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文档简介
重难点专题1-1函数对称性周期性问题
近4年考情
考题示例考点分析关联考点
2023年新高考2卷,第6题对称性与函数交点个数问题函数对称性的识别
导函与原函数数对称性问
2022年新高考1卷,第12题函数对称性与周期性题的转换,由平移关系得出
对称性
函数轴对称与中心对称的
2022年全国乙卷,第12题函数对称性与周期性抽象表示式,由对称性得出
周期
由平移关系得出对称性,再
2021年新高考2卷,第8题函数对称性与周期性
由对称性得出周期
由平移关系得出对称性,由
2021年甲卷(理),第12题函数对称性与周期性
对称性得出周期
函数轴对称与中心对称的
2021年甲卷(文),第12题函数对称性与周期性抽象表示式,由对称性得出
周期
模块一a热点题型解读(目录)
【题型1】识别对称轴,对称中心.................................................2
【题型2】由对称求解析式........................................................3
【题型3】由平移前后关系得出原函数对称性.......................................4
【题型4】与对称性有关的材料题.................................................4
【题型5】通过周期性求值或解析式...............................................5
【题型6】由对称性进而得出周期.................................................7
【题型7】类周期函数与倍增函数................................................10
【题型8】由中心对称求出函数中间值...........................................11
【题型9】由对称性求交点坐标的和..............................................13
【题型10]由解析式看出对称性.................................................15
【题型11】由对称性解函数不等式...............................................16
【题型12]由解析式看出对称中心再解函数不等式.................................17
【题型13]由解析式看出对称轴再解函数不等式...................................18
【题型14]配凑后得出新函数的对称性...........................................18
【题型15】已知一个对称轴(中心)和周期.......................................19
【题型16】涉及导函数对称性问题...............................................20
【题型17】两个函数混合型......................................................24
【题型18]两个函数混合且涉及导数.............................................25
模块二4核心题型•举一反三(讲与练)
【题型1】识别对称轴,对称中心
核心•技巧7
rri4-rj
若/(m+x)=/("-x),且竺h=匕回"X)关于x=Z,对称
若f(m+x)+f(n-x)=2b,且m;"=as^/(x)关于(a,b)对称
1.设是定义域为R的奇函数,且〃l+x)=〃f).若/)
15
AB.——cD.
--I3-I3
【答案】C
【详解】由题意可得:
【巩固练习。(多选题)已知函数“X)的定义域为R,“X+,为奇函数,且对于任意xeR,都
有〃2-3x)=〃3x),则()
A./(x+l)=/(x)
C./(x+2)为偶函数
【答案】BCD
【解析】由/(2—3x)=〃3x),得〃2—x)于(x).
由+,是奇函数,得了(x+;]=-/,x+;),即/(x)=—/(l—x),
所以/(2_尤)=_/(1-尤),即/(x+l)=_=(x),所以〃x+2)=/(x),故选项A错误;
由〃力=一/(1一力,得(£|=0,由〃%+1)=-得了[]=-[-;),所以/[-£|=。,故
选项B正确;
由〃x+2)=/(x),f(2-x)=f(x),</(2-x)=/(2+x),即"x+2)为偶函数,故选项C正确;
由〃同=_〃1一力,f(x+2)=f(x),得=贝I=
即/卜一g)为奇函数,故选项D正确.
