函数的对称性与周期性问题【18类题型】（原卷版）-2025届高考数学题型归纳与重难点突破

重难点专题1-1函数对称性周期性问题

近4年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新高考2卷，第6题对称性与函数交点个数问题函数对称性的识别

导函与原函数数对称性问

2022年新高考1卷，第12题函数对称性与周期性题的转换，由平移关系得出

对称性

函数轴对称与中心对称的

2022年全国乙卷，第12题函数对称性与周期性抽象表示式，由对称性得出

周期

由平移关系得出对称性，再

2021年新高考2卷，第8题函数对称性与周期性

由对称性得出周期

由平移关系得出对称性，由

2021年甲卷（理），第12题函数对称性与周期性

对称性得出周期

函数轴对称与中心对称的

2021年甲卷（文），第12题函数对称性与周期性抽象表示式，由对称性得出

周期

模块一a热点题型解读（目录）

【题型1】识别对称轴，对称中心.................................................2

【题型2】由对称求解析式........................................................3

【题型3】由平移前后关系得出原函数对称性.......................................4

【题型4】与对称性有关的材料题.................................................4

【题型5】通过周期性求值或解析式...............................................5

【题型6】由对称性进而得出周期.................................................7

【题型7】类周期函数与倍增函数................................................10

【题型8】由中心对称求出函数中间值...........................................11

【题型9】由对称性求交点坐标的和..............................................13

【题型10］由解析式看出对称性.................................................15

【题型11】由对称性解函数不等式...............................................16

【题型12］由解析式看出对称中心再解函数不等式.................................17

【题型13］由解析式看出对称轴再解函数不等式...................................18

【题型14］配凑后得出新函数的对称性...........................................18

【题型15】已知一个对称轴(中心)和周期.......................................19

【题型16】涉及导函数对称性问题...............................................20

【题型17】两个函数混合型......................................................24

【题型18］两个函数混合且涉及导数.............................................25

模块二4核心题型•举一反三(讲与练)

【题型1】识别对称轴，对称中心

核心•技巧7

rri4-rj

若/(m+x)=/("-x),且竺h=匕回"X)关于x=Z，对称

若f(m+x)+f(n-x)=2b,且m；"=as^/(x)关于(a,b)对称

1.设是定义域为R的奇函数，且〃l+x)=〃f).若/)

15

AB.——cD.

--I3-I3

【答案】C

【详解】由题意可得:

【巩固练习。(多选题)已知函数“X)的定义域为R,“X+，为奇函数，且对于任意xeR,都

有〃2-3x)=〃3x),则()

A./(x+l)=/(x)

C./(x+2)为偶函数

【答案】BCD

【解析】由/(2—3x)=〃3x),得〃2—x)于(x).

由+,是奇函数，得了(x+；］=-/,x+；),即/(x)=—/(l—x),

所以/(2_尤)=_/(1-尤)，即/(x+l)=_=(x),所以〃x+2)=/(x),故选项A错误;

由〃力=一/(1一力，得(£|=0,由〃%+1)=-得了[]=-[-；)，所以/[-£|=。，故

选项B正确；

由〃x+2)=/(x),f(2-x)=f(x),</(2-x)=/(2+x),即"x+2)为偶函数，故选项C正确;

由〃同=_〃1一力，f(x+2)=f(x),得=贝I=

即/卜一g)为奇函数，故选项D正确.

【巩固练习2】已知函数〃x)=最匕的图象关于点(I"⑴)对称，则”=()

A.1B.2C.eD.e2

【题型2】由对称求解析式

/康心•技巧

一、把/(x)的图像关于x对称，对称后的函数为g(x),贝Ig(x)=/(2a—x)

证明：设对称后的点为(x,y),则点(2a-x,y)在了⑴上，故y=/(2a-x),即g(x)=/(2a—x)

二、把/(x)的图像关于(。,。)对称，对称后的函数为g(x),贝4g(x)=26—/(2a—x)

证明：设对称后的点为(x,y),则点(2。一工,26-、)在了。)上，代入可得2b—y=/(2a-x),则有,

y=2b—f(2a-x)Fpg(x)=2b-f(2a-x)

2.(2024・四川成都•三模)函数y=32"与y=312的图象()

