广东省阳江市2023-2024学年高一年级上册期末测试数学试题（解析版）

广东省阳江市2023-2024学年高一上学期期末测试数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={1,5,。2},3={1,24+3},且BqA,则。=（）

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】D

【解析】由题意：B^A,得：勿+3=5或〃=2。+3两种情况，

若2a+3=5,则。=1,此时a?=1,不满足互异性；

若/=2a+3，则解得。=3或a=-l,显然，a=3符合题意，

而当。=-1时，/=1，不满足互异性.

综上所述：a=3.

故选：D.

2.“不等式依2+2公—1<。恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A.—1<a<0B.a<Q

C.-l<a<0D.—1<tz<0

【答案】D

【解析】当a=0时，-1<0恒成立,

a<0

当a/0时，则，2“八解得一1<a<0,

4a+4a<0

综上所述，不等式of+2依一1<。恒成立时，一1<。40,

所以选项中“不等式ax2+2ax-l<Q恒成立”的一个充分不必要条件是-1<a<0.

故选：D.

3.已知a<6,则下列结论正确是（）

A.ac<bcB.a<b+lC.a2<b2D.—<—

ba

【答案】B

【解析】对于A,当c=0时，ac=bc=Q,故A错误;

对于B,当因为a</?<Z?+l，所以a<Z?+l,故B正确;

22

对于C,当a=-l力=0时，a=1>O=Z?.故C错误;

对于D,当。=-1力=1时，-=1>-1=-,故D错误.

ba

故选：B.

(2(2-3)x+2,x<l

4.已知函数/（x）=<a1是R上的减函数，则。的取值范围是（)

一，九〉1

33

A.0<a<一B.1<4<一

22

3

C.0<Q<一D.\<a<-

22

【答案】B

(2Q-3)X+2,XVI

【解析】由于函数〃x)=〃

是定义在R上的减函数,

—,x>1

1X

所以，函数y=（2〃—3）%+2在区间（—85上为减函数,

函数y=3在区间（1,+8）上为减函数，且有l-（2a—3）+2»a,

X

2a—3<0

33

即,解得l«a<一,因此，实数a的取值范围是1,-

2L2

2a-1>a

故选：B.

5.设函数〃力=2/1£|-3%+1,则/。0）等于（）

A.-B.1C.-1D.10

5

【答案】A

【解析】令x=10得/（10）=2/[5]+1①，

令x=A得/|总=一2/(10)+1②，

3

联立①②得/(10)=g.

故选：A.

-x2-2x,x<0

6.已知函数/(%)=若a,b,c,d互不相等，且

logix,x>0

、3

f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则a+^+c+2的取值范围是()

A.(-2,3)

【答案】D

直线丁=加与函数图像有4个交点，

则。/关于直线x=—1对称，所以a+/?=—2,

而logjCElogjd,gr^logic+logic?=0^1ogic<7=0^cc?=l；所以

33333C

所以〃+Z?+c+d=—2+cH—,

c

所以me(0,1),所以bgice(O,l)ncegl

因为直线，=机与函数图像有4个交点，

根据对勾函数性质可知1=°+:在〔$1]

上单调递减，

所以所以a+b+c+de]。,

故选：D.

7.设a=2°8/=(3)49,c=iogo60.7,贝

!Ua,4c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由指数函数y=2、在定义域R上为单调递增函数，所以1=2°<20'8<20-9=夕一°9,

又由对数函数y=10go,6尤在（0，+8）上为单调递减函数，所以10go.60-7<10go.60-6=l，

089

所以log060.7<2-<（1）-°-,BPC<a<b.

故选：D.

