河北省某中学2024-2025学年高二年级上册第四次阶段考试数学试卷（解析版）

河北辛集中学2024-2025学年第一学期第四次阶段考试

高二数学试卷

一、单选题(本题共U小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.)

1.已知A是椭圆9+4-I上的一点，片，片分别是椭圆E的左，右焦点，则“公出”月卜()

A.6B.4C.3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据椭圆的定义计算可得.

2222

【详解】椭圆E:土+上=1,则。=3,又A是椭圆E：土+土=1上的一点，

9494

所以,耳叫=2a=6.

故选：A

2.“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知2(1,3),8(3,-1),则以Z8为直

径的圆的方程为()

A(X-2)2+(J-1)2=5B.(X-2)2+(J-1)2=20

C.(X+1)2+(J-2)2=5D.(x+l)2+(y-2)2-20

【答案】A

【解析】

【分析】利用中点坐标公式，结合两点之间的距离公式，根据圆的标准方程，可得答案.

【详解】由2(1,3),8(3,-1),则线段A8的中点为(2,1),即圆的圆心为(2,1),

圆的半径y=42-球+(1-3)2=5

所以圆的方程为(x-2)2+3-1)2=5.

故选：A.

3.下列求导正确的是()

A.Ie2)=e2B.(xcosx)=cosx+xsiwc

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c.[(2X+1)4]'=8(2X+1)3D.(2，+X)'=2'+1

【答案】C

【解析】

【分析】对于A：根据基本初等函数法则求解；对于B：根据导数的乘法法则运算求解；对于C：根据复合

函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的加法法则运算求解.

【详解】对于选项A：卜2)'=0,故A错误；

对于选项B：(xcosx)=(x)cosx+x(cosx)=cosx-xsinx,故B错误；

对于选项C：[(2x+1)4J=4(2x+1)3x2=8(2x+1)3,故C正确；

对于选项D：(2v+x)=2xln2+l,故D错误；

故选：B.

4.已知S“是等比数列｛%｝的前〃项和，出=-3,其=7,贝I]公比4=()

A.—3B.—C.3或一D.—3或—

333

【答案】D

【解析】

【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.

【详解】由4=-3,邑=7可得4+/=10，

Q—31

则二+%4=10=——3q=10,化简可得3/+10q+3=0,解得4=_3或[=――，

qq3

故选：D.

5.记S.为等差数列｛4｝的前〃项和，若%+%=16,品=110,则几=()

A.240B.225C.120D.30

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，代入求和公式中即可求解.

【详解】设等差数列的公差为力

2%+6d=16

解得d=2,%=2,

由%+%=16,510=110可得＜

5*10=IOq+45d=110

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故品=15q+105d=30+210=240,

故选：A

22

6.双曲线上—t=1的焦点坐标为（）

43

A.（±V7,0）B.（0,±V7）C.（±5,0）D.（0,±5）

【答案】B

【解析】

【分析】根据双曲线的性质即可求解.

22

【详解】乙—土=1的焦点在y轴上，且/=4,/=3,贝f=7，

43

故焦点为（o,土⑺，

故选：B.

7.已知数列｛an｝,也｝满足anbn=2也=4/+8〃+3,则数列｛an｝白勺前30项和邑0=（）

6191920

A.—B.—C.—D.——

19596163

【答案】D

【解析】

【分析】根据裂项相消法求和即可求解.

221___]

【详解】把"=4/+8/7+3代入ab-2整理得：=2„=

nn4/2+8+3（2〃+1）（2〃+3）2〃+12〃+3

故国。="+"2+一.+"3。=1-1+［一1+一.+||一［=/J__竺

63~63,

故选：D

8.已知等差数列｛4｝的前〃和为S",J=2，则：=（）

351

A.—B.-C.3D.-

533

【答案】A

【解析】

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【分析】根据邑=3,即可根据等差数列的性质得3=邑=以求解.

%05%

S〃+1（21++/+见+45&g3

【详解】在'L=一中取〃=5得）=3,故3=）二」一z一一一^二二，所以」二工.

an2a5a5a5a5a55

故选：A.

9.已知数列｛4｝中q=2,且%=2%_i+3（〃22,〃eN*）,则数列｛a“｝的前〃项和邑=（）

A.3（2"-〃）-1B.5（2"_〃）-3

C.3x2"-5〃+1D.5x2"-3〃-5

【答案】D

【解析】

【分析】根据｛g+3｝为等比数列可得%=5x2"T—3,即可由分组求和，结合等差等比求和公式即可求

解.

