广东省中山市2023-2024学年高二年级上册期末统一考试数学试题（解析版）

广东省中山市2023-2024学年高二上学期

期末统一考试数学试题

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号

填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点

涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.椭圆三+上=1的焦点坐标为（）

912

A.（土后0）B.（0,±73）

C.（±V21,0）D.（0,±A/21）

【答案】B

【解析】由椭圆方程可知：a2=12,b2=9,且焦点在y轴上，

22

可得C="万=也，所以椭圆+A=l的焦点坐标为（0,±6）.

故选：B.

2.已知.UY+V+x—2y+；=0,则该圆的圆心坐标和半径分别为（）

A.一：/],孚B.（一l,2）,g

D百D.（1,-2）,^

【答案】A

【解析】由已知圆的标准方程为（x+^y+G—1）2=3,圆心是（-工,1）,半径是且.

2422

故选：A.

3.已知直线/的方向向量为4=（1,2,-2）,平面a的法向量为〃=（2,4,加），若〃/。，则

加等于()

A.5B.2C.1D.-4

【答案】A

【解析】因为Illa,且直线/的方向向量为a=(L2,—2)，平面a的法向量为H=(2,4,m),

所以a_L〃，所以a-n=0,所以Ix2+2x4+(-2)xm-O,解得m=5.

故选：A.

4.经过两点(为，元)、(4，兀)的直线方程都可以表示为()

A=B=

%2一芭必一%X1-X2%一%

C.(y—x)(%2—%)=(x—/)(%—X)D.

【答案】c

【解析】当经过(当，无)、(莅，兀)的直线不与乂丁轴平行时，

所有直线均可以用——x-x7-=一y-y^7,

为一%2%一%

由于%,多可能相等，所以只有选项c满足包括与苍y轴平行的直线.

故选:c

5.在正项等比数列｛%｝中，6%3=36,则%+4%的最小值是()

A.12B.18C.24D.36

【答案】C

【解析】在正项等比数列｛%,｝中，a5a9=。必3=36,所以%+4%之2M♦4%=24,

当且仅当%=4%即%=12,%=3时，等号成立，即%+4%的最小值是24.

故选：C.

6.若光线沿倾斜角为120。的直线射向y轴上的点A(0,-4),则经〉轴反射后，反射光线所

在的直线方程为()

A.y=y(3x-4B.y=_6x_4

C.y--^-x-4D.y-^-x-4

•3-3

【答案】A

【解析】光线沿倾斜角为120。的直线射向轴上的点A(0,T),

经V轴反射后反射光线所在直线的倾斜角为60°,则反射光线斜率左=tan60°=百，且

反射光线过点A（O,T）,

故反射光线所在的直线方程为y=岛-4.

故选：A

7.某同学在一次模拟实验中，设定一个乒乓球从16米高处下落，每次着地后又弹回原来

高度的一半再落下，则第6次着地时乒乓球所运动的路程之和为（）

A.31米B.31.5米C.47米D.63米

【答案】C

【解析】记第n次落地到第"+1次落地之间球运动的路程为4米,

则q=16,%=16,{%}是从第二项起公比为g的等比数列，

所以第6次着地时球所运动的路程之和=47.

故选：C.