8.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对

空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/L）与过滤时间单位：h）

的关系为P"）=6e-"（兄,女是正常数）.若经过10h过滤后消除了20%的污染物，则污染

物减少50%大约需要（）（参考数据：log2522.322）

A.30hB.31hC.32hD.33h

【答案】B

lOk

【解析】依题意，经过10h过滤后还剩余80%的污染物，则0.8《=Poe-,解得心上=:,

设污染物减少50%用时『小时，于是0.5£,=《e-H,即心=2,贝U©°，'=爰°,

10

gp（|y=2,

51010”

两边取对数得/log2：=10,因此公^―土万*土31,

4log25-20.322

所以污染物减少50%大约需要3lh.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列不等式的解集为R的是（）

22

A.X+6X+11>0B.X-3X-3<0

C.-x2+x-2<0D.x2+2y[5x+5>0

【答案】ACD

【解析】对于A,易知方程%2+6%+11=0的判别式A=62—4xll<0,

即对应的整个二次函数图象都在X轴上方，所以解集为R,即A正确；

对于B,易知方程尤2一3x—3=0的判别式A=32+4X3>0，

由对应的二次函数图象可知其解集不可能为R,即B错误；

对于C,易知方程—必+左―2=0的判别式△=「—4X2<0，

即对应的整个二次函数图象都在x轴下方，所以解集为R,即C正确；

对于D,易知不等式f+28+520可化为+显然该不等式恒成立，

即解集为R,即D正确.

故选：ACD.

10.己知函数/(可=宿石，则函数具有下列性质()

A./(X)为(T»,+8)上的奇函数B./(%)在(TO,+8)上是递减函数

C.的值域为(—1,1)D.“X)的图象关于(-M)对称

【答案】AC

【解析】A：定义域为R关于原点对称，/(一％)=，—=-#7=一”耳，

\-x\+1|x|+l

所以/(%)为R上的奇函数，故A正确；

B：当时，==-=1———,

L)V7X+lX+lX+1

因为y=X+1在[0,+8)上单调递增，所以y=在[0,+8)上单调递减，

x+l

所以y=-二L在[0,+“)上单调递增，所以“X)=1-―二在[0,+。)上单调递增，

又因为/(力为奇函数，所以/(九)在(口,+8)上是递增函数，故B错误；

C：当xe[0,+co)时，=~-=1———,

L)V7X+lX+lx+l

因为(x+l)e[1,+oo),----e(0,1],fl-----e[0,1),所以/(X)e[0,1),

又因为/(x)为奇函数，所以当xe(fo,0)时/(x)e(-l,o),

所以/(x)的值域为(—1,1),故C正确；

D：若〃力的图象关于(—1,1)对称，则一定有/(—2)+〃0)=2；

?

因为/(―2)=—§，/(0)=0,/(0)+/(―2)工2,

显然“X)的图象不关于(-M)对称，故D错误.

故选：AC.

11.已知函数〃-依一l|(xeR),则()

A./(X)是R上的奇函数

B.当a=l时，〃％)<1的解集为1一%!)

C.当a<0时，/(%)在R上单调递减

D.当awO时，丁=/(同值域为[―2,2]

【答案】ABD

【解析】对于A,首先/(%)定义域是R关于原点对称，

其次/(-X)=|-<ZX+1|_|_CLX_1|=|<2X-1|-|<ZX+1|=-f(X),

即"X)是R上的奇函数，故A正确；

-2,x<-1

对于B,当々=1时,/(x)=|x+l|-|x-l|=<2x,-l<x<l,

2,x>1

/、f2x<l

所以/(x)<loxWT或ji<x<i'

解得xW—1或—l<x<g,即当a=l时，〃X)<1的解集为(一啊；],故B正确;

对于C,不妨取〃=一1<0,止匕时/(九)=归—1|—上+[,对玉=22=3,

有/(西)=1—3=—2=2—4=/(马)，故C错误；

对于D,当。WO,X£R时，令，=O¥£R,

止匕时/(%)=|依+1]—|依_1|二卜+1|_1_1|=g(。,1£区，

而g(/)=卜+1|-卜一1[=«2/,-L<TL,当—1<Y1时，-2<g(t)=2t<2,

2,t>l

从而当aw0时，y=g⑺即y=/(%)值域为[-2,2].

故选：ABD.

