函数值域与最值十四大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题02函数值域与最值十四大题型汇总

题型1幕函数值域问题...............................................................1

题型2指数函数值域问题.............................................................3

♦类型1值域相关问题.........................................................3

♦类型3由函数奇偶性求解析式................................................5

题型3对数函数值域问题.............................................................5

♦类型1值域相关问题.........................................................5

♦类型2定义域与值域为R问题................................................6

♦类型3新定义相关问题.......................................................7

题型4分式型函数值域问题...........................................................7

题型5对钩与双刀函数值域问题......................................................9

题型6分段函数值域问题............................................................10

题型1绝对值函数值域问题..........................................................11

题型8高斯函数值域问题............................................................12

题型9“倍缩”函数值域问题........................................................14

题型10”类周期函数”值域问题.....................................................15

题型11抽象函数值域问题...........................................................17

题型12复合函数值域问题...........................................................17

题型13三角函数值域问题...........................................................18

题型14函数中的两边逼近思想......................................................19

SKDII

题型1幕函数值域问题

f.丰•、、、

幕函数主要考察一元二次函数

二次函数在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开

口或者讨论A

【例题1】(2022•全国•高三专题练习)对于函数f(x)=+如其中2＞。，若/(x)的定义

域与值域相同，则非零实数a的值为

【变式1-1】1.(2023・全国•高三对口高考)若函数f(x)=x2—6x-16的定义域为［0,利,

值域为［—25,—16］,则m的取值范围为

【变式1-1】2.(2017春・贵州贵阳•高三阶段练习)若函娄妤O)=VaN+bx+c(a,b,c€

R)的定义域和值域分别为集合4瓦且集合｛(“7)|%64>68｝表示的平面区域是边长为1

的正方形，则6+c的最大值为

【变式1-1】3.(2022・全国•高三专题练习)定义在R上的奇函数/(%),当心0时，

/(久)=一/+2久.另一个函数y=g(x)的定义域为［a,b］,值域为［玲，其中aRb,a,

b芋0.在x€［a,b］上,g(x)=/(久).求a,b.

【变式1-114.b,CGR,二次函数/(*)=/+6%+C在(0,1)上与左轴有两个不同的交点，

求。2+(1+6)c的取值范围.

【变式1-1】5.侈选)(2023•山西朔州怀仁市第一中学校校考模拟预测)已知函数f(x)=ax3

+(l-a)x,则()

A.函娄好(久)为奇函数

B.当/(£)=1时，。=-域1

C.若函数f(x)有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为［0,1)

D.若函数f(x)在区间［—1,1］上的值域为［—1,1］,则实数a的取值范围为|—，4］

【变式1-1】6.(2023•全国•高三专题练习)定义：区间跖应］的长度为冷一孙已知函数

丫=/+1的定义域为［。用，值域为［1,2］,记区间口0的最大长度为小，最小长度为九则函数

。(久)=ex-mx+ri的零点个数是()

A.1B.2C.0D.3

【变式1-1］7.(2023春・上海杨浦•高三复旦附中校考阶段练习)已知八幻=%3-3%,函

数y=/(*)的定义域为口句(a,beZ),y=/(x)的值域为［a,句的子集，则这样的函数的个数为

A.1B.2C.3D.无数个

题型2指数函数值域问题

♦类型1值域相关问题

【例题2-1】（2023•全国•高三专题练习）若2/+1<则函数y=2,的值域是（）

A.[MW.[Q]

c.（-8,gD.[2,+oo）

【变式2-1]1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）函数/'（%）=22-2，+1+2的定义域为

M,值域为[1,2],下列结论中一定成立的结论的序号是（）

A.MG（-00,1]B.M2[-2,1]C,1D.0GM

【变式2-1】2.（2023•全国•模拟预测）使函数f（x）=|e「a|的值域为[0,+8）的一个a的

值为.

