广东省广州市天河区2023-2024学年高二年级上册期末数学试题（解析版）

广东省广州市天河区2023-2024学年高二上学期

期末数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考

生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂

改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知直线/经过点A（-LO）和3（1,2石），贝心的倾斜角为（）

兀兀兀2兀

A.—B.-C.-D.—

6433

【答案】C

【解析】设直线/的倾斜角为。，

因为勺

1一（一1）

所以tan，=石且（兀，

兀

所以。=彳，

3

故选：C.

2.公比不为1的等比数列｛4｝满足。5%=5,若a2a=25,则正整数m的值为

（）

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【解析】由于公比不为1的等比数列｛4｝满足。5%=5,

.♦—a5cLi5,

a2a4asam=25,a2am=5，

/.2+m=5+7，

7M=10.

故选：B.

3.直线/:xcose+ysin6—2=0与圆。：必+产=1的位置关系为（）

A.相离B.相切

C.相交D.无法确定

【答案】A

【解析】由题意知，圆心（0,0）,半径/•=：!，

1-21

所以圆心。到直线I的距离d==2〉r=l,故圆。与直线/相离.

Vcos20+sin20

故选：A.

4.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成

的，按照这样的规律放下去，第6个叠放的图形中小正方体木块的总数是（）

D.91

【答案】B

【解析】分别观察各图中小正方体木块的个数为1，1+5,1+5+9,…,

归纳可知，第九个叠放图形中共有九层，且各层的小正方体木块个数构成了以1为首项，以

4为公差的等差数列，

CH（H-1）X4~

所以S"="H-----------=2n2-n,

2

所以&=2x36—6=66.

故第6个叠放的图形中，小正方体木块的总数为66.

故选：B.

22

5.已知双曲线C：'—与=l（a〉0/〉0）的一条渐近线与直线2x—y+l=0垂直，则

ab

该双曲线。的离心率为（）

A.与B.73C.2D.75

【答案】A

【解析】由题意，双曲线的方程为：y=+-x,斜率为%=2和—2,

aaa

直线2x—y+l=O的斜率为左2=2,因为两直线垂直,

b

则有勺球2=T，即2x—=—1,（・・・〃>0力>。，显然这是不可能的），

a

或2'（一2]=-1,。=26,2=4=2好；

Ia）4a242

故选：A.

6.如图，在三棱台A3C-4与C中，A用=2AB,N是与G的中点，G是CN的中

UUUUUUUUUUUUUU

点，若AG=xA4+yAG+zAA，则*+丁+2=（）

353

A.-B.1C.一D.-

442

【答案】C

【解析】结合图形可知:

•.•G是CN的中点，A用=2AB,

QN是耳£的中点，/.4N=e（4C]+A_B]）,

1—►1——►1

而率+;如

=g224A+]AG+

UULT1UUII1UUUH1UUUD

即AG.AA+5AG+J%

UUUUUUUUUUUUUL11115

QAG=+yAG+zAA,.'九二Z，y=5'z=5，..%+丁+2=1.

故选：c.

7.己知抛物线y=or2+"+式。W0）可由抛物线y=ax1平移得到，若抛物线E:y=j（x-2）2

+3的焦点为产，点P在抛物线E上且|PF|=5,则点P到x轴距离为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】依题意，将抛物线E：y=—（x-2>+3的图象向左平移2个单位，

4

再向下平移3个单位，可得抛物线y=-x2,即必=4》的图象，

记抛物线k=4〉的焦点为尸（0,1）,记点P（苍y）为点P平移后的点，

由平移的性质可知|尸尸|=归4=5,则y+l=5,即y=4,

所以点尸的纵坐标为4+3=7,即点P到x轴距离为7.故选：C.

