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文档简介
广东省中山市2023-2024学年高二上学期
期末统一考试数学试题
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号
填写在答题卡上,将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点
涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不
按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.椭圆三+上=1的焦点坐标为()
912
A.(土后0)B.(0,±73)
C.(±V21,0)D.(0,±A/21)
【答案】B
【解析】由椭圆方程可知:a2=12,b2=9,且焦点在y轴上,
22
可得C="万=也,所以椭圆+A=l的焦点坐标为(0,±6).
故选:B.
2.已知.UY+V+x—2y+;=0,则该圆的圆心坐标和半径分别为()
A.一:/],孚B.(一l,2),g
D百D.(1,-2),^
【答案】A
【解析】由已知圆的标准方程为(x+^y+G—1)2=3,圆心是(-工,1),半径是且.
2422
故选:A.
3.已知直线/的方向向量为4=(1,2,-2),平面a的法向量为〃=(2,4,加),若〃/。,则
加等于()
A.5B.2C.1D.-4
【答案】A
【解析】因为Illa,且直线/的方向向量为a=(L2,—2),平面a的法向量为H=(2,4,m),
所以a_L〃,所以a-n=0,所以Ix2+2x4+(-2)xm-O,解得m=5.
故选:A.
4.经过两点(为,元)、(4,兀)的直线方程都可以表示为()
A=B=
%2一芭必一%X1-X2%一%
C.(y—x)(%2—%)=(x—/)(%—X)D.
【答案】c
【解析】当经过(当,无)、(莅,兀)的直线不与乂丁轴平行时,
所有直线均可以用——x-x7-=一y-y^7,
为一%2%一%
由于%,多可能相等,所以只有选项c满足包括与苍y轴平行的直线.
故选:c
5.在正项等比数列{%}中,6%3=36,则%+4%的最小值是()
A.12B.18C.24D.36
【答案】C
【解析】在正项等比数列{%,}中,a5a9=。必3=36,所以%+4%之2M♦4%=24,
当且仅当%=4%即%=12,%=3时,等号成立,即%+4%的最小值是24.
故选:C.
6.若光线沿倾斜角为120。的直线射向y轴上的点A(0,-4),则经〉轴反射后,反射光线所
在的直线方程为()
A.y=y(3x-4B.y=_6x_4
C.y--^-x-4D.y-^-x-4
•3-3
【答案】A
【解析】光线沿倾斜角为120。的直线射向轴上的点A(0,T),
经V轴反射后反射光线所在直线的倾斜角为60°,则反射光线斜率左=tan60°=百,且
反射光线过点A(O,T),
故反射光线所在的直线方程为y=岛-4.
故选:A
7.某同学在一次模拟实验中,设定一个乒乓球从16米高处下落,每次着地后又弹回原来
高度的一半再落下,则第6次着地时乒乓球所运动的路程之和为()
A.31米B.31.5米C.47米D.63米
【答案】C
【解析】记第n次落地到第"+1次落地之间球运动的路程为4米,
则q=16,%=16,{%}是从第二项起公比为g的等比数列,
所以第6次着地时球所运动的路程之和=47.
故选:C.
8..如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型
(称为“Dandelin双球”);在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面、
截面相切,设图中球。一球。2的半径分别为4和1,球心距|,Q|=6,截面分别与球。一球
【解析】依题意,截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交,椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平
面截此组合体,
得圆锥的轴截面及球a,球。2的截面大圆,如图,
点A3分别为圆。与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点,线段VN是椭圆长轴,
椭圆长轴长2a=|AW|=|MF|+|F/V|=\MF\+\ME\=\MB\+|M4|=|AS|,
过。2作Q0A于D连。2台,显然四边形ABQD为矩形,
又IQB|=L|1=4,10021=6,
2222
则2a=|AB|=|O2D\=7|O1O2|-|O1D|=A/6-3=,
过。2作O2C±OXE交O|E延长线于C,显然四边形CEFO2为矩形,
22
椭圆焦距2c=\EF|=|O2C\=7lOlO2|-|O1C|=用二手=而,
故选:A.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.空间直角坐标系中,下列说法正确的是()
A.点P(l,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(-1,2,-3)
B.点Q(l,0,2)在平面xOz面上
c.Z=1表示一个与坐标平面X0y平行的平面
D.2x+3y=6表示一条直线
【答案】BC
【解析】A项:点P。,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,—3),故A错;
B项:因为点Q。,0,2)纵坐标为0,所以点Q(L0,2)在平面%。面上,故B正确;
C项:z=l,则横坐标和纵坐标为任意数,故与坐标平面平行,故C正确;
D项:2x+3y=6,说明竖坐标为任意数,表示一个平面,故D错,
故选:BC.