8..如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型

（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、

截面相切，设图中球。一球。2的半径分别为4和1,球心距|，Q|=6,截面分别与球。一球

【解析】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平

面截此组合体，

得圆锥的轴截面及球a,球。2的截面大圆，如图,

点A3分别为圆。与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段VN是椭圆长轴,

椭圆长轴长2a=|AW|=|MF|+|F/V|=\MF\+\ME\=\MB\+|M4|=|AS|,

过。2作Q0A于D连。2台，显然四边形ABQD为矩形，

又IQB|=L|1=4,10021=6,

2222

则2a=|AB|=|O2D\=7|O1O2|-|O1D|=A/6-3=，

过。2作O2C±OXE交O|E延长线于C,显然四边形CEFO2为矩形,

22

椭圆焦距2c=\EF|=|O2C\=7lOlO2|-|O1C|=用二手=而，

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.空间直角坐标系中，下列说法正确的是（）

A.点P（l,2,3）关于坐标平面xOy的对称点的坐标为（-1,2,-3）

B.点Q（l,0,2）在平面xOz面上

c.Z=1表示一个与坐标平面X0y平行的平面

D.2x+3y=6表示一条直线

【答案】BC

【解析】A项：点P。,2,3）关于坐标平面xOy的对称点的坐标为（1,2,—3）,故A错；

B项：因为点Q。,0,2）纵坐标为0,所以点Q（L0,2）在平面％。面上，故B正确；

C项：z=l，则横坐标和纵坐标为任意数，故与坐标平面平行，故C正确；

D项：2x+3y=6,说明竖坐标为任意数，表示一个平面，故D错，

故选：BC.

10.己知5“是等比数列｛4｝的前〃项和，则（）

A,若%〉0,则出023>。B.若。4〉0，则“2023<0

C.若名〉0，则邑023>0D.若%>0，贝!1§2023>0

【答案】AC

【解析】设等比数列｛%｝的公比为q(qwO).

A选项，生〉0，。2023=,寸必〉0，A选项正确，

B选项，%>0，％023=。4口加9,符号无法判断，B选项错误.

,1-产3

C选项，％=OU?>0,>0,当q/1时，S=qx----------,

2一0231-q

1—产

由于--->0,所以S2023〉0，

1-q

当q=l时，S2023=2023%>0,C选项正确.

D选项，a4=>0,所以对与4同号，

1—/0231_〃2。23

当qwl时，S=axx————,由于一-——>0,

20231-q1-q

%的符号无法判断，所以邑023的符号无法判断，D选项错误.

故选：AC

11.已知直线/经过抛物线。：丁2=20%(0>0)的焦点口，且与。交于人，B两点，过A,

8分别作直线的垂线，垂足依次记为A，耳，若|AB|的最小值为4,则()

A.p=2

B.NA/耳为钝角

c.\AB\=\AF\-\BF\

D.若点M,N在C上，且尸为-4VW的重心，贝U|AF|+|MF|+|NF|=5

【答案】AC

【解析】抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点

依题意可知直线I与X轴不重合，设直线I的方程为x=my+^,

p

由2消去X并化简得y2—2pwy—p2=o,

y=2px

△=4°2疗+4/〉0,设A（%,yJ,5（X2，%），

则%+%=2pm,%%=-P2，

222

2

X；+x2=m（yl+y2）+p=2pm+p,x^2=y--y^-=-^-

2

|AB|=x,+x2+p=2pm+2p>2p,当m=0时等号成立,

所以27=4,夕=2,A选项正确，抛物线的方程为V=4x,

准线方程x=—1,焦点/(1,0),

则A"】""?），则璃♦两=（-2,%＞（-2,%）=4+%%=4-pJO,

71

所以NAF4=5,所以B选项错误.

由上述分析可知|AB|=石+9+〃=47"2+4,

|AF|-|BF|=+驾=（%+1），（々+1）

=+%+%2+1=?+2pm2+p+l=4m2+4,

所以|AB|=|AF|•忸青，所以c选项正确.

设”（七,%），入（%4，%），由于产是二4VW的重心,

所以「

=1,玉+退+工4=3,

所以回+|M司+|NF|=X1+^+X3+U+X4+U=3+3=6,所以D选项错误.

