广西合浦县2024-2025学年高二年级上册期中检测数学试卷（含解析）

2024年秋学期高二期中考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第七章、选择性必修第一册第一章至第三

章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.抛物线＞=4好的焦点坐标是（）

A.（1,0）B.（0,1）C.D.［（）（］

【答案】D

【解析】

【分析】将抛物线化为标准形式，根据焦点坐标公式即可解出.

【详解】丫=4必得到炉=」则焦点坐标为（0,工）.

-4"16

故选：D.

2

2.双曲线？一-x-=l的渐近线方程为（）

100

A.y=+—xB.y=±xC.y=±10xD.y=±100x

-iowo--

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的性质即可求解.

2

【详解】由？一一%2=1,得a=10,b=l,

100

所以渐近线方程为y=±3x,即丁=±10乂

b

故选：C

3.已知直线4:x+oy-20=0与匀：2x+（a+l）y-10=0.若〃/（，则。=（）

1

A.-1B.1C.-D.2

3

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线平行列方程，从而求得。的值.

【详解】由于"/如所以lx（a+l）=ax2M=1,

止匕时两直线方程分另!Jx+y—20=0,2x+2j—10=0nx+y—5=0,

不重合，符合题意，所以。=1

故选：B

4.己知椭圆C:£+/=l（a〉6〉0）的长轴长为8,且离心率为乎，则C的标准方程为（）

2222222

A.土+产=1B.工+乙=1C.土+21=1D,土+匕=1

1664491615644

【答案】A

【解析】

分析】根据概念得到a,瓦c，即可得到结果.

【详解】由题意易得2。=8,则a=4,

因为椭圆C的离心率为姮，所以c=/，

4

则/=16-15=1，

故C的标准方程为上+丁=1，

16

故选：A.

5.一束光线从点P（l,4）射出，经y轴反射后经过点M（2,0）,则该束光线从点尸到点河路径长为

()

A.4B.5C.6D.V17

【答案】B

【解析】

【分析】先求出「关于y轴的对称点尸‘,再根据两点间距离公式计算即可.

（详解】点尸关于y轴对称的点为尸'（―L4）,

则该光线从点P到点M的路径长为归'闾=^（2+1）2+42=5.

故选：B.

6.阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半

22

轴的长度和圆周率兀三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆C:工+A=l（a〉6〉0）的面积为2兀，6，F2

ab

为椭圆C的两个焦点，尸为椭圆c上任意一点.若怛耳|+|。闾=4,则椭圆C的焦距为（）.

A.V3B.2C.2百D.2^3

【答案】D

【解析】

【分析】先通过怛片|+仍6|=4,确定。的值，再通过椭圆的面积公式求出b,最后求出c,即可得到椭圆

的焦距.

【详解】根据题意可得协1=2兀，则aZ?=2,

因为用+|。闾=2a=4,所以a=2,则/?=1,

所以椭圆C的焦距为：2c=2V4^1=2退.

故选：D.

7.己知抛物线C:V=16%的焦点为E点4（2,1）,尸是C上一个动点，则|PE|+|B4|的最小值为（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】利用抛物线的定义可求|尸耳+|尸山的最小值.

【详解】

由题意得E（4,0）,准线为x=T,点A在抛物线C的内部，

过点A作48垂直于准线，垂足为B,过点尸作垂直于准线，垂足为

则有|PF|+|M=|PD|+|B4|习AB|=4+2=6,

当且仅当，尸为与抛物线的交点时，等号成立，

所以|PE|+|P4|的最小值为6.

故选：C.

8.金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两

个项目参加•设事件4="甲、乙两人所选项目恰有一个相同"，事件8="甲、乙两人所选项目完全不同”,

事件C="甲、乙两人所选项目完全相同”，事件£>="甲、乙两人均未选择10。米跑项目”，则（）

A.A与C是对立事件B.C与。相互独立

C.A与。相互独立D.B与O不互斥

【答案】C

【解析】

【分析】列举出甲、乙两名同学选择两个项目参加的所有情况，计算每个事件的概率，P（A）+P（C）wl可

得选项A错误；由相互独立的定义可知选项B错误，选项C正确；由互斥事件的概念可知选项D错误.

