广东省河源市2023-2024学年高二年级上册期末考试数学试题（解析版）

广东省河源市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若直线/与直线;x+3y—1=0平行，则/的斜率为()

311

A.6B.——C.-D.一一

266

【答案】D

【解析】将直线-x+3y-l=0化为斜截式可得y=--x+-,

263

易知直线/的斜率与直线y=+的斜率相等，即/的斜率为-,；

636

故选：D

2.若等差数列｛4｝中=-6,。3+。5=0，则。10=()

A.12B.14C.-24D.-26

【答案】A

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d，

则/+%=q+2d+4+4d=0,解得d=2：

因此可得数列｛4｝的通项公式为=%+(〃-1)2=2〃-8,

所以Io=2x10—8=12.

故选：A

3.已知双曲线—丁=1的左、右焦点分别为耳,此，点尸是。的左支上一点，则

I尸耳I一|尸阅=()

A.275B.—2卡C.±75D.±2百

【答案】B

【解析】根据双曲线标准方程可知a=百，

由双曲线定义可得||「片|-归曰=24=2君，

又耳为左焦点，点P是C的左支上一点，所以归国<归闾，

可得|尸制一归阊=-2君.

故选：B

4.己知点4（0,0,1）,6（2,0,1）,C（0,-l,0）,则原点。到平面ABC的距离为（）

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】A

【解析】易知荏=（2,0,0）,恁=（0,—1,—1）,

设平面ABC的一个法向量为n=（九,y,z）,

AB-n=2x=0

贝U一，解得x=0,取y=Lz=-1可得”=（0,1,-1）；

AC-n=-y-z=Q

又砺=（0,0,1）,

uurr

,0An10

所以原点。到平面ABC的距离为d==一尸=+.

U。22

故选：A

5.在高层建筑中，为了优化建筑结构，减少风荷载影响，设计师可能会将建筑设计成底面

楼层高度比较高，随着楼层往上逐步按照等比数列递减的“金字塔”形状，已知某高层建筑

共10层，第2层高度为4Gm，第九层高度记为为m,{4}是公比为手的等比数列，

若第左层高度小于6m,则左的最小值为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】由题意得4=4G，q;号

则％=8,故4=8x（#）"T,

由题意得8x<6，解得k>3,

即左的最小值是4.

故选：c.

6.若圆O:V+V=r2(r3>0)上到直线/:屈—y+1=0的距离为］的点恰好有3个，

则厂=()

A.1B.2C,3D.4

【答案】A

【解析】由圆+/=，(厂〉0),可得圆心0(0,0),

L,11

则圆心。到直线Z：V3x-y+l=0的距离为d=J诋2+(犷=2，

rrI

要使得圆。到直线/的为一的点恰好有3个，则d=—=—,可得r=l.

222

故选：A.

7.如图，在正三棱锥尸—A5C中，高PO=6,A5=3jL点及/分别为9,PC的中

点，则瓦•赤;=()

【答案】B

【解析】在等边AABC中，因为AB=3有，可得AABC的高为“=36x1=2,

22

229

所以OC=—/z=—x—=3,

332

在直角△POC中，可得PA=PB=PC=个PO?+OC?+乎=34，

又因为E,尸分别为P3,PC的中点，可得EF=^,OE=OF=LPC=^，

222

竺+竺口

OE?+OF?-EF?4447

在AOEF中，可得cosNEOE=

2OEOFW

30375763

所以赤.赤=|砺H而|cosNEOE=

---------X---------X一=——

22108

故选：B.

22

8.若点P既在直线/才―y+2=。上，又在椭圆。：二+3=1（。〉6〉0）上，C的左、

ab

右焦点分别为片，工，|月耳|=2,且/耳尸工的平分线与/垂直，则C的长轴长为（）

A.巫

B.V10

2

C*衅D.而唔

【答案】B

【解析】过点耳、B分别作片N、6“垂直直线/于点N、M,

作"PF?的平分线PH与x轴交于H,

由闺乙|=2,故耳（—1,0）、6（1,0）,

由？且为/月尸鸟的平分线，故NFiPH=NF?PH,

政NF[PN=NF[PM,

又RN工I、F2M±I,故△耳PN与△鸟PM相似,

A/2

寓M-Mijp耳[号」

\F2M\\MP\\PF2\3723,

2

由/比一丁+2=0,令y=0,则％=—2,

故直线,与x轴交于点G（—2,0）,故|NG|=正,

丁

\2

呼372’故\MN\=当当=拒，

\MG\=

2

7

山N|[NP1附|=1

由区M\MP\\PF2\3'

i^\NP\=^\MN\=^，\MP\=^\MN\=^-

由椭圆定义可知，\PF\+\PF^2a,故2a=乎+

即C的长轴长为而.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

9.若点。为原点，且圆。与圆C:x?+y2—6x+8y+16=0没有公共点，则圆。的半径

可以是()

A.1B.2C.8D.9

【答案】AD

【解析】圆C：(x—3)2+(y+4)2=9的圆心C(3,—4),半径厂=3,IOC1=5,显然点。在

圆C外，

由于圆。与圆C无公共点，则圆。与圆C可以外离，也可以内含，且圆。在圆。内，

设圆。的半径为R,于是R+r<|OC|或H-r>|OC|,即R+3<5或R—3>5,解得

0<R<2或R>8,

所以圆。的半径可以是1或9,即AD满足，BC不满足.