【变式2-1】3.（多选）（2023•全国•高三专题练习）对任意实数a>1,函数y=（a—l尸一+1

的图象必过定点4（小刀），/（x）=g）,的定义域为[0,2],g（x）=/（2x）+/（%）,则下列结论

正确的是（）

A.m=1,n=2B.g（x）的定义域为[0,1]

C.g（x）的值域为[2,6]D.g（x）的值域为[2,20]

【变式2-1】4.（2020・全国•高三专题练习）设函数/0）=白，（a〉。且a力1）,[河表示

不超过实数m的最大整数，则函数If(久)—4+『(-%)+4的值域是()

A.(0,1,2}B.{—1,o}C.{-1,0,1}D.[0,1}

♦类型2定义域与值域为[ma,河型

邪&重点

对于单调函数定义域值域都已知可转化成两个函数相交问题

【例题2-2】(2023秋•山东济南•高三济南市历城第二中学校考开学考试)给出定义：如果

函数y=/(x)的定义域为[a,句，值域也是[a,b],那么称函数f(x)为"保域函数".下列

函数中是“保域函数"的有(填上所有正确答案的序号).

①/'(%)=y[2x,x6[0,2]；

②/'(%)=%?+%—1,xe[—1,1];

③/(0=432一|S,%6[-1,1]；

④/'(%)=宁Inx+1,xG[l,e2].

【变式2-2】1.(2020春・江苏南京•高三南京市第二十九中学校考开学考试)若函数'=谟

(a>1)的定义域和值域均为[犯初,则a的范围是

【变式2-2】2.(2022•全国•高三专题练习)若函数f(x)=ax(a>0且分1)在定义域[m,n]

上的值域是[序，方<m<ri),则a的取值范围是.

【变式2-2】3.(2023春•上海杨浦•高三复旦附中校考阶段练习)已知/。)=炉—3%,函

数y=f(%)的定义域为[a,0(a力GZ),y=/(久)的值域为[a,句的子集，则这样的函数的个数为

()

A.1B.2C.3D.无数个

【变式2-2】4.(2023•全国•高三专题练习)对于区间[a,6](a<b),若函数y=/(x)同时满

足：①f(x)在［a力］上是单调函数；②函数y=f(x),久e［a,b］的值域是口口，则称区间［a力］为

函娄好0)的“保值"区间.若函数外久)=必+机(小40)存在"保值"区间，则实数小的取值

范围为

♦类型3由函数奇偶性求解析式

【例题2-3】(2023•四川绵阳•绵阳南山中学实验学校校考三模)已知f(x),g(x)分别为定

义域为R的偶函数和奇函数，且/(%)+9(幻=6。若关于X的不等式2〃>)—%2(幻20在

(0,ln3)上恒成立，则正实数a的取值范围是()

A,序+8)B.［0,+8)C.(一8,8D.(o,y］

【变式2-3］(2022春・海南・高三海南中学校考阶段练习)已知定义域为R的偶函数八X)和

奇函数9(%)满足：f(x)+g(久)=2。若存在实数a,使得关于x的不等式

Of(x)—a)(g(x)—a)W0在区间［1,2］上恒成立，则正整数n的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

题型3对数函数值域问题

【例题3-1】(2023秋云南•高三云南师大附中校考阶段练习)定义域为R的函数/(久)满足:

当XC［0,1)时，y(x)=2%-x,且对任意的实数X,均有/'(%)+/(%+1)=1,记a=log23,

贝疗(a)+/(2a)+/(3a)=()

【变式3-1J1.(2021秋湖南益阳•高三益阳市箴言中学校考阶段练习)设函数f(x)=|logM|

(a>0且aH1)的定义域为|m,n|(m<n),值域为[0,1],若"机的最小值为则实数a的

值是

2

【变式3-1]2.(2019秋•陕西榆林•高三校考阶段练习)已知y=log2(x-2x+17)的值域

为[叫+8),当正数a,6满足7焉+焉1=小时，则7a+4b的最小值为()

AJ1C.^±^D.2

4B.4

【变式3-1】3.(2019秋•江苏盐城•高三校考阶段练习)已知fQ)=ln式定义域为D,对于

任意%1,x2GD,当曲一冷|=2时,则-f(%2)l的最小值是•

【变式3-1】4.(2023・高三课时练习)已知函数f(x)=loga沿的定义域为RS),值域为

(logaaQS-l),log(la(a-1)],且函数f(x)为[%£)上的严格减函数，求实数a的取值范围.