A.关于x=2对称B.关于x=l对称

I1

c.关于尤=；对称D.关于x=：对称

24

【巩固练习1】若函数y=g(x)的图象与y=ln尤的图象关于直线尤=2对称，则g(x)=

【题型3】由平移前后关系得出原函数对称性

核心•技巧7

若已知/5a+b)+c是奇(偶)函数求/(x)对称性

a)+6是偶函数g/O)关于x=a对称，/(〃认+⑶+6是奇函数0/。)关于(a,b)对称

举个例子：

若/(2尤+1)+3是奇函数

证：设/(无)关于x=a对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a,b的值

f(x+l)f(2x+l)/(2x+l)+3

对称中心(a,。)

I2叼

2024•江苏高邮•统考

3.定义在R上的函数y=/(x)和y=g(x)的图象关于y轴对称，且函数y=/(x-2)+i是奇函数，则

函数y=g(x)图象的对称中心为()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【巩固练习】已知函数/(X)的定义域为R1(l-2x)为偶函数，1)为奇函数，贝IJ()

A./(0)=0B./(-2)=0

C./(-3)=0D./(-5)=0

【题型4］与对称性有关的材料题

核心•技巧

结合材料得出结论，再解决问题

4.(多选)在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数y=/(x)为奇函数的充要条件是y=/(x)

的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数y=/(x+a)-6为奇函数的充要条件是

y=/(力的图象关于点尸(。，3成中心对称.已知函数"x)=%3+"V+2m一4的图象关于(2,0)

成中心对称，则下列结论正确的是()

A./(2)=1B./(4)=4

C.m+n=—1D./(2+尤)+/(2—x)=0

【巩固练习1】(多选)已知函数y=/(x)的图象关于P(a/)成中心对称图形的充要条件是

y=f(尤+°)-)是奇函数，函数1/(无)的图象关于x=。成轴对称图形的充要条件是y=/(x+a)是

偶函数.则下列说法正确的是()

A./(x)=/-3/的对称中心为(1,_2)

B./(x)=尤'-4尤3+6^2-4x关于x=l对称

c./(x)=4一的对称中心为(1,-2)

x-1

X—2

D./(■=J「〈的图象关于(一象0)对称

厂-4.x+5

【巩固练习2】(2023上•湖南长沙•高一长沙一中校考)我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原

点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(X)为奇函数,有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)

的图象关于点P(a,6)成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x+a)-b为奇函数.

(1)请你利用这个结论求得函数/(x)=V+3d的对称中心为.

⑵已知函数g(x)=--尤3―3/与一次函数y=z(x+i)_3有两个交点加(为,％),

x+1

则无1+必+%+%=.

【题型5】通过周期性求值或解析式

核心•技巧

(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期.

(2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题.

周期函数的常见条件

一、若/(X)+/(尤+a)=C(c为常数)，则/(%)周期为2a.

证明：令无=x+an/(x+a)+/(x+2a)=c,两式相减得了(x+2a)-/(x)=0

即/(x+2a)=/(x),故7=2同

二、若/(%+。)=则丁=2同(相对少见)

F(X)

证明：由/(%+。)=^~7，得/+~~-=f(x)^T=2\a\

/(x)f(x+a)

三、其它周期条件

设函数y=/(x),xeR,a>0,a1b.

(1)若〃x+a)=/(x-a),则函数f(无)的周期为2a;

(2)f(x+a)=-f(x),则函数/(x)的周期为2a；

若/(%+〃)=---;~~r

(3)右I)〃尤)，则函数/(X)的周期为2a;

若小f,

(4)则函数〃x)的周期为2a；

(5)若〃x+a)=〃x+。)，则函数〃x)的周期为|。一小

(6)若函数“X)的图象关于直线x=a与x=b对称，则函数“X)的周期为2。-4；

(7)若函数“X)的图象既关于点(。,0)对称，又关于点他,0)对称，则函数“X)的周期为2弧-4；

(8)若函数/(x)的图象既关于直线x=a对称，又关于点。,0)对称，则函数/(x)的周期为4忸-4；

(9)若函数/(尤)是偶函数，且其图象关于直线％对称，则/(x)的周期为2a；

(10)若函数f(尤)是奇函数，且其图象关于直线x对称，则/(X)的周期为4a.

