广东省肇庆市德庆县某中学2024-2025学年高三年级上册8月月考数学试题（解析版）

香山中学高三级8月月考数学科试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合“斗卜--2<0},集合5=卜|1<"31,则/U5等于（）

A|x|-l<x<3!B.|x|-l<x<lj

C.|x|l<x<2!D.1x|2<x<3}

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式求得集合A,根据并集定义运算得解.

【详解】^={X|X2-X-2<0}={X|-1<X<2},

B=|x|l<x<3},

ZU8={X[T<X<3},

故选：A.

2.设anZf6=log。"，c=0.32,则三者的大小顺序是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.ob>aD.b>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】分别比较见“c和0」的大小关系，进而得出结论.

2

【详解】因为心叶>：!，Z）=log032<0,c=0.3e（0,l）,

所以a>ob,

故选：B.

3.设）：。厂<1应：1082%<0,则夕是4的

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

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【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：<l^x>0,log2x<0^0<x<l,所以)是q必要不充分条件，故选B.

考点：1.指、对数函数的性质；2.充分条件与必要条件.

4.已知函数/(x)=<等：-:丁<。，若/(/(—2))=3,则左=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据/(-2)=2,利用/(/(-2))=/(2)=3可构造方程求得结果.

【详解】•••/(—2)Tog24=2,，/(/(—2))=/(2)=22—左=4—左=3,解得：k=\.

故选：C.

2

V+1

5.函数y=sinx-In中的图像可能是()

【答案】D

【解析】

【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在(0,不)上函数值的正负情况，利用排除法判断即可.

2.1

【详解】解：因为y=/(x)=sinx/n上y卷定义域为UlxwO},

/\(-xj+l

又/(-力=

sin(-x)-ln-——2=-sinx-ln

,(-。

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V2-|-1

所以歹=sinx」ntF为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B,

JC

2.[[2.-1

又xe(O,〃)时sinx>0,^l=1+±>i,所以

XXX

Y2-|-1

所以y=sinx-In——-->0,故排除C；

x

故选：D

6.设函数/(%)=2年一“)在区间(0,1)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+8)

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2"在R上单调递增，而函数/(》)=2中引在区间(0,1)上单调递减，

2

则有函数y=x(x—a)=(x—1)2—彳在区间(0,1)上单调递减，因此解得

所以。的取值范围是[2,+8).

故选：D

7.£ogis比模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎

累计确诊病例数/⑺”的单位：天)的£ogis〃c模型：/(?>--焉E，其中K为最大确诊病例数.当

/(「尸0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则/*约为()(lnl9M)

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

【解析】

K

【分析】将/=/*代入函数/('=]+_023(T3)结合/"*)=0S5K求得/*即可得解.

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K

【详解】"⑺=1+产"所以W)=]+."53)=S95K，则产””，

所以，0.23(/*—53)=lnl9土3,解得/*合3+53366.

170.23

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

8.已知函数/(x)的定义域为R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且当x<3时/(x)=x,则下列结论中一定

正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C/(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】

【分析】代入得到/(1)=1,/(2)=2,再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【详解】因为当x<3时/(x)=x,所以/⑴=1,/(2)=2,

又因为/(x)〉/(x-l)+/(x-2),

则/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/⑻〉/⑺+/⑹〉34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(11)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知/(20)〉1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用/⑴=1,/(2)=2,再利用题目所给的函数性质

/(x)〉/(x-l)+/(x-2),代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若。>6,则下列不等式中正确的有（）

A.a-byQB.2a>2bC.ac>beD.a2>b2

【答案】AB

【解析】

【分析】根据作差法，判断A;根据指数函数〃x）=2,的单调性，判断B;举反例可说明C的正误；同样据反

例，判断D.

【详解】对于A选项，因为。>6,所以a—6〉0,故A正确；

对于B选项，因为函数/'（x）=2，在R上单调递增，所以2"〉2》，故B正确;

对于C选项，当c«0时，ac>6c不成立，故C不正确；

对于D选项，当。=1,。=-2时，。2=]</=4，故D不正确，

故选:AB.

10.设正实数〃?，"满足加+”=1,则（）

A.—I—的最小值为3+2^^B.+g'的最小值为"7^

mn

C.yjmn的最大值为1D,m2+n2的最小值为5

【答案】AD

【解析】

【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可.