♦类型2定义域与值域为R问题

【例题3-2】(2023•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=log3%筌的定义域为R,值域

为[0,2],求m,n的值.

【变式3-2】1.(2019・全国•高三专题练习)已知函数人久)=lg[g2—3爪+2)/

+2(m—1)%+5],mER.

(1)若函数"久)的定义域为R求实数爪的取值范围；

(2)若函数f(%)的值域为R求实数爪的取值范围.

【变式3-2】2.(2022・全国•高三专题练习)若函豺(久)=log?,/+(2k—i)x+1的值域

为R,则实数k的取值范围为

2

【变式3-2]3.(2020•全国•高三专题练习)设函数y=loga(ax+x+a)的定义域是R时,

a的取值范围为集合M;它的值域是R时，a的取值范围为集合N,则下列的表达式中正确

的是（）

A.MaNB.MUN=RC.MDN=0D.M=N

♦类型3新定义相关问题

【例题3-3］（2022•全国•高三专题练习）设函数f（x）的定义域为/,若存在［。力］=/,使得

/（%）在区间［a,句上的值域为［ka,kb］（k6N*）,则称/（久）为九倍函数”.已知函数f（%）=log3

3-何为"3倍函数"，则实数小的取值范围为（）

A.（0,竽）B.（—竽,0）C.（竽,+8）D.（―8,竽）

【变式3-3】1.（2022•全国•高三专题练习）函数/（%）的定义域为O,若满足：⑴/（久）在D

内是单调函数；（2）存在怪打，使得/⑶在浮⑶上的值域为［犯用，那么就称函数f（x）

为"梦想函数若函数/（久）=1。8式&，+。（。>0,。41）是“梦想函数"，则的勺取值范围

是.

【变式3-3】2.（2022・全国•高三专题练习）函数f（x）定义域为，若满足①f（x）在。内是单

调函数；②存在［。力］=。使/'CO在［a,句上的值域为jna,7ib］（neN+ln>1）,那么就称y=/（%）

为"域岫函数",若函娄好（久）=1幅⑷+t），（a>0,a丰1）是"域2倍函数",则珀勺取值范围

为

题型4分式型函数值域问题

WW>/VWWWS/WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWVWWWWWWWWWWS/WWW*/WWWWWVWWWWWWVWW'

即一也t点

分式型函数值域问题：

1.分离常数，通过"左加右减上加下减"可求得分式函数的对称中心.

2.特殊的，形如伪反表对称可以证明J

3.注意"水平渐近线和竖直渐近线"

4.分式型函数值域的方法：分离常数法，换元法，判别式法

【例题4】（2023秋•河南洛阳•高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知函数/㈤=三，

下列结论正确的是（）

A./（X）在（0,6）上单调递减B./（x）的图象关于点（3,6）对称

C.曲线y=/（x）与久轴相切D./（%）的值域为（一8,0］u［12,+8）

【变式4-1】1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知函数f（x）=1-黑的定义域是［则

（a,beZ）,值域为［0,1］,则满足条件的整数对（a力）可以是（）

A.（-2,0）B.（-1,1）

C.（0,2）D.（-1,2）

【变式4-1】2.（多选）（2023•重庆•统考模拟预测）已知函数/■（J=^（a€R）,则下列

说法正确的是（）

A./⑴的定义域为（—8,—2）U（—2,+8）

B./（X）在［—1,0］上的值域为［2-a,l］

C.若/（x）在（—8,—2）上单调递减，贝必＜1

D.若a＞l,则/（幻在定义域上单调递增

【变式4-1】3.（2022•全国•高三专题练习）定义区间出处］长度久2—/（孙＞小）为，已知

函数f（切=3鬻eR,a*0）的定义域与值域都是［以用，则区间［科用取最大长度时a

的值为

【变式4-1】4.（2023秋湖南长沙•高三校考阶段练习）设xeR,用印表示不超过X的最大

整数，贝的=闭称取整函数，例如：［―3.7］=-4,［2.3］=2.已知/（%）=罪,则函的=［/（切

的值域为（）

A.（―B.{—：,1}C.（—1,0）D.{-1.0）

【变式4-1】5.（2020・全国•高三对口高考）已知函数g（%）="爰罟的值域是{yll<y<9}z

求函数/（%）=求函+8%+b的定义域和值域.