【详解】由%=24_]+3得a“+3=2（a,i+3）,

所以数列｛%+3）是首项为％+3=5,公比为2的等比数列，

所以a“+3=5x2"T,即%=5x2"i—3,

1-2"

所以S=5x------3〃=5x2”—3〃一5,

"1-2

故选：D

10.已知片，鸟是椭圆。的两个焦点，点M在C上，且|“可卜|必4的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆

的离心率为（）

V2D.

V3

【答案】A

【解析】

【分析】应用椭圆的定义结合二次函数的最值的求法得出最大值及最小值，再结合02=/—〃计算即可得

出离心率.

【详解】因为1M|+|陛|=24，所以

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I阿卜座|=MQ-M|）=-腐『+2«胸]=-（孙|-o）2+a2,

所以当|孙|=a时,\MFr\'IMF2I取得最大值Y，

因为|町|e[a—c,a+c],所以|MF/•IMF2I的最小值为—c?+/=〃,

因为IMF1HMF2I的最大值是它的最小值的2倍，所以/=2/,

所以。2=/—〃=/,所以a=4^b,c=b,

所以椭圆的离心率为e=£=—3=注.

aY2b2

故选：A.

11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运

算,经过有限次步骤后，必进入循环圈1—4-2-1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.

如取正整数加=6,根据上述运算法则得出6—3—10—5—16—8—4—2—1,共需经过8个步骤

变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列｛4｝满足：%=m（冽为正整数），

多,当％为偶数时，、”…、

4+1=j2当加=3时，/+电+^^----。60=（）

3%+1,当a“为奇数时

A.170B.168C.130D.172

【答案】D

【解析】

【分析】先根据题意得到%+%+%+%+%的值，再后续数列的周期性求得/+%+…+%），从而得解.

【详解】依题意，3—10—5-16->834-2-1->43231…，

故。]+。2+。3+。4+。5=3+10+5+16+8=42,

又（60—5）+3=18…1,所以6+%^---。6。=18x7+4=130.

所以%+a,+,,,+。6（）=42+130=172.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解“冰雹猜想”的定义，找到数列的周期性，从而得解.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

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12.经过点尸（4,-2）的抛物线的标准方程为（）

A.y2-xB.y2=8x

C.「=—D.x2=-8y

【答案】AD

【解析】

【分析】根据点的坐标，确定抛物线的开口方向，有两种情况，设出抛物线方程，代入点的坐标即可求解.

【详解】因为点P（4,-2）在第四象限，所以抛物线有开口向右或开口向下两种情况，

若抛物线开口向右，设抛物线方程为产=2px（p>0）,P（4,-2）代入抛物线方程，

有4=8夕，解得夕=g,所以抛物线方程为/=x,所以A正确；

若抛物线开口向下，设抛物线方程为-=-2处（0>0）,P（4,-2）代入抛物线方程，

有16=42，解得。=4,所以抛物线方程为f,所以D正确.

故选：AD

13.已知直线x+y=0与圆M：/+（了—2『=/上〉（））相切，则下列说法正确的有（）

A.F=y[2

B.圆M与圆（X+3）2+（.V+1）2=10与圆M的公共弦所在直线的方程为3x+3v-l=0

C.过（0,5）作圆〃的切线，切线长为近

D.圆〃与圆/+/+4%一8=0的位置关系为内含.

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用直线与圆的位置关系，勾股定理，判断AC,圆心距可判断圆M与圆/+歹2+4%-8=0的位

置关系为相交，根据公共弦所在直线的方程求法即可得出结论判断BD.

【详解】对于A,由直线x+y=0与圆M:x2+（y—2）2=/相切可得：

/、2

圆心又（0,2）到直线x+歹=0的距离为可=r可得r=后，即A正确;

对于B,圆（x+3）2+（y+l）2=10的圆心为（―3,—1）,半径为所，

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与圆M的圆心距为3，5，显然也<3也<J6+五，即两圆相交；

将两圆方程相减可得3x+3y-1=0,即B正确.

对于C,圆心M（0,2）到（0,5）的距离为根2+（27）2=3，

由勾股定理可得切线长为匕-户=■!=J7,即C正确；

对于D,圆X2+J?+4X—8=0可化为（x+2『+y2=12,圆心为（—2,0）,半径为/=26；

圆M与圆/+/+4%-8=0的两圆心距为2后，显然26-也<2正<立+26，

即可得两圆相交，可知D错误；

故选：ABC

14.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，公比为4,且满足%=8,%+i=S,+c,则（）

A.4=2

a

B7n1

-若'=（—>则4+2+••也=1-77T

C.c=2

D.若〃则当人也L4最小时，«=10

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据%,S”的关系，作差即可根据等比数列的性质求解公比，即可求解A,计算4+4即可判断B,

根据等比求和公式即可求解C,根据｛〃｝的单调性，结合〃<10时，0<〃<1即可求解D.