【详解】对于A,因为正实数加，“满足加+〃=1,

当且仅当己=也且加+〃=1,即掰=0—1,〃=2—收时取等号，A正确;

mn

对于B,+=加+〃+2ymnV加+〃+加+〃=2ny/n<拒，

当且仅当加=〃=：时取等号，所以赤+即最大值为血，B错误;

对于C,l=m+n>2y1~mn=>4rrm<—，

2

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当且仅当加="=：时取等号，此时4面取最大值g,c不正确；

对于D,由JmnW】=>mnW工，

24

rr/\21]]

因此加i+7广=(m+nY-2mn=1-2mn>l-2x—=—,当且仅当m=n=—时取等号，

''422

211

m2+n2=^m+〃)--2mn=1-2mn>—,当且仅当m=n=—时取等号，

即“J+〃2的最小值为一，D正确.

2

故选：AD

11.已知定义在R上的函数/(x)满足/(x+1)为偶函数，/(x)的图象关于原点对称，且当OWxWl时，

/(x)=—V+2x,则下列说法正确的是()

A./(x)的图象关于直线x=2对称

B./(2.1)>/(3.5)

C.当一iWxWO时，f(x)=x2+2x

D./⑴+/(2)+…+/(10)=0

【答案】BC

【解析】

【分析】由/(X+1)为偶函数，/(X)的图象关于原点对称，可得函数/'(X)周期为4,且可知当-IWXWO

时，f(x)=x2+2x,从而可逐项判断.

【详解】•・•/(x+1)为偶函数，.•./(—x+l)=/(x+l),

・••/(久)的图象关于直线》=1对称，故A错误；

•••/(X)的图象关于原点对称，；./(—X)=—/(X),

当一IWXWO时，0W-x<l,/./(-x)=-x2-2x=-f(x),

/(x)=x2+2x,故C正确；

由/(x)的图象关于直线X=1对称，且关于原点对称，

所以/(x+2)=/(I+(1+X))=/(1—(1+x))=/(-X)=—/(X),

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则〃X+4）=-/（》+2）=/。），即函数/（x）周期为4,

/(2.1)=/(2-2.1)=/(-0.1),/(3.5)=/(-0.5),

-1<-0.5<-0.1<0,由选项C可知函数在(-1,0)上单调递增，

所以/(—0.5)</(—0.1),.•./(2.1)>/(3.5),故B正确；

由前可知,/(-I)=-1,/(0)=0,/(1)=1,/(2)=0,

/(1)+/(2)+-+/(10)=/(9)+/(10)=/(1)+/(2)=1,故D错误.

12.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有

种.（用数字填写答案）

【答案】16

【解析】

【分析】方法一；反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从6人中任选3人的选法种数

减去没有女生的选法种数，即可解出.

【详解】［方法一］:反面考虑

没有女生入选有C；=4种选法，从6名学生中任意选3人有C：=20种选法，

故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种.

故答案为：16.

［方法二］:正面考虑

若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有C；・C；=12种；

若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有C；・C：=4种，则不同的选法共有12+4=16种.

故答案为：16.

【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有1位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的

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选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；

方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出.

13.已知集合/={—2,0,2,4},8={刈x—3归加},若则机的最小值为

【答案】5

【解析】

【分析】由zn8=z可得解出集合3后结合集合的关系计算即可得.

【详解】由zn8=z,故

由年一3|〈加，-m+3<x<m+3,

4<m+3m>1

故有<即〈，即加25,

-2>-m+3m>5

即加的最小值为5.

故答案为：5.

x2+2x+]X<0

14.已知函数/（X）=<_'一.若存在再,工2，工3（再<了2<退），使/（再）=/（%2）=/（%3）,则

2,X>0

/（再+々+&）的取值范围是.

【答案】[05

【解析】

【分析】作出函数的图象，根据二次函数的对称性，运用数形结合思想进行求解即可.

【详解】作出/（X）的大致图象如图，设/（为）=/（9）=/（当）=。，

函数/（x）与直线y=。交点横坐标为国,马,七，自左向右依次排列，

二次函数了=/+2》+1=（》+1）2的对称轴为》=一1,

由图可知，项,》2关于直线X=-1轴对称，即石+%=-2，,

又£>0，所以再+9+%3>一2,

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由图象知，当x>-2时，/(x)e[O,l],

所以/(X1+X2+X3)G[0,1].

故答案为：[0,1]

【点睛】关键点点睛：本题的关键是运用数形结合进行求解.