【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1,2,3,4,则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100

米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有:

(1212),(1312),(1412),(2312),(2412),(3412),(1213),

(1313),(1413),(2313),(2413),(3413),(1214),(1314),(1414),(2314),

(2414),(3414),(1223),(1323),(1423),(2323),(2423),(3423),(1224),

(1324),(1424),(2324),(2424),(3424),(1234),(1334),(1434),(2334),(2434),(3434),共36

种,

其中A有24种情况，2有6种情况,C有6种情况，。有9种情况，则尸⑷===P⑻=三1

363366

1

P(c)=—=-,P(D)=—

-366-364

由尸（A）+P（C）W1可得A与C不是对立事件,选项A错误.

311

P（CD）=—=—^P（C）P（D）=—,C与。不相互独立，选项B错误.

P（AD）=W=J=P（A）P（。）,A与。相互独立，选项C正确.

366

由8与。不可能同时发生可知8与。互斥，选项D错误.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

22

9.若直线/与双曲线土-乙=1的左、右两支各有一个交点，贝心的方程可以是（）

315

A.y=75x+lB.y=x+lC.y=3xD.y=y/2x+A/2-1

【答案】BD

【解析】

【分析】根据双曲线的渐近线结合双曲线性质得出A,C选项错误；将直线与双曲线工-乙=1两个方程

315

联立，得到的一元二次方程有一正一负根，即可得解.

22

【详解】双曲线去=1的焦点在X轴上，且渐近线方程为>=土石X,则直线>=盯％+1与双曲线

22

L—2L=1的左支只有一个交点，A错误;

315

22

因为3>而，所以直线y=3x与双曲线土-乙=1无交点，c选项错误;

315

y=%+1

联立％22,消y得2%2_%_8=0，

----------=1

I315

A=l-4x2x(-8)>0,所以方程2/—%—8=0有两个根对々，

=-4<0,所以方程2必一%—8=0有一正一负根,

y=A/2X+y/^2.-1

联立尤212消y得3/+(2行-4卜+2陵-18=0,

-------二1

I315

A=（272-4）2-4x3x（2V2-18）=240-4072>0,所以方程3炉+（2亚一4）x+2应-18=0有两

个根%3，%4，

=2拒T8<0,所以方程2必—%—8=0有一正一负根，

3

22

直线丫=尤+1,y=J5x+行-1均与双曲线^--乙=1的左、右两支各有一个交点，B,D选项正确.

315

故选：BD.

10.己知圆。:（光—。『+（'—1）2=4。的半径为2,则下列命题是真命题的是（）

A.a=l

B.点（1,4）在圆c的外部

C.若直线“a+y—2=。平分圆C的周长，则根=—1

D.圆（九一9『+（y+5）2=64与圆C外切

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据圆的半径、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系等知识对选项进行分

析，从而确定正确答案.

【详解】圆。：（龙—。）2+（丁—1）2=4。的半径为2,所以4a=4,a=l,A选项正确.

所以圆的方程为（尤―I）?+（y—1）2=4,圆心为（1,1）,半径为2，

（1-1）2+（4-1）2=9>4,所以点（1,4）在圆。的外部，B选项正确.

直线加x+y—2=。平分圆C的周长，则直线过圆心（1,1）,

即加+1-2=加-1=0,加=1,所以C选项错误.

圆（%—9）2+（y+5『=64的圆心为（9,—5）,半径为8,

（1,1）^（9,-5）的距离为a2+8?=10=2+8,

所以圆（九一9）~+（y+5）~=64与圆C外切，D选项正确.

故选：ABD

11.在空间直角坐标系中，己知4（0,2,11,3（0/（10[2」,|）4（0,2,0）,鸟（0,0,0）,。|（4,0,0）,则

（）

A.44c为质数

B.VA3C为直角三角形

C.与。与所成角的正弦值为上叵

29

7

D.几何体ABC-45cl的体积为1

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于ABC：根据空间向量的坐标运算分析求解即可；对于D：分析可知几何体ABC-A51G为三

棱台，且AA与该三棱台的底面垂直，结合台体的体积公式运算求解.