【巩固练习2】已知函数〃x)=最匕的图象关于点(I"⑴)对称,则”=()
A.1B.2C.eD.e2
【题型2】由对称求解析式
/康心•技巧
一、把/(x)的图像关于x对称,对称后的函数为g(x),贝Ig(x)=/(2a—x)
证明:设对称后的点为(x,y),则点(2a-x,y)在了⑴上,故y=/(2a-x),即g(x)=/(2a—x)
二、把/(x)的图像关于(。,。)对称,对称后的函数为g(x),贝4g(x)=26—/(2a—x)
证明:设对称后的点为(x,y),则点(2。一工,26-、)在了。)上,代入可得2b—y=/(2a-x),则有,
y=2b—f(2a-x)Fpg(x)=2b-f(2a-x)
2.(2024・四川成都•三模)函数y=32"与y=312的图象()
A.关于x=2对称B.关于x=l对称
I1
c.关于尤=;对称D.关于x=:对称
24
【巩固练习1】若函数y=g(x)的图象与y=ln尤的图象关于直线尤=2对称,则g(x)=
【题型3】由平移前后关系得出原函数对称性
核心•技巧7
若已知/5a+b)+c是奇(偶)函数求/(x)对称性
a)+6是偶函数g/O)关于x=a对称,/(〃认+⑶+6是奇函数0/。)关于(a,b)对称
举个例子:
若/(2尤+1)+3是奇函数
证:设/(无)关于x=a对称,通过函数图像的平移和伸缩变换求出a,b的值
f(x+l)f(2x+l)/(2x+l)+3
对称中心(a,。)
I2叼
2024•江苏高邮•统考
3.定义在R上的函数y=/(x)和y=g(x)的图象关于y轴对称,且函数y=/(x-2)+i是奇函数,则
函数y=g(x)图象的对称中心为()
A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)
【巩固练习】已知函数/(X)的定义域为R1(l-2x)为偶函数,1)为奇函数,贝IJ()
A./(0)=0B./(-2)=0
C./(-3)=0D./(-5)=0
【题型4]与对称性有关的材料题
核心•技巧
结合材料得出结论,再解决问题
4.(多选)在学习了函数的奇偶性后,小明同学发现:函数y=/(x)为奇函数的充要条件是y=/(x)
的图象关于坐标原点成中心对称,可以引申为:函数y=/(x+a)-6为奇函数的充要条件是
y=/(力的图象关于点尸(。,3成中心对称.已知函数"x)=%3+"V+2m一4的图象关于(2,0)
成中心对称,则下列结论正确的是()
A./(2)=1B./(4)=4
C.m+n=—1D./(2+尤)+/(2—x)=0
【巩固练习1】(多选)已知函数y=/(x)的图象关于P(a/)成中心对称图形的充要条件是
y=f(尤+°)-)是奇函数,函数1/(无)的图象关于x=。成轴对称图形的充要条件是y=/(x+a)是
偶函数.则下列说法正确的是()
A./(x)=/-3/的对称中心为(1,_2)
B./(x)=尤'-4尤3+6^2-4x关于x=l对称
c./(x)=4一的对称中心为(1,-2)
x-1
X—2
D./(■=J「〈的图象关于(一象0)对称
厂-4.x+5
【巩固练习2】(2023上•湖南长沙•高一长沙一中校考)我们知道,函数y=/(x)的图象关于坐标原
点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(X)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=/(x)
的图象关于点P(a,6)成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x+a)-b为奇函数.
(1)请你利用这个结论求得函数/(x)=V+3d的对称中心为.
⑵已知函数g(x)=--尤3―3/与一次函数y=z(x+i)_3有两个交点加(为,%),
x+1
则无1+必+%+%=.
【题型5】通过周期性求值或解析式
核心•技巧
(1)求解与函数的周期有关的问题,应根据周期定义,从而求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性,可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题.
周期函数的常见条件
一、若/(X)+/(尤+a)=C(c为常数),则/(%)周期为2a.
证明:令无=x+an/(x+a)+/(x+2a)=c,两式相减得了(x+2a)-/(x)=0
即/(x+2a)=/(x),故7=2同
二、若/(%+。)=则丁=2同(相对少见)
F(X)
证明:由/(%+。)=^~7,得/+~~-=f(x)^T=2\a\
/(x)f(x+a)
三、其它周期条件
设函数y=/(x),xeR,a>0,a1b.
(1)若〃x+a)=/(x-a),则函数f(无)的周期为2a;
(2)f(x+a)=-f(x),则函数/(x)的周期为2a;
若/(%+〃)=---;~~r
(3)右I)〃尤),则函数/(X)的周期为2a;
若小f,
(4)则函数〃x)的周期为2a;
(5)若〃x+a)=〃x+。),则函数〃x)的周期为|。一小
(6)若函数“X)的图象关于直线x=a与x=b对称,则函数“X)的周期为2。-4;
(7)若函数“X)的图象既关于点(。,0)对称,又关于点他,0)对称,则函数“X)的周期为2弧-4;
(8)若函数/(x)的图象既关于直线x=a对称,又关于点。,0)对称,则函数/(x)的周期为4忸-4;
(9)若函数/(尤)是偶函数,且其图象关于直线%对称,则/(x)的周期为2a;
(10)若函数f(尤)是奇函数,且其图象关于直线x对称,则/(X)的周期为4a.