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分,

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某市销售商为了解/、2两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，

得到2x2列联表如表所示：

购买4款购买8款总计

女252045

男154055

总计4060100

(1)根据小概率之值a=0.01的独立检验，能否认为购买手机款式与性别有关？

(2)用购买每款手机的频率估计一个顾客购买该款手机的概率，从所有购买两款手机的人中，选出3人作

为幸运顾客，记3人中购买A款手机的人数为X,求X的分布列与数学期望.

参考公式：/2=-------"(ad-be)-------(其中〃=a+6+c+d).临界值表：

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)购买手机款式与性别有关

(2)分布列见解析，!

【解析】

【分析】(1)根据表格计算卡方值，并依据小概率值进行独立性检验即可.

(2)先求出购买A款手机的概率，然后利用二项分布的概率求解分布列和数学期望即可.

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【小问1详解】

零假设笈0：假设购买手机款式与性别无关..

,2100(25x40-15x20)2

由%"=----------------------«8.249>6.635=力"I.

40x60x45x55001

根据小概率值a=0.01的独立检验，我们推断〃。不成立，即认为购买手机款式与性别有关.

【小问2详解】

由题设，从所有购买两款手机的人中，选出1人购买A款手机的概率为

所以，选出3人作为幸运顾客，其中购买A款手机的人数X

37?73?54

故p(x=0)=c°(-)3(-)o=-,m=D=C；甲m=-

RX=2)=C；(|)穹嗯,P(X=3)=C；(|)。中喂.

分布列如下：

X0123

2754368

P

125125125125

所以E(X)=0X2~+1X旻+2x至+3XY_=9

1251251251255

16.已知函数/(X)一办2+(Q-])x.

(1)当a=l时，求/(x)在(1,/(1))处的切线方程；

(2)设/'(x)是函数/(x)的导函数，求/'(x)零点之间距离最小时a的值.

【答案】(1)3x+3y—1=0；(2)—

【解析】

【分析】

(1)当a=l时，/(x)=jx3-x2,求出切点[1,一I"],求导得/'(x)=/-2x,k=/'(l)=1-2=-1,

点斜式即可写出切线方程；

(2)/r(x)=x2-2ax+a-\,/'(x)=x?—2ax+a-1有两个零点，分别设为西/2，

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利用根与系数的关系可得石+》2=2a,XjX2=a—\,代入上]一9|={(再+/

即可求解.

112(2

【详解】(1)当。=1时，f(x)=-x3-x2,可得/(1)=§—1=—所以切点为[1,—g

因为/'(%)=X2—2x,所以k=/'(l)=]_2=_l,

所以/(X)在(1,/。))处的切线方程为：,v+§=—(X—1),

即3x+3y—1=0,

(2)f'(x)=x2-lax+a-1,

因为A=4a?一4(a-1)=4(a?—a+1)=4[口-5]+/〉0，

所以函数/'(%)=/一2"+。-1有两个零点，分别设为和超，

则xx+x2=2a,xxx2=a-\,

—

所以忖一%|=X]-%)=yj(X[+4)~4XjX2=J4q2_4(a-])=2—5]~+—，

所以当a=1■时，函数/'(x)零点之间距离最小为百.

【点睛】方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：

(1)求出＞=/(x)在x=/处的导数，即歹=/(x)在点9(/,/(%))出的切线斜率(当曲线y=/(x)在尸

处的切线与y轴平行时，在p处导数不存在，切线方程为x=%)；(2)由点斜式求得切线方程

,

y-y0=f(x)-(x-x0).

17.设/(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有/(x+2)=-/(x).当xe[0,2]时，

/(x)=2x-x2.

(1)求证：/(X)是周期函数；

(2)当xe[2,4]时,求〃x)的解析式;

(3)计算〃0)+/(1)+/(2)+…+/(2011).

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【答案】(1)证明见解析

(2)f(x)=x2-6x+8

(3)0

【解析】

【分析】⑴把x+2看成一个整体证明/(x+4)=/(x)即可；

(2)当xe[2,4]时，可得出OWx—242,再由/(x)=—/(x—2)可求得函数/(x)在[2,4]上的解析式;

(3)计算出/⑴、/(2)、/⑶、/(4)的值，再利用函数/(%)的周期性可求得

/(0)+/⑴+/(2)+…+/(2011)的直

【小问1详解】

证明：因为/(X)是定义在R上的奇函数，且对任意实数X,/(x+2)=-/(X),

则〃x+4)=_〃x+2)=/(x),所以函数/(x)是周期为4的周期函数.

【小问2详解】

解：当xe[2,4]时，0<x-2<2,

止匕时，f(x)=-/(x-2)=-2(x-2)-(x-2)2=x2-6x+8.

