沪教版九年级数学常见题型专练：相似三角形的判定（6种题型）（原卷版+解析）

第04讲相似三角形的判定（6种题型）

【知识梳理】

一、相似三角形的定义

如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两

个三角形叫做相似三角形.

如图，QE是AABC的中位线，那么在AADE与AABC中，ZADE=ZB,ZAED=ZC；

-=—=—=由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似.用符号来表示，记作AABC,

ABBCAC2

其中点A与点A、点。与点3、点E与点C分别是对应顶点；符号“s”读作“相似于，，.

用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后相应的位置上.

根据相似三角形的定义，可以得出：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似

比（或相似系数）.

（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.

二、相似三角形的预备定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.

如图，已知直线/与A4BC的两边A5、AC所在直线分别交于点。和点E,则A4DEs八钻。.

三、相似三角形判定定理1

如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.

可简述为：两角对应相等，两个三角形相似.

如图，在AABC与A414G中，如果NA=NA、NB=乎,那么AABCsAA14G•

四、相似三角形判定定理2

如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.

可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.

如图，在AABC与A414cl中，乙4=幺，——=——，那么小钻。6然3G.

五、相似三角形判定定理3

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.

可简述为:三边对应成比例，两个三角形相似.

AR

如图，在AA5c与A481G中，如果——=--=——，那么AABCs入481G.

1AB、B]C、A1

六、直角三角形相似的判定定理

如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么

这两个直角三角形相似.

可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.

如图，在而AABC和RfA414G中，如果NC=NC[=90。，丝=型，那么AABCs入412c.

A44cl

【考点剖析】

题型一：相似三角形的预备定理

例1.如图，E是平行四边形ABCD的边胡延长线上的一点，CE交AD于点P.图中有哪几对相似三角

形？

E

例2.如图，在梯形AFCD中，AB//CD,且AB=2CD,点E、F分别是AB、3c的中点，EF与丽相

交于点

(1)求证：NEDMs/SFBM；

⑵若DB=6,求BAf.

题型二：相似三角形判定定理1

例3.根据下列条件判定AABC与ADE尸是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来.

(1)ZA=ZD=70°,ZB=60°,ZE=50°；

(2)ZA=40°,ZB=80°,ZE=80°,ZF=60°.

例4.如图，Z1=Z2=Z3,那么图中相似的三角形有哪几对?

BC

例5.如图，D、E分别是AABC的边AB、AC上的点，S.ZAED=ZB.

求证：AE.AC^AD.AB.

例6.如图，AABC是等边三角形，ZDAE=120°,求证孙AE=

例7.正方形ABCD中，E是4）中点，的1，（2£于点“，他=6厘米，求创1的长.

例8.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,P是AABC内一点，且/APB=NAPC=135。.

求证：ACB4sAAPB.

例9.如图，在AABC中，AB=AC,DE//BC,点尸在边AC上，与BE相交于点G,

1/EPF=/ARE.

(1)求证：ADEFs/SBDE；

(2)DG.DF=DB.EF.

题型三：相似三角形判定定理2

例10.如图，四边形ABCD的对角线AC与80相交于点O,04=2,OB=3,OC=6,00=4.

求证：AO4D与AOFC是相似三角形.

B

例11.如图，点。是AABC的边AB上的一点，1.AC2=AD.AB.求证：AACDMBC.

例12.如图，在AAFC与中，一=—,ZBAD=ZCAE.求证：AABCMED.

AEAD

例13在AABC和AOEF中，由下列条件不能推出AABCs9斯的是()

AD\r

(A)——=—，ZB=ZE(B)AB=AC,DE=DF,ZB=NE

DEDF

ARAC

(C)——,ZA=ZD(D)AB=AC,DE=DF,ZC=/F

DEDF

例14.如图，。是AABC内一点，£是儿46。外一点，ZEBC=ZDBA,ZECB=ZDAB,求证

ZBDE=ZBAC.