【变式4-1】6.已知当肌为非零实数，f（x）=1^3eR,且葭2）=2,f⑶=3若当x片一?时,

对于任意实数x,均有f（f（x））=x,则⑼值域中取不到的唯一的实数是.

【变式4-1】7.（多选）（2023•广东深圳•红岭中学校考模拟预测）已知函数/（x）=券,

则（）

A.函数f（x）是增函数

B.曲线y=f（x）关于［J）对称

C.函数/（比）的值域为（0,9

D.曲线y=/（久）有且仅有两条斜率为割切线

题型5对钩与双刀函数值域问题

【例题5】（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（久）=»+2具有以下性质：如果常数

k>0,那么函数/（x）在区间（0,4）上单调递减，在区间［、尻+8）上单调递增，若函数

y=x+?Q21）的值域为［a,+8）,则实数a的取值范围是

【变式5-1】1.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（久）=三^龙〉1）,则函数的值域

是

【变式5-1］2.（2023・全国•高三专题练习）对于定义在R上的奇函数y=/（%）,当%>0时,

/。）=2、+一，则该函数的值域为

【变式5-1]3.（2023秋・湖北•高三孝感高中校联考开学考试）下列函娄好1（久）=sin2%+a

1111

-/2（x）=x+-/3（x）=e%+//式刀）=Inx+蔡中，函数值域与函数/'（x）=y+后的值域完

全相同的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式5-1】4.（2022・全国•高三专题练习）已知函娄好（J=/富_1王e[0,1],则该函数

的值域为

【变式5-1]5.函数长幻=的值域为（）

Z+-L

A,[5,+8）B.[4,+8）（-（5,+oo）口.（4,+8）

题型6分段函数值域问题

A.惇,1)B.降1)

C.（1,V2]D.（1,V2）

【变式6-1】1.（2023•全国•高三专题练习）设函数y=/（x）由关系式久|x|+y|y|=l确定,

函婀%）=后笔襄3则（）

A.g（x）为增函数B.g（x）为奇函数

C.g（x）值域为[-1,+8）D.函数y=/（-刀）—g（x）没有正零点

【变式6-1】2.（2023・北京•高三专题练习）设函数f（x）={/，嗯'+1,:北给出下列

四个结论：①函数八比）的值域是8②Va>l,方程f（x）=a恰有3个实数根；③mx（）eR+,

0

使得f（一久0）-f（Xo）=；④若实数<x2<x3<x4l且/■01）=/（X2）=/（%3）=f（久4）•则

4

Q1+X2)(x3-%4)的最大值为4e-卷其中所有正确结论的序号是

【变式6-1]3.(2023春•江西鹰潭・高三贵溪市实验中学校考阶段练习)已知函数sgn(久)=

(—1,%〈0

\。,％=0,关于函数/(%)=Sgn(x-TT)sinx有如下四个命题：

(l,x>0

①久久)在昌n]上单调递减；②f(lg2)=—/(呜)；

③/(*)的值域为[―1,1]；④/(X)的图象关于直线X=TT对称.

其中所有真命题的序号是

【变式6-1】4.(2023•北京•高三专题练习)设函数=,/(%)的值域

是，设9(%)=/(x)-双刀-1),若g(x)恰有两个零点，则a的取值范围为.

题型7绝对值函数值域问题

【例题7】(2022秋•上海普陀•高一曹杨二中校考阶段练习)设。<a<b,若函数y=

|log2%—1],久e[a,0的值域为[0,1],贝M+b的取值范围是

【变式7-1]1.(2022•全国•高三专题练习)设函数,0)=|2，-1|的定义域和值域都是

[a,b],贝[]a+6=.

