在（-8,2a］上递减，

因为函数人乃在区间（-8,2］上为减函数，

所以2a22,得a21,

故选：A

【变式6-1］2.（2021秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考期末）若函数y=-|x-a|与y=2在区间

［1,2］上都是严格减函数，则实数a的取值范围为（）

A.（-oo,0）B.（-1,0）u（0,1］C.（0,1）D.（0,1］

【答案】D

【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数a的取值范围.

【详解】函数y=~\x-a|的图像关于％=a对称，

所以当x>a,y随x的增大而减小，当x<a,y随x的增大而增大.

要使函数y=-|%-a|在区间［1,2］上都是严格减函数，

只需a<1；

要使y=祟在区间［1,2］上都是严格减函数，只需a>0；

故a的范围为0<aW1.

故选：D

【变式6-1J3.（2022秋・上海长宁・高一统考期末）已知函数y=|x2-皿|在区间［1,+口）上是严格增函数,

则实数机的范围是

【答案】（—00,1］

【分析】先求解/-巾X=0的根,判断两根的大小以及严格递增区间，再判断m的范围.

【详解】令/一mx=0,解得x=。或x=m,

二当巾=0时，y=|久2|在［1,+8）上是严格增函数;

若m>0时，函数在|m,+8）上单调递增，

又函数在区间［1,+8）上是单调递增，故6W1；

若m<0时，函数在［0,+8）上单调递增，则函数在区间［1,+8）上是单调递增恒成立，

综上m的范围是巾<1.

故答案为：（-8,1］

【变式6-1]4.(2022秋•上海金山•高一上海市金山中学校考期末)若函数g(x)=2%2-|x-t|(x-。在

区间[0,2]上是严格减函数，则实数珀勺取值范围是

【答案】(-00,-2]U[6,+00).

【分析】分类讨论，按绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后对分类函数的两个二次函数的对称轴

进行分类讨论可得.

「、曲、,、r2I八(2%2-(%-t)2,X>t(X2+2tX-t2,X>t

【详¥解】因为g⑴=2'T”--t)=+(%-)2,比<t=e2-2t久+产,”<t,

当t=0时，x6[0,2]时，g(x)=%2单调递增，不合题意；

当t<0时，xW[0,2]时,g(x)=x2+2tx-t2=(x+t)2-2t2,函数g(x)在区间[0,2]上是严格减函数,

则一t>2,gpt<-2；

当t22时，xe[0,2]时,g(x)=3x2-2tx+t2,函数g(x)在区间[0,2]上是严格减函数，

则522,即t26；

当。<<时，如=鼠_2坟+»2,0"<「

-t<0,因此y=x2+2tx-/在匕2]是单调递增，不合题意；

综上,珀勺范围是(—8,—2]U[6,+oo).

故答案为:(-8,-2]U[6,+oo).

【变式6-1]5.(2023秋・上海青浦•高一上海市青浦高级中学校考期末)设函数"%)=/+|x-a|,a为

常数.

(1)若人%)为偶函数，求a的值；

⑵设a>0,g(x)=号，xe(0,a]为严格减函数，先将久久)表达式化简(去掉绝对值)，再利用函数单调

性的定义求实数a的取值范围.

【答案】(l)a=0；

(2)见解析

【分析】(1)由偶函数的定义求解；

(2)根据绝对值的定义去掉绝对值符号，由严格减函数的定义求参数范围.

【详解】(1)由题意/*(-%)=/(%),即％2+|-x-a\=x2+\x-a\,

\-x-a\=\x-a\,平方得a%=。恒成立，所以a=0；

(2)0<x<a时，g(%)=")一"=%+^-1,

艮fg(%)=x+Ifi<x<a,

xG(0,a|时，g(%)为严格减函数，

设ovv打工。，g(%i)-g(%2)=x1+--x2--=——>o恒成立,

%2%1%2

'.'x1—x2<0,.'.x1x2—a<0,即X1久2<a<

又0<X]<不<a,则X62<a2,所以a?<a,而a>0,故解得0<aW1.

..a的范围是(0,1].

【变式6-1]6.(2021春・浙江・高一期末)已知函数f(x)=/-|/—6—4|在区间(-8,-2)和(2,+8)上

均单调递增，则实数a的取值范围是

【答案】0<a<8

2

【分析】设9(久)=x-ax-4,求出函数g(x)的两个零点%1，刀2，且<x2,将函数f(%)化为分段函数,

分类讨论a,当a<。时,可知函数/(%)在区间(-8,-2)上不可能单调递增；当a>0时，根据久】的范围可知

恒满足函数/(%)在区间(-8,-2)上单调递增，根据解析式可知f(x)在第+8)上单调递增，再由？<2可解得

结果.

【详解】设g(x)="-ax-4,其判别式4=a2+16>0,所以函数g(%)一定有两个零点，

设函数9(0的两个零点为打,无2，且无1<久2，

22

+2AC日a—Va+16a+Va+16

E0x—ax—4=0得%i=----------,X2=--------/

ax+4,x<xlf

2

所以函数/(%)=/一|g(x)|=2x—ax—A,xr<x<x2,

a%+4,%&

①当a<0时，f(x)在(-叫久i)上单调递减或为常函数，从而f⑺在(-~-2)不可能单调递增，故a>0,

②当a>。时，%!=匕立注<丁=0,

a-Va2+16+2_a+4-Va2+16_Va2+8a+16-Va2+16

+2>o,所以比1>-2,

222

所以-2<%!<0,

因为“吗在(-8/1)上单调递增，所以f(x)在(-8,-2)上也单调递增，

因为〃X)在邑句和(如+8)上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以f。)在邑+8)上单调递增，

44

欲使“X)在(2,+8)上单调递增，只需^w2,得aW8,

综上所述：实数a的取值范围是0<aW8.