8.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:（x+l）2+（y—2『=2,若圆£>:（元-o）2+（y-l）2=2上

存在点P,由点尸向圆C引一条切线，切点为且满足|PM|=J5|PO|,则实数。的

取值范围为（）

A.[-V7-1,V7-1]B.[-4,2]C.[-3,3]D.[-2,4]

【答案】D

【解析】设点p的坐标为（x,y）,如图所示：

由|PM|=0|PO|可知：|PM『=2|PO「,Kff|PM|2=\PCf-\CMf,

•,.|PC|2-|CM|2=2|PO|2

22

(x+l)+(y-2『-2=2俨+力，整理得/+y-2x+4y-3=0,

即(尤_l)2+(y+2『=8.

.••点尸的轨迹为以点E(L—2)为圆心，2夜为半径的圆，又：点P在圆。上，，所以点

p为圆。与圆E的交点，即要想满足题意，

只要让圆。和圆E有公共点即可，，两圆的位置关系为外切，相交或内切，

•••A/2<^(a-l)2+9<3A/2，解得—2WaW4.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知直线乙：ax+y—l=0」2：2%+(〃+l)y—2a=0,且/〃4，贝!!()

A.a=—2B.ct=l

c.4与6间的距离为6D./1的一个方向向量为(1,2)

【答案】AD

a(a+X)=1x2

【解析】由两条直线平行可得：〈c,c,解得。=-2,所以A正确，B不正确;

-la-H-2

4:2%一y+1=0,4：2%一y+4=0,

所以两条直线之间的距离”14Tl_3、6

次+（丁丁所以C不正确;

直线的斜率为2,所以它的一个方向向量可以为(1,2),所以D正确.

故选：AD.

10.若动点尸(x,y)与两定点"(—2,0),N(2,0)的连线的斜率之积为常数%(左w0),则点

尸(x,y)的轨迹可能是()

A.除N两点外的圆B.除M,N两点外的椭圆

C.除M,N两点外的双曲线D.除N两点外的抛物线

【答案】ABC

【解析】依题意可知己•告》'整理得(x，±2)

当左>0时，方程的轨迹为双曲线(除N两点);

当左<0时，且左W—1方程的轨迹为椭圆(除M,N两点)；

当左=—1时，点尸的轨迹为圆(除M,N两点)；

因为抛物线的标准方程中，x或>的指数必有一个是1,

故P点的轨迹一定不可能是抛物线.

故选：ABC

11.已知正方体ABC。-4耳0。1的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

A.点A到直线4。的距离为Y2

2

B.点2到平面ABD的距离为且

3

C.若点尸(X,y,z)在直线A]C上，则x=y=l—z

D.若点尸(x,y,z)在平面ABD内，则x—y+z=l

【答案】BC

【解析】由题意A(o,o,i),c(i,i,o),〃(o,i,i),5(1,o,o),n(o,i,o),

所以麻=(i,o,t),M=(o,T,0)，4C=(l,l,-l),

若点尸(x,y,z)直线4c上，则平=(羽y,z—1),

由“=(羽y,z-l)与承=(1,1,一1)共线可得x=y=l—z,故C正确；

又配•丽'=0,所以

而|麻卜伺皿=1,|AC|=V3,

不妨设点2到直线AC的距离为h,

由等面积法有LxlxJ^=LxGx/z,解得/=亚，故A错误；

223

率=(1,0,-1),40=(0,1,-1),不妨设平面AXBD的法向量为n=(x,y,z),

则｛八，令z=l,解得元=y=l,即取平面的法向量为为二(w),

[y-2=0

若点尸(x,y,z)在平面43。内，则A?=(x,y,z—1),

所以为•AP=x+y+(z-l)=0,即x+y+2=l,故D错误；

又丽■=((),-1,0),

所以点2到平面AXBD的距离为d=-4："=—L=也，故B正确.

\n\733

故选：BC.