【变式7-1]2.(2022秋•上海嘉定•高三校考期中)已知/Xx)=|(%-a)-(x-3a)|,若函

数y=f(x),xG[0,1]的值域为[0/(1)],则实数a的取值范围是

【变式7-1】3.（2022•全国•高三专题练习）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（|x|+l）

=2/（因—1）.若当％“0,1）时，/（%）=1-|2%-1|,则/⑶在区间（—1,3）上的值域

为,g（x）=f（x）-永在区间（一1，3）内的所有零点之和为

【变式7-1】4.（2020秋河南•高三校联考阶段练习）已知函数/（x）=-暴3+©，且函数

gQ）=|f（x）—川―1有且只有两个零点，若旗k）=lg（9k2—360）,则h（k）的值域为（）

19

A.（一叫3）B.（-y,0）

C.（0,+8）D.（一啮

【变式7-1】5.（2023•北京•高三专题练习）设函数/（%）={/1,:空给出下列四

个结论：①函数"久）的值域是R；②Va>l,方程f（x）=a恰有3个实数根；③

使得/（一久0）-/（孙）=0；④若实数<X2<X3<X4,且/'（久I）=/'（久2）=f（%3）=/（久4）•则

4

（Xi+x2）（x3-应）的最大值为4e-9其中所有正确结论的序号是

题型8高斯函数值域问题

错误的是（）

A.f(x)是R上的增函数B./(久)是奇函数

C.9(久)是非奇非偶函数D.g(x)的值域是{-1,0,1}

【变式8-1】1.(2023•全国•高三对口高考)给定集合4={ai,a2，a3"・an}(neN,nN2),定

义七+矶1<i<j<n,i,jeN*)中所有不同值的个数为集合A两个元素的容量,用心⑷表示.

①右4=[0,1,2,3),则L(4)=

②定义函数/(久)=[x•团]其中因表示不超过X的最大整数，如[1.5]=1,[—1.3]=—2,当

xG[n,n+l)(n>3,nGN)H^,函数/'(x)的值域为A,若L(4)=2013,则n=；

【变式8-1】2.(2023春•四川绵阳•高三绵阳中学校考阶段练习)已知xeR,符号团表示

不超过x的最大整数，若函娄好(久)=4(“>0),则给出以下四个结论：

①函数;■(%)的值域为[0,1]；

②函数f(x)的图象是一条连续的曲线；

③函数/■(%)是(0,+8)上的减函数；

④方程f(x)=a有且仅有3个根时，

其中正确的序号为

【变式8-1】3.(2022秋・江西赣州•高三赣州市赣县第三中学校考开学考试)定义函数

/(%)=[%[%]],其中冈表示不超过x的最大整数，例如口.3]=1,卜1.5]=-2,[2]=2,当xe[0,n)

1111

时，/(X)的值域为An,记集合An中元素的个数为厮，则*r+=+}r+…+嬴丰消勺

值为

【变式8-1】4.(多选)(2022•全国•高三专题练习)高斯是德国著名的数学家，近代数学

奠基者之一，享有"数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其

名字命名的“高斯函数"为：设xeR,用团表示不超过屈勺最大整数，贝的=因称为高斯函

数，[-3.5]=-4,[2.1]=2.下列命题是真命题的是()

A.BxeR,x>[x]+1

B.Vx,yeR,[x]+[y]<[x+y]

C.函数y=［x］(xeR)的值域为［0,1)

D.若mteR,使得凹=1,］4］=2,［卢1=3,…，［严］=〃—2同时成立，则正整数九的最

大值是5

题型9“倍缩”函数值域问题

【例题9】(2023春•浙江宁波•高三宁波市北仑中学校考期中)已知函数f(x)=V7不T+m,

若存在区间［a,句(b>a2—1),使得函数f(x)在［a,句上的值域为［2a,20,则实数小的取值范

围是()

171

A.m>——oBZ.0<m<-

17

C.m<—2D.——o<m<—2

【变式9-1］1.(2023•全国•高三专题练习)对于函数y=/(%),若存在区间［a,6］,当xG［a,b］

时，/(%)的值域为［ka,kb］,则称y=/(吗为k倍值函数.若/'O)=e，是k倍值函数，贝收的取值

范围为()

A.(0,3B.(l,e)C.(e,+8)D.(1,+c»)

【变式9-1】2.(多选)(2023•云南昆明•昆明市第三中学校考模拟预测)函数/(%)的定义域

为。，若存在闭区间口句CD,使得函数;'(X)同时满足①/0)在［a,6］上是单调函数；②f(x)

在［a,句上的值域为%a,kb］(k>0),则称区间［a,与为/'(X)的2倍值区间”.下列函数存在"3

倍值区间”的有()

A./(x)=InxB./(x)=|(x>0)

C./(%)=%2(x>0)D./(%)=/i(0<%<1)

【变式9-1】3.(2022・全国•高三专题练习)设函数/(%)=Hn%+2,若存在区间口句£

[1,e],使/。)在口句口中6)上的值域为[k(a+l),k(6+l)L则实数k的取值范围是.