10.己知5“是等比数列{4}的前〃项和,则()
A,若%〉0,则出023>。B.若。4〉0,则“2023<0
C.若名〉0,则邑023>0D.若%>0,贝!1§2023>0
【答案】AC
【解析】设等比数列{%}的公比为q(qwO).
A选项,生〉0,。2023=,寸必〉0,A选项正确,
B选项,%>0,%023=。4口加9,符号无法判断,B选项错误.
,1-产3
C选项,%=OU?>0,>0,当q/1时,S=qx----------,
2一0231-q
1—产
由于--->0,所以S2023〉0,
1-q
当q=l时,S2023=2023%>0,C选项正确.
D选项,a4=>0,所以对与4同号,
1—/0231_〃2。23
当qwl时,S=axx————,由于一-——>0,
20231-q1-q
%的符号无法判断,所以邑023的符号无法判断,D选项错误.
故选:AC
11.已知直线/经过抛物线。:丁2=20%(0>0)的焦点口,且与。交于人,B两点,过A,
8分别作直线的垂线,垂足依次记为A,耳,若|AB|的最小值为4,则()
A.p=2
B.NA/耳为钝角
c.\AB\=\AF\-\BF\
D.若点M,N在C上,且尸为-4VW的重心,贝U|AF|+|MF|+|NF|=5
【答案】AC
【解析】抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点
依题意可知直线I与X轴不重合,设直线I的方程为x=my+^,
p
由2消去X并化简得y2—2pwy—p2=o,
y=2px
△=4°2疗+4/〉0,设A(%,yJ,5(X2,%),
则%+%=2pm,%%=-P2,
222
2
X;+x2=m(yl+y2)+p=2pm+p,x^2=y--y^-=-^-
2
|AB|=x,+x2+p=2pm+2p>2p,当m=0时等号成立,
所以27=4,夕=2,A选项正确,抛物线的方程为V=4x,
准线方程x=—1,焦点/(1,0),
则A"】""?),则璃♦两=(-2,%>(-2,%)=4+%%=4-pJO,
71
所以NAF4=5,所以B选项错误.
由上述分析可知|AB|=石+9+〃=47"2+4,
|AF|-|BF|=+驾=(%+1),(々+1)
=+%+%2+1=?+2pm2+p+l=4m2+4,
所以|AB|=|AF|•忸青,所以c选项正确.
设”(七,%),入(%4,%),由于产是二4VW的重心,
所以「
=1,玉+退+工4=3,
所以回+|M司+|NF|=X1+^+X3+U+X4+U=3+3=6,所以D选项错误.
故选:AC
A
12.形如/(x)=ax+-(a>0,b>0)的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型,
因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“卡,所以也称为“对勾函数”.研究证明,对勾
函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到,即对勾函数是双曲线.已知。
为坐标原点,下列关于函数/(x)=x+,的说法正确的是()
A.渐近线方程为%=0和y=x
B.y=/(%)的对称轴方程为y=(、历+l)x和y=(l—0jx
C.M,N是函数/(%)图象上两动点,p为MV的中点,则直线肱V,QP的斜率之积为定
值
D.。是函数/(%)图象上任意一点,过点。作切线,交渐近线于A3两点,贝IQ4B的
面积为定值
【答案】ABD
【解析】因为/(x)=x+^是双曲线,
由图象可知:函数/(%)图象无限接近工=0和丁=%,但不相交,
故渐近线为九=0和丁=%,故A正确;
因为/(x)=x+L是双曲线,由双曲线的性质可得,对称轴为渐近线的角分线,且互相垂
直,
45°
一条直线的倾斜角为45。+——=67.5°,
2
.2tan22.5°.