例15.如图，在AABC中，ZBAC=90°,AD是边5C上的高，点石在线段。。上，EF±AB,EG1AC,

垂足分别为尸、G.

求证：(1)—=—；(2)FD1DG.

ADCD

题型四：相似三角形判定定理3

例16.根据下列条件判定AABC与ADEF是否相似，如果是，那么用符号表示出来.

(1)AB=2cm,BC=3cm,CA=4cm,DE=10cm,EF=15cm,FD=20cm

(2)AB=1cm,BC=2cm,C4=1.5cm,DE=6cm,EF=4cm,FD=Scm.

例17.如图，在边长为1个单位的方格纸上，有MBC与ADEF.求证：AABC\FDE.

例18.如图，D、E、F分别是AABC的边BC、。、AB的中点.求证：ADEFAABC.

4

点。为AA5c内一点，点E为AA5c外一点，且满足组=变=丝

例19.如图,

ADDEAE

求证:AABDsAACE.

例20.如图，在AABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,AC=2,CD=20,AD=4.

求证：AABCAACD.

例21.已知：如图，在RAABC中，ZACB=90°,AC^2,BC=4,点。在BC边上，且NC4D=NB.

(1)求A。的长；

(2)取A。、AB的中点E、F,联结CE、CF、EF.求证：ACEFMDB.

题型五：直角三角形相似的判定定理

例22.在HAABC和RADEF中，ZC^ZF=90°.依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并

说明理由.

(1)ZA=55°,Z£>=35°；

(2)AC=9,3c=12,DF=6,EF=8；

(3)AC=3,BC=4,DF=6,DE=8；

(4)AB=W,AC=8,DE=15,EF=9.

ACtARAD

例23.如图，在AABC和A44G中，AD±BC,A,DLBC,垂足为。和口，且——=——

1}XXAC]AB[4D]

求证：AABCs八4181G.

例24.如图，四边形ABCD中，ZBAC=ZADC=90°,AD=a,BC=b,AC=y/ab.

求证：DCVBC.

例25.如图，AB1AD,BDVDC,且即2=^.3。.求证：ZABD=ZDBC.

例26.如图，在AABC中，CD_LTW于。，。尸_LAC于尸，DG_LBC于G.求证：CF.CACGCB.

题型六:相似三角形判定综合

例27.如图，直角梯形ABC。中，ZBCD=90°,ADIIBC,BC=CD,E为梯形内一点，且N3EC=90。.将

ABEC绕点C旋转90。使8c与。C重合，得到ADCF,连接EF交CD于点、M.已知3c=5,CF=3,

求DM:MC的值.

例28.如图，在AABC中，CD_LAS于。，。£」&。于£,Z）F_L8C于尸，求证：\CEFACBA.

例29.在比AABC中，ZACB=90°,CD_LAB于点D,E■是AC边上的一个动点（不与A、C重合）,

CFLBE于点、F,连接。？

(1)求证：CB2=BF.BE；

(2)求证：BF>AE=FD.BA.

【过关检测】

一、单选题

1.（2022秋・上海崇明•九年级校考期中）在AABC和必防中，AB=AC,DE=DF,根据下列条件，能

判断AABC和ADEF相似的是（）

ABACAB_BC

C.ZA=ZED.ZB=/F

~DE~~DF1DE~^F

2.（2022秋•上海静安九年级校考期中）如图，下列条件不能判定AABC与VADE相似的是（）

AEADAEDE

B.ZB=ZADEC.ZC=ZAEDD.

