广东省惠州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

广东省惠州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四五总分

评分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数.如果盈利90元记作+90元，那么亏本60

元记作（）

A.—60yeB.—707CC.+60元D.+70元

2.第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，亚奥理事会45个成员全部报名参赛,

参赛运动员人数超过12000名，是史上规模最大、项目最多、覆盖面最广的一届亚运会.数据12000用科学

记数法表示为（）

A.0.12x105B.1.2x104C.1.2x105D.12x103

3.下列图标中是中心对称图形的是（）.

4.如果将抛物线y=2（x-1）2向左平移2个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式是（）

A.y=2（x—3）2—2B.y=2（x-3）2+2

C.y=2（x+1）2—2D.y=2（%+1）2+2

5.如图，小明在A时测得某树的影长为8m,B时又测得该树的影长为2处若两次日照的光线互相垂直，则

树的高度为（）

/时3时

工户

A.2mB.4mC.6mD.8m

6.如图，已知菱形/BCD的周长为20,对角线AC=6,则菱形4BCD的面积为（）

1

AD

A.15B.24C.25D.48

7.正比例函数y=2x与反比例函数y=（的图象有一个交点为（1,2）,则另一个交点的坐标为（）

A.（-1,-2）B.（-1,2）C.（1,-2）D.（1,2）

8.如图，四边形ABCD内接于。0,若NB0Q=100。，则ZDCB等于（）

9.某小区计划在一块长32m、宽20nl的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草

坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为无血，则下面所列方程正确的是（）

32m

20m

A.32x20-3/=570B.(32-x)(20-x)=570

C.(32-2x)(20-x)=570D.3/=570

10.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P为矩形边上的一个动点，运动路线是A—B—C-D-A,设P点

经过的路程为x,以A,P,B为顶点的三角形面积为y,则选项图象能大致反映y与x的函数关系的是（)

2

二'填空题（本题共6题，每小题3分，共18分）

11.已知a,b互为相反数，c,4互为倒数，那么“2023cd—a—b”的值为.

12.森林防火报警电话是12119,关于“1,2,1,1,9”这五个数字组成的数据，中位数是

13.如图，将直尺与30。角的三角尺叠放在一起，若21=40。，则22=.

14.在平面直角坐标系中，若点P（5+zn,-2+血）在第一象限，则m的取值范围为.

15.广大党员群众积极参加公益活动，据统计某市今年第一批志愿者为10万人次，第三批志愿者为12.1万人

次.如果第二批、第三批志愿者人次的增长率相同，则这个增长率是.

16.如图所示，四边形ZBCD是矩形，以BC为直径作半圆与40相切于点E,再以点/为圆心，线段长为

半径作弧，与2。交于点£.若AB=&,则阴影部分的面积为.（结果保留兀）

三'解答题（一）（本题共3小题，每题7分，共21分）

17.计算：四一•遮+（芬-1一（兀一旧）0.

18.先化简，再求值：立#±1+（1--\）；其中久=&.

x£—xX—l

19.如图，已知△ABC,4c=90。，AC=BC,BE是△ABC的角平分线，£*。_143于点。，证明：△4DE的周

长等于的长.

3

四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分）

20.如图，DB是力BCD的对角线.

（1）尺规作图：作对角线BO的垂直平分线，分别交于4。，BC,BD于E,F,O；（不写作法，保留作图

痕迹）

（2）连接BE,DF,试判断四边形OEBF的形状，并说明理由.

21.如图，三个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色小强和小

亮用转盘4和转盘B做一个转盘游戏：同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫

色，则小强获胜；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮获胜；在其他情况下，小强和小亮不分胜负.

转盘A转盘B转盘C

（1）用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能出现的结果;

（2）小强说，此游戏不公平请你说明理由；

（3）请你在转盘C的空白处，涂上适当颜色，使得用转盘C替换转盘B后，使游戏对小强和小亮是公平的

（在空白处填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种结果即可）.

22.为促进青少年体育运动的发展，某教育集团需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高

30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元.

（1）求篮球和足球的单价；

（2）根据实际需要，集团决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于40个，若购买篮

球%个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y（元），求y与％之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，由于集团可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元，求购买篮球和足球

各多少个时，能使总费用y最小，并求出y的最小值.

