广东省中山市2023-2024学年高二年级上册期末统一考试数学试题(解析版)_第1页
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文档简介

广东省中山市2023-2024学年高二上学期

期末统一考试数学试题

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号

填写在答题卡上,将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点

涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1.椭圆三+上=1的焦点坐标为()

912

A.(土后0)B.(0,±73)

C.(±V21,0)D.(0,±A/21)

【答案】B

【解析】由椭圆方程可知:a2=12,b2=9,且焦点在y轴上,

22

可得C="万=也,所以椭圆+A=l的焦点坐标为(0,±6).

故选:B.

2.已知.UY+V+x—2y+;=0,则该圆的圆心坐标和半径分别为()

A.一:/],孚B.(一l,2),g

D百D.(1,-2),^

【答案】A

【解析】由已知圆的标准方程为(x+^y+G—1)2=3,圆心是(-工,1),半径是且.

2422

故选:A.

3.已知直线/的方向向量为4=(1,2,-2),平面a的法向量为〃=(2,4,加),若〃/。,则

加等于()

A.5B.2C.1D.-4

【答案】A

【解析】因为Illa,且直线/的方向向量为a=(L2,—2),平面a的法向量为H=(2,4,m),

所以a_L〃,所以a-n=0,所以Ix2+2x4+(-2)xm-O,解得m=5.

故选:A.

4.经过两点(为,元)、(4,兀)的直线方程都可以表示为()

A=B=

%2一芭必一%X1-X2%一%

C.(y—x)(%2—%)=(x—/)(%—X)D.

【答案】c

【解析】当经过(当,无)、(莅,兀)的直线不与乂丁轴平行时,

所有直线均可以用——x-x7-=一y-y^7,

为一%2%一%

由于%,多可能相等,所以只有选项c满足包括与苍y轴平行的直线.

故选:c

5.在正项等比数列{%}中,6%3=36,则%+4%的最小值是()

A.12B.18C.24D.36

【答案】C

【解析】在正项等比数列{%,}中,a5a9=。必3=36,所以%+4%之2M♦4%=24,

当且仅当%=4%即%=12,%=3时,等号成立,即%+4%的最小值是24.

故选:C.

6.若光线沿倾斜角为120。的直线射向y轴上的点A(0,-4),则经〉轴反射后,反射光线所

在的直线方程为()

A.y=y(3x-4B.y=_6x_4

C.y--^-x-4D.y-^-x-4

•3-3

【答案】A

【解析】光线沿倾斜角为120。的直线射向轴上的点A(0,T),

经V轴反射后反射光线所在直线的倾斜角为60°,则反射光线斜率左=tan60°=百,且

反射光线过点A(O,T),

故反射光线所在的直线方程为y=岛-4.

故选:A

7.某同学在一次模拟实验中,设定一个乒乓球从16米高处下落,每次着地后又弹回原来

高度的一半再落下,则第6次着地时乒乓球所运动的路程之和为()

A.31米B.31.5米C.47米D.63米

【答案】C

【解析】记第n次落地到第"+1次落地之间球运动的路程为4米,

则q=16,%=16,{%}是从第二项起公比为g的等比数列,

所以第6次着地时球所运动的路程之和=47.

故选:C.

8..如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型

(称为“Dandelin双球”);在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面、

截面相切,设图中球。一球。2的半径分别为4和1,球心距|,Q|=6,截面分别与球。一球

【解析】依题意,截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交,椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平

面截此组合体,

得圆锥的轴截面及球a,球。2的截面大圆,如图,

点A3分别为圆。与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点,线段VN是椭圆长轴,

椭圆长轴长2a=|AW|=|MF|+|F/V|=\MF\+\ME\=\MB\+|M4|=|AS|,

过。2作Q0A于D连。2台,显然四边形ABQD为矩形,

又IQB|=L|1=4,10021=6,

2222

则2a=|AB|=|O2D\=7|O1O2|-|O1D|=A/6-3=,

过。2作O2C±OXE交O|E延长线于C,显然四边形CEFO2为矩形,

22

椭圆焦距2c=\EF|=|O2C\=7lOlO2|-|O1C|=用二手=而,

故选:A.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合

题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.空间直角坐标系中,下列说法正确的是()