AC-AC-BC

3.（2022秋•上海奉贤•九年级校联考期中）如图，小正方形的边长为均为L下列各图（图中小正方形的

边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与相似的三角形是（）

4.（2022秋•上海•九年级校考期中）依据下列条件不能判定AABC和△。所相似的是（）

A.ZA=35°,ZB=ZE=65°,ZF=80°

B.NA=35°,AB=4cm,AC=6cm,ND=35°,ED=8cm,E77=12cm

C.AB=4cm,BC=5cm,CA=6cm,DE=8cm,EF=10cm,FD=12cm

D.ZC=ZF=90°,AB=10cm,AC=8cm,DE=15cm,EF=9cm

5.（2023・上海•一模）如图，正方形ABCD与AEFG在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么

与AEBG相似的是（）

A.以点£、F、A为顶点的三角形B.以点£、F、2为顶点的三角形

C.以点£、F、C为顶点的三角形D.以点E、F、。为顶点的三角形

6.（2022秋•上海嘉定•九年级校考期中）下列各组条件中，一定能推得与所相似的是（）

ABBC口ABBC

A.—=—S.ZB=ZEB.亍=大；且QNA=NE

EFDEEFDE

ABBC口ABBC口

c.—=—且NA=NDD.—=—且ZA=NE

DEEFDEEF

7.（2023•上海徐汇•统考一模）下列命题中假命题是（）

A.任意两个等腰直角三角形都相似

B.任意两个含36。内角的等腰三角形相似

C.任意两个等边三角形都相似

D.任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似

8.（2023•上海杨浦•统考三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称

为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形.如图，已知AABC是6x6的网格图中的格点三角形,

那么该网格中所有与"RC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

9.（2021秋•上海奉贤•九年级校考期中）如图，AB、相交于点O,添加一个条件—，可以使0AOD与

EI20C相似.

10.（2023,上海闵行•统考一模）已知。、E分别是AABC的边A3、AC上的点（不与端点重合），要使得

VADE与AABC相似，那么添加一个条件可以为（只填一个）.

11.（2022秋•上海静安•九年级校考期中）如图，在13ABe中，NAC8=90°,AC=4,3C=3,。是边AB的中

点，过点O的直线I将团ABC分割成两个部分，若其中的一个部分与国ABC相似，则满足条件的直线I共有

条.

12.（2022・上海•九年级专题练习）如图，01=02,添加一个条件使得△ADEEHAC8

AE2

13.（2022秋•九年级单元测试）如图，0ABe中，D、E分别在54、C4延长线上，DE^BC,—=DE

21V-zJ

=1,BC的长度是

14.（2022秋•上海奉贤,九年级校考期中）如图，在四边形A3CD中44C=NADC=90。，添加一个条件

,可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似"证明RMOC4SR3ABC.

15.（2022•上海•九年级专题练习）如图所示，在0ABe中，AB=8cm,BC=16cm.点P从点A出发沿AB向

点2以2cm/s的速度运动，点。从点8出发沿2C向点C以4cm/s的速度运动.如果点尸，。分别从点

A,B同时出发，则秒钟后回尸80与0ABe相似？

B

O

16.（2022春・上海金山•九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABC。中，AB=3,8c=4,点尸为射线BC

上的一个动点，过点尸的直线尸。垂直于4尸与直线C。相交于点。，当2尸=5时，CQ=.

17.（2022秋•九年级单元测试）如图，在中，是斜边上的高.

求证：AACD^AABC.

18.（2022秋•九年级单元测试）如图，点、D,E在2C上，且石〃AC,求证：^ABC〜AFDE

A

19.（2022秋•上海徐汇•九年级校考阶段练习）如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且

乙BAC=ABDC=^DAE.求证：AABE-AACD.

20.（2022秋•九年级单元测试）如图，在B43c中，AB=6,AC=8,点D、E分别在线段A3、AC上，BD

=2,CE=5,求证：0AED00ABC.

2L（2022秋•上海徐汇•九年级校考阶段练习）已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC,AB=OC,E是对角线

3D上一点，NBCE=ZABD

AD

⑴求证：AABD^AECB

⑵求证：DC-^DEDB

22.（2023•上海金山•统考二模）如图，已知AABC是等边三角形，过点A作（DEvBC）,且

DA^EA,联结3D、CE.

⑴求证：四边形OBCE是等腰梯形；

⑵点尸在腰CE上，联结即交AC于点G,若CF;GFBF,求证：CG=^DE.