五'解答题（三）（本题共2题，每题12分，共24分）

23.如图，在。。中，直径2B1CD,垂足为E,点M在OC上，AM的延长线交。。于点G,交过C的直线

于尸，Z1=Z2（即：乙BCF=LBCD）,连接CB与DG交于点N.

2/E

（1）求证：CF是。。的切线;

（2）求证:CM_AC

CW-CD;

(3)若点〃是0C的中点，。。的半径长为4,E0=1,求BN的长.

OA=OC=3,顶点为D

(1)求此函数的关系式;

(2)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线Illy轴，交4C于点当点N坐标为多少时，线段

MN的长度最大？最大是多少？

(3)在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L若使A,B,K,/为顶点形成平行四边形，求出K,L点

的坐标.

6

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：如果盈利90元记作+90元，那么亏本60元记作-60元.

故答案为：A.

【分析】根据正负数表示具有相反意义的量可求解.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：12000=1.2x104

故答案为：B.

【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成axion的形式，其中，n=整数位数-1.根

据科学记数法的意义即可求解.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，此选项不符合题意；

C、既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项符合题意；

D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，此选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形

叫做中心对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：•••抛物线y=2(x-l)2向左平移2个单位，在向下平移2个单位，

.•.新抛物线的表达式为：y=2(x-l+2)2+2=2(x+1)2+2.

故答案为：C.

【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”即可求解.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：根据题意，作△EFC,树高为CD,且NECF=90。，ED=2m,FD=8m；

VZE+ZF=90°,ZE+ZECD=90°,

.\ZECD=ZF,

又乙CDE=乙FDC

：.AEDC^ACDF,

7

：.~=即DC2=ED«FD=2x8=16,

解得CD=4m(负值舍去).

故答案为：B.

【分析】如图，证明△EDCs^CDF,利用相似三角形对应边成比例即可求解.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：•••菱形ABCD的周长为20,

.\AB=1X20=5,AC±BD,AO=CO,BO=OD,

•••菱形的对角线AC=6,

AAO-jAC=3,

在RtAAOB中,

OB=y/AB2-OA2=V52-32=4，

；.BD=2BO=8,

/.S»ABCD-|AC-BD=|X6X8=24.

故答案为：B.

【分析】根据菱形的性质“菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分”可求得AB、AO的值，在RtZ\AOB中,

用勾股定理可求得OB的值，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可求解.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：•.•反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称,

二•一个交点的坐标为(1,2),

,它的另一个交点的坐标是(T,-2),

故答案为：A.

【分析】根据反比例函数图象的对称性可得：正比例函数与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，据此

不难得到另一个交点的坐标.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：；乙BOD=100°,

1

・•・乙BAD=〃BOD=50°;

•・•匕BAD+乙BCD=180°,

・・・乙BCD=180°-乙BAD=180°-50°=130°；

8

故答案为：C.

【分析】先利用圆周角的性质求出乙以4。=上BOD=50°,再利用圆内接四边形的性质求出ZBCD=180°-

乙BAD=180°-50°=130。即可。

9.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意将三条路平移可得：

•••剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为5707n2.设道路的宽为xm,

所列方程为：

(20-x)(32-2x)=570.

故答案为：C.

【分析】将三条路平移，草坪是一个边长分别为(20-x)cm、(32-2x)cm的矩形，根据剩余的空地上种植草坪,

使草坪的面积为570m2.设道路的宽为xm,并结合矩形的面积等于长乘宽可得关于x的方程.

10.【答案】B

【解析】【解答】由题意可得，

点P到A—B的过程中，y=0(0<x<2),C不符合题意，

点P到B—C的过程中，y=|X2(x-2)=x-2(2<x<6),A不符合题意，

点P到C-D的过程中，y=|X2X4=4(6<x<8),D不符合题意，

点P到D—A的过程中，y=1X2(12-x)=12-x(8<x<12),

由以上各段函数解析式可知，选项B符合题意，

故答案为：B.

【分析】根据题意可以分别表示出各段的函数解析式，从而可以根据各段对应的函数图象判断选项的正误即

可。

11.【答案】2023

【解析】【解答】解：：a、b互为相反数，

a+b=0,

二飞、d互为倒数，

9

cd=l,

/.2023cd-a-b=2023cd-(a+b)

-2023x1-0

=2023.

故答案为：2023.