A.点P(l,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(-1,2,-3)

B.点Q(l,0,2)在平面xOz面上

c.Z=1表示一个与坐标平面X0y平行的平面

D.2x+3y=6表示一条直线

【答案】BC

【解析】A项:点P。,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,—3),故A错;

B项:因为点Q。,0,2)纵坐标为0,所以点Q(L0,2)在平面%。面上,故B正确;

C项:z=l,则横坐标和纵坐标为任意数,故与坐标平面平行,故C正确;

D项:2x+3y=6,说明竖坐标为任意数,表示一个平面,故D错,

故选:BC.

10.己知5“是等比数列{4}的前〃项和,则()

A,若%〉0,则出023>。B.若。4〉0,则“2023<0

C.若名〉0,则邑023>0D.若%>0,贝!1§2023>0

【答案】AC

【解析】设等比数列{%}的公比为q(qwO).

A选项,生〉0,。2023=,寸必〉0,A选项正确,

B选项,%>0,%023=。4口加9,符号无法判断,B选项错误.

,1-产3

C选项,%=OU?>0,>0,当q/1时,S=qx----------,

2一0231-q

1—产

由于--->0,所以S2023〉0,

1-q

当q=l时,S2023=2023%>0,C选项正确.

D选项,a4=>0,所以对与4同号,

1—/0231_〃2。23

当qwl时,S=axx————,由于一-——>0,

20231-q1-q

%的符号无法判断,所以邑023的符号无法判断,D选项错误.

故选:AC

11.已知直线/经过抛物线。:丁2=20%(0>0)的焦点口,且与。交于人,B两点,过A,

8分别作直线的垂线,垂足依次记为A,耳,若|AB|的最小值为4,则()

A.p=2

B.NA/耳为钝角

c.\AB\=\AF\-\BF\

D.若点M,N在C上,且尸为-4VW的重心,贝U|AF|+|MF|+|NF|=5

【答案】AC

【解析】抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点

依题意可知直线I与X轴不重合,设直线I的方程为x=my+^,

p

由2消去X并化简得y2—2pwy—p2=o,

y=2px

△=4°2疗+4/〉0,设A(%,yJ,5(X2,%),

则%+%=2pm,%%=-P2,

222

2

X;+x2=m(yl+y2)+p=2pm+p,x^2=y--y^-=-^-

2

|AB|=x,+x2+p=2pm+2p>2p,当m=0时等号成立,

所以27=4,夕=2,A选项正确,抛物线的方程为V=4x,

准线方程x=—1,焦点/(1,0),

则A"】""?),则璃♦两=(-2,%>(-2,%)=4+%%=4-pJO,

71

所以NAF4=5,所以B选项错误.

由上述分析可知|AB|=石+9+〃=47"2+4,

|AF|-|BF|=+驾=(%+1),(々+1)

=+%+%2+1=?+2pm2+p+l=4m2+4,

所以|AB|=|AF|•忸青,所以c选项正确.

设”(七,%),入(%4,%),由于产是二4VW的重心,

所以「

=1,玉+退+工4=3,

所以回+|M司+|NF|=X1+^+X3+U+X4+U=3+3=6,所以D选项错误.

故选:AC

A

12.形如/(x)=ax+-(a>0,b>0)的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型,

因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“卡,所以也称为“对勾函数”.研究证明,对勾

函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到,即对勾函数是双曲线.已知。

为坐标原点,下列关于函数/(x)=x+,的说法正确的是()

A.渐近线方程为%=0和y=x

B.y=/(%)的对称轴方程为y=(、历+l)x和y=(l—0jx

C.M,N是函数/(%)图象上两动点,p为MV的中点,则直线肱V,QP的斜率之积为定

D.。是函数/(%)图象上任意一点,过点。作切线,交渐近线于A3两点,贝IQ4B的

面积为定值

【答案】ABD

【解析】因为/(x)=x+^是双曲线,

由图象可知:函数/(%)图象无限接近工=0和丁=%,但不相交,

故渐近线为九=0和丁=%,故A正确;

因为/(x)=x+L是双曲线,由双曲线的性质可得,对称轴为渐近线的角分线,且互相垂

直,

45°

一条直线的倾斜角为45。+——=67.5°,

2

.2tan22.5°.