三、周期与对称性的区分
1.若/'(x+a)=±/(x+6),则f(x)具有周期性;
2.若+a)=±f(b-%),则f(x)具有对称性:
口诀:“内同表示周期性,内反表示对称性''
5.(2024•陕西西安•二模)已知定义域为R的函数Ax)满足/(x+2)=-/(x),且当0<x<2时,
/(x)=3'-lnx,贝4/(211)=.
【巩固练习1】(多选)已知回(团是定义在回上的函数,且对于任意实数回恒有回(回+2)=-回(回).当回6
[。,2]时,团闻=一呼+2固则()
A.回(回)为奇函数
B.团(团在回G[2,4]上的解析式为回(回)=呼一60+8
C.C回)的值域为[。为
D.0(1)+回(2)+0(3)+•+回(2022)=1
【巩固练习2]设回(回)是定义在回上的周期为2的偶函数,已知回e[2,3]时,0(0)=0,则团e[-2,。]时,
回(助的解析式为目(0)=()
A.13+4B.2—回
C.j—|0+i|D.2—|0+i|
【题型6】由对称性进而得出周期
核心•技巧
一、若/(X)关于x=4和(b,c)对称,则7=川〃-4(类比三角函数)
证明:由对称轴可得/(%)=/(2。一%),
由对称中心可得/(x)+f(2b-x)=2c=>f(x)=2c-f(2b-尤)
贝I有f(2a-x)=2c-f(2b-x),
令x=2a-x,则有f(x)-2c-f(2b-2tz+x)=>/(%)+f(2b-2a+x)=2c,
ikT=2\2a-2b\=4\a-b\
三、若/(%)关于(a,C)和他,C)对称,则T=2|a-6|(类比三角函数)
f(-x)+f(x+2a)=2c
证明:由对称性可得4,则/(x+2a)=/(x+2Z?),故T=|2a-24
/(—九)+/(%+2。)=2c
四、若/(X)关于x=。和x对称,则T=2|a-b|
f(-x)=f(x-2a)
证明:由对称性可得</(X—2a)=/(%_2Z>),故T=|2a—26]
f(-x)=f(x-2b)
2021全国甲卷(文)12题——由对称性得出周期性求值
6.设〃x)是定义域为R的奇函数,且〃l+x)=〃-x).若/㈢=;,则/《)=()
55
A.B.C.D.
333
2021新高考2卷第8题——由对称性得出周期性求值
7.已知函数的定义域为R,〃x+2)为偶函数,/(2x+l)为奇函数,则()
A.C=。B./(-1)=0C."2)=0D./(4)=0
2024•广东省一模
8.(多选)已知偶函数的定义域为R,+l1为奇函数,且人无)在[0』上单调递增,则下
列结论正确的是()
A.B.心>。C.〃3)<0D./[喂|>0
2024•安徽芜湖•二模
2024
9.已知函数〃力的定义域为R,且〃x+2)-2为奇函数,〃3x+l)为偶函数,/⑴=0,则无)
k=l
=()
A.4036B.4040C.4044D.4048
10.已知函数的定义域为R,”x-2)为偶函数,/(x-3)+/(-x+l)=0,当xe[T,0]时,
19
f[x)=x+\,则(无)=()
k=\
A.19B.0C.1D.-1
2024•山东济宁•一模
11.设函数f(x)定义域为R,/(2x-l)为奇函数,2)为偶函数,当xe[0,l]时,/(x)=x2-l,
贝1)/(2023)_/(2024)=()
A.-1B.0C.1D.2
12.(多选)己知函数〃x)的定义域为R,若/(2x-l)+/(3—2x)=2,且〃x-2)为偶函数,八2)=2,
则()
A./(x+4)=/(x)B./(2024)=0
25
C./(3)+/(9)=2D.£/(0=25
Z=1
2024•浙江•Z20第二次联考
13.函数“可是定义在R上的奇函数,满足/(I-x)=〃l+x),〃l)=-l,以下结论正确的是()
A./(3)=0B.7(4)=0
20232023
C.£/(幻=0D.£/(2左一1)=0
k=lk=l
2024•河北张家口•一模
14.已知定义在R上的函数满足:)=2J(x)-/(4-x)=0,且〃0)=2.若
2024
ieN*,则三")=()
i=\
A.506B.1012C.2024D.4048
【巩固练习1](2024•湖南长沙•二模)已知定义在R上的函数/(%)是奇函数,对任意xeR都有