【详解】对于选项A：因为用C=[2,1]}AG=14,—2,—|1,

所以44c•AC|=4x18_2_：]=15,15不是质数，A错误；

对于选项B：因为B4=（0,1,0）,3。=（2,0,0）,则8450=0，

所以5c-A5C为直角三角形，B正确；

IcosRC,AB\==」=

对于选项c：因为।।।，J区—回，

工

55J29

所以与C与AB所成角的正弦值为一==*二，C正确；

V2929

对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体A3C-451cl为三棱台,

Z八

-yti

3

且AA与该三棱台的底面垂直，ABVBC,\BX=2,4£=4,AB=1,BC=2,A4,=1,

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.直线x+3y+2=0与直线x+3y—8=0之间的距离为.

【答案】V10

【解析】

【分析】根据平行线间距离公式即可求解.

【详解】由于x+3y+2=0与直线x+3y—8=0平行，故距离为」2±1=痴,

Vl2+32

故答案为：Vw

13.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三

个景点游玩的概率分别是!，1和1，则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为.

362442

3

【答案】一##0.375

8

【解析】

【分析】根据相互独立事件概率加法计算公式即可求得.

【详解】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立,

所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为工=3

3464228

故答案为:

22

14.己知片，尸2分别是双曲线C：二—与=1（。＞0）＞0）的左、右焦点，过点歹2且斜率为2的直线与

ab

C的一条渐近线在第四象限相交于点Af,四边形又可”为平行四边形.若直线的斜率

62

k€---，则。的离心率的取值范围为

【答案】，丽］

【解析】

【分析】联立/月的方程y=2（x-c）与渐近线方程y=-/x,可得〃坐标，根据两点斜率公式结合平行

b

求解叫的斜率，即可化简得24—V3,进而可求解离心率.

a

【详解】由题意可得Fi（—c,0）,月（c,0）,

由于叫"为平行四边形，故NF?//MF1,

直线加工的方程为y=2（x—c）,渐近线方程y=—,九,

b

y=——x2ac-2bc

联立an冗=------,y=-----

2a+b2a+b

y=2（x-c）

lac-2bc

故Af

2a+b"2a+b/

-2bc

所以k=k=2a+b=~2bc

所以圾叫2ac工4ac+bc4a+b

2a+b

因此—£<-^-<—2,化简得2a〈b<3an2<2<3,

74。+b3a

Lb2

故禺心率为e=——1+7

aa

故答案为：［不，如］

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，AEJ_平面ABC。，Cb,平面ABCD,四边形ABCD为正方形，E,尸位于平面ABCD的

两侧.

（1）若AE=2CF,试用AB-AD>AE表示AF；

⑵若CF=2,AE=3,AD=4,求直线6。与平面AB尸所成角的正弦值.

【答案】（1）AF=AB+AD--AE

2

⑵叵

10

【解析】

【分析】（1）根据图形，用A5，AD>4E表示出AF即可；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，直线的方向向量与法向量所成角的余弦值即为直线与平面

所成角的正弦值.

【小问1详解】

连接AC,由题意得Ab=AC+CF=AB+AD+"，

E

2

一1.

所以AE=AB+AD——AE-,

2

【小问2详解】

以A为坐标原点,AB>AD>4E的方向分别为了，V，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标

系,

则力（0,0,0）,5（4,0,0）,£＞（0,4,0）,F（4,4,-2）,

所以AB=（4,0,0）,AF=（4,4,-2）,BD=（T,4,0）.

设平面ABF的法向量为记=（x,y,z）,

m-AB=4%=0,

则4

m-AF=4%+4y—2z=0,

令y=l,得沅=（OJ2）,

设直线BD与平面ABF所成的角为8,

।।\mBD4/fn

11\m\\BD75X4A/210

故直线BD与平面AB厂所成交的正弦值为画.

10

16.已知不过原点的直线/在两坐标轴上的截距相等.

（1）求直线/的倾斜角；

⑵若直线/过点P（2,6）,求直线/的方程；

（3）若直线机与直线/垂直，且直线也被圆V+9=4截得的弦长为2,求直线〃z在V轴上的截距.

3兀

【答案】（1）T

(2)x+y-8=0

（3）±^6

【解析】

【分析】（1）根据题意设出直线的截距式，即可求出斜率以及倾斜角;

（2）将点的坐标代入到直线方程中即可；

（3）根据弦长得到圆心到直线的距离，即可求出结果.