【详解】对于A,由%+i=S〃+c,a“=S"_i+c（〃》2）可得为+1-%=ann*=2%n—=2,由于

数列｛4｝是等比数列，故公比为2,

由%=8,则%=2,a2=4,an=2",A正确；

A_册_2〃…72414,11414

对于B,i\/ii\一i\，贝31+Z>22——।----——,152-1——丰—，B

（an-l）（an+l）（2〃-1乂2〃+1）315152+15515

错误;

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21—2"

对于s==2"+1=S+2<所以正确;

C,n'——^=2"+J2n%nc=2,C

1-2

)10

上二，所以数列也}单调递增，又当〃<10时，0<a=卫:三配//1.

对于D,

20242024'

9«9119Q42

当〃时，b=^—>bu=——=把吃〉1,所以当6也L2最小时，〃=10,D正确.

"20241120242024

故选：ACD.

三，填空题（本题共3小题，每小题5分.）

15.直线/过点PQ/）与抛物线/=4%交于43两点，若P恰为线段48的中点，则直线/的斜率为.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据题意，利用抛物线的中点弦的“点差法”，即可求解.

【详解】设Z（X[J]）,8（X2，%），可得口2=例，两式相减得为2—必2=4（再-/）,

y2=4%

/\/、/、y,-y4

即（%+%）（%一%）=4（再-%），可得2—X9=——'

引一9y}+y2

因为点P。』）是AB的中点，所以乂+%=2,可得:5券=2，

所以直线/的斜率为k=2.

故答案为：2.

16.在正方体ABCD-ZnCQi中，点P为棱。口上，且AP=2P。，则直线/尸与直线所成角的余

弦值为.

【答案】宏史##2同

1515

【解析】

【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可.

【详解】如图建系，设正方体的棱长为3,

则N（3,0,0）,P（0,0,l）,。（0,0,3）,5（3,3,0）,

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尸=(—3,0,1),*=(3,3,—3),

故直线AP与直线D{B所成角的余弦值为[-9+0-3^^=冥|

V9+1+0-V9+9+915

故答案为：冥10.

15

17.已知数列｛4｝的刖“项和为S",若%+3=。"+1，且％=1,=2,%=3,则$90='

【答案】1485

【解析】

【分析】根据4=%"一2+%”1+%“为等差数列，即可根据等差求和公式求解.

【详解】由4+3=%+1，可知数列｛%｝是个“类周期数列”，

因此可设数列也｝满足a=a3n_2+ain_x+%,，每三项并项，

则b"+i=«3«+1+a3n+2+。3*+3=。3"-2+1+。3”-1+1+fl3«+1=^,+3,

于是数列也｝是公差为3的等差数列，且4=%+&+。3=6,

于是得到5*90=(a1+°2+%)+(04+“5+。6)----1"(°88+。89+。90)

30x29

=61+Z>2+---+Z)30=30x6+2x3=1485.

故答案为：1485

四、解答题(本题共5个大题，共62分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

18.已知等差数列｛%｝和等比数列也｝满足q=4=1,%+。4=10,贴4=牝.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

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(2)求4---F^2n-l-

【答案】(1)4=2〃-1

y-i

(2)

2

【解析】

【分析】(1)设等差数列的公差为d,代入建立方程进行求解;

(2)由｛〃｝是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是再利用等比数列求和公式求解.

【小问1详解】

二1

设等差数列｛%｝的公差为d,由题可得:

出+%=24+4d=10

4=1

解得《

d=2

an=囚+1)d=2〃-1.

【小问2详解】

设等比数列也｝的公比为9,又她=片,%=9,又62d=%，即&=9,

又A=biq2=q2>°,解得4=3或4=-3(舍去)，即/=3,

所以*=/=3(〃之2),所以数列｛""_]｝是首项为1,公比为3的等比数歹I],

b?n一3

lx(l-3")3"-1

二4+4+a+…+%_]=—；一■—=■

1—32

19.已知函数/(x)=e"

(1)求/(x)在点Q,e?)处的切线方程；

(2)若/(x)的一条切线/恰好经过坐标原点，求切线/的方程.