+当/(-3)=—2时,则”2023)等于()
A.2B.-2C.0D.-4
【巩固练习2】(2024.高三.辽宁营口.期末)设函数“X)的定义域为R,/(》+1)-3为奇函数,/(x+2)
2023
为偶函数,当龙目1,2]时,f^x)=cvc+b.若/(一1)+/(0)=1,则/)
2
A.-卫11
B.—D
1212c1-1
【巩固练习312021全国甲卷(理)12题
2
设函数〃力的定义域为R,/(x+1)为奇函数,〃x+2)为偶函数,当xw[l,2]时,f(x)=ax+b.若
〃0)+〃3)=6,则/
A-B-4c-7D-I
【巩固练习4](2024•内蒙古呼伦贝尔•二模)已知定义在R上的函数(0)满足/(2+一支)=
4%.若f(2久一3)的图象关于点(2,1)对称,且f(0)=0,则f(l)+f(2)+…+f(50)=()
A.0B.50C.2509D.2499
【巩固练习5】(2024全国•三模)(多选)已知函数定义域为R且不恒为零,若函数y=/(2x-l)
的图象关于直线x=l对称,y=〃2-x)+l的图象关于点(0,1)对称,则()
A./(x+6)=/(x)
B./(10)=0
C.x=7是/'(尤)图象的一条对称轴
D.(56,0)是图象的一个对称中心
【题型7】类周期函数与倍增函数
核心•技巧
类周期函数的定义:若y=/(x)满足:7(x+M=外(尤)或兀0=领工"),则y=/(x)横坐标每增加m个单位,
则函数值扩大左倍.此函数称为周期为根的类周期函数.
1、类周期函数
若y=/(x)满足:/0+m)=炉0)或/。)=50-》1),则y=/(x)横坐标每增加,〃个单位,贝"函数
值扩大左倍.此函数称为周期为,"的类周期函数.
2、倍增函数
X
若函数y=f(x)满足于(mx)=勾'(x)或/(%)=做一),则y=/(X)横坐标每扩大”Z倍,则函数值扩大
m
k倍.此函数称为倍增函数.
2024•辽宁•二模
a1
15.己知函数/(X)的定义域为R,满足〃x+l)—2/(x)=0,且当xe(O,l]时,小)=/_#,
则小[彳]的值为____.
&=11)
16.定义在R上的函数〃x)满足〃x+l)=;〃x),且当xe[0,l)时,/(x)=l-|2x-l|,当xe
时,y=〃x)的值域为()
A.B.[0,1]C.J/D.0,1
_2JL」|_16J16
17.已知定义在R上的函数y=/(x),满足〃x)=2〃x+2),当xe(O,2]时,〃x)=4x(2—力,
若方程在区间内有实数解,则实数〃的取值范围为.
【巩固练习1】设函数f(%)的定义域为R,且/(%+4)=2/(%),当XE(0,4]时,/(x)=2x2—8%,
若对于"久6(—8用,都有/(久)2—|恒成立,贝"的取值范围是()
A.(-oo,-7]B.(-oo,-5]C.(-oo,-3]D.(-oo,-l]
【巩固练习2](2024•云南昆明•二模)定义“函数y=/0)是。上的a级类周期函数”如下:函数y=
f(x),xGD,对于给定的非零常数a,总存在非零常数T,使得定义域。内的任意实数x都有a〃>)=
f(x+T)恒成立,此时r为f(x)的周期.若y=/(久)是[1,+8)上的a级类周期函数,且7=1,当久e
[1,2)时,/(%)=2x+1,且y=f(x)是[1,+8)上的单调递增函数,则实数a的取值范围为()
A.[|,+8)B.[2,+oo)C.[|,+8)D.[10,+8)
【巩固练习3】设函数/(久)的定义域为R,满足〃久)=2/(%-2),且当x£(0,2]时,/(久)=久(2-久).若
对任意%E(-00,rn],都有/(%)<3,则zn的取值范围是()
A.(-00,j]B,(-oo,|]c.(-81D.(—8,1
【题型8】由中心对称求出函数中间值
核心•技巧
已知了(尤)=奇函数+M,-Ve[-a,a],则
(1)f(-x)+f(x)=2M
(2)fMnm+f(x)min=2M
18./(x)是定义在R上的函数,++;为奇函数,贝i]/(2023)+/(-2022)=()
A.-1B.C.5D.1
22
2
19.设“%)=三1+。为奇函数,若g(x)=/(x)+sinx+a在(冽>0)的最大值为3,则
g(%)在Xc[-孤m\(m>0)的最小值为.