故答案为：0<a<8

【点睛】关键点点睛：求解关键有2个：①利用g(x)=产-办-4的零点将函数/⑴化为分段函数；②分

类讨论a,利用分段函数的单调性求解.

题型7构造新函数

【例题7](2022秋•全国•高一期末)已知/(久)=a/+1是定义在R上的函数，若对于任意1<%!<%2<3,

都有33>_2,则实数a的取值范围是()

%]一%2

A.{0}B.[0,+oo)C.[-|，+°°)D.[，。)

【答案】C

【分析】根据不等式构造函数，进而可以判断构造函数的单调性，结合二次函数的性质进行求解即可.

【详解】因为1<%i<%2<3,所以由

"?)二，">一2今/(%1)-/(%2)<-2(X1—X)今/(%1)+2%1</(%2)+2X/

22

构造函数g(x)=以x)+2x,由/■(/)+2xi</(%2)+2X20gOi)<g(%2),

2

因为1<xr<x2<3,所以函数g(x)=f(%)+2x=ax+1+2x是［1,3］上的增函数,

当a=。时，函数g(x)=1+2%是［1,3］上的增函数,符合题意；

当a*0时，函数g(x)=ax2+1+2x的对称轴为：尤=-3,

当a>。时，显然函数g(x)=a/+1+2久是［1,3］上的增函数，符合题意；

当a<0时，要想函数g(x)=a/+1+2久是［1,3］上的增函数，只需3<-i=>a>-|,而a<0,所以一1W

a<0,

综上所述：实数a的取值范围是卜：,+8),

故选：C

【点睛】关键点睛：由上匕3>-2构造新函数g(x)=/(%)+2x=ax2+l+2x是解题的关键.

1X1—%2

【变式7-1J1.(2022秋浙江绍兴•高一统考期末)已知函数"%)="；?产，对任意两个不等实数久户2e

［1,+8),都有>0,则实数a的取值范围是

【答案】(-00,4］

”一)“"2)

【分析】Xj(<)T/(X2)>(J今>0,则虑="+1+/在［1,+8)上单调递增，据此可得答案.

一工2X,—%2XX+1

/(Xl)/(x2)/(X!)/(X2)

【详解】对任意两个不等实数%,“2e［1,+8),由9鱼曰3>o可得1产>0即打Q>o,

巧-不石-蔡乙一整

则£詈=X+1+三在［1,+8)上单调递增，

则取任意%1，%2e［1,+00),%1<%2，有小步-=X1+1+-4--(%2+1+-yr)=(久1-%2),

X、%2X^+l\%2+

(%1+1)(72+1)-a<Q

(x1+l)(x2+l)'

又(%1—%2)<0,(%1+l)(x2+1)>0.

则01+l)(x2+1)-a>0,即a<(%1+l)(x2+1);对任意%L%2W［L+8)恒成立,

注意到(%1+1)(%24-1)>4,则a<4.

故答案为：(-8,4］.

【变式7-1】2(2023秋•四川巴中•高一校考期末周数/(%)=/+5%+2a+1若对于任意%］必e(2,+8),

当均丰右时，都有9*3>o，则实数a的取值范围是

%2一%1

【答案】a<|

【分析】首先将不等式变形，并构造函数九0)=竽=x+等+5,讨论2a+1的正负，结合函数在区间

(2,+8)的单调性，求实数a的取值范围.

【详解】1.对于任意%,%2e(2,+8)当修主町时，都有>0,

%2Tl

f(%2))(%1)

...熏乱>0,令八(x)=®,则h(x)在(2,+8)上单调递增，

%2一汽1X

又二力(%)=x++5,当2a+1<。时,满足题目条件,此时a<—|；

当2a+1>0时，a>-Jx>0时，x+手>2Jx-=2,2a+1,当久=72a+1时,等号成立，根

据对勾函数单调性可知，有侬TI<2,a<|,

综上可知，aW|.

故答案为：aW|.

【变式7-1]3.(2023秋•广东深圳•高一统考期末)已知函数/(%)满足2/(x)+/(-%)=%+|(刀片0).

⑴求y=f(x)的解析式,并求/(久)在上的值域；

⑵若对V/,%2£(2,4)且修*x2,都有了3―)>上(卜eR)成立，求实数k的取值范围.

%2一%1

【答案】(1)/0)=x+1(%*0),/(x)£[-y,-2Vz]

⑵(-22]

【分析】(1)由条件可得2〃-x)+式x)=~x-l，然后可解出f(久)，然后利用对勾函数的知识可得答案；

(2)设4>不>Xi>2,条件中的不等式可变形为/(右)+->/O1)+-,即可得g(x)=/(%)+-=%+

%2X1X

?在区间(2,4)递增，然后分k+2=0、k+2<0、fc+2>0三种情况讨论求解即可.

【详解】(1)因为2/(x)+/(-x)=x+沁羊0)①，

所以2f(-久)+/(%)=-x-^(x0)②，联立①②解得/(久)=x+|(x0)