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文档简介
2024年秋学期高二期中考试
数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容:北师大版必修第一册第七章、选择性必修第一册第一章至第三
章.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.抛物线>=4好的焦点坐标是()
A.(1,0)B.(0,1)C.D.[()(]
【答案】D
【解析】
【分析】将抛物线化为标准形式,根据焦点坐标公式即可解出.
【详解】丫=4必得到炉=」则焦点坐标为(0,工).
-4"16
故选:D.
2
2.双曲线?一-x-=l的渐近线方程为()
100
A.y=+—xB.y=±xC.y=±10xD.y=±100x
-iowo--
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的性质即可求解.
2
【详解】由?一一%2=1,得a=10,b=l,
100
所以渐近线方程为y=±3x,即丁=±10乂
b
故选:C
3.已知直线4:x+oy-20=0与匀:2x+(a+l)y-10=0.若〃/(,则。=()
1
A.-1B.1C.-D.2
3
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行列方程,从而求得。的值.
【详解】由于"/如所以lx(a+l)=ax2M=1,
止匕时两直线方程分另!Jx+y—20=0,2x+2j—10=0nx+y—5=0,
不重合,符合题意,所以。=1
故选:B
4.己知椭圆C:£+/=l(a〉6〉0)的长轴长为8,且离心率为乎,则C的标准方程为()
2222222
A.土+产=1B.工+乙=1C.土+21=1D,土+匕=1
1664491615644
【答案】A
【解析】
分析】根据概念得到a,瓦c,即可得到结果.
【详解】由题意易得2。=8,则a=4,
因为椭圆C的离心率为姮,所以c=/,
4
则/=16-15=1,
故C的标准方程为上+丁=1,
16
故选:A.
5.一束光线从点P(l,4)射出,经y轴反射后经过点M(2,0),则该束光线从点尸到点河路径长为
()
A.4B.5C.6D.V17
【答案】B
【解析】
【分析】先求出「关于y轴的对称点尸‘,再根据两点间距离公式计算即可.
(详解】点尸关于y轴对称的点为尸'(―L4),
则该光线从点P到点M的路径长为归'闾=^(2+1)2+42=5.
故选:B.
6.阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法:椭圆长半轴的长度、短半
22
轴的长度和圆周率兀三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆C:工+A=l(a〉6〉0)的面积为2兀,6,F2
ab
为椭圆C的两个焦点,尸为椭圆c上任意一点.若怛耳|+|。闾=4,则椭圆C的焦距为().
A.V3B.2C.2百D.2^3
【答案】D
【解析】
【分析】先通过怛片|+仍6|=4,确定。的值,再通过椭圆的面积公式求出b,最后求出c,即可得到椭圆
的焦距.
【详解】根据题意可得协1=2兀,则aZ?=2,
因为用+|。闾=2a=4,所以a=2,则/?=1,
所以椭圆C的焦距为:2c=2V4^1=2退.
故选:D.
7.己知抛物线C:V=16%的焦点为E点4(2,1),尸是C上一个动点,则|PE|+|B4|的最小值为()
A.4B.5C.6D.8
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的定义可求|尸耳+|尸山的最小值.
【详解】
由题意得E(4,0),准线为x=T,点A在抛物线C的内部,
过点A作48垂直于准线,垂足为B,过点尸作垂直于准线,垂足为
则有|PF|+|M=|PD|+|B4|习AB|=4+2=6,
当且仅当,尸为与抛物线的交点时,等号成立,
所以|PE|+|P4|的最小值为6.
故选:C.
8.金秋十月,某校举行运动会,甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两
个项目参加•设事件4="甲、乙两人所选项目恰有一个相同",事件8="甲、乙两人所选项目完全不同”,
事件C="甲、乙两人所选项目完全相同”,事件£>="甲、乙两人均未选择10。米跑项目”,则()
A.A与C是对立事件B.C与。相互独立
C.A与。相互独立D.B与O不互斥
【答案】C
【解析】
【分析】列举出甲、乙两名同学选择两个项目参加的所有情况,计算每个事件的概率,P(A)+P(C)wl可
得选项A错误;由相互独立的定义可知选项B错误,选项C正确;由互斥事件的概念可知选项D错误.