20.函数/(幻=上斗」在[-2020,2020]上的最大值和最小值分别为跖m,则知+机=.
x+1
21.已知函数加+/+CX—2023,且"10)=6,贝厅(—10)=
2
【巩固练习1】设〃尤)=/二二+。为奇函数,若g(尤)=〃x)+sinx+a在(机>0)的最大值
为3,则g(x)在xe[T«,m]O>0)的最小值为.
【巩固练习2】(2024・高三.安徽•期中)函数=,-6,sin(x-3)+x+a(xe[0,6])的最大值为M,
最小值为机,若A/+机=8,则。=.
【巩固练习3】已知定义在R上的函数〃x)满足Vx,yeR,〃x+y)=/(x)+/(y)-2024,若函数
g(x)=x%;:一,+”尤)的最大值和最小值分别为",山,则〃+机=
【巩固练习4】已知函数/(幻=(2加一4]+3)(六一广工)一2%+1在[0,2]上的最大值为“,最小值为
m,贝!]〃+加=
【巩固练习5】已矢口函数/(尤)=1082(41+2/+也目+^=^+3,%€[-6,6],若〃月的最大值为M,
最小值为加,贝+.
【题型9]由对称性求交点坐标的和
核心•技巧
一、若/(X)与g(x)关于x=a对称,且它们有根个交点,则所有交点横坐标之和
二、若/(x)与g(x)关于(。/)对称,且它们有m个交点,则所有交点横坐标之和。加,纵坐标之和
为bm
22.定义在R上的函数满足/'(4r)=—"x)"(2x+l)为偶函数,/(1)=2,函数g(x)(xeR)
满足g(x)=g(2-尤),若y=/(x)与y=g(x)恰有2023个交点,从左至右依次为
(玉,乂),(々,%),…,(无2023,%023),则下列说法正确的是()
A.“X)为奇函数B.2为y=/(x)的一个周期
C.%012=2D.X]4-+*,'+尤2023=2023
2024•湖北七市州・3月统考
23.(多选)我们知道,函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数y=/(x)的图象关于点尸(。,6)成中心对
4
称图形的充要条件是函数,=/(x+a)-6为奇函数.己知函数/(x)=k^,则下列结论正确的
2+2
有()
A.函数/⑴的值域为(0,2]
B.函数的图象关于点(U)成中心对称图形
C.函数Ax)的导函数/'(x)的图象关于直线x=l对称
D.若函数g(尤)满足y=g(x+l)-l为奇函数,且其图象与函数/⑶的图象有2024个交点,记为
2024
A(4%)(,=1,2,…,2024),则E(x,+yJ=4048
1=1
2024•重庆一中・2月月考
24.已知定义在R上的函数/(%),/(4-2)是奇函数,2(九一1)是偶函数,当上,/(%)=办2+法,
/⑴=2,=则下列说法中正确的有()
A.函数/(x)的最小正周期为4
B.函数/⑴关于点(1,0)对称
C.”2023)+/(2025)=0
D.函数8(彳)=。幻-',1有8个不同零点
【巩固练习1]已知是定义在R上的奇函数,且/(%)在[0,2]上单调递减,〃x+2)为偶函数,
若/(%)=〃,在[0,12]上恰好有4个不同的实数根占,无2,三,匕,则占+9+三+匕=.