23.（2022秋•上海•九年级校联考阶段练习）如图，在4x3的正方形方格中，AABC和ADEb的顶点都在边

长为1的小正方形的顶点上.

(1)填空：ZABC=_,BC=_；

(2)判断AABC与ADEC是否相似，并证明你的结论.

第04讲相似三角形的判定（6种题型）

【知识梳理】

一、相似三角形的定义

如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成

比例，那么这两个三角形叫做相似三角形.

如图，DE是AABC的中位线，那么在AADE与AABC中，ZADE=ZB,

ZAED=/C；--—=—=由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似.用符号

ABBCAC2

来表示，记作AADEsAABC,其中点A与点A、点、D与点、B、点E与点C分别是对应顶

点；符号“s”读作“相似于”.

用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后相应的

位置上.

根据相似三角形的定义，可以得出：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两

个三角形的相似比（或相似系数）.

（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.

二、相似三角形的预备定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.

如图，已知直线/与AABC的两边AB、AC所在直线分别交于点。和点E,则AADEs

MBC.

三、相似三角形判定定理1

如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.

可简述为：两角对应相等，两个三角形相似.

如图，在AABC与中，如果NA=NA、NB=印,那么AABCs乙4181G.

四、相似三角形判定定理2

如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个

三角形相似.

可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.

40Ar1

如图，在AABC与A414G中，NA=NA，——=——，那么AABCs乙414G.

BBiCi

五、相似三角形判定定理3

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.

可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.

AR

如图，在AABC与中，如果——=——=^,那么AABCsAA14G.

六、直角三角形相似的判定定理

如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对

应成比例，那么这两个直角三角形相似.

可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.

如图，在比AABC和RfA4121G中，如果/C=NC]=90。，—=-^,那么AAfiCs

A^iB[C]

AA13c.

【考点剖析】

题型一：相似三角形的预备定理

例1.如图，E是平行四边形ABCD的边54延长线上的一点，CE交AD于点F.图中有

哪几对相似三角形？

E

【答案】AEAFsAEBC,AE4FACDF,

A£BCsj\CDF.

【解析】由AB//CD,ADIIBC,可得：

AE//CD,AFIIBC,根据相似三角形预备定理，可得：AEAFNEBC,AEAFs

△CDF,

进而可得：NEBCsACDF,即这三个三角形两两相似.

【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性.

例2.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2CD,点、E、尸分别是AB、3c的中

点,EF与相交于点

(1)求证：AEDMsAFBM；

（2）若DB=6,求BM.

【答案】（1）略；（2）BM=2.

【解析】（1）证明：•.・AB=2CD,E是AB的中点,

:.BE=CD,又ABHCD,

：.四边形EBCD是平行四边形.

:.BC//DE,

NEDMsAF8M.

（2）解：BF//DE,尸为3C中点，

.DM=DE=BC=2.BM=L

"MBBFBF'"BD3

代入可得：BM=2.

【总结】考查相似三角形的预备定理，同时与三角形一边平行线性质定理结合运用.

题型二：相似三角形判定定理1

例3.根据下列条件判定A4BC与AD跖是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号

表示出来.

(1)ZA=ZD=70°,ZB=60°,ZE=50°；

(2)ZA=4O°,ZB=80°,ZE=80°,ZF=60°.

【答案】(1)相似，AABCsM)FE；(2)相似，AABCADEF.

【解析】(1)根据三角形内角和180。，可得NC=5C)o=/E,又NA=/D=70。，根据相似

三角形判定定理1,确立对应关系，即可判定AABCsAO庄；

(2)根据三角形内角和180。，可得/。=60。=//，又4=4=80。，根据相似三角形判

定定理1,确立对应关系，即可判定AABCs

【总结】考查相似三角形判定定理1,部分角度一定的情况下，可根据三角形内角和180。进

行求解.

例4.如图，Z1=Z2=Z3,那么图中相似的三角形有哪几对？

【答案】AADEsMBC,AADEsMCD,

AABCsSACD,NBCDs\CDE.