故选：AC

A

12.形如/(x)=ax+-(a>0,b>0)的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型,

因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“卡，所以也称为“对勾函数”.研究证明，对勾

函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线.已知。

为坐标原点，下列关于函数/(x)=x+，的说法正确的是()

A.渐近线方程为％=0和y=x

B.y=/(%)的对称轴方程为y=(、历+l)x和y=(l—0jx

C.M,N是函数/(%)图象上两动点，p为MV的中点，则直线肱V,QP的斜率之积为定

值

D.。是函数/(%)图象上任意一点，过点。作切线，交渐近线于A3两点，贝IQ4B的

面积为定值

【答案】ABD

【解析】因为/(x)=x+^是双曲线，

由图象可知：函数/(%)图象无限接近工=0和丁=%，但不相交，

故渐近线为九=0和丁=%，故A正确；

因为/(x)=x+L是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角分线，且互相垂

直，

45°

一条直线的倾斜角为45。+——=67.5°,

2

.2tan22.5°.

由二倍角公式可得3445o%—的「22.5。)2=1'

整理得(tan22.5°y+2tan22.5°-1=0,解得tan22.5°=垃-1或tan22.5。=-忘-1

(舍去),

故匕=tan67.5°=tan(45°+22.5°)==72+1,

另一条直线的斜率为42=-；=1-&，故B正确;

%—为"_%+%

设〃(％，X),N(X2，%)，所以％MN=，KOP一

玉+%2

1、2(iY

国H--_%2-----

故1,故c错误;

I

.kop7*2)

22

%迎

因为;■'3=1—士,

设。,则。处切线的斜率上=/（。=1一5，

所以切线方程为y=1—T（XT）+'+；‘

12..2

令％=0,可得）+%+—=即A(O,2，则|。山=";

+/+；,可得x=2/,即5(2/2),贝U|OB|=2血卜|；

令y=%=

故_。48面积为5^0.=3*1*2拒卜,5=2（定值），故D正确.

故选：ABD.

三、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分

13.抛物线y2=-8x的焦点到准线的距离为

【答案】4

【解析】抛物线V=-8x的焦点/（―2,0）,准线方程％=2,...其的焦点到准线的距离为

4.

故答案为：4.

14.己知圆6：5-2）2+（丁-1）2=1与圆。2：必+、2=4相交，则它们交点所在的直线方程

为.

【答案】2x+y-4=。

22

【解析】C1：(x-2)+(y-l)=l,

即x?+/-4x-2y+4=0,

22

C2:x+y=4,

即x?+y2—4=0,

两式相减得：2x+y-4=0.

故答案为：2x+y-4=0.

15.如图，在正四棱锥P—ABCD中,E,F,G分别为侧棱PB,PC,PD上的点,A,及歹,G四

点共面，若PE=^PB,PF=LPC,则上=,

52GD

【答案】3

【解析】先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线OR。。,上分别存在点耳,巴，

点。,。2和点用国，

V。牛CQi0&

则四面体体积之比。一“内砥颂丽，

。一舄。2氏2

h,OR.

事实上，设",凡分别是点片,尺2到平面。片。1，。自。2的距离，则广=从而

%一耳°内_力一。耳。1_SO6Q]•一_S.OR】_0人.OQi.OR1

^O-P2Q2R2^RX-OP2Q2OP2Q2,^2SOP2Q2°氏2。鸟。。2。氏2

/—AG/PAPFPG111iV

=-x,，则K-AGF=~X'VP-ADC=­X--V：二一X

^P-ADC~PAPC~PD~2224

Vp-AEFPAPFPE33313V

则^P-AEF~^~X'VP-ADC-V=■,

^P-ABC~PAPC~PB~To,-To220

V3V

所以^P-AGFE=^P-AGF+^P-AEF=彳X十；

3V3V9V

同理可得Vp=VpACFFCF----XH------X-----X.

'7'«r—PAACjFftLFr—ALrc,r—r(jiL102020

,V3V9VWR3即出=3,从而”=3.