三、周期与对称性的区分

1.若/'(x+a)=±/(x+6),则f(x)具有周期性;

2.若+a)=±f(b-%),则f(x)具有对称性:

口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性''

5.(2024•陕西西安•二模)已知定义域为R的函数Ax)满足/(x+2)=-/(x),且当0<x<2时,

/(x)=3'-lnx,贝4/(211)=.

【巩固练习1】(多选)已知回(团是定义在回上的函数，且对于任意实数回恒有回(回+2)=-回(回).当回6

［。,2］时,团闻=一呼+2固则()

A.回(回)为奇函数

B.团(团在回G［2,4］上的解析式为回(回)=呼一60+8

C.C回)的值域为［。为

D.0(1)+回(2)+0(3)+•­­+回(2022)=1

【巩固练习2］设回(回)是定义在回上的周期为2的偶函数，已知回e［2,3］时，0(0)=0,则团e［-2,。］时，

回(助的解析式为目(0)=()

A.13+4B.2—回

C.j—|0+i|D.2—|0+i|

【题型6】由对称性进而得出周期

核心•技巧

一、若/(X)关于x=4和(b,c)对称，则7=川〃-4(类比三角函数)

证明：由对称轴可得/(%)=/(2。一％),

由对称中心可得/(x)+f(2b-x)=2c=>f(x)=2c-f(2b-尤)

贝I有f(2a-x)=2c-f(2b-x),

令x=2a-x,则有f(x)-2c-f(2b-2tz+x)=>/(%)+f(2b-2a+x)=2c,

ikT=2\2a-2b\=4\a-b\

三、若/(%)关于(a,C)和他,C)对称，则T=2|a-6|(类比三角函数)

f(-x)+f(x+2a)=2c

证明：由对称性可得4,则/(x+2a)=/(x+2Z?),故T=|2a-24

/(—九)+/(%+2。)=2c

四、若/(X)关于x=。和x对称，则T=2|a-b|

f(-x)=f(x-2a)

证明：由对称性可得</(X—2a)=/(%_2Z>),故T=|2a—26]

f(-x)=f(x-2b)

2021全国甲卷(文)12题——由对称性得出周期性求值

6.设〃x)是定义域为R的奇函数，且〃l+x)=〃-x).若/㈢=；,则/《)=()

55

A.B.C.D.

333

2021新高考2卷第8题——由对称性得出周期性求值

7.已知函数的定义域为R,〃x+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函数，则()

A.C=。B./(-1)=0C."2)=0D./(4)=0

2024•广东省一模

8.(多选)已知偶函数的定义域为R,+l1为奇函数，且人无)在［0』上单调递增，则下

列结论正确的是()

A.B.心>。C.〃3)<0D./［喂|>0

2024•安徽芜湖•二模

2024

9.已知函数〃力的定义域为R,且〃x+2)-2为奇函数，〃3x+l)为偶函数，/⑴=0,则无)

k=l

=()

A.4036B.4040C.4044D.4048

10.已知函数的定义域为R,”x-2)为偶函数，/(x-3)+/(-x+l)=0,当xe[T,0]时,

19

f[x)=x+\,则(无)=()