由二倍角公式可得3445o%—的「22.5。)2=1'

整理得(tan22.5°y+2tan22.5°-1=0,解得tan22.5°=垃-1或tan22.5。=-忘-1

(舍去),

故匕=tan67.5°=tan(45°+22.5°)==72+1,

另一条直线的斜率为42=-;=1-&,故B正确;

%—为"_%+%

设〃(%,X),N(X2,%),所以%MN=,KOP一

玉+%2

1、2(iY

国H--_%2-----

故1,故c错误;

I

.kop7*2)

22

%迎

因为;■'3=1—士,

设。,则。处切线的斜率上=/(。=1一5,

所以切线方程为y=1—T(XT)+'+;‘

12..2

令%=0,可得)+%+—=即A(O,2,则|。山=";

+/+;,可得x=2/,即5(2/2),贝U|OB|=2血卜|;

令y=%=

故_。48面积为5^0.=3*1*2拒卜,5=2(定值),故D正确.

故选:ABD.

三、填空题.本题共4小题,每小题5分,共20分

13.抛物线y2=-8x的焦点到准线的距离为

【答案】4

【解析】抛物线V=-8x的焦点/(―2,0),准线方程%=2,...其的焦点到准线的距离为

4.

故答案为:4.

14.己知圆6:5-2)2+(丁-1)2=1与圆。2:必+、2=4相交,则它们交点所在的直线方程

为.

【答案】2x+y-4=。

22

【解析】C1:(x-2)+(y-l)=l,

即x?+/-4x-2y+4=0,

22

C2:x+y=4,

即x?+y2—4=0,

两式相减得:2x+y-4=0.

故答案为:2x+y-4=0.

15.如图,在正四棱锥P—ABCD中,E,F,G分别为侧棱PB,PC,PD上的点,A,及歹,G四

点共面,若PE=^PB,PF=LPC,则上=,

52GD

【答案】3

【解析】先证明一个结论:如图,若不在同一平面内的射线OR。。,上分别存在点耳,巴,

点。,。2和点用国,

V。牛CQi0&

则四面体体积之比。一“内砥颂丽,

。一舄。2氏2

h,OR.

事实上,设",凡分别是点片,尺2到平面。片。1,。自。2的距离,则广=从而

%一耳°内_力一。耳。1_SO6Q]•一_S.OR】_0人.OQi.OR1

^O-P2Q2R2^RX-OP2Q2OP2Q2,^2SOP2Q2°氏2。鸟。。2。氏2

/—AG/PAPFPG111iV

=-x,,则K-AGF=~X'VP-ADC=­X--V:二一X

^P-ADC~PAPC~PD~2224

Vp-AEFPAPFPE33313V

则^P-AEF~^~X'VP-ADC-V=■,

^P-ABC~PAPC~PB~To,-To220

V3V

所以^P-AGFE=^P-AGF+^P-AEF=彳X十;

3V3V9V

同理可得Vp=VpACFFCF----XH------X-----X.

'7'«r—PAACjFftLFr—ALrc,r—r(jiL102020

,V3V9VWR3即出=3,从而”=3.