【变式9-1]4,(2022秋•江苏宿迁•高三校考开学考试)已知二次函数/。)=〃2

+bx^a丰0),满足/(久+1)为偶函数，目方程/(久)=%有两个相等的实数根，若存在区间[皿河

使得/'(x)的值域为[3m,3n|,则m+n=.

【变式9-1】5.(2022秋・重庆北倍・高三统考阶段练习)已知OW/nVn,若函数/(久)在

X&[??1网上的值域是他小,/01|,则称/'(X)是第k类函数.

⑴若f(吗=1-/是第k类函数，求如勺取值范围；

(2)若f(久)=4x-/是第2类函数，求私n的值.

题型10“类周期函数”值域问题

.王•、、、<

"似周期函数"或者"类周期函数"，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：

1.是从左往右放大，还是从右往左放大.

2.放大(缩小)时，要注意是否函数值有0.

3.放大(缩小)时，是否发生了上下平移.

【例题10】(2022•全国•高三专题练习)定义在R上的函数/'(%),当xe[-1,1]时，/(%)=/

+x,且对任意x,满足f(x+3)=2/(%),则“X)在区间[5,7]上的值域是

【变式10-1]1.(2023・全国•高三专题练习)已知函数f(x)=I2)A>f2，其

中aeR,给出以下关于函娄好(久)的结论:

①/(3=2②当Xe[0,8]时，函数八吗值域为[0,8]③当keQ,l]时方程/(X)=质恰有四个实

根④当X6[0,8]时，若f(x)W29+a恒成立，贝—VL其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【变式10-1】2.(多选)(2023春•辽宁朝阳•高三校联考开学考试)已知函数/")=

(8—811—%L04x<2,

11/(X-2),%>2,则下列说法正确的是()

A.吗)=1

B.当丁€[2,6]时,函娄好(%)值域为[0,4]

C.当时，方程/(%)=依恰有6个实根

D.若f(久)22-久+a(aeR)恒成立，贝[|aW—1.

【变式10-1】3.(多选)(2022秋福建厦门•高三厦门外国语学校校考期中)已知函娄好⑴

的定义域为[0,+8),且满/(乃={]。：：(二’：)黑比,2)当久“时，/(》)="(久—2),人为

非零常数，则下列说法正确的是()

A.当2=-1时，/'(log280)

B.当>>0时,f(x)在[10,11)单调递增

C.当4<—1时，/(%)在[0,4n](neN*)的值域为Q"T,2I]

D.当4>0时，且时，若将函数以乂尸症1与/⑴的图象在[0,2n](neN*)的m个交点

记为(%,%)。=1,2,3,...m),则Z,[xt+yt)=n2+An-1

【变式10-1】4.(2023・全国•高三专题练习)设函数f(x)的定义域为R,满足

f(x-2)=2久琦,且当xe(0,2]时，f(久)=x(2-久).若对任意xe[a,+oo),都有/'(x)<|成

立，则a的取值范围是()

A.+B.[|,+oo)

C.(—00,—|]D.(—8,—1]

【变式10-1】5.(2022秋•广东深圳•高三北师大南山附属学校校考阶段练习)设函娄好(%)

的定义域为R,满足/0-2)=2/(久)，且当xe[—2,0)时,/(%)=-2x(%+2).若对任意

Q__

%e[m,+00),都有f(x)<则机的取值范围是

题型11抽象函数值域问题

【例题11】(2023福建泉州•泉州五中校考模拟预测)已知函数/⑺的定义域为R,值域为

(0,+oo),且f(%-y)f(x+y)==2,函数g(x)=f(%)+f(-x)的最小值为2,

则W：/9=()

A.12B.24C.42D.126

【变式11-1]1.(2023•全国模拟预测)已知函娄好(x)的定义域为R,值域为(0,+8),若

「2023

/(%+1)/(%-1)=4,函数〃>一2)为偶函数,7(2024)=1,则〉f(n)=()