由二倍角公式可得3445o%—的「22.5。)2=1'
整理得(tan22.5°y+2tan22.5°-1=0,解得tan22.5°=垃-1或tan22.5。=-忘-1
(舍去),
故匕=tan67.5°=tan(45°+22.5°)==72+1,
另一条直线的斜率为42=-;=1-&,故B正确;
%—为"_%+%
设〃(%,X),N(X2,%),所以%MN=,KOP一
玉+%2
1、2(iY
国H--_%2-----
故1,故c错误;
I
.kop7*2)
22
%迎
因为;■'3=1—士,
设。,则。处切线的斜率上=/(。=1一5,
所以切线方程为y=1—T(XT)+'+;‘
12..2
令%=0,可得)+%+—=即A(O,2,则|。山=";
+/+;,可得x=2/,即5(2/2),贝U|OB|=2血卜|;
令y=%=
故_。48面积为5^0.=3*1*2拒卜,5=2(定值),故D正确.
故选:ABD.
三、填空题.本题共4小题,每小题5分,共20分
13.抛物线y2=-8x的焦点到准线的距离为
【答案】4
【解析】抛物线V=-8x的焦点/(―2,0),准线方程%=2,...其的焦点到准线的距离为
4.
故答案为:4.
14.己知圆6:5-2)2+(丁-1)2=1与圆。2:必+、2=4相交,则它们交点所在的直线方程
为.
【答案】2x+y-4=。
22
【解析】C1:(x-2)+(y-l)=l,
即x?+/-4x-2y+4=0,
22
C2:x+y=4,
即x?+y2—4=0,
两式相减得:2x+y-4=0.
故答案为:2x+y-4=0.
15.如图,在正四棱锥P—ABCD中,E,F,G分别为侧棱PB,PC,PD上的点,A,及歹,G四
点共面,若PE=^PB,PF=LPC,则上=,
52GD
【答案】3
【解析】先证明一个结论:如图,若不在同一平面内的射线OR。。,上分别存在点耳,巴,
点。,。2和点用国,
V。牛CQi0&
则四面体体积之比。一“内砥颂丽,
。一舄。2氏2
h,OR.
事实上,设",凡分别是点片,尺2到平面。片。1,。自。2的距离,则广=从而
%一耳°内_力一。耳。1_SO6Q]•一_S.OR】_0人.OQi.OR1
^O-P2Q2R2^RX-OP2Q2OP2Q2,^2SOP2Q2°氏2。鸟。。2。氏2
/—AG/PAPFPG111iV
=-x,,则K-AGF=~X'VP-ADC=X--V:二一X
^P-ADC~PAPC~PD~2224
Vp-AEFPAPFPE33313V
则^P-AEF~^~X'VP-ADC-V=■,
^P-ABC~PAPC~PB~To,-To220
V3V
所以^P-AGFE=^P-AGF+^P-AEF=彳X十;
3V3V9V
同理可得Vp=VpACFFCF----XH------X-----X.
'7'«r—PAACjFftLFr—ALrc,r—r(jiL102020
,V3V9VWR3即出=3,从而”=3.