【分析】根据互为相反数的两个数的和为0可得a+b=0,根据乘积为1的两个数互为倒数可得cd=L然后整体

代入计算即可求解.

12.【答案】1

【解析】【解答】解：将5个数从小到大排列：1,1,1,2,9,

中间的数是1,

二中位数为：1.

故答案为：1.

【分析】中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②

奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据中位数定义并结合题意可求解.

13.【答案】80°

，/3=180。-60°-40°=80°,

AB〃CD,

N2=N3=80°,

故答案为：80°.

【分析】由平角的定义求出N3,根据平行线的性质可得N2=N3,即得结论.

14.【答案】m>2

【解析】【解答】:,点P(5+m,—2+m)在第一象限,

5+7TL>0自刀4日、Q

,、八，解得TH>2,

—2o+m>0

故答案为：m>2.

【分析】根据点坐标与象限的关系可得不等式组，再求出m的取值范围即可。

10

15.【答案】10%

【解析】【解答】解：设这个增长率为X,

由题意可列方程：10（x+1）2=12.1,

解得：xi=0.1=10%,X2=-2.1（不符合题意，舍去）

故答案为：10%.

【分析】设这个增长率为x,然后根据增长后的量=增长前的量x（1+增长率）增长次数可列方程求解.

16.【答案】7T—2

【解析】【解答】解：由题意得：AB=AE,BC=2AB,

E为AD的中点，BC=2AB=2鱼，

•.•四边形ABCD是矩形，

.,.ZA=90°,

.二S阴影=S扇形ABE-^(S矩形ABCD-S半圆BCE)

2

=9嚅)J[2V2xV2-|x(V2)2U]

=71-2.

故答案为：71-2.

【分析】根据圆的切线的性质和作图可得AB=AE,点E是AD的中点，根据扇形面积的构成S阴影=S扇形ABE。

（S矩形ABCD-S芈B|BCE）计算即可求解.

17.【答案】解：V9-

=3-2^.272+2-1

=3—2+2—1

二2

【解析】【分析】根据负整数指数幕的性质和二次根式的性质计算即可求解.

18.【答案】解：原式=磊碧+（芸1

x—1)

(%—2)2%—1

%(%—1)%—2

-_-x-—-2,

x

当％=&时，原式==1—V2

V2

【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化

简，再把x的值的代入化简后的分式计算可求解.

11

19.【答案】证明：:BE是乙4BC的角平分线，

：.AABE=乙CBE,

又'：乙BDE="=90°,BE=BE,

：.△BCE=△BDE^AAS),

：.BD=BC,CE=DE,

"：AC=BC,

J.AC^BD,

?.△ADE的周长=AE+DE+AD=AE+EC+AD=AC+AD=BD+AD=AB

【解析】【分析】由题意用角角边可证ABCE丝ABDE,根据全等三角形的性质可得BD=BC,CE=DE,结合已

知可得AC=BD,然后根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解.

20.【答案】(1)解：如图：直线EF即为线段DB的垂直平分线

(2)解：连接BE,DF,四边形DEBF是菱形，理由如下：

•••线段DB的垂直平分线是EF,

：.OB=OD,EFVDB,

•••四边形ABCD是平行四边形，

：.AD||CB,

：.Z.EDB=乙FBD,

又•：4EOD=LFOB,

：.^EOD=△FOB(ASA),

：.DE=BF,

四边形DEBF是平行四边形，

,:EF上DB,

二四边形DEBF是菱形

【解析】【分析】(1)分别以B、D两点为圆心、大于jBD的长为半径画弧，过两弧的两个交点作直线分别与

AD、BC相交于E、F,直线EF即为所求；

(2)连接BE,DF,四边形DEBF是菱形，理由如下：由(1)的作法可知：OB=OD,EF±BD,由平行线的

12

性质可得NEDB=NFBD,结合已知用角边角可证AEOD丝ZiFOB,贝ijDE=BF,根据一组对边平行且相等的四

边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可求解.

21.【答案】⑴解:列表如下：

红蓝白蓝黄

红（红，红）（红，蓝）（红，白）（红，蓝）（红，黄）

蓝（蓝，红）（蓝，蓝）（蓝，白）（蓝，蓝）（蓝，黄）

黄（黄，红）（黄，蓝）（黄，白）（黄，蓝）（黄，黄）

（2）解：由（1）中表格可知，共有15种等可能的结果，能酿成紫色的结果有3种，两个转盘转出的颜色相

同的结果有4种，

■■■P（小强获胜）=寻=春P（小亮获胜）=白

P（小强获胜），HP（小亮获胜）.