故选：AD

io.已知分别为空间中两条不重合的直线4,4的方向向量，加7分别为两个不重合的

平面名尸的法向量，则下列结论正确的是()

A.若“〃2，则ZHBB.若)=—3。，则

C.若加_1_”,则。-L，D.若。//，,则7〃”

【答案】BC

【解析】对于A中，由〃/心可得Z/区，则日=4B,XeR，当4=1时，a=b>所以A

错误;

对于B中，由0=—3。，可得Z//5，贝!1"〃2，所以B正确；

对于C中，因为正）分别为两个不重合的平面d尸的法向量，若菊，几可得。，力，

所以C正确；

对于D中，因为正，■分别为两个不重合的平面名尸的法向量，若al1/3,可得而//九所

以D不正确.

故选：BC.

11.已知数列｛%,｝是等差数列，。应都是正整数，则下列结论正确的是（）

A.若q〉P,则与.p+%+p=2agB.｛4｝不可能是等比数列

C.｛an+ail+l｝不是等差数列D.若%,+24+3=3,则ap+2=1

【答案】AD

【解析】由等差数列下标和性质，以及，q都是正整数，

若q>p,则q—2应+。都是正整数，且满足4―。+4+。=24，所以。匕0+4+?=2%,

即A正确；

当数列｛4｝是非零的常数列时，例如4=1满足｛4｝是等差数列，也是等比数列，即B错

误；

不妨设数列｛4｝的公差为d,易知（见+4+1）—（4-i+%）=4—%-i+4+i一%=2d为定

值，

所以｛%+%+1｝是公差为2d的等差数列，即C错误；

由4,+24*3=3可得%,+。"2+a"+4=3a"+2=3,可得4+2=1,即D正确；

故选：AD

12.已知直线/：x+y=心抛物线G：V=x与抛物线。2：/=丁的焦点分别为耳,工，

则（）

A.存在/,使得直线/过点耳与B

B.存在/,使得直线/与G，C2各有1个公共点

c.若/过C1与。2的公共点，贝也与a，a两准线的交点距离为逆

--2

D./与G，G的交点个数构成的集合为｛。，2,3,4｝

【答案】ABD

11

【解析】抛物线G：y92=%的焦点大（“0）,准线4：%二—工，抛物线。2：%9=》的焦点

x+y=t

由｛2消去y得V+X一才=o,

x=y

由A=l+4/=0,得仁-L此时直线/与C只有一个公共点，

4

x+y=t.

由12消去X得V+yT=0,

y=x

由A'=l+4/=0,得t=-L直线/与C1只有一个公共点，

4

因此当f=—J■时，直线/与孰,。2各有1个公共点，B正确；

4.

抛物线G与c2的公共点为（0,0）和（1,1）,

当直线/经过点（0,0）时，直线/的方程为x+y=0,

直线/与4：x=一；交于点（—；，；），与4：y=交于点（；，一；），

这两个交点间距离为注，c错误；

2

当/<—；时，A<0,A'<0,/与孰,。2的交点个数为。，

当，=—1时，/与G，G的交点个数为2,

当,时，直线/与G，。？的交点各有两个，

4

而当/=0或f=2时，直线,经过了£,。2的交点

此时/与G，G的交点个数为3,

当t〉-；且心0且段2时，/与GC的交点个数为4,

因此/与G，02的交点个数构成的集合为｛。，2,3,4｝,D正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题.

22

13.椭圆土+匕=1的离心率为.

96

【答案】B

3

22

【解析】椭圆三+匕=1的长半轴长。=3,半焦距,=乒4=6，

96

所以椭圆工+2=1的离心率e=$=走.

96a3

故答案为：B

3

14.已知点4(—1,。,—2),B(0,l,-l),若直线A5的一个方向向量为方=(—2,y,z),则

y+z=.

【答案】-4

【解析】易知初=(1,1,1),显然方向向量为=(—2,y,z)与通=(1,1,1)共线，

即通=2为，解得4=—2,所以y=-2,z=-2；因此可得y+z=-4；

故答案为：-4

2ne%o

15.已知正项数列｛4｝满足4+1

【答案】y

2n%+12〃

【解析】由%M=一可得)"=

n+1〃+1

2x92x82x72x648

由累乘可得.=色"％•巴・收=____x____x____x____

d>69+18+17+16+1y

故答案为：

16.《测圆海镜》是金元时期李治所著中国古代数学著作，是中国古代论述容圆的一部专

著，如第2卷第8题的“弦外容圆”问题是一个勾股形（直角三角形）外与弦相切的旁切圆

问题，已知在RtAiABC中A（0,2）,3（2,0）,点C在第一象限，直线AC

的方程为x-2y+4=。，圆E与B4延长线、延长线及线段AC都相切，则圆E的标

准方程为.