【巩固练习2】已知函数〃x)(xeR)满足:〃x+l)是偶函数,若函数y=,-2x-3|与函数y=
图象的交点为(4,乙),(々,叫),L,,则横坐标之和%+%+…+/=()
A.0B.mC.2mD.4m
【巩固练习3】(2024•河南•模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,若g(x)=l-42尤-1)为奇函数,
且直线(2〃?+l)x+(l-〃)丁+3机=0与/(x)的图象恰有5个公共点(知无),(巧,/),(不,%),
5
(%,%),(%,%),则2(%-%)=-
【巩固练习4】定义在R上的函数〃x)满足〃-x)+/(x)=0,〃r)=/(x+2);且当尤时,
/(x)=x3-x2+^.则方程4,(x)—x+2=。所有的根之和为()
A.6B.12C.14D.10
【巩固练习5】已知定义在R上的偶函数/(x)满足/'(元)=/(2-幻,当xe[0,l]时,/(x)=x.函数
g(x)=e+T(_l<x<3),则/(x)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为()
A.3B.4C.5D.6
【巩固练习6】定义在R上的函数〃力满足/■(-*)+/(尤)=0J(x)=f(2-x);且当xe[0,l]时,
32
f(x)=x-x+x.则方程7〃尤)一%+2=0所有的根之和为()
A.14B.12C.10D.8
【题型10]由解析式看出对称性
2024•湖南师大附中月考(四)
核电•技巧
一、具有中心对称的函数往往需要先移项,再脱掉“尸
二、具有轴对称的函数脱掉“尸后注意加绝对值符号
25.函数/("=向+23[口+2023间在区间[-3,5]上所有零点的和等于()
A.2B.4C.6D.8
2024•福建泉州•质量监测(三)
26.已知函数/(同=必[1一£^),g(x)满足g(l+3x)+g(3-3x)=0,G(x)=/(x-2)-g(x),若
G(x)恰有2〃+l(〃eN*)个零点,则这2“+1个零点之和为()
A.2nB.2〃+1C.4〃D.4n+2
2024•四川泸州•二模
27.定义域为R的函数满足/(x+2)=/(x-2),当xe[-2,2]时,函数〃x)=4—必,设函数
g(x)=e+2(_2<x<6),则方程-g(x)=0的所有实数根之和为()
A.5B.6C.7D.8
2024•广州市铁一中•一模
28.已知函数〃尤)=sin(2M+—二,则直线、=尤-2与“X)的图象的所有交点的横坐标之和为
x—2
()
A.0B.8C.12D.16
【巩固练习1】已知函数/(尤)=依3+法-2,若"2023)=10,贝4/(—2023)=.
【巩固练习2】已知函数/(x)=f-2x+a(ei+eT+i)有唯一零点,贝心=
【巩固练习3】(2024・安徽阜阳・期末)若函数〃同=机©—b)+加11(尤+77石)+1(m,〃为常数)
在[1,3]上有最大值7,则函数〃x)在[-3,-1]上()
A.有最小值-5B.有最大值5C.有最大值6D.有最小值-7
/(—2020)+/(-2019)+---+/(-1)+/(0)+/(I)+……/(2020)=
【巩固练习5】若函数/(X)=Y^-X2+2X,且一,b=于一,c=于一,贝卜)
e"■+Ie-/Z/
A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b
【题型11】由对称性解函数不等式
核心•技巧u
一、具有中心对称的函数往往需要先移项,再脱掉“尸
二、具有轴对称的函数脱掉“尸后注意加绝对值符号
29.已知定义在A上的函数逃©在[0,+8)上单调递增,且函数40—1为奇函数,则93±+4)+近1
一©<2的解集为.
30.已知函数y=/(%-1)的图象关于x=l对称,且对y=/(x),xeR,当石,42e(—oo,0]时,
‘二~八,<0成立,若/(2奴)勺'(2/+1)对任意的xeR恒成立,则。的可取值为()
A.--^2D.V2
【巩固练习1]已知函数y=〃3x+l)为偶函数,且在[0,+8)上为增函数,若/(x)</(2x+l),则x
的范围是.