所crr以二九十二?二二7九,解何元二:
420204PD4GD
故答案为:3.
s
Sn+i
16.己知数列{。”}的前”项和为S“,ax=T,S“+iS“=a..令〃=—+~^,则数列
也}的前«项和<=
【答案】1--—+2/1
M+1
【解析】由题意可知:sn+lsn0,
1
因为Sn+Isn=an+l=Sn+1-Sn,则—
°n+l
111
所以数列,不卜是以首项丁=1=-1,公差d=—1的等差数列,
1、%
3,nJS
则J
,可得s.£
n
〃+ln11
贝也丁+?=-----1-------=-------+---2--,
七+1七n〃+lnn+1
所以<=(l—g+2)+」+11「
2+...+------------F2
23n〃+1
11111
1-+2〃=1---------F2n,
223n〃+1〃+l
即〈=1-一1+2〃.
n+1
故答案为:1-------+2n.
n+1
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.己知圆C过两点4(—3,5),8(1,7),且圆心在直线x—2y+3=。上.
(1)求圆C的方程;
(2)过点P(4,T)作直线/与圆C交于N两点,若|MN|=8,求直线/的方程.
解:(1)设圆C的方程为(尤—°)2+(丁—与2=/2,
(-3-af+(5-4=/a—\
则《(l-«)2+(7-&)2=r2,解得<b=2,
u—2b+3=0r=5
所以圆C的方程为(X—1)2+(y—2)2=25.
(2)设圆心C(l,2)到直线/的距离为d,
则2Vl=2M一/=2J52—屋=8,则d=3.
当直线/的斜率不存在时,直线/:x=4,满足题意;
当直线/的斜率存在时,设直线/的方程为y+4=左(%—4),即乙—y—4左—4=0,
卜2-4左-4|3
所以公QPF=3'解得左=一屋
3
此时,直线/的方程为y+4=—4),即3x+4y+4=0.
综上所述,直线/的方程为x=4或3x+4y+4=0.
18.在数列{4}中,%=2,%+i=4%-3〃+1,〃€N*.
(1)没bn=a「n,求证:数列也}是等比数列;
(2)求数列{4}的前项和.
解:(1)由己知又4=6-1,q=2,所以4=1,
因为+i=44-3n+l,neN",
所以见+1—("+1)=4(%—〃),又b,=a,—n
所以b.+i=4£>“,"cN*,因为4=1,所以2片0,“eN*
b
所以比匚=4,neN,
所以数列抄/是首项为1,公比为4的等比数列.
(2)由(1),可知4—九=4"T,
所以数列{4}的通项公式为4=4"T+”.
设数列{4}的前项和为s“,则
Sn=〃]++Q3--------4及,
所以S"=(40+1)+(41+2)+(42+3)+-+(4"T+M,
12
Sn=4°+l+4+2+4+3+---+4^'+n,
0l2,
Sn=(4+4+4+---+4"-)+(l+2+3+---+H).
_1一4",(l+")〃
-------1,
n1-42
_4"-1n2+n
所以S“=-----+------,
"32
所以数列{4}的前项和为£子+乌丁.
19.在平行六面体ABCD-4耳中,AB=AD=AAl^l,ZBAD=90°,ZBAAl=
ZDA4,=60°.
(1)求AG•网;
(2)求AG和84所成角的余弦值.
解:(1)由题可得氏4]=44]一AB,AC^AB+AD+AA,,
又48=40=441=1,ZBAD=90°,=ZDA^=60°,
一一-1
所以ABAD=0,ADA4j=AB*=-,
所以AG•网=(AB+AD+A41j(A41-AJB)
...2.2••
=ADAAl+AAl~-AB~-ADAB
22
(2)由题可得忸=(<AAl-AB^=A^-2AAl-AB+AB=l-2x^+l=l,
所以M=i,
又|阿=(A5+AD+AAjJ=AB?+而+■+2AB-AD+2AB.惧+2AD.期
=l+l+l+2x-+2x-=5,
22
所以=
i
所以cos(AG,%)=1AG『A=W=好,
故AG和所成角的余弦值为—.
10
2
尤2v1
20.如图,椭圆及.+方=1(。〉6〉0)的左焦点为耳,右焦点为工,离心率e=5,
过《的直线交椭圆于48两点,且AA3耳的周长为8.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设动直线/:丫=辰+利与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点
Q,试探究:在x轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出
点M的坐标;若不存在,说明理由.