【答案】（x-2『+卜-8-2而『=卜五+2行『

【解析】根据题意可知左的=-1，直线B4的方程为％+V一2=0,

由A515c可得&c=l，所以直线的方程为％—y—2=。，

x—2y+4=0,、

联立直线AC和的方程《-0八，可得。（8,6）；

x-y-2=0、7

由圆E与氏4延长线、延长线及线段AC都相切，由对称性可得圆心E在ZA6。的

平分线上，即x=2上；如下图所示：

设石（2/）,且f>2,

\2+t-2\\2-2t+4\「「

由直线与圆相切可得J_1=J_解得"8+2后或"8-2加（舍）；

A/2A/5

结合图形可知E（2,8+2厢），此时圆心为石（2,8+2W），半径为40+26；

因此圆E的标准方程为（x-2）2+（y-8-2屈『=（4A历+2司.

故答案为：（x—2『+（y—8—2/J=（4忘+2君了

四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知点A（0,—2）,3（1,—1）,直线/:x+2阳+1=0与直线45垂直.

（1）求用的值；

（2）若圆C经过点A3,且圆心C在x轴上，求点C的坐标.

解：（1）依题意，直线AB的斜率为左=T—（一2）=i,由直线A5垂直于直线/,得

1-0

-一-=-L所以7〃=一.

2m2

(2)线段A3的中点坐标为(；31

,则线段A3的中垂线方程为y+耳=一(％—5)，即

x+y=-l,

由圆C经过点A3,得圆心C在直线x+y=-l上，而圆心。又在x轴上，

所以点C的坐标为(—1,0).

18.已知数列｛叫的前〃项和为S“，84+283=—10.

(1)若｛4｝是等比数列且公比q=-2,求生；

(2)若｛/｝是等差数列且4=-7,求S”的最小直

解：(1)设首项为％,由题意得1+2S3=—10,且｛4｝是等比数列,

故立匕42+匈31

=-10,解得％=—10,

1—(一2)1-(-2)

则生=_10X(-2)2=-40,

(2)设首项为由,公差为d,且｛4｝是等差数列，

故_28+4(4—l)d+2x(_2]+3(3—l)d)=_i0,解得4=5,

22

,,_〃(5"—12—7)519

故怎=-7+5(“-1)=5〃-12,Sc"=-----------=—«2——«,

19

由二次函数性质得，当〃=—时，5”取得最小值，但九一定为正整数，

10

则当〃=2时，S“取得最小值，此时S〃=S2=—9.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，上4,底面48。。,24=2筋=2.

(1)证明：BDX.PC-,

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

解：(1)如图所示：

连接8。，AC,因为底面ABCD是正方形,

所以，AC,又K4，底面ABCD,

所以/，4，瓦),

又ACryPA=A,ACu平面PAC,Q4u平面PAC,

所以8D工平面A4C,又PCu平面PAC,

所以班＞_LPC；

(2)建立如图所示空间直角坐标系：

则P（0,0,2）,B（l,0,0）,C（l,l,0）,D（O,1,O）,

PB=（l,O,-2）,PC=（l,l,-2）,PD=（O,l,-2）,

设平面PC£)的一个法向量为：n=(x,y,z),

n-PC=0x+y-2z=0

则_，即

n-PD=0y-2z=0

令y=2,得z=l,x=。，

则£=（0,2,1）,

设直线PB与平面PC。所成的角为6,

叵臼

则sin0=jcos^PB,7i^|=2_2

PB-MV5-V5-5

22

20.已知双曲线匚。-*=1(°>01>0)经过点(3,-2),且C的一条渐近线的方程为丁=匕

(1)求C的标准方程；

(2)若点尸是C的左顶点，用(加,“)是C上与顶点不重合的动点，从下面两个条件中选

一个，求直线与PN的斜率之积.

①关于原点对称；②M,N关于y轴对称.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

bb

解：(1)由题意得。的一条渐近线的方程为y=—%,故一二1,

aa

4广

X—9—-y=1,角牟得〃=/?=逐，

ab

22

故C的标准方程为工-匕=1；

55

(2)若选①，关于原点对称，

由题意得尸卜际,0),M(m,n),m±A/5,N(—m,—ri),

由题意得尸卜^/^,0),M(m,n),m±A/5,

故史-n2

=1f

55

c

nnn2m2-5

人IfkpM.kpN~/T~£2~£2'一一]，

机+，5-m+V55-m5-m

21.已知数列｛%,｝前几项和为S“.

1111

(I)若=2〃+1,求和：—+—+—+•­-+—；

、2、3、n

2s

(2)若"=a"+l,证明：｛%｝是等差数列.

解：(1)由4=2〃+1,得4+I—%,=(2〃+3)—(2“+1)=2,即数列｛4｝是等差数列,

因此S"="(q；4)="(〃+2),贝1jg=111

),

n(n+2)2nn+2

所以-L+J-+J-+...+_L=J_[(i__L)+(J__J_)+(l__L)+...+(□-----—)+(l———)]

S]S2S3Sn23243