所crr以二九十二?二二7九,解何元二:

420204PD4GD

故答案为:3.

s

Sn+i

16.己知数列{。”}的前”项和为S“,ax=T,S“+iS“=a..令〃=—+~^,则数列

也}的前«项和<=

【答案】1--—+2/1

M+1

【解析】由题意可知:sn+lsn0,

1

因为Sn+Isn=an+l=Sn+1-Sn,则—

°n+l

111

所以数列,不卜是以首项丁=1=-1,公差d=—1的等差数列,

1、%

3,nJS

则J

,可得s.£

n

〃+ln11

贝也丁+?=-----1-------=-------+---2--,

七+1七n〃+lnn+1

所以<=(l—g+2)+」+11「

2+...+------------F2

23n〃+1

11111

1-+2〃=1---------F2n,

223n〃+1〃+l

即〈=1-一1+2〃.

n+1

故答案为:1-------+2n.

n+1

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.己知圆C过两点4(—3,5),8(1,7),且圆心在直线x—2y+3=。上.

(1)求圆C的方程;

(2)过点P(4,T)作直线/与圆C交于N两点,若|MN|=8,求直线/的方程.

解:(1)设圆C的方程为(尤—°)2+(丁—与2=/2,

(-3-af+(5-4=/a—\

则《(l-«)2+(7-&)2=r2,解得<b=2,

u—2b+3=0r=5

所以圆C的方程为(X—1)2+(y—2)2=25.

(2)设圆心C(l,2)到直线/的距离为d,

则2Vl=2M一/=2J52—屋=8,则d=3.

当直线/的斜率不存在时,直线/:x=4,满足题意;

当直线/的斜率存在时,设直线/的方程为y+4=左(%—4),即乙—y—4左—4=0,

卜2-4左-4|3

所以公QPF=3'解得左=一屋

3

此时,直线/的方程为y+4=—4),即3x+4y+4=0.

综上所述,直线/的方程为x=4或3x+4y+4=0.

18.在数列{4}中,%=2,%+i=4%-3〃+1,〃€N*.

(1)没bn=a「n,求证:数列也}是等比数列;

(2)求数列{4}的前项和.

解:(1)由己知又4=6-1,q=2,所以4=1,

因为+i=44-3n+l,neN",

所以见+1—("+1)=4(%—〃),又b,=a,—n

所以b.+i=4£>“,"cN*,因为4=1,所以2片0,“eN*

b

所以比匚=4,neN,

所以数列抄/是首项为1,公比为4的等比数列.

(2)由(1),可知4—九=4"T,

所以数列{4}的通项公式为4=4"T+”.

设数列{4}的前项和为s“,则

Sn=〃]++Q3--------4及,

所以S"=(40+1)+(41+2)+(42+3)+-+(4"T+M,

12

Sn=4°+l+4+2+4+3+---+4^'+n,

0l2,

Sn=(4+4+4+---+4"-)+(l+2+3+---+H).

_1一4",(l+")〃

-------1,

n1-42

_4"-1n2+n

所以S“=-----+------,

"32

所以数列{4}的前项和为£子+乌丁.

19.在平行六面体ABCD-4耳中,AB=AD=AAl^l,ZBAD=90°,ZBAAl=

ZDA4,=60°.

(1)求AG•网;

(2)求AG和84所成角的余弦值.

解:(1)由题可得氏4]=44]一AB,AC^AB+AD+AA,,

又48=40=441=1,ZBAD=90°,=ZDA^=60°,

一一-1

所以ABAD=0,ADA4j=AB*=-,

所以AG•网=(AB+AD+A41j(A41-AJB)

...2.2••

=ADAAl+AAl~-AB~-ADAB

22

(2)由题可得忸=(<AAl-AB^=A^-2AAl-AB+AB=l-2x^+l=l,

所以M=i,

又|阿=(A5+AD+AAjJ=AB?+而+■+2AB-AD+2AB.惧+2AD.期

=l+l+l+2x-+2x-=5,

22

所以=

i

所以cos(AG,%)=1AG『A=W=好,

故AG和所成角的余弦值为—.

10

2

尤2v1

20.如图,椭圆及.+方=1(。〉6〉0)的左焦点为耳,右焦点为工,离心率e=5,

过《的直线交椭圆于48两点,且AA3耳的周长为8.

(1)求椭圆E的方程;

(2)设动直线/:丫=辰+利与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点

Q,试探究:在x轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出

点M的坐标;若不存在,说明理由.