12.已知数列｛%｝的通项公式为an=(2"：1)兀，优=tan4,记Sn为数列｛an｝的前n项

和，则下列说法正确的是()

A.2=(-1)"

C,T,1+(—1)"T

B.伪+久+&+L+a=---------

C.若c”=anbn,则q+02+c3+L+cn=㈠：

—

D.若dn=bnSn,则4+&+4+L+[40=2057t

【答案】BC

【解析】因为数列｛4｝的通项公式为〃=(2"；1)兀,%=(2警1)兀,

71

故凡广。"*')-1)兀所以｛。“｝为等差数列，4=：，公差为1，

贝”=〃q+^2d=W兀，

24

jrjrnjrjrl,n=2k-\

b=tana=tan(-+(«-1)-)=tan(---)=<伏eZ),

nn-l,n=2k

当”=1时，仿=1,故A不正确;

当〃为偶数时，4+&+/+…+4=0;

当〃为奇数时，bl+b2+b3+...+bn=l,

故乙+b,+a+L+2=1+(T)”,所以B正确;

Lz.Jn2

an,n=2k-i

c“=a,b,尸(左£Z),

-an,n=2k

C2k+C2k-\=一。2k+a2k-\=_'，

Yl

当〃为偶数时，G+。2+。3+…+C“=一彳兀，

n—17TVI

当“为奇数时，q+。2+。3+…+g=一一—7I+-（2M-1）=-TI,

444

所以q+Cz+Cs_1---[％=（1]”兀,故C正确；

S,n=2k-1

4=姬“=二n（％eZ）,

一J九,72—Z/C

2

+dlk=S2k_x-S2k=；[（2左-I）—（2左）,=_弓（4左-1）,

所以4+&+&+…+4〃=（4+4）+（4+%）+•••+（。2〃一1+4〃）

Tlsr/，＜、r兀3+4〃-171_、

=——[3+7H---F（4〃-1）]=——x--------义几=——z（2n22+n）,

4424

所以4+%+4+…+%=-?2X2（）2+10）=一--,所以D错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若方程A：?+y2+2彳+小=0表示一个圆，则实数机的取值范围是.

【答案】（-8,1）

【解析】原方程可化为（无+l）?+y2=i—机，方程表示圆，则有1—加＞0,即机＜1.

故答案为：（TO」）

14.已知数列｛0“｝满足q=1an+l=3an+2,贝i]｛a“｝的通项公式为.

【答案】2X3〃T—1

【解析】因为。〃+1=3。0+2,q=l,

/X。”上1+1C

所以见+|+1=3%+3=3(%+1)，即茨7=3

册十1

所以｛4+1｝以2为首项，3为公比的等比数列，

所以4+1=2X3"T

所以4=2X3"T—1

故答案为：2x3"J1

22

15.已知点40,—2)和3(0,2),椭圆二+上=1上一点?满足|尸4|—|9|=2,则

1612

PAPB

【答案】9

【解析】由题意a=4,Z?=2^/3,c=J16—12=2,

所以点A(0,-2)和B(0,2)为椭圆匕+三=1的焦点;

1612

所以|PA|+|P5|=2a=8,

又因为|PA|—|P6|=2,所以|PA|=5,|P5|=3,

又陷=4,

所以由余弦定理有百•而=|FA|-|P5|COSPA,PB

网+|丽-BA52+32-42八

=同网----------二9•

故答案为：9.

16.如图，正方形A3CD和正方形A3所边长都是1,且它们所在的平面所成的二面角

O—AB—尸的大小是60°,则直线AC和3歹夹角的余弦值为.若M,N分别

是AC,5尸上的动点，且AM=BN,则MN的最小值是.