【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1,2,3,4,则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100
米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有:
(1212),(1312),(1412),(2312),(2412),(3412),(1213),
(1313),(1413),(2313),(2413),(3413),(1214),(1314),(1414),(2314),
(2414),(3414),(1223),(1323),(1423),(2323),(2423),(3423),(1224),
(1324),(1424),(2324),(2424),(3424),(1234),(1334),(1434),(2334),(2434),(3434),共36
种,
其中A有24种情况,2有6种情况,C有6种情况,。有9种情况,则尸⑷===P⑻=三1
363366
1
P(c)=—=-,P(D)=—
-366-364
由尸(A)+P(C)W1可得A与C不是对立事件,选项A错误.
311
P(CD)=—=—^P(C)P(D)=—,C与。不相互独立,选项B错误.
P(AD)=W=J=P(A)P(。),A与。相互独立,选项C正确.
366
由8与。不可能同时发生可知8与。互斥,选项D错误.
故选:C.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得。分.
22
9.若直线/与双曲线土-乙=1的左、右两支各有一个交点,贝心的方程可以是()
315
A.y=75x+lB.y=x+lC.y=3xD.y=y/2x+A/2-1
【答案】BD
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线结合双曲线性质得出A,C选项错误;将直线与双曲线工-乙=1两个方程
315
联立,得到的一元二次方程有一正一负根,即可得解.
22
【详解】双曲线去=1的焦点在X轴上,且渐近线方程为>=土石X,则直线>=盯%+1与双曲线
22
L—2L=1的左支只有一个交点,A错误;
315
22
因为3>而,所以直线y=3x与双曲线土-乙=1无交点,c选项错误;
315
y=%+1
联立%22,消y得2%2_%_8=0,
----------=1
I315
A=l-4x2x(-8)>0,所以方程2/—%—8=0有两个根对々,
=-4<0,所以方程2必一%—8=0有一正一负根,
y=A/2X+y/^2.-1
联立尤212消y得3/+(2行-4卜+2陵-18=0,
-------二1
I315
A=(272-4)2-4x3x(2V2-18)=240-4072>0,所以方程3炉+(2亚一4)x+2应-18=0有两
个根%3,%4,
=2拒T8<0,所以方程2必—%—8=0有一正一负根,
3
22
直线丫=尤+1,y=J5x+行-1均与双曲线^--乙=1的左、右两支各有一个交点,B,D选项正确.
315
故选:BD.
10.己知圆。:(光—。『+('—1)2=4。的半径为2,则下列命题是真命题的是()
A.a=l
B.点(1,4)在圆c的外部
C.若直线“a+y—2=。平分圆C的周长,则根=—1
D.圆(九一9『+(y+5)2=64与圆C外切
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据圆的半径、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系等知识对选项进行分
析,从而确定正确答案.
【详解】圆。:(龙—。)2+(丁—1)2=4。的半径为2,所以4a=4,a=l,A选项正确.
所以圆的方程为(尤―I)?+(y—1)2=4,圆心为(1,1),半径为2,
(1-1)2+(4-1)2=9>4,所以点(1,4)在圆。的外部,B选项正确.
直线加x+y—2=。平分圆C的周长,则直线过圆心(1,1),
即加+1-2=加-1=0,加=1,所以C选项错误.
圆(%—9)2+(y+5『=64的圆心为(9,—5),半径为8,
(1,1)^(9,-5)的距离为a2+8?=10=2+8,
所以圆(九一9)~+(y+5)~=64与圆C外切,D选项正确.
故选:ABD
11.在空间直角坐标系中,己知4(0,2,11,3(0/(10[2」,|)4(0,2,0),鸟(0,0,0),。|(4,0,0),则
()
A.44c为质数
B.VA3C为直角三角形
C.与。与所成角的正弦值为上叵
29
7
D.几何体ABC-45cl的体积为1
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于ABC:根据空间向量的坐标运算分析求解即可;对于D:分析可知几何体ABC-A51G为三
棱台,且AA与该三棱台的底面垂直,结合台体的体积公式运算求解.