【解析】根据4=N2=N3,同时有Z4公共角必相等，

根据相似三角形判定定理1,可得AADESMBC,AADESMCD,AABCs

AACD-,同时由4=N3,可得：DE//BC,进而ZEDC=ZDCB,又N2=/3,根据相似

三角形判定定理1，

可得：KBCDskCDE.

【总结】考查相似三角形判定定理1,同时要注意根据题目条件推出一些其它角相等的条件,

注意不要遗漏.

例5.如图，D、E分别是AABC的边回、AC上的点，且ZAED=ZB.

求证：AE»AC=AD.AB.

A

【解析】证明：=NA=NA,

:.MED^AABC,

ADAE

,AC-AS'

即AE>AC=AD>AB.

【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用

即可得出结论.

例6.如图，AABC是等边三角形，Z£)AE=120°,求证孙AE=AB.DE.

【解析】证明：AABC是等边三角形，

:.ZBAC=ZACB=f^°.

■：ZDAE=120°,:.ZDAB+ZCAE^60°.

又ZAGB=NE+/C4E=60°,:.ZDAB=ZE.

AT-)Af>

■.■ZD=ZD,:./\DAB^ADEA,—=—,BPAD»AE=AB.DE.

DEAE

【总结】考查相似三角形的性质和相关相似三角形判定定理1,先判定再应用.

例7.正方形ABCD中，E是AZ)中点，BM_LCE于点M,AB=6厘米，求创/的长.

【答案】-45cm.

【解析】•.•四边形ABCD是正方形,

：.BC=CD=AD=AB=6mZD=90。，AD/IBC.

:.ZDEC=ZBCM,

又NBMC=ND=9。。，

:.NBMC^NCDE,

BM_DC

,正一正‘

是AD中点，DE=-AD=3cm.

2

由勾股定理可得：CE=y]DE2+CD2=3亚cm,

17L

代入可得：BM=—\[Scm.

【总结】考查正方形背景下的直角三角形相似，实际上由直角和平行很容易得到相等的角，

根据相似三角形判定定理1可证相似.

例8.如图，在AABC中，ZACB^9Q°,AC=BC,P是AABC内一点，且/AP3=NAPC=135。.

求证：ACR4sAAPB.

【解析】证明：NACE=90。，AC=BC,

:.ZCAB=45°.

即ZCAP+ZPAB^45°.

ZAPB=135°,

:.ZCAP+ZACP^45°.

:.ZACP^ZPAB.

■：ZAPB=ZAPC=135°,

ACPAsAAPB.

【总结】考查相似三角形的判定定理1,需要根据三角形内角和进行等角转化.

例9.如图，在AABC中，AB=AC,DEIIBC,点F在边AC上，DR与破相交于点G,

且NEDF=ZABE.

(1)求证：NDEFs^BDE；

(2)DG-DF=DB.EF.

A

【解析】证明：([)VDE//BC,:.ZADE^ZABC,ZAED^ZACB.

■：AB=AC,:.ZABC=ZACB,:.ZADE^ZAED,

ZBDE=ZFED,ZEDF=ZABE,；.ADEFsABDE.

(2)•：NDEFs独DE,ZDEB^ZDFE,BPDBEF=DE2.

DEBD

•;NEDG=/EDF,:.NDGE/SDEF,DGDF=DE2.

DEDF

:.DGDF=DBEF.

【总结】考查相似三角形判定定理1,根据题目所求进行相应比例线段的转化.

题型三：相似三角形判定定理2

例10.如图，四边形ABCD的对角线AC与相交于点O,04=2,OB=3,OC=6,

8=4.

求证：AOAD与AOBC是相似三角形.

【解析】证明：•・・。4=2,06=3,OC=6,OD=4,

OA2OP42,OAOC

)OC"6"3'"~OB~~OD

ZAOD=ZBOC,\OAD与\OBC是相似三角形.

【总结】考查相似三角形判定定理2,对应边成比例且夹角相等.