解:(1)由椭圆的定义可知△的周长为4。=8,即。=2,

C1

・・•一二一,:.C=1,

a2

又a2=b?+,,b=A/3,

22

故椭圆c的方程为:土+乙=1,

43

y=kx+m

⑵将Vy2联立,消元可得(4左2+3卜2+8物氏+4加—12=0

—+—=1

143

•..动直线/:、=丘+m与椭圆E有且只有一个公共点P,

...A=(8A772)2-4(4Z:2+3)(4m2-12)=0,

•••4左22+3=0,

4km4k,(4公-4k2+m23

此时Xp-----,y=k\---+m=-------=一

4左2+3mPmJmm

y=kx+m/,、

由—得Q(4,4k+机),

X—

假设在尤轴上存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M,

设〃(%,()),则MPMQ=0,

4k3、

~*一毛,_I>MQ=(4—x0,4^+m),

4k

MP-MQ^\---x\(4-x)+—(4k+m)^O

vmmoJom

整理得(X。---Fx0—3j=0,

对任意实数加,上恒成立,则升=1,

故在x轴上存在定点使得以PQ为直径的圆恒过点M.

21.类比平面解析几何的观点,在空间中,空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点

的轨迹,在空间直角坐标系。-孙z中,空间平面和曲面的方程是一个三元方程

F(x,y,z)=0.

(1)类比平面解析几何中直线的方程,直接写出:

①过点z0),法向量为〃=(AB,C)的平面的方程;

②平面的一般方程;

③在x,»z轴上的截距分别为a,b,c的平面的截距式方程("c/O);(不需要说明理

由)

⑵设耳,鸟为空间中的两个定点,出闾=2c>0,我们将曲面「定义为满足归胤+

归闾=2a(a>c)的动点尸的轨迹,试建立一个适当的空间直角坐标系。-孙z,并推导

出曲面「的方程.

解:(1)①x())+_B(y—%)+C(z—z(j)=0,理由如下:

设平面上除P(x0,%,Z。)任意一点坐标为Q(尤,y,z),

则PQ-n=0,即A(x—%0)+_6(y-yo)+C(z—z。)=0,

又A(~—/)+5(%—%)+C(Zo—Zo)=O,

故过点P(x0,y0,z0),法向量为为=(A昆。)的平面的方程为

A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O;

②平面的一般方程为At+gy+Cz+D=0,理由如下:

由①可得A(x—X0)+5(y-yo)+C(z—Zo)=O,

变形为74-^+By+Cz—AXQ—By。—Cz0—0,令D——AXQ—By。—Cz0,

故平面一般方程为Av+6y+Cz+O=0;

③在羽y,z轴上的截距分别为mb,c的平面的截距式方程(〃*W0)为

xyZ

---1----b—=1,理由如下:

abc

由②可得平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=G,

由于方程在羽y,z轴上存在截距,且截距不为0,故AwO,6wO,CwO,Dw。,

xyz.

变形为Ar+By+Cz=-£),故。DD

-A―力C7

DD,D

令A---=a,------=b,-----=c,

ABC

故在尤,y,z轴上截距分别为a,b,c的平面的截距式方程(或c/0)为

xyz.

——F—+—=1;

abc

(2)以两个定点可,心的中点为坐标原点。,以耳所在直线为y轴,

以线段4月的垂直平分线为龙轴,以与X0V平面垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标

系,

则耳(o,c,o),耳(0,-c,0),设尸(x,y,z),可得但闾=2c>0,

\PFl\+\PF2\=2a(a>c),

所以+(y-C『+z?++(y+c)2+z2=2〃,

移项得J%2+(y—+z?=2〃一+(y+c)2+工2,

2

两边平方得%2+(y-c)2+z2=4/-4a^x+(y+c)2+z2-+x2+(y+c)2+z2,

2

即4ayjx+(j+c)2+z2=4/+(y+c)2—(y—c)2=4/+4cy,

2

故。,元2+(y+c)2+?2=a+cy两边平方得,

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