12.若a=206,b=40-4,C=3°，8,则()

A.a<bB.b>cC.ab<c2D.b1<ac

【答案】ACD

【解析】因为a=2°6>2°=l,易知b=4°4=(22)“'=2°-8>2°6=a,

而c=3°-8>2°-8=b，

所以。且勿?<。2,则A正确，B错误，C正确;

ac=2°-6x3°\Z?2=(2°-8)2=2L6,

13(-/Q\4Q11Q

比较好与7的大小关系，34=3,士=以=5.0625>3,所以34<±,

32L162

〃2,1.6Qr\J_r\

所以0<£-=；===±><35<±><37<±X2=1,所以^<ac，故D正确.

ac2°-6X30-830-83332

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.关于尤的不等式k―l|+|x—a|Na的解集是R,则实数。的取值范围是

【答案】上叫g

［解析］因为2］（九一1）（尤_。）卜_2（尤_］）（%_。）,上一1『=（尤—1『J九=（九_。）2,

所以|九一1「+2|（l_1）（%_。）|+卜_。『>（九一1）--2（x-l）（x-«）+（x-tz）2,

即（|x-l|+|x-a|）2>=（a-1）',

所以卜―l|+|x—a|习a—1］,等号成立当且仅当x在a和1两个数之间，

规定。=1时的取等条件为九=a=l,

综上所述上―［+|x—4的最小值为|。一］,

因为关于X的不等式|x—l|+|x—的解集是R，

所以7%€1^,上一1|+,一同20恒成立，所以当且仅当-1|2a,

当a»l时，|a-l|=a-12a不可能成立，当a＜1时，］。一1|=1一。2。，解得a＜；.

综上所述：实数。的取值范围是1-叱；.

14.对于任意实数%,不等式依2+依+1＞。恒成立，则实数a的取值范围是

【答案】［0,4）

【解析】若a=0,则不等式ar?+就+1＞。变为了1＞。恒成立，故。=0满足题意;

a>Q

若aw。，则不等式加+改+1＞。恒成立等价于〈解得。＜。＜4；

A—〃—4。<0

综上所述：实数a的取值范围是［0,4）.

%2_|_2尤x＜a

15.已知点（2,1）在函数y（x）=、■5-的图像上，且“可有最小值，则常数。的

2—3,九〉〃

一个取值为.

【答案】1（不唯一）

【解析】设8（力=*+2及网力=2—3,分别绘制g（x）,/i（x）函数的大致图像如下图:

其中g（x）=x2+2x有最小值，g1nin（x）=g（T）=T，”（力=2*-3没有最小值，

y=-3是它的渐近线，

点（2,1）在耳尤）上，a＜2,/?（!）=-1,如上图，当a＜1时，”力不存在最小值,

:A<a<2.

16.己知函数/(XJMXZ+MX+MWWR)在区间(1,2)内有两个零点，则2加一〃的取值

范围是.

【答案】(-12,-5)

x+x9=-m

【解析】记题设的两个零点为七,％2,则，

中2=〃

/、f3<x+2<4/、/、

由%,工2«1，2),知j,所以9<(大+2)(%2+2)<16,

所以2机_〃=_2(%+%2)-石%2=4-(玉+2)(x2+2)e(-12,-5),

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知关于x的不等式℃2+辰+°<。的解集为何1«%«3}.

(1)求关于X的不等式C%2十/十々>0的解集；

(2)求y="+(c+l)的最小值.

a

解：(1)由题意得L3是方程依2+法+C=0的两实数根，且。>0，

b

=4

b=-4a

则有《ex2-vbx+a>0,即3ar2-4ax+a>0，

c—3a

-=3

、a

由〃>0,得3/一4%+1>0，解得或x>l,

则不等式解集为{x|x<g或x〉l}.

(2)因为。>0,且由(1)得y=「+(c+l)=(-4a)+(3a+l)

aa

25a2+6a+11CZ乙.乙

=---------------=25〃H----F622J25a,—1-6=16,

aa\a

当且仅当25a=L，即a=2时等号成立.

a5

则y="+(C+1)的最小值为16.

a

18,已知集合4={』尤2-x-6<o},B=^x\la-3<x<2a+\\>.

ci）当。=0时，求Ac8；

（2）若Au6=A，求。的取值范围.