k=\

A.19B.0C.1D.-1

2024•山东济宁•一模

11.设函数f(x)定义域为R,/(2x-l)为奇函数，2)为偶函数，当xe［0,l］时，/(x)=x2-l,

贝1)/(2023)_/(2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

12.（多选）己知函数〃x）的定义域为R,若/（2x-l）+/（3—2x）=2,且〃x-2）为偶函数，八2）=2,

则（）

A./（x+4）=/（x）B./（2024）=0

25

C./（3）+/（9）=2D.£/（0=25

Z=1

2024•浙江•Z20第二次联考

13.函数“可是定义在R上的奇函数，满足/（I-x）=〃l+x）,〃l）=-l,以下结论正确的是（）

A./（3）=0B.7（4）=0

20232023

C.£/（幻=0D.£/（2左一1）=0

k=lk=l

2024•河北张家口•一模

14.已知定义在R上的函数满足:）=2J（x）-/（4-x）=0,且〃0）=2.若

2024

ieN*,则三"）=（）

i=\

A.506B.1012C.2024D.4048

【巩固练习1]（2024•湖南长沙•二模）已知定义在R上的函数/（%）是奇函数，对任意xeR都有

+当/（-3）=—2时，则”2023）等于（）

A.2B.-2C.0D.-4

【巩固练习2】（2024.高三.辽宁营口.期末）设函数“X）的定义域为R,/（》+1）-3为奇函数，/（x+2）

2023

为偶函数，当龙目1,2]时，f^x）=cvc+b.若/（一1）+/（0）=1,则/）

2

A.-卫11

B.—D

1212c1-1

【巩固练习312021全国甲卷（理）12题

2

设函数〃力的定义域为R,/（x+1）为奇函数，〃x+2）为偶函数，当xw[l,2]时，f（x）=ax+b.若

〃0)+〃3)=6,则/

A-B-4c-7D-I

【巩固练习4](2024•内蒙古呼伦贝尔•二模)已知定义在R上的函数(0)满足/(2+一支)=

4%.若f(2久一3)的图象关于点(2,1)对称,且f(0)=0,则f(l)+f(2)+…+f(50)=()

A.0B.50C.2509D.2499

【巩固练习5】(2024全国•三模)(多选)已知函数定义域为R且不恒为零，若函数y=/(2x-l)

的图象关于直线x=l对称，y=〃2-x)+l的图象关于点(0,1)对称，则()

A./(x+6)=/(x)

B./(10)=0

C.x=7是/'(尤)图象的一条对称轴

D.(56,0)是图象的一个对称中心

【题型7】类周期函数与倍增函数

核心•技巧

类周期函数的定义：若y=/(x)满足：7(x+M=外(尤)或兀0=领工")，则y=/(x)横坐标每增加m个单位,

则函数值扩大左倍.此函数称为周期为根的类周期函数.

1、类周期函数

若y=/(x)满足：/0+m)=炉0)或/。)=50-》1),则y=/(x)横坐标每增加，〃个单位，贝"函数

值扩大左倍.此函数称为周期为，"的类周期函数.

2、倍增函数

X

若函数y=f(x)满足于(mx)=勾'(x)或/(%)=做一),则y=/(X)横坐标每扩大”Z倍，则函数值扩大

m

k倍.此函数称为倍增函数.

2024•辽宁•二模

a1

15.己知函数/(X)的定义域为R,满足〃x+l)—2/(x)=0,且当xe(O,l]时，小)=/_#,

则小[彳]的值为____.

&=11)

16.定义在R上的函数〃x)满足〃x+l)=；〃x),且当xe[0,l)时，/(x)=l-|2x-l|,当xe

时，y=〃x)的值域为()

A.B.[0,1]C.J/D.0,1

_2JL」|_16J16

17.已知定义在R上的函数y=/(x),满足〃x)=2〃x+2),当xe(O,2]时，〃x)=4x(2—力，

若方程在区间内有实数解，则实数〃的取值范围为.

【巩固练习1】设函数f(%)的定义域为R,且/(%+4)=2/(%),当XE(0,4]时，/(x)=2x2—8%,

若对于"久6(—8用，都有/(久)2—|恒成立，贝"的取值范围是()

A.(-oo,-7]B.(-oo,-5]C.(-oo,-3]D.(-oo,-l]

【巩固练习2](2024•云南昆明•二模)定义“函数y=/0)是。上的a级类周期函数”如下：函数y=

f(x),xGD,对于给定的非零常数a,总存在非零常数T,使得定义域。内的任意实数x都有a〃>)=

f(x+T)恒成立，此时r为f(x)的周期.若y=/(久)是[1,+8)上的a级类周期函数，且7=1,当久e

[1,2)时，/(%)=2x+1,且y=f(x)是[1,+8)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()

A.[|,+8)B.[2,+oo)C.[|,+8)D.[10,+8)

【巩固练习3】设函数/(久)的定义域为R,满足〃久)=2/(%-2),且当x£(0,2]时,/(久)=久(2-久).若

对任意％E(-00,rn],都有/(%)<3,则zn的取值范围是()

A.(-00,j]B,(-oo,|]c.(-81D.(—8,1

【题型8】由中心对称求出函数中间值

核心•技巧

已知了(尤)=奇函数+M,-Ve[-a,a],则

(1)f(-x)+f(x)=2M

(2)fMnm+f(x)min=2M

18./(x)是定义在R上的函数，++；为奇函数，贝i]/(2023)+/(-2022)=()

A.-1B.C.5D.1

22

2

19.设“%)=三1+。为奇函数,若g(x)=/(x)+sinx+a在(冽>0)的最大值为3,则

g(%)在Xc[-孤m\(m>0)的最小值为.