例11.如图，点。是AA5C的边至上的一点，MAC2=AD»AB.求证：AACDAASC.

4

【解析】证明：・・・AC2=A£>.AB,

ADAC

・.・NA=NA,

~AC~~AB

，AACDsAABC.

【总结】考查相似三角形判定定理2,根据题目条件进行比例变形,对应边成比例夹角相等.

4AAC

例12.如图，在AAfiC与AAED中，—,ZBAD=ZCAE,求证：AABCAAED.

AEAD

【解析】证明：•・・ZBAD=NCAE,

:.ZBAD-^ZCAD=ZCAD-^ZCAE,

即ZBAC=ZDAE.

ABAC

AABCsAZ4£D.

AD

【总结】有公共角的两角，加上或减去公共部分，仍相等，根据判定定理2,可判定相似.

例13.在AABC和ADEF中，由下列条件不能推出AABCs的是()

4RAC

(A)—=—,ZB=ZE(B)AB=AC,DE=DF,ZB=ZE

DEDF

AHAC

(C)—=—,ZA=ZD(D)AB=AC,DE=DF,NC=NF

DEDF

【答案】A

【解析】C选项根据相似三角形判定定理2可知，B和D选项中三角形都是等腰三角形，一

底角相等，可推知顶角相等，即两腰夹角相等，根据相似三角形判定定理2可推知.

【总结】考查相似三角形判定定理2的运用.

例14.如图，。是AABC内一点，E是AABC外一点，NEBC=NDBA,NECB=NDAB,

求证：ZBDE=ZBAC.

A

【解析】证明：vZEBC=ZDBA,ZECB=ZDAB,

:.ABADsABCE,ZABC=ZDBE.

BABDHnBABC

BCBEBDBE

「.ABACs她/）石，ZBDE=ZBAC.

【总结】考查相似三角形判定定理2,先判定相似再应用性质得出相关结论证明相似，进行

性质和判定的相互转化.

例15.如图，在AABC中，ABAC=90°,AD是边3c上的高，点E在线段DC上，EFLAB,

EG1AC,垂足分别为b、G.

求证：（1）空=生；（2）FD±DG.

ADCD

A

【解析】证明：

(1)vEG±AC,AD是边3C上的高，

ZADC=ZEGC=90°.

・・・zc=zc,

:,■GCsMOC,

.EGCG

-AD-CD'

(2)­/ABAC=9Q°,EFLAB,EG±AC,

.•.四边形是AFEG矩形，

:.AF=EG.

EGCG

•耘一访‘

AFAD

"~CG~~CD-

VEGVAC,AD是边3c上的高，

即有NZMC+NZMF=90。，ZDAC+ZC=90°,

:.ZDAF=ZC,

.〔AMDsAGCD,

:.ZFDA=ZGDC,

:.ZFDA+ZGDA=ZGDC+ZGDA,

即ZFDG=ZADC,

FD±DG.

【总结】考查相似三角形判定定理1与定理2和相似三角形性质综合题，需要根据题目需求

进行变形，找准题目所求结论，然后根据性质和判定进行灵活转换.

题型四：相似三角形判定定理3

例16.根据下列条件判定AABC与AD即是否相似，如果是，那么用符号表示出来.

(1)AB=2cm,BC=3cm,CA=4cm,DE=10cm,EF=15cm,FD=20cm

(2)AB-1cm,BC=2cm,CA-1.5cm,DE=6cm,EF-4cm,FD-8cm.

【答案】(1)相似，AABCs^DEF.(2)相似，AABCsAEFD.

【总结】本题考查相似三角形的判定定理3,同时注意表示相似时对应点的位置.

例17.如图，在边长为1个单位的方格纸上，有AABC与ADEF.求证：AABC\FDE.

【解析】由图知：BC=1,AC=y/2,AB=4,

DE=垃,EF=2,DF=M.

BCACAB41

,DE-EF-DF-V

MBCsaDE.