【小问3详解】

解：因为当xe[0,2]时，/(%)=2x-x2；当xe[2,4]时，/(x)=x2-6x+8,

所以，/(1)=2-1=1,/(2)=22-22-0,/(3)=32-6X3+8=-1,/(4)=42-6x4+8=0,

因为2011=4x502+3,

所以，/。)+/(2)+…+/(2011)=503x"(l)+/(2)+/⑶+〃4)]—/(4)

=503x(1+0-1+0)-0=0.

18.已知函数/(x)=a(e*+a)-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

3

(2)证明：当a>0时，/(x)>2]na+—.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

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【解析】

【分析】(1)先求导，再分类讨论aW0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；

(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为/——lna〉0的恒成立问题，构造函数

2

g(a)=/—g-Ina(«>0),利用导数证得g(a)>0即可.

方法二：构造函数//(x)=e-x—1,证得e，2x+l，从而得到/(x"x+lna+l+a2—%,进而将问题

,1

转化为/——Ina〉0的恒成立问题，由此得证.

2

【小问1详解】

因为/(x)=a(e*+a)—x,定义域为R,所以/'(x)=ae*-1,

当a<0时，由于与>0,贝1Jae*<0，故/''(x)=ae'T<0恒成立，

所以/(x)在R上单调递减；

当a>0时，令/''(%)=46‘一1=0,解得x=—lna,

当x<—Ina时，/，(x)<0,则/(x)在(—叫—Ina)上单调递减；

当x>—Ina时，/，(%)>0,则/(x)在(—Ina,+8)上单调递增;

综上：当a〈0时，/⑴在R上单调递减；

当a>0时，/(x)在(-叫-Ina)上单调递减，/(x)在(-Ina,+s)上单调递增.

【小问2详解】

方法一：

由(1)得，/(x)min=/(—lna)=a(e—必"+a)+lna=1+/+lna,

331

要证/(x)>2In6/+—,即证1+/+lna>21na+5，即证/〉0恒成立，

令g(a)=12-J__]na(a>0),则且，(口)=2.二二2〃zl,

2aa

令g'(a)<0,则o<a<[；令g'(a)〉0,则°>等；

所以g(a)在0,学上单调递减，在芋,+s上单调递增，

\7\7

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所以g(a)mm=g—=----ta—=taV2>0,则g(a)>0恒成立，

(2)(2)22

3

所以当a>0时，/(x)〉2Ina+万恒成立，证毕.

方法二：

令"(%)=e*-X-1,则//(x)=e'-l,

由于y=e，在R上单调递增，所以(x)=e'—1在R上单调递增，

又1(0)=e。-1=0,

所以当x<0时，A,(x)<0；当x〉0时，”(x)〉0；

所以“x)在(-巴0)上单调递减，在(0,+e)上单调递增，

故/?(切2乂0)=0,则e*2x+l，当且仅当x=0时，等号成立，

因为/(x)=a(e*+a)—x=etc'+-x=e'v+lno+a~-x2x+lna+l+a~-x,

当且仅当x+lna=0,即x=-Ina时，等号成立，

331

所以要证/(x)>2In«+—,即证x+lna+l+a2-x>21na+5，即证/一务一lna>0,

令g(a)=[2-J__]na(a>0),贝！Jg，(a)=2a—，=^——L

2aa

令g0)<0,则0<0<孝；令g<a)〉0,则a>¥；

所以g(a)在0,^-上单调递减，在彳，+8上单调递增，

\7\7

所以g(a)mm=g—=—---In—=taV2>0,则g(a)>0恒成立，

(2)(2)22

3

所以当a>0时，/(x)〉21n4+5恒成立，证毕.

19.已知定义在(0,+oo)上的函数^=/(x)的表达式为/(x)=sinx-xcosx,其所有的零点按从小到大

的顺序组成数列{x“}(zz>l,«eN).

(1)求函数y=/(x)在区间(0,兀)上的值域；

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（2）求证：函数y=/（x）在区间（〃兀+兀）（）上有且仅有一个零点;

（3）求证：兀＜xn+l-xn＜.

（n

【答案】（1）（0,IT）

（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求得/（x）的导数，判断/（x）的单调性，可得所求值域；

（2）讨论〃为奇数，或偶数时，/（x）的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明；

（3）由⑵可知函数/（X）在（"兀+兀）（n＞l,«eN）上且仅有一个零点x“，再由零点存在定理、

以及正切函数的性质和不等