【小问1详解】

设直线/：±+2=1,即y=。一》,

aa

则直线/的斜率为一1,根据左=taniz（OWa<7i）,

37r

可求得倾斜角为一；

4

【小问2详解】

将点P（2,6）的坐标代入y=。—x,可得。=8,

所以直线/的方程为x+y—8=。；

【小问3详解】

因为直线与直线/垂直，所以可设〃z:y=x+b,

b

因为点（0,0）到直线加的距离d\\

解得b=±^6，

则直线加在y轴上的截距为土布.

17.己知在VABC中，4(2,6),8(—2,—2),C(5,-3).

(1)求VA3C的外接圆的标准方程；

(2)过点3作VA5C的外接圆的切线，求该切线方程.

【答案】⑴(X-2)2+(J-1)2=25

(2)4x+3y+14=0

【解析】

【分析】(1)将三顶点代入圆的标准方程，解出即可；

(2)由两直线垂直得到斜率关系，再由点斜式得到直线方程即可；

【小问1详解】

设VABC的外接圆的标准方程为(无一。)2+(j-Z?)2=r2,

(2-〃/+(6-/?/-丫2

则［(—2_〃『+(—2—8)2

+(―3_b)2_/

<7=2,

解得。=1,

r2=25,

故VABC的外接圆的标准方程为(尤—2)2+(y—叶=25.

【小问2详解】

由(1)得VA5C外接圆的圆心为N(2,l),半径为5.

-2-134

因为原N=--------=:，所以切线的斜率为-一，

-2-243

4

故所求切线方程为y+2=—§(x+2),即4尤+3y+14=0.

92

18.动点M8y)与定点/(2,0)的距离和M到定直线x=-的距离的比为,.记点M的轨迹为C.

(1)求C的方程.

(2)已知直线/:y=x+w.

①若直线I与C相交.求机的取值范围；

②当直线/与。相交时，证明：直线/被C截得的线段的中点在同一条直线上.

22

【答案】（1）—+^-=1

95

（2）①②证明见解析

【解析】

【分析】（1）用坐标表示几何条件化简可得点"轨迹方程；

（2）①联立直线方程与椭圆方程，消去A〉0可求相的取值范围；

9H7

②法一，由①可得为+々=-三-，进而求得中点坐标，消去参数可得直线/被C截得的线段的中点所在直

线方程.

法二，设直线/与C交于A,3两点.设401，%），8（久2/2），利用点差法可得结论.

【小问1详解】

J（x-2『+y22

根据题意可得9-3，

X—

2

22

化简得土+匕=1,

95

22

即C的方程为土+匕=1.

95

【小问2详解】

f22

工+丁-i

①解：由，95，得14%2+i8mx+9n?—45=0

y=x+m

由△=（18771）2一4xl4（9帆2-45）>0,

—^/14<m<>所以加的取值范围为fiW,J

，口9m

②证明：（方法一）由①中14尤2+18〃氏+9m2—45=0,倚尤］+%---■

设直线1被C截得的线段的中点坐标为（九0，%）,

2

9m

%二一五

由〈u，消去m可得5xo+9%=o,

5m

所以直线I被C截得的线段的中点在直线5x+9y=0上.

（方法二）设直线/与C交于A,3两点.

设力（久1，%），8（＞2，＞2），线段AB的中点坐标为（飞，阳），

则直线/的斜率为&E=1,%=三三，%=%产

菁-兀222

’22

9+上=1

因为点A,B在C上，所以〈9.；5，

2+&=1

195

2_22_2

两式相减得上二8+竺士=0,

95

化简得5u.X]+%_2+9c.-y1+力%.7x-J%2=0c,

22%一%

即5x0+9%=0,

所以直线/被C截得的线段的中点在直线5x+9y=0上.

19.已知双曲线C：£—，=1（。〉0力〉0）的左、右顶点分别为A,B,渐近线方程为y=±乎「

|AB|=4,直线/:y=；x+相与C的左、右支分别交于点M,N（异于点A,B）.

（1）求C的方程；

9

（2）若直线A"与直线5