20.函数/(幻=上斗」在[-2020,2020]上的最大值和最小值分别为跖m，则知+机=.

x+1

21.已知函数加+/+CX—2023,且"10)=6,贝厅(—10)=

2

【巩固练习1】设〃尤)=/二二+。为奇函数，若g(尤)=〃x)+sinx+a在(机>0)的最大值

为3,则g(x)在xe[T«,m]O>0)的最小值为.

【巩固练习2】(2024・高三.安徽•期中)函数=，-6,sin(x-3)+x+a(xe[0,6])的最大值为M,

最小值为机，若A/+机=8,则。=.

【巩固练习3】已知定义在R上的函数〃x)满足Vx,yeR,〃x+y)=/(x)+/(y)-2024,若函数

g(x)=x%；：一，+”尤)的最大值和最小值分别为",山，则〃+机=

【巩固练习4】已知函数/(幻=(2加一4]+3)(六一广工)一2%+1在[0,2]上的最大值为“，最小值为

m,贝!]〃+加=

【巩固练习5】已矢口函数/(尤)=1082(41+2/+也目+^=^+3,%€[-6,6],若〃月的最大值为M,

最小值为加，贝+.

【题型9]由对称性求交点坐标的和

核心•技巧

一、若/(X)与g(x)关于x=a对称，且它们有根个交点，则所有交点横坐标之和

二、若/(x)与g(x)关于(。/)对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和。加，纵坐标之和

为bm

22.定义在R上的函数满足/'(4r)=—"x)"(2x+l)为偶函数，/(1)=2,函数g(x)(xeR)

满足g(x)=g(2-尤)，若y=/(x)与y=g(x)恰有2023个交点，从左至右依次为

(玉,乂),(々，%)，…，(无2023，%023)，则下列说法正确的是()

A.“X)为奇函数B.2为y=/(x)的一个周期

C.%012=2D.X]4-+*,'+尤2023=2023

2024•湖北七市州・3月统考

23.(多选)我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数

y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点尸(。,6)成中心对

4

称图形的充要条件是函数，=/(x+a)-6为奇函数.己知函数/(x)=k^,则下列结论正确的

2+2

有()

A.函数/⑴的值域为(0,2]

B.函数的图象关于点(U)成中心对称图形

C.函数Ax)的导函数/'(x)的图象关于直线x=l对称

D.若函数g(尤)满足y=g(x+l)-l为奇函数，且其图象与函数/⑶的图象有2024个交点，记为

2024

A(4%)(，=1,2,…,2024),则E(x,+yJ=4048

1=1

2024•重庆一中・2月月考

24.已知定义在R上的函数/(%),/(4-2)是奇函数，2(九一1)是偶函数，当上,/(%)=办2+法,

/⑴=2,=则下列说法中正确的有()

A.函数/(x)的最小正周期为4

B.函数/⑴关于点(1,0)对称

C.”2023)+/(2025)=0

D.函数8(彳)=。幻-'，1有8个不同零点

【巩固练习1］已知是定义在R上的奇函数，且/(%)在［0,2］上单调递减，〃x+2)为偶函数,

若/(%)=〃，在［0,12］上恰好有4个不同的实数根占,无2，三,匕，则占+9+三+匕=.

