2018年数学（北师大版选修2-2）练习第3章21实际问题中导数的意义活页作业13

活页作业(十三)实际问题中导数的意义1．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示()A．t＝1s时的速度 B．t＝1s时的加速度C．t＝1s时的位移 D．t＝1s时的平均速度解析：v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度．答案：B2．从时刻t＝0开始的ts内，某导体的电荷量(单位：C)可用公式q＝2t2＋5t表示，则第5s时，电流强度为()A．45C/s B．C．25C/s D．解析：q′(t)＝4t＋5，q′(5)＝25.答案：C3．下列四个命题：①曲线y＝x3在原点处没有切线；②若函数f(x)＝eq\r(x)，则f′(0)＝0；③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；④函数y＝x5的导函数的值恒非负．其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中y′＝3x2，x＝0时，y′＝0，∴y＝x3在原点处的切线为y＝0.②中f(x)在x＝0处导数不存在．③中s(t)对时间t的导数为瞬时速度．④中y′＝5x4≥0.所以命题①②③为假命题，④为真命题．答案：A4．某汽车启动阶段的路程函数s(t)＝2t3－5t2(t为时间)，则t＝1时，汽车的加速度为()A．6 B．4C．2 D．1解析：速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t，∴加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，当t＝1时，a(1)＝2.答案：C5．如下图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是()A．B．C．D．解析：由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际．答案：D6．一质点沿直线运动，若由始点起经过ts后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.解析：s＝3t2＋t，s′＝6t＋1.令s′＝10，得6t＋1＝10，∴t＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)7．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是________元/年(精确到0.01)．解析：∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值．∵p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln1.05，∴p′(10)＝1.0510×ln1.05≈0.08(元/年)．∴在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．答案：0.088．一列在直线轨道上运行的火车，从刹车到停车的这段时间内，测得刹车后ts内火车前进的距离s＝27t－0.45t2(单位：m)，则这列火车在刹车后停下来消耗的时间为________s.解析：由题意可知，火车停止时速度为0，令v＝s′＝27－0.9t＝0，解得t＝30.答案：309．一杯80℃的热红茶于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)间的关系，由函数T＝f(t)(1)f′(t)的符号是什么？为什么？(2)f′(3)＝－4的实际意义是什么？解：(1)f′(t)是负数．因为f′(t)表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f′(t)为负数．(2)f′(3)＝－4表明在3min附近时，红茶温度约以4℃10．某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系式为C(x)＝eq\f(1,4)x2＋60x＋2050.求：(1)日产量75件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由75件提高到90件，总成本的平均改变量；(3)当日产量为75件时的边际成本．解：(1)当x＝75时，C(75)＝eq\f(1,4)×752＋60×75＋2050＝7956.25(元)，∴eq\f(C75,75)≈106.08(元)．故日产量75件时的总成本和平均成本分别为7956.25元，106.08元．(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量eq\f(ΔC,Δx)＝eq\f(C90－C75,90－75)＝101.25(元/件)．(3)∵C′(x)＝eq\f(1,2)x＋60，∴C′(75)＝97.5(元)．11．已知成本C与产品x之间的函数关系式为C(x)＝0.001x3＋5x，那么，当x＝1000时，边际成本为()A．2000 B．2005C．3005 D．4000解析：C′(x)＝0.003x2＋5，C′(1000)＝0.003×10002＋5＝3005.答案：C12．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝________，其实际意义是____________.答案：4边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度13．某汽车的路程函数是s＝2t3－eq\f(1,2)gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，汽车的加速度是________m/s2.解析：v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．答案：1414．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是________．解析：∵S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.答案：6π15．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35nmile/h，A地至B地之间的航行距离约为500nmile，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(nmile/h)的函数：y＝f(x)；(2)求x从10变到20的平均运输成本；(3)求f′(10)并解释它的实际意义．解：(1)依题意得y＝eq\f(500,x)(960＋0.6x2)＝eq\f(480000,x)＋300x，函数的定义域为0<x≤35，∴y＝eq\f(480000,x)＋300x(0<x≤35)．(2)Δy＝f(20)－f(10)＝eq\f(480000,20)＋300×20－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(480000,10)＋300×10))＝－21000，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－21000,20－10)＝－2100.∴x从10变到20的平均运输成本为－2100元，即每小时减少2100元．(3)f′(x)＝－eq\f(480000,x2)＋300，∴f′(10)＝－eq\f(480000,102)＋300＝－4500.f′(10)表示当速度x＝10nmile/h时，速度每增加1nmile/h，每小时的运输成本就要减少4500元．16．东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求产量为1000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量；(3)求c′(1000)与c′(1500)，并说明它们的实际意义．解：(1)产量为1000台时的总利润为c(1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝5000600(元)，∴平均利润为eq\f(c1000,1000)＝5000.6(元/台)．(2)当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量为eq\f(c1500－c1000,1500－1000)＝eq\f(6000600－5000600,500)＝2000(元/台)．(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7