【详解】对于选项A:因为用C=[2,1]}AG=14,—2,—|1,
所以44c•AC|=4x18_2_:]=15,15不是质数,A错误;
对于选项B:因为B4=(0,1,0),3。=(2,0,0),则8450=0,
所以5c-A5C为直角三角形,B正确;
IcosRC,AB\==」=
对于选项c:因为।।।,J区—回,
工
55J29
所以与C与AB所成角的正弦值为一==*二,C正确;
V2929
对于选项D:根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体A3C-451cl为三棱台,
Z八
-yti
3
且AA与该三棱台的底面垂直,ABVBC,\BX=2,4£=4,AB=1,BC=2,A4,=1,
故选:BCD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.直线x+3y+2=0与直线x+3y—8=0之间的距离为.
【答案】V10
【解析】
【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】由于x+3y+2=0与直线x+3y—8=0平行,故距离为」2±1=痴,
Vl2+32
故答案为:Vw
13.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩,已知甲、乙两人选择三
个景点游玩的概率分别是!,1和1,则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为.
362442
3
【答案】一##0.375
8
【解析】
【分析】根据相互独立事件概率加法计算公式即可求得.
【详解】由题意知甲,乙两人选择景点游玩相互独立,
所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为工=3
3464228
故答案为:
22
14.己知片,尸2分别是双曲线C:二—与=1(。>0)>0)的左、右焦点,过点歹2且斜率为2的直线与
ab
C的一条渐近线在第四象限相交于点Af,四边形又可”为平行四边形.若直线的斜率
62
k€---,则。的离心率的取值范围为
【答案】,丽]
【解析】
【分析】联立/月的方程y=2(x-c)与渐近线方程y=-/x,可得〃坐标,根据两点斜率公式结合平行
b
求解叫的斜率,即可化简得24—V3,进而可求解离心率.
a
【详解】由题意可得Fi(—c,0),月(c,0),
由于叫"为平行四边形,故NF?//MF1,
直线加工的方程为y=2(x—c),渐近线方程y=—,九,
b
y=——x2ac-2bc
联立an冗=------,y=-----
2a+b2a+b
y=2(x-c)
lac-2bc
故Af
2a+b"2a+b/
-2bc
所以k=k=2a+b=~2bc
所以圾叫2ac工4ac+bc4a+b
2a+b
因此—£<-^-<—2,化简得2a〈b<3an2<2<3,
74。+b3a
Lb2
故禺心率为e=——1+7
aa
故答案为:[不,如]
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图,AEJ_平面ABC。,Cb,平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E,尸位于平面ABCD的
两侧.
(1)若AE=2CF,试用AB-AD>AE表示AF;
⑵若CF=2,AE=3,AD=4,求直线6。与平面AB尸所成角的正弦值.
【答案】(1)AF=AB+AD--AE
2
⑵叵
10
【解析】
【分析】(1)根据图形,用A5,AD>4E表示出AF即可;
(2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,直线的方向向量与法向量所成角的余弦值即为直线与平面
所成角的正弦值.
【小问1详解】
连接AC,由题意得Ab=AC+CF=AB+AD+",
E
2
一1.
所以AE=AB+AD——AE-,
2
【小问2详解】
以A为坐标原点,AB>AD>4E的方向分别为了,V,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标
系,
则力(0,0,0),5(4,0,0),£>(0,4,0),F(4,4,-2),
所以AB=(4,0,0),AF=(4,4,-2),BD=(T,4,0).
设平面ABF的法向量为记=(x,y,z),
m-AB=4%=0,
则4
m-AF=4%+4y—2z=0,
令y=l,得沅=(OJ2),
设直线BD与平面ABF所成的角为8,
।।\mBD4/fn
11\m\\BD75X4A/210
故直线BD与平面AB厂所成交的正弦值为画.
10
16.已知不过原点的直线/在两坐标轴上的截距相等.
(1)求直线/的倾斜角;
⑵若直线/过点P(2,6),求直线/的方程;
(3)若直线机与直线/垂直,且直线也被圆V+9=4截得的弦长为2,求直线〃z在V轴上的截距.