【巩固练习2】(2023•重庆八中)已知y=/(x+l)为偶函数,若对任意a,6e[l,+co),(a*6),总有
4作)+妙⑷<^(a)+"(b)成立,则不等式/(2“</(4)的解集为()
A.(-1,2)B.(-2,2)
【题型12]由解析式看出对称中心再解函数不等式
核心•技巧
具有中心对称的函数往往需要先移项,再脱掉“尸
31.已知函数/(x):sin(x-1)+e--e』—x+1在R上单调递增,则满足/(%)+/(3—2%)<0的%的取
值范围是()
A.(-oo,3)B.(3,+oo)C.(一8,1)D.(l,+oo)
32.已矢口函数/(x)=^^—2024*—2024x+4,其中e是自然对数的底数,若/(〃一6)+“〃)>8,
2024
则实数。的取值范围是
33.已知函数/'("=丁+11!(771+无),若不等式/•(2,-4*)+/(巾2"-3)<0对任意xeR均成立,
则机的取值范围为.
【巩固练习1】(2024•山东•模拟预测)已知函数”x)=e2,T-eE+sinEx-j+l,则不等式
/(2x+l)+/(2r)N2的解集为.
【巩固练习2]已知函数=4-e=2x+4,其中e是自然对数的底数,若/(〃-6)+/(°2)>8,
e
则实数”的取值范围是()
A.(2,+8)B.(-3,2)
C.(-8,-3)D.(-oo,-3)U(2,+co)
【题型13]由解析式看出对称轴再解函数不等式
核心•技巧
具有轴对称的函数脱掉“产后注意加绝对值符号
34.已知函数/⑺=3+0+电此则不等式/(x+l)>〃2x-l)的解集为()
A.(0,2)B.陷呜,2)
C(03)D.[。3呜,3]
35.(2024.山东青岛.三模)已知函数-2x).(ei+ei),则满足不等式〃2x)<44)的x
取值范围为()
A.(—,2)B.(-1,2)C.(2,+8)D.(1,2)
【巩固练习1】已知定义在回上的函数目(助在(-8,2]上单调递增,若函数回(0+2)为偶函数,且回(3)=0,
则不等式瓯(助〉。的解集为()
A.(o,3)B.(-8,。)U(2,3)
C.(-OO,o)UG,+°°)D.(0,1)UG,+°°)
【巩固练习2]已知函数/(k=/+2*+2-工,若不等式/。―依)</(2+尤对任意xeR恒成
立,则实数。的取值范围是.
O_2
【巩固练习3】设函数/(x)=ei+/+土r=,若/(依)2/(必+4)恒成立,则实数a的取值范围
1+x
是.
【题型14]配凑后得出新函数的对称性
核心•技巧'
通过构造新函数来解决问题
36.(多选)定义在R上的函数/(尤)满足f(3-尤)-f(3+x)=4x,函数/(2x+l)的图象关于(0,2)对
称,则()
A.8是f(x)的一个周期B.〃2)=4
C.Ax)的图象关于(1,2)对称D./(2025)=-4046
【题型15】已知一个对称轴(中心)和周期
*1>・技巧/
已知一个对称轴轴(中心)和周期的问题不能直接套用sin,cos的函数来得出另一个对称中心(轴)
2024•重庆•康德卷模拟调研卷(四)
37.已知/(尤)是周期为3的函数,且VxeR都有〃3x)+/(4—3x)=4,则“2024)=()
A.-4B.-2C.2D.4
2024•广东•百日冲刺联(一模)
38.已知函数无⑺的定义域为R,且满足/z(x+l)+/7(x-l)=2,/z(2-x)是偶函数,.2)=0,若〃eZ,
103
则Zh⑺=()
n=-103
A.202B.204C.206D.208
2024•江苏徐州•一模
39.若定义在R上的函数满足〃x+2)+/(x)=〃4),〃2x+l)是奇函数,=1则()
1711171
A.5)=FB.-R=0
k=\//k=lZ
1711717117
c.Zw--)=-D.Sw--)=4
%=1乙乙k=l乙2
2024-长沙市第一中•适应性演练(一)
40.(多选)已知定义在R上的函数/(x)满足/(x+2)+/(x)=/(2026),且/(尤+1)-1是奇函数.则
()
A./(1)+/(3)=2B./(2023)+“2025)=/(2024)
2024
C.7(2023)是/(2022)与/(2024)的等差中项D.£/(i)=2024
Z=1
【巩固练习1】函数/(X)的定义域为R,且〃x+2)=—〃x+l)-“X),/(x)=f(2-x),
7(365)=-1,则/(I)+”2)+”3)+…+/(2023)=.
【巩固练习2】已知函数“X)的定义域为R,且满足〃x)
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