所crr以二九十二？二二7九，解何元二:

420204PD4GD

故答案为：3.

s

Sn+i

16.己知数列｛。”｝的前”项和为S“，ax=T,S“+iS“=a..令〃=—+~^,则数列

也｝的前«项和＜=

【答案】1--—+2/1

M+1

【解析】由题意可知：sn+lsn0,

1

因为Sn+Isn=an+l=Sn+1-Sn,则—

°n+l

111

所以数列,不卜是以首项丁=1=-1,公差d=—1的等差数列,

1、%

3,nJS

则J

，可得s.£

n

〃+ln11

贝也丁+?=-----1-------=-------+---2--,

七+1七n〃+lnn+1

所以＜=(l—g+2)+」+11「

2+...+------------F2

23n〃+1

11111

1-+2〃=1---------F2n,

223n〃+1〃+l

即〈=1-一1+2〃.

n+1

故答案为：1-------+2n.

n+1

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.己知圆C过两点4(—3,5),8(1,7),且圆心在直线x—2y+3=。上.

(1)求圆C的方程；

(2)过点P(4,T)作直线/与圆C交于N两点，若|MN|=8,求直线/的方程.

解：(1)设圆C的方程为(尤—°)2+(丁—与2=/2,

(-3-af+(5-4=/a—\

则《(l-«)2+(7-&)2=r2,解得＜b=2,

u—2b+3=0r=5

所以圆C的方程为(X—1)2+(y—2)2=25.

(2)设圆心C(l,2)到直线/的距离为d,

则2Vl=2M一/=2J52—屋=8,则d=3.

当直线/的斜率不存在时，直线/：x=4,满足题意；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y+4=左(%—4),即乙—y—4左—4=0,

卜2-4左-4|3

所以公QPF=3'解得左=一屋

3

此时，直线/的方程为y+4=—4)，即3x+4y+4=0.

综上所述，直线/的方程为x=4或3x+4y+4=0.

18.在数列｛4｝中，%=2,%+i=4%-3〃+1,〃€N*.

(1)没bn=a「n,求证：数列也｝是等比数列；

(2)求数列｛4｝的前项和.

解：(1)由己知又4=6-1,q=2,所以4=1,

因为+i=44-3n+l,neN",

所以见+1—("+1)=4(%—〃)，又b,=a,—n

所以b.+i=4£>“,"cN*，因为4=1,所以2片0,“eN*

b

所以比匚=4，neN,

所以数列抄/是首项为1,公比为4的等比数列.

(2)由(1),可知4—九=4"T,

所以数列｛4｝的通项公式为4=4"T+”.

设数列｛4｝的前项和为s“，则

Sn=〃]++Q3--------4及，

所以S"=（40+1）+（41+2）+（42+3）+-+（4"T+M，

12

Sn=4°+l+4+2+4+3+---+4^'+n,

0l2,

Sn=（4+4+4+---+4"-）+（l+2+3+---+H）.

_1一4",（l+"）〃

-------1，

n1-42

_4"-1n2+n

所以S“=-----+------，

"32

所以数列｛4｝的前项和为£子+乌丁.

19.在平行六面体ABCD-4耳中，AB=AD=AAl^l,ZBAD=90°,ZBAAl=

ZDA4,=60°.

（1）求AG•网；

（2）求AG和84所成角的余弦值.

解：（1）由题可得氏4]=44]一AB,AC^AB+AD+AA,,

又48=40=441=1,ZBAD=90°,=ZDA^=60°,

一一-1

所以ABAD=0,ADA4j=AB*=-,

所以AG•网=（AB+AD+A41j（A41-AJB）

...2.2••

=ADAAl+AAl~-AB~-ADAB

22

（2）由题可得忸=（＜AAl-AB^=A^-2AAl-AB+AB=l-2x^+l=l,

所以M=i,

又|阿=（A5+AD+AAjJ=AB?+而+■+2AB-AD+2AB.惧+2AD.期

=l+l+l+2x-+2x-=5,

22

所以=

i

所以cos（AG，%）=1AG『A=W=好,

故AG和所成角的余弦值为—.