【总结】本题考查相似三角形的判定定理3.

例18.如图，D、E、F分别是AABC的边BC、CA.AB的中点.求证：ADEFAABC.

A

【解析】•・・D、E、F分别是边3C、CA.AB的中点,

DE^-AB,FE^-BC,DF=-AC.

222

黑噜=0=2,3EFSAABC.

【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和三角形中位线的性质.

例19.如图，点。为A4BC内一点，点E为AABC外一点，且满足四=生=生.

ADDEAE

求证：AABDAACE.

AABC^AADE.

/.ZBAC=ZDAE,BPZBAD+ZDAC^ACAE+ZDAC.

•*-XBAD=Z.CAE.----=AABD0°AACE.

ADAE

【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识.

例20.如图，在AABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,AC=2,8=26，AD=4.

求证：AABCAACD.

【解析】VZABC^90°,ZACB=30°,AC=2.

A.•.在R/MBC中,

AB=|C=1,BC=6

lABACBC1_

CD=2^，AD=4,•===3，•,AA4BCAACD.

ACi\D\^D，

【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和直角三角形的勾股定理知识.

例21.已知：如图，在RAABC中，ZACB=90°,AC=2,BC=4,点D在BC边上,且

ZCAD=ZB.

(1)求AO的长；

(2)取A。、AB的中点E、F,联结CE、CF、EF.求证：ACEFMDB.

【解析】(1);Z4cB=90。，ZCAD^ZB,

.-.ACAD^ACBA

.CDACAD

"AC~^B~AB'

•••AC2=CD»CB：.CD=1.

在用AADC中，AD=yf5-

(2)•.•点E、■分别是AD、AB的中点,

EF=-BD.

2

在RfAADC、RtAABC中,CE,AD,CF=-AB.

22

.CECF_EFi

"AD-AB-

•••ACEFsAAD5.

【总结】本题考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性质和三角形中位线等知识.

题型五：直角三角形相似的判定定理

例22.在必AABC和必ADEF中，ZC=ZF=90°.依据下列各组条件判定这两个三角形

是否相似，并说明理由.

(1)ZA=55°,ZD=35°；

(2)AC=9,3c=12,DF=6,EF=8；

(3)AC=3,BC=4,DF=6,DE=8；

(4)AB=10,AC=8,DE=15,EF=9.

【答案】(1)相似，两三角形有两组角对应相等，故相似；

(2)相似，两三角形两边对应成比例且夹角相等，故相似；

(3)不相似，两三角形两边对应成比例且有一角相等，但此角不是夹角，故不相似;

（4）相似，斜边和直角边对应成比例，故相似.

【总结】本题考查了相似三角形的判定方法，要灵活运用.

例23.如图，在AABC和A^BiG中，AD1BC,1,垂足为。和且

ACABAD

AGA-®i4A

求证：AABCs/v112c.

【解析】证明：AZ)_L3C,

ZAOC=NAAG=900.

▼ACABAD

4cl其耳a，

,RtAADCsRt"D]Ci,,ZC=ZCj.

同理可得：=AABCsA44G.

【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法.

例24.如图，四边形A5C。中，ZBAC=ZADC=90°,AD=a,BC=b,AC=4ab.

求证：DC±BC.

【解析】证明：=A£>=Q,BC=b,AC=4ab，

ACBC

2

.­.AC=AZ)«BC.~AD~~AC

又丁ZBAC=ZADC=90，

/.AADC^ACAB.

ZACD=ZB.

又;NB+ZACB=90：

ZACD+ZACB=90.

二.DC.LBC.

【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识.

例25.如图，ABYAD,BD1DC,MBD2=AB.BC.求证：ZABD=ADBC.

【解析】证明：••・AB，AD,BDLDC,

NBAD=NBDC=90”.

,BCBD

•••BD'=AB.BC,—

BDAS

•••ABAD^ABDC.ZABD=ZDBC.

【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识.

例26.如图，在AABC中，于D,AC于F,DG,3c于G.求证:

CF・CA=CG£B.