此游戏不公平

（3）解：如图，此时P（小强获胜）=P（小亮获胜）=j,

则游戏对小强和小亮是公平的.（答案不唯一，正确即可）

转盘C

【解析】【分析】（1）根据题意可列出表格；

（2）根据（1）中表格中的信息可知共有15种等可能的结果，能酿成紫色的结果有3种，两个转盘转出的颜

色相同的结果有4种，然后根据概率公式计算即可求解；

（3）根据题意可得小强和小亮的概率相同。于是可得游戏公平.

22.【答案】（1）解：设篮球和足球的单价分别为x元、y元，

由题意可得：鼠+510，

解得：落境，

答：篮球和足球的单价分别为120元、90元；

（2）解：•.•购买篮球%个，购买篮球和足球共100个，

13

...购买足球（100—久）个，

与%的函数关系式为：y=120%+90x（100-%）=30%+9000,

即y与久的函数关系式为：y=30%+9000；

（3）解：由题意，得30X+9000W10500,

解得：%<50,

又：％“。，

A40<%<50,

"：y=30%+9000,30>0,

的值随x值的增大而增大，

当尤=40时，y取得最小值，止匕时y=30x40+9000=10200,100-%=60,

答：购买40个篮球和60个足球，能使总费用y最小，y的最小值是10200.

【解析】【分析】（1）根据“一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元”建

立二元一次方程组求解即可；

（2）根据“总费用=篮球的费用+组求的费用”建立函数关系式，化简计算即可；

（3）根据“资金最多为10500元”建立不等式求出x范围，再根据（2）中函数的增减性计算最小值即可.

23.【答案】（1）证明：中，BO=CO,

/.Z-B=Z-BCO.

在RtaBCE中，z2+Z-B=90°,zl=z2,

Azi+ZBCO=90°,即乙FC。=90。，

•・・OC是。。的半径，

・・・CT是。。的切线

（2）证明：是o。直径，

：.2LACB=^FCO=90°,

:•乙ACB—乙BCO=CFCO—乙BCO,即43=41.

z3=z2.

VZ4=ZD,

:・£ACM八DCN,

.CM_AC

14

A

(3)解：:。。的半径为4,BPAO=CO=BO=4,EO=1,

:・BE=3,AE=5.

由勾股定理可得：CE=VCO2—EO2=V42—l2=V15>

AC=y/CE2+AE2=J(V15)2+52=2V10,BC=JCE2+BD2=J(V15)2+32=2遍

,.NB是O。直径，XB1CD,

...由垂径定理得：CD=2CE=2V15.

,••点M是OC的中点，

ii

：-CM=^C0=^X4=2,

,：AACM八DCN,

.CM_ACCM-CD2义2回_/-

即CN=

,,CW-CD)AC2/10-,

BN=BC—CN=2V6-V6=V6

【解析】【分析】(1)由等边对等角可得NB=NBCO,然后由直角三角形两锐角互余可得N2+NB=90。，于是

ZOCF=ZBCO+Zl=Z2+ZB=90°,根据圆的切线的判定可求解；

(2)由题意易证△ACMS^DCN,于是可得比例式浇=保；

(3)由线段的构成易得BE、AE的值，在Rt^COE中，用勾股定理可求得CE的值，在RtZ\CEA中，用勾股

定理可求得CA的值，由垂径定理可求得CD=2CE的值，由(2)中的比例式可求得CN的值，再由线段的构

成BN=BC-CN可求解.

24.【答案】(1)解：•.,抛物线y=/+bx+c经过点A,点C,且。4=0C=3,

."(一3,0),C(0,—3),

工将其分别代入抛物线y=/+板+c,可得._荔；；=0

解得｛,2

故此抛物线的函数表达式为：y=/+2K—3

(2)解：设直线4C的解析式为y=kx+3

15

将4(—3,0),C(0,—3)代入3/=左支+如得｛_3)二乙0，

解得：｛£=-1

it=-3

，直线AC的解析式为y=—%—3,

设N的坐标为(九，n2+2n—3),则MQi,—九―3),

.o3o9

.・MN=-n—3—(n2+2n—3)=—nQ2