【巩固练习2】已知函数〃x)(xeR)满足：〃x+l)是偶函数，若函数y=,-2x-3|与函数y=

图象的交点为(4，乙)，(々,叫)，L,,则横坐标之和%+%+…+/=()

A.0B.mC.2mD.4m

【巩固练习3】(2024•河南•模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,若g(x)=l-42尤-1)为奇函数，

且直线(2〃?+l)x+(l-〃)丁+3机=0与/(x)的图象恰有5个公共点(知无)，(巧，/)，(不，%)，

5

(%,%)，(%,%)，则2(%-%)=-

【巩固练习4】定义在R上的函数〃x)满足〃-x)+/(x)=0,〃r)=/(x+2)；且当尤时，

/(x)=x3-x2+^.则方程4，(x)—x+2=。所有的根之和为()

A.6B.12C.14D.10

【巩固练习5】已知定义在R上的偶函数/(x)满足/'(元)=/(2-幻，当xe［0,l］时，/(x)=x.函数

g(x)=e+T(_l<x<3),则/(x)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为()

A.3B.4C.5D.6

【巩固练习6】定义在R上的函数〃力满足/■(-*)+/(尤)=0J(x)=f(2-x)；且当xe［0,l］时，

32

f(x)=x-x+x.则方程7〃尤)一%+2=0所有的根之和为()

A.14B.12C.10D.8

【题型10］由解析式看出对称性

2024•湖南师大附中月考(四)

核电•技巧

一、具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“尸

二、具有轴对称的函数脱掉“尸后注意加绝对值符号

25.函数/("=向+23［口+2023间在区间［-3,5］上所有零点的和等于()

A.2B.4C.6D.8

2024•福建泉州•质量监测(三)

26.已知函数/(同=必［1一£^),g(x)满足g(l+3x)+g(3-3x)=0,G(x)=/(x-2)-g(x),若

G(x)恰有2〃+l(〃eN*)个零点，则这2“+1个零点之和为()

A.2nB.2〃+1C.4〃D.4n+2

2024•四川泸州•二模

27.定义域为R的函数满足/(x+2)=/(x-2),当xe［-2,2］时，函数〃x)=4—必，设函数

g(x)=e+2(_2<x<6),则方程-g(x)=0的所有实数根之和为()

A.5B.6C.7D.8

2024•广州市铁一中•一模

28.已知函数〃尤)=sin(2M+—二，则直线、=尤-2与“X)的图象的所有交点的横坐标之和为

x—2

()

A.0B.8C.12D.16

【巩固练习1】已知函数/(尤)=依3+法-2,若"2023)=10,贝4/(—2023)=.

【巩固练习2】已知函数/(x)=f-2x+a(ei+eT+i)有唯一零点，贝心=

【巩固练习3】（2024・安徽阜阳・期末）若函数〃同=机©—b）+加11（尤+77石）+1（m,〃为常数）

在［1,3］上有最大值7,则函数〃x）在［-3,-1］上（）

A.有最小值-5B.有最大值5C.有最大值6D.有最小值-7

/(—2020)+/(-2019)+---+/(-1)+/(0)+/(I)+……/(2020)=

【巩固练习5】若函数/（X）=Y^-X2+2X,且一,b=于一,c=于一，贝卜）

e"■+Ie-/Z/

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【题型11】由对称性解函数不等式

核心•技巧u

一、具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“尸

二、具有轴对称的函数脱掉“尸后注意加绝对值符号

29.已知定义在A上的函数逃©在［0,+8）上单调递增，且函数40—1为奇函数，则93±+4）+近1

一©＜2的解集为.

30.已知函数y=/（%-1）的图象关于x=l对称，且对y=/（x）,xeR,当石,42e（—oo,0］时,

‘二~八，＜0成立，若/（2奴）勺'（2/+1）对任意的xeR恒成立，则。的可取值为（）

A.--^2D.V2

【巩固练习1］已知函数y=〃3x+l）为偶函数,且在［0,+8）上为增函数，若/（x）＜/（2x+l）,则x

的范围是.

【巩固练习2】(2023•重庆八中)已知y=/(x+l)为偶函数，若对任意a,6e［l,+co),(a*6),总有

4作)+妙⑷<^(a)+"(b)成立，则不等式/(2“</(4)的解集为()

A.(-1,2)B.(-2,2)

【题型12］由解析式看出对称中心再解函数不等式

核心•技巧

具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“尸

31.已知函数/(x):sin(x-1)+e--e』—x+1在R上单调递增，则满足/(%)+/(3—2%)<0的％的取

值范围是()

A.(-oo,3)B.(3,+oo)C.(一8,1)D.(l,+oo)

32.已矢口函数/(x)=^^—2024*—2024x+4,其中e是自然对数的底数，若/(〃一6)+“〃)>8,

2024

则实数。的取值范围是

33.已知函数/'("=丁+11!(771+无)，若不等式/•(2，-4*)+/(巾2"-3)<0对任意xeR均成立，

则机的取值范围为.