解:(1)由椭圆的定义可知△的周长为4。=8,即。=2,
C1
・・•一二一,:.C=1,
a2
又a2=b?+,,b=A/3,
22
故椭圆c的方程为:土+乙=1,
43
y=kx+m
⑵将Vy2联立,消元可得(4左2+3卜2+8物氏+4加—12=0
—+—=1
143
•..动直线/:、=丘+m与椭圆E有且只有一个公共点P,
...A=(8A772)2-4(4Z:2+3)(4m2-12)=0,
•••4左22+3=0,
4km4k,(4公-4k2+m23
此时Xp-----,y=k\---+m=-------=一
4左2+3mPmJmm
y=kx+m/,、
由—得Q(4,4k+机),
X—
假设在尤轴上存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M,
设〃(%,()),则MPMQ=0,
4k3、
~*一毛,_I>MQ=(4—x0,4^+m),
4k
MP-MQ^\---x\(4-x)+—(4k+m)^O
vmmoJom
整理得(X。---Fx0—3j=0,
对任意实数加,上恒成立,则升=1,
故在x轴上存在定点使得以PQ为直径的圆恒过点M.
21.类比平面解析几何的观点,在空间中,空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点
的轨迹,在空间直角坐标系。-孙z中,空间平面和曲面的方程是一个三元方程
F(x,y,z)=0.
(1)类比平面解析几何中直线的方程,直接写出:
①过点z0),法向量为〃=(AB,C)的平面的方程;
②平面的一般方程;
③在x,»z轴上的截距分别为a,b,c的平面的截距式方程("c/O);(不需要说明理
由)
⑵设耳,鸟为空间中的两个定点,出闾=2c>0,我们将曲面「定义为满足归胤+
归闾=2a(a>c)的动点尸的轨迹,试建立一个适当的空间直角坐标系。-孙z,并推导
出曲面「的方程.
解:(1)①x())+_B(y—%)+C(z—z(j)=0,理由如下:
设平面上除P(x0,%,Z。)任意一点坐标为Q(尤,y,z),
则PQ-n=0,即A(x—%0)+_6(y-yo)+C(z—z。)=0,
又A(~—/)+5(%—%)+C(Zo—Zo)=O,
故过点P(x0,y0,z0),法向量为为=(A昆。)的平面的方程为
A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O;
②平面的一般方程为At+gy+Cz+D=0,理由如下:
由①可得A(x—X0)+5(y-yo)+C(z—Zo)=O,
变形为74-^+By+Cz—AXQ—By。—Cz0—0,令D——AXQ—By。—Cz0,
故平面一般方程为Av+6y+Cz+O=0;
③在羽y,z轴上的截距分别为mb,c的平面的截距式方程(〃*W0)为
xyZ
---1----b—=1,理由如下:
abc
由②可得平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=G,
由于方程在羽y,z轴上存在截距,且截距不为0,故AwO,6wO,CwO,Dw。,
xyz.
变形为Ar+By+Cz=-£),故。DD
-A―力C7
DD,D
令A---=a,------=b,-----=c,
ABC
故在尤,y,z轴上截距分别为a,b,c的平面的截距式方程(或c/0)为
xyz.
——F—+—=1;
abc
(2)以两个定点可,心的中点为坐标原点。,以耳所在直线为y轴,
以线段4月的垂直平分线为龙轴,以与X0V平面垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标
系,
则耳(o,c,o),耳(0,-c,0),设尸(x,y,z),可得但闾=2c>0,
\PFl\+\PF2\=2a(a>c),
所以+(y-C『+z?++(y+c)2+z2=2〃,
移项得J%2+(y—+z?=2〃一+(y+c)2+工2,
2
两边平方得%2+(y-c)2+z2=4/-4a^x+(y+c)2+z2-+x2+(y+c)2+z2,
2
即4ayjx+(j+c)2+z2=4/+(y+c)2—(y—c)2=4/+4cy,
2
故。,元2+(y+c)2+?2=a+cy两边平方得,
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