10

2

尤2v1

20.如图，椭圆及.+方=1（。〉6〉0）的左焦点为耳，右焦点为工，离心率e=5,

过《的直线交椭圆于48两点，且AA3耳的周长为8.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设动直线/：丫=辰+利与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点

Q,试探究：在x轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出

点M的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）由椭圆的定义可知△的周长为4。=8,即。=2,

C1

・・•一二一,：.C=1,

a2

又a2=b?+，,b=A/3，

22

故椭圆c的方程为：土+乙=1,

43

y=kx+m

⑵将Vy2联立，消元可得（4左2+3卜2+8物氏+4加—12=0

—+—=1

143

•..动直线/：、=丘+m与椭圆E有且只有一个公共点P,

...A=（8A772）2-4（4Z:2+3）（4m2-12）=0,

•••4左22+3=0，

4km4k,（4公-4k2+m23

此时Xp-----，y=k\---+m=-------=一

4左2+3mPmJmm

y=kx+m/,、

由—得Q（4,4k+机），

X—

假设在尤轴上存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M,

设〃（%,（））,则MPMQ=0,

4k3、

~*一毛，_I>MQ=（4—x0,4^+m）,

4k

MP-MQ^\---x\（4-x）+—（4k+m）^O

vmmoJom

整理得（X。---Fx0—3j=0,

对任意实数加，上恒成立，则升=1,

故在x轴上存在定点使得以PQ为直径的圆恒过点M.

21.类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点

的轨迹，在空间直角坐标系。-孙z中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程

F（x,y,z）=0.

（1）类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：

①过点z0）,法向量为〃=（AB,C）的平面的方程；

②平面的一般方程；

③在x,»z轴上的截距分别为a,b,c的平面的截距式方程（"c/O）;（不需要说明理

由）

⑵设耳，鸟为空间中的两个定点，出闾=2c>0,我们将曲面「定义为满足归胤+

归闾=2a（a>c）的动点尸的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系。-孙z,并推导

出曲面「的方程.

解：（1）①x（））+_B（y—%）+C（z—z（j）=0,理由如下：

设平面上除P（x0,%,Z。）任意一点坐标为Q（尤,y,z）,

则PQ-n=0,即A（x—%0）+_6（y-yo）+C（z—z。）=0,

又A（~—/）+5（%—%）+C（Zo—Zo）=O,

故过点P（x0,y0,z0）,法向量为为=（A昆。）的平面的方程为

A（x-xo）+B（y-yo）+C（z-zo）=O；

②平面的一般方程为At+gy+Cz+D=0,理由如下：

由①可得A（x—X0）+5（y-yo）+C（z—Zo）=O,

变形为74-^+By+Cz—AXQ—By。—Cz0—0,令D——AXQ—By。—Cz0,

故平面一般方程为Av+6y+Cz+O=0；

③在羽y,z轴上的截距分别为mb,c的平面的截距式方程（〃*W0）为

xyZ

---1----b—=1,理由如下：

abc

由②可得平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=G,

由于方程在羽y,z轴上存在截距，且截距不为0,故AwO,6wO,CwO,Dw。，

xyz.

变形为Ar+By+Cz=-£）,故。DD

-A―力C7

DD,D

令A---=a,------=b,-----=c,

ABC

故在尤，y,z轴上截距分别为a,b,c的平面的截距式方程（或c/0）为

xyz.

——F—+—=1；

abc

（2）以两个定点可，心的中点为坐标原点。，以耳所在直线为y轴，

以线段4月的垂直平分线为龙轴，以与X0V平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标

系，

则耳（o,c,o）,耳（0,-c,0），设尸（x,y,z）,可得但闾=2c>0,

\PFl\+\PF2\=2a（a>c）,

所以+(y-C『+z?++(y+c)2+z2=2〃，

移项得J%2+(y—+z?=2〃一+(y+c)2+工2,

2

两边平方得%2+(y-c)2+z2=4/-4a^x+(y+c)2+z2-+x2+(y+c)2+z2，

2

即4ayjx+(j+c)2+z2=4/+(y+c)2—(y—c)2=4/+4cy，

2

故。，元2+(y+c)2+?2=a+cy两边平方得，