Jn=l

A.4050B.4553C.4556D.4559

【变式11-1】2.(2022秋•陕西咸阳•高三武功县普集高级中学校考阶段练习)设定义在R

上的函数f。)满足f(0)=1,且对任意的X、ye/?,都有2f(xy+l)=/(x)"(y)—f(y)

-2x+6,则函数9(久)=x-77面的值域为()

A.[1,+8)B.[—1,+8)

C.[0,4-00)D.|一1,+8)

题型12复合函数值域问题

【例题12】(2022•全国•高三专题练习)已知=则函数尸(x)=

/(/(%))-2f(x)的值域为

【变式12-1】1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数久支)是(0,+8)上的单调函数，且

/(/(x)-x-|Og2%)=5,则/比)在[1,8]上的值域为()

A.[2,10]B.[3,10]C.[2,13]D.[3,13]

【变式12-1】2.(2022秋•福建福州•高三福州三中校考阶段练习)定义在R上的函数f(x)

的值域为(0,(),且$也[/(久)]=(：05[7(2"—1)].若/(2)=1,则()

A./(1)=IB./(log23)=1C./(7)=7-1D./(127)=3-1

【变式12-1】3.(2022秋•天津和平・高三耀华中学校考阶段练习)(2022秋•上海浦东新•高

三上海南汇中学校考期中)已知定义在R上的偶函数f(x),满足[f(久)]3-(WK—久2人久)+久2

=0对任意的实数%都成立，且值域为[0,4设函数。0)=昌一训一|%—1|(m<l),若对任

意的打6(—2,)存在%2>%使得9(K2)=/(肛)成立，则实数机的取值范围为.

题型13三角函数值域问题

【例题13](2022秋・福建福州•高三校联考期中)函数/⑶=cos(x-3-sin3x的值域

是.

【变式13-1]1.(多选)(2022•江苏常州统考模拟预测)已知函数f⑺=|sinx|cosx,xe

R,贝U()

A.函数/(久)的值域为[—技|

B.函娄好(久)是一个偶函数，也是一个周期函数

C.直线"与是函数"幻的一条对称轴

D.方程f(x)=10g4X有且仅有一个实数根

【变式13-1】2.(2022・四川泸州统考一模)已知函数f(x)=sin乳任取t€R,记函数”支)

在[t,t+1]上的最大值为Mt,最小值为nit,设h(t)=—则函数h(t)的值域为()

A.[1—容1]B.『一等1+阴

C.[1—争闾D.惇,1+%

【变式13-1】3.(2023•北京海淀•高三专题练习)设函数/0)=

一acos久(1+cos2%),0<x<^

—acosx+cos2x,^<x<n'

(1)当a=l时，/(%)的值域为；

(2)若久久)=a恰有2个解，贝M的取值范围为

【变式13-1]4.(2023秋•江苏南通・高三统考开学考试)已知函娄好(久)=4sin(3久+6+1

(3>0,\<p\<=),满足对V久eR/(xi)<f(x)<f(%2)恒成立的Z-划的最小值为),且对

任意x均有f悟+%)=嚏-，恒成立.则下列结论正确的有

①函数y=/(久)的图像关于点(―黑)对称：

②函数y=/(久)在区间仁制上单调递减；

③函数y=((%)在(0,。上的值域为(1—2V3,5)

@y=f(X)表达式可改写为/'(久)=4cos(2x-%)+1：

⑤若x1,x2为函数y=/(x)的两个零点，则出一久2l为与的整数倍.

【变式13-1]5.(多选)(2023•全国•高三专题练习)已知函数%(x)=sinnx+cosn久，

O6N*),则下列说法正确的是()

A.九(久)在区间[冶用上单调递增

B.f4(%)的最小正周期为毛

C.%⑺的值域为(-争乎)

D.九。)的图象可以由函数g(x)=3in4式的图象，先向左平移段个单位，再向上平移泠单

位得到

题型14函数中的两边逼近思想

4

【例题14】(2021春•湖州期末)若存在正实数x,y使得不等式In比—尤2+121叩+例—In

4成立，则x+y=()

A.乎B.V2