解：（1）由题意可得A={R-2cx<3}.

当a=0时，3={x[—3<x<l},则AC3={H-2<X<1}.

（2）因为Au5=A，所以

2〃—3N—2,

显然5/0,则

2^+1<3,

解得LwaWl,即。的取值范围是.

212」

19.已知函数/（%）是定义在［—2,2］上的偶函数，当0WxW2时，/（x）=1x2+x.

（1）求函数/（%）的解析式；

（2）若/（。+1）-/（2。-1）>0,求实数。的取值范围.

171

解：（1）设—2<xv0,则0<—x«2,/（—九）=5（—x）+（—%）=］%之—九，

2

由/（%）为偶函数有〃%）=/（—%）=］—%,

0<x<2

故〃x)=j

-2<x<0

、2

(2)当0WxW2时，〃x)=《+x=(x+l)

V7222

因为对称轴为x=-1，则此时/（x）为单调递增函数,

由偶函数可知/（X）在［—2,0）上为减函数，

又因为/（。+1）-/（2。-1）>0,

所以/(a+l)>/(2a—1),

-3<a<1

-2<(7+l<2

13

故有v-2<2a—1<2,即《一大故Ova<l.

22

|a+l|>|l-2^|

Q<a<2

20.已知函数〃x)=2*—2：

(1)判断函数/(%)在(f),+8)上的单调性，并利用单调性定义进行证明；

(2)函数g(x)=%2-4x+6,若对任意的为e[l,4],总存在％27。,2],使得

g(%)=Sf(马)+7-3m成立，求实数加的取值范围.

解：(1)函数/(九)在(―,+＜»)上单调递增，

证明：任取为＜々，则/(苫2)_/(石)=2当_鼻^_2』+不~

=2*—2当+-——-=(2*-2-M+2'2-2'1=(2^-2x')\l+-^--],

2玉\)2玉+巧\/I2甬+巧I

因为指数函数y=2%在R上单调递增，所以2吃—2为＞0,

又因为1+彳^＞0,所以/(%2)_/(%)〉0,即/(X2)〉/(下)，

所以/(九)在(《,+»)上单调递增.

(2)8(％)=尤2-4%+6=(尤一2)’+2,xe[l,4],

所以g(x)在[L2]上单调递减，在[2,4]上单调递增,

则g(x)e[g(2),g(4)],即g(x)e[2,6],设g(x)的值域为A,则4=[2,6],

设店(力=时(力+7-3加,%e[0,2],设g(x)的值域为B,

由题意得AgB,当m=0时，6={7},显然不合题意，舍去，

当加＞0时，根据(1)中结论知人(%)在[0,2]上单调递增,

3「3

此时网力而口=M0)=7-3M,/z(x)max="2)=4冽+7,值域5=7-3m,—m+7

7—3m<2

则有《3,,解得m22,

—m+7>63

14

当772<0时，根据（1）中结论知人⑺在［0,2］上单调递减,

f7-3m>6

r320

此时值域3=—相+7,7-3冽,则有〈3，解得加W----，

4-m+l<23

14

520

综上所述，"22—或〃2W---.

33

21.为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市场调查，生产需投入的年固定成本为20

万元，每生产x万件，需另投入的流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，

W（x）+2x—50（万元）,在年产量不小于8万件时，W（x）=8x+吧—120（万元）,

每件产品的售价为6元.通过市场分析，该厂生产的果袋当年全部售完.

（1）写出年利润。（%）（万元）关于年产量X（万件）的函数解析式；

（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

（2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？

解：（1）因为每件产品售价为6元，则x万件产品销售收入为6%万元，

当0<xv8时，

可得Q（x）=6x—w（x）—20=6x—（g%2+2光一50）—20=—g尤2+4X+30；

当x»8时，Q（x）=6x—W（x）—20=6x—（8x+迎—120）—20=—2x—迦+100,

XX

1

——x7+4-x+30,0<x<8

所以。（x）=,

100-2%--,x>8

X

（2）当0<%<8时，可得Q（x）=—gf+4x+30=—g（x—