【解析】证明：,•・CDLAB,DFVAC,

ZADC=ZCFD=90.

又ZDCF=ZDCA,NDCFSMCD.

DCCF。

>HRnPDC-^CA»CF.

ACDC

同理可得：DC2=CG»CB,CF-CA=CG-CB.

【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识.

题型六:相似三角形判定综合

例27.如图，直角梯形4BCD中，ZBCD=90°,ADIIBC,BC=CD,E为梯形内一点，且

ZBEC=90°.将ABEC绕点C旋转90。使BC与。C重合，得到ADCF,连接E歹交C。于

点已知3c=5,CF=3,求的值.

AD

【解析】解：由旋转的性质得：AfiECaADFC,

且NBCD=NECF=90.

:.ZBEC=ZECF=90,EC=FC=3,BC=CD=5.

NECF+ZDFC=180):.ECIIDF.

,DM_DF

"~MC~~EC'

在Rt/^DCF中，DF=VOC2-CF2=4.

DM4

'MC"3'

【总结】本题考查了旋转的性质，三角形一边的平行线等相关知识.

例28.如图，在AABC中，CD_LAB于。，DE_LAC于E,DF1.BC于F,求证：ACEF

ACBA.

【解析】证明：CDLAB,DELAC,

ZADC=ZCED=90.

又ZDCE=ZDCA,ADCE^AACD.

DCCF,

—=--HmPDC2=CA»CE.

ACDC

同理，可得：DC?=CF・CB.

CFCE

CA•CE=CF•CB,即=.

ACCB

又ZFCE=ZBCA,AACEF^ACBA.

【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识.

例29在比AABC中，/4CB=90。，8，至于点£>,E是AC边上的一个动点（不与

A、C重合），CFLBE于点、F,连接。足

c

(1)求证：CB2=BF.BE；

(2)求证：BF.AE=FD.BA.

【解析】证明：(1)ZACB=90,CF±BE,

，ZACB=NCFB=90.

又丁/CBF=/CBE,

，\CBF^\EBC.

.CBBE

-1BF~~CB'

CB?=BF•BE.

(2)・・・NACB=90,CD±BA,

ZACB=ZCDB=90.

又「ZCBD=ZCBA,

「•ACBD^AABC.

CB

^CB2=BD^BA.

~BDCB

•*-BF•BE=BD・BA,

.FBBD

又JZABE=ZFBD,

•・AFBD^AABE.

.FBFD

-13A~~AE•

BF・AE=FD・BA.

【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识.

【过关检测】

一、单选题

1.（2022秋•上海崇明•九年级校考期中）在"RC和ADEF中，AB=AC,DE=DF，根

据下列条件，能判断AABC和ADEF相似的是（）

ABACABBC

C.ZA=ZED.ZB=ZF

DE~DFDE~EF

【答案】B

【分析】利用两个三角形的三边对应成比例，两个三角形相似进行判定即可.

【详解】在财BC和中,

BCAC

EFDF

^ABCSBiDEF,

故选B.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法.

2.（2022秋•上海静安•九年级校考期中）如图，下列条件不能判定AABC与VADE相似的

是（）

AEADAEDE

B.ZB=ZADEC.ZC=ZAED

~AC~~ABAC~BC

【答案】D

【分析】本题中已知-A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断.

【详解】解：由图得：NA=NA

••・当4=/位宏或NC=NAED或AE:AC=AD:AB时，41BC与VADE相似；

AE;AD=AC:AB.

D选项中角A不是成比例的两边的夹角.

故选：D.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个

对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三

角形相似.

3.（2022秋・上海奉贤•九年级校联考期中）如图，小正方形的边长为均为1,下列各图（图

中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与AABC相似的三角形是（）

【答案】C

【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相

似，分别计算各边的长度即可解题.

【详解】AABC三边长分别为AC=HF=0，BC=2,AB=A/12+32=V10

A选项三边分别为0,后3,与AABC三边