【答案】(1)e2x-y-e2=0

(2)V=ex

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义即可求得答案；

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(2)设切点坐标，写出切线方程，利用原点在切线上，求出切点坐标，即可求得答案.

【小问1详解】

因为/(同=廿，所以/'(x)=e*JO)=e2,

故曲线y=/(x)在点(2,e?)处的切线方程为y-e2=e2(x-2),即e?》—了—e?=0；

【小问2详解】

设切点为(%,e£。)，则f(x0)=e*。，切线方程为y—e"。=e"。(x—叫))，

因为切线经过原点，故-所以/=1，

故/'⑴=e,切点为),e),切线方程为y—e=e(x—1),

即过原点的切线方程为^=ex.

20.已知数列｛a“｝满足4+3a2+5%+L+(2〃—1)%=(〃—1)3"+1.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)在%和%+i之间插入〃个数，使这力+2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为d”，求数列

<—>的前n项和T.

MJn

【答案】(1)4=3"T

⑵小”-十

"88-3"-1

【解析】

【分析】(1)根据递推式，写出前〃项和项的和，进而作差求通项公式即可；

11«+1

(2)根据等差数列性质求得7=]-产，再应用错位相减法、等比数列前〃项和公式求和.

【小问1详解】

因为q+3a2+5a3+■■■+(2〃—=(〃—1)3"+1①，

7,1

当〃22时，4+3a2+5a§—,+(2〃—3)tzn_1=(“一2)3+1②，

①一②，得(2〃—1)%=[(“-1)3"+1]-[(〃—2)3"一|+1]=(2〃—1)3小(«>2).

所以%=3"T(〃22),当〃=1时，=1,满足上式，

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所以｛%｝的通项公式为4=3"T.

【小问2详解】

a-a3"_3"T2-3"-111n+1

由（1）知4=°"+i%=士_二=上二，得7=7;

72+172+1〃+1Z2

_121311+L1721n+1

则mil/T〃32+L十.。十

-23°231223"-22S'"

1121314,1n1n+1

一?—T~\-------H---—+L—.—■--1—•

123

3"23232323修23"

£ji+L1n+152/7+51

44~F

23"22

3

所以［=92〃+5

o8-3"-1

如图，在直三棱柱45C—4AG中，AB=AC=e，BC=AAi=2,。为8c的中点，点M在线段Z4

上，且(W〃平面eg%.

(1)求证：AM=AXM；

(2)求平面耳与平面C44所成二面角的正弦值.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

【详解】(1)如图，连接3。，交于点N,连接&N,ON,则N为C耳的中点，

因为。为8C的中点，所以ON//BB],

又MA"/BB',所以。N〃々牡，从而。，N,4，M四点共面.

因为OMH平面CB[A[,OMU平面ON&M,平面ON&Mn平面CBA=NA「所以(W//NAX.

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又ON〃M4,所以四边形。八区河为平行四边形,

所以=0N=；88],所以

(2)因为48=ZC,。为3c的中点，所以Z0L5C,

又三棱柱ABC-451G是直三棱柱，ON//BBt,

所以。4,OB,ON互相垂直，分别以前，ON，面的方向为x轴、V轴、z轴的正方向，建立如图所

示的空间直角坐标系。一孙z,

因为/3=/C=0，BC=A4=2,所以0(0,0,0),男(1,2,0),M(0,l,l),C(-1,0,0),

所以而=丽=(0,1,1),函=(1,2,0),西=(2,2,0).

y+z=0

设平面的法向量为〃2=(X,y,Z),则

x+2y=0

令2=1,可得V=—1,x=2,所以平面MO用的一个法向量为胆=(2,-1,1).

NA,­n=0b+c=O

设平面CB/1的法向量为〃=伍,”c),贝I],，即

CS[-«=02a+2b=0"

令c=l,可得b=—1,。=1,所以平面C5/1的一个法向量为〃=(1,—1,1),

2xl-lx(—l)+lxl42V2

所以cos〈zn,”〉=

百+(-1)2+F.JT+(7)2+炉-电-亍

所以平面"。与与平面CBM所成二面角的正弦值为;.

22.已知椭圆C：0+E=1的离心率为逅，短轴一个端点到右焦点的距离为百.

a2b23

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/与椭圆C交于/、3两点，坐标原点O到直线/的距离为丫二，求V/05面积的最大值.

2

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2

【答案】（1）—+y2=l；

3•

⑵见,

2

【解析】

【分析】（1）根据给定