【巩固练习1】(2024•山东•模拟预测)已知函数”x)=e2，T-eE+sinEx-j+l,则不等式

/(2x+l)+/(2r)N2的解集为.

【巩固练习2］已知函数=4-e=2x+4,其中e是自然对数的底数，若/(〃-6)+/(°2)>8,

e

则实数”的取值范围是()

A.(2,+8)B.(-3,2)

C.(-8,-3)D.(-oo,-3)U(2,+co)

【题型13］由解析式看出对称轴再解函数不等式

核心•技巧

具有轴对称的函数脱掉“产后注意加绝对值符号

34.已知函数/⑺=3+0+电此则不等式/（x+l）＞〃2x-l）的解集为（）

A.（0,2）B.陷呜，2）

C（03）D.［。3呜,3］

35.（2024.山东青岛.三模）已知函数-2x）.（ei+ei）,则满足不等式〃2x）＜44）的x

取值范围为（）

A.（—,2）B.（-1,2）C.（2,+8）D.（1,2）

【巩固练习1】已知定义在回上的函数目（助在（-8,2］上单调递增，若函数回（0+2）为偶函数，且回（3）=0,

则不等式瓯（助〉。的解集为（）

A.（o,3）B.（-8,。）U（2,3）

C.（-OO,o）UG，+°°）D.（0,1）UG，+°°）

【巩固练习2］已知函数/（k=/+2*+2-工，若不等式/。―依）＜/（2+尤对任意xeR恒成

立，则实数。的取值范围是.

O_2

【巩固练习3】设函数/（x）=ei+/+土r=，若/（依）2/（必+4）恒成立，则实数a的取值范围

1+x

是.

【题型14］配凑后得出新函数的对称性

核心•技巧'

通过构造新函数来解决问题

36.（多选）定义在R上的函数/（尤）满足f（3-尤）-f（3+x）=4x,函数/（2x+l）的图象关于（0,2）对

称，则（）

A.8是f（x）的一个周期B.〃2)=4

C.Ax）的图象关于（1,2）对称D./(2025)=-4046

【题型15】已知一个对称轴（中心）和周期

*1>・技巧/

已知一个对称轴轴（中心）和周期的问题不能直接套用sin,cos的函数来得出另一个对称中心（轴）

2024•重庆•康德卷模拟调研卷（四）

37.已知/（尤）是周期为3的函数，且VxeR都有〃3x）+/（4—3x）=4,则“2024）=（）

A.-4B.-2C.2D.4

2024•广东•百日冲刺联（一模）

38.已知函数无⑺的定义域为R,且满足/z（x+l）+/7（x-l）=2,/z（2-x）是偶函数，.2）=0,若〃eZ,

103

则Zh⑺=（）

n=-103

A.202B.204C.206D.208

2024•江苏徐州•一模

39.若定义在R上的函数满足〃x+2）+/（x）=〃4）,〃2x+l）是奇函数，=1则（）

1711171

A.5）=FB.-R=0

k=\//k=lZ

1711717117

c.Zw--）=-D.Sw--）=4

%=1乙乙k=l乙2

2024-长沙市第一中•适应性演练（一）

40.（多选）已知定义在R上的函数/（x）满足/（x+2）+/（x）=/（2026）,且/（尤+1）-1是奇函数.则

（）

A./(1)+/(3)=2B./(2023)+“2025)=/(2024)

2024

C.7(2023)是/(2022)与/(2024)的等差中项D.£/(i)=2024

Z=1

【巩固练习1】函数/(X)的定义域为R,且〃x+2)=—〃x+l)-“X),/(x)=f(2-x),

7(365)=-1,则/(I)+”2)+”3)+…+/(2023)=.

【巩固练习2】已知函数“X)的定义域为R,且满足〃x)