3兀
【答案】(1)T
(2)x+y-8=0
(3)±^6
【解析】
【分析】(1)根据题意设出直线的截距式,即可求出斜率以及倾斜角;
(2)将点的坐标代入到直线方程中即可;
(3)根据弦长得到圆心到直线的距离,即可求出结果.
【小问1详解】
设直线/:±+2=1,即y=。一》,
aa
则直线/的斜率为一1,根据左=taniz(OWa<7i),
37r
可求得倾斜角为一;
4
【小问2详解】
将点P(2,6)的坐标代入y=。—x,可得。=8,
所以直线/的方程为x+y—8=。;
【小问3详解】
因为直线与直线/垂直,所以可设〃z:y=x+b,
b
因为点(0,0)到直线加的距离d\\
解得b=±^6,
则直线加在y轴上的截距为土布.
17.己知在VABC中,4(2,6),8(—2,—2),C(5,-3).
(1)求VA3C的外接圆的标准方程;
(2)过点3作VA5C的外接圆的切线,求该切线方程.
【答案】⑴(X-2)2+(J-1)2=25
(2)4x+3y+14=0
【解析】
【分析】(1)将三顶点代入圆的标准方程,解出即可;
(2)由两直线垂直得到斜率关系,再由点斜式得到直线方程即可;
【小问1详解】
设VABC的外接圆的标准方程为(无一。)2+(j-Z?)2=r2,
(2-〃/+(6-/?/-丫2
则[(—2_〃『+(—2—8)2
+(―3_b)2_/
<7=2,
解得。=1,
r2=25,
故VABC的外接圆的标准方程为(尤—2)2+(y—叶=25.
【小问2详解】
由(1)得VA5C外接圆的圆心为N(2,l),半径为5.
-2-134
因为原N=--------=:,所以切线的斜率为-一,
-2-243
4
故所求切线方程为y+2=—§(x+2),即4尤+3y+14=0.
92
18.动点M8y)与定点/(2,0)的距离和M到定直线x=-的距离的比为,.记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程.
(2)已知直线/:y=x+w.
①若直线I与C相交.求机的取值范围;
②当直线/与。相交时,证明:直线/被C截得的线段的中点在同一条直线上.
22
【答案】(1)—+^-=1
95
(2)①②证明见解析
【解析】
【分析】(1)用坐标表示几何条件化简可得点"轨迹方程;
(2)①联立直线方程与椭圆方程,消去A〉0可求相的取值范围;
9H7
②法一,由①可得为+々=-三-,进而求得中点坐标,消去参数可得直线/被C截得的线段的中点所在直
线方程.
法二,设直线/与C交于A,3两点.设401,%),8(久2/2),利用点差法可得结论.
【小问1详解】
J(x-2『+y22
根据题意可得9-3,
X—
2
22
化简得土+匕=1,
95
22
即C的方程为土+匕=1.
95
【小问2详解】
f22
工+丁-i
①解:由,95,得14%2+i8mx+9n?—45=0
y=x+m
由△=(18771)2一4xl4(9帆2-45)>0,
—^/14<m<>所以加的取值范围为fiW,J
,口9m
②证明:(方法一)由①中14尤2+18〃氏+9m2—45=0,倚尤]+%---■
设直线1被C截得的线段的中点坐标为(九0,%),
2
9m
%二一五
由〈u,消去m可得5xo+9%=o,
5m
所以直线I被C截得的线段的中点在直线5x+9y=0上.
(方法二)设直线/与C交于A,3两点.
设力(久1,%),8(>2,>2),线段AB的中点坐标为(飞,阳),
则直线/的斜率为&E=1,%=三三,%=%产
菁-兀222
’22
9+上=1
因为点A,B在C上,所以〈9.;5,
2+&=1
195
2_22_2
两式相减得上二8+竺士=0,
95
化简得5u.X]+%_2+9c.-y1+力%.7x-J%2=0c,
22%一%
即5x0+9%=0,
所以直线/被C截得的线段的中点在直线5x+9y=0上.
19.已知双曲线C:£—,=1(。〉0力〉0)的左、右顶点分别为A,B,渐近线方程为y=±乎「
|AB|=4,直线/:y=;x+相与C的左、右支分别交于点M,N(异于点A,B).
(1)求C的方程;
9
(2)若直线A"与直线5
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