AB

M

DC

【答案】立

45

【解析】连接M3,如下图,

由题意，AM=BN,AC=BF,正方形ABCD中，AD±AB，

,正方形中AA3,AFu平面ADu平面ABCD,平面ABEFc平

面ABCD=AB,

，NZMF就是二面角O—AB—尸的平面角，则NZMF=60°,

，向量而与向量而夹角为60°,且而_1通，正_L正，

①/=通+打，BF=BE+EF>|AC|=|BF|=72,

ACBF=(AB+BC)(BE+EF)=ABBE+ABEF+BCBE+BCEF=--,

2

1

,,cos<AC,BF>=^=一，

24

直线AC和BF夹角的余弦值为-；

4

W=AAC,B7V=ABF,2e[0,l],贝I碗=(1—2)数，

且由题意|而|=|荏|=|#1=1,

MN=MB+BN=MC+CB+BN=(l-A)AC+CB+ABF

=(1-A)(AD+AB)+CB+A(BA+BE)=-AA5+(1-2A)AB+AAF,

MN2=A2A52+(1-22)2AB2+A2AF2-22(1-22)^5■+22(1-2A)ABAF

-2A2AD-AF=22+(1-2A)2+A2+0+0-2A2cos60°=522-42+1，

2

/z(2)=522-4A+1,26[0,1],/z(X)图象开口向上，且对称轴为

:•当彳=：时，〃(㈤取得最小值/㈤1rtli=右(：)=3,又砺

・・・(脑/)*=：，即的最小值是好.故答案为：L；M

5545

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.设｛4｝是公差不为0的等差数列，q=2,%是%，41的等比中项.

(1)求｛4｝的通项公式；

3

(2)设或=-----,求数列｛a｝的前〃项和S".

anan+\

解：(1)设｛4｝的公差为d,因为％=2,生是。1，%的等比中项，

所以(2+2dy=2(2+101),所以［2—34=0

因为dwO,所以d=3,故4=2+3(〃—1)=3〃—1.

,3311

(2)因为-----=-j-~^77--rv=--7一丁二，

anan+i(3〃-1)(3〃+2)3n-l3n+2

所以s.=2_」+2」］+…上,

(25八57)(3“-13«+2)23〃+26〃+4

18.如图，在正四棱柱ABCD—A4GR中，AB=2,A4=4.点E,F,G,X分别在

棱招出四,。。］，。。［上，AE=1,BF=DH=2,CG=3.

(1)证明：FG//EH；

(2)求直线A4与平面EGH所成角的正弦值.

在正四棱柱ABC。—A耳G01中，分别以AB,AD,M为X轴，y轴，z轴，建立空间直角

坐标系.

则：E(O,O,1),F(2,0,2),G(2,2,3),“(0,2,2),

所以出=(0,2,1),由=(0,2,1),所以而=国.

所以FG//EH.

(2)由(1)知，40,0,0),4(0,0,4),

所以丽=(0,0,4),EH=(0,2,1),函=(2,2,2),

设平面EGH的法向量为m=(x,y,z),直线AA；与平面EGH所成角为6,

m-EH=0f2y+z=0

则一，所以二^八，令y=L贝lz=—2,x=i,

m-EG=0\2x+2y+2z=0

।___,m-A4jg屈

所以相=(1,1,一2),sin0=cosm,-“=-----尸=——.

1।同朋|4x763

所以直线A4与平面双汨所成角的正弦值为迈.

3

19.己知圆。：必+⑶―1)2=4,直线/过点M(—2,4).

(1)若直线/的斜率为-2,求直线/被圆C所截得的弦长；

(2)若直线/与圆C相切，求直线/的方程.

解：(1)由题意直线/的斜率为—2,过点/(—2,4),

所以它的方程为y—4=—2(x+2),

即y=-2x,

圆C:/+(y—1)2=4的圆心坐标、半径分别为(0,1),r=2,

圆心(0,1)到直线y=-2x的距离为d=-y=

A/1+4

2后

所以直线/被圆C所截得的弦长为2〃—/=2

5-5

(2)若直线/的斜率不存在，此时它的方程为l=-2,

圆心(0,1)到x=—2的距离为d=|0-(―2)|=2=r,即直线/与圆C相切，满足题意；

若直线I的斜率存在，此时设它的方程为y—4=左(x+2),

若直线/与圆C相切，则圆心(0,1)到y—4=左(％+2)的距离为d='=2=r,

Ik+1

解得上=—A，所以此时/的方程为y—4=—5(x+2),即5x+12y—38=。；

综上所述，满足题意的/的方程为x=—2或5x+12y—38=0.

ir

20.己知四棱锥P—A6CD的底面ABCD为等腰梯形，ADHBC/BAD=—、AD=2BC

=4,。5,平面ABCD

(2)若平面PCD与平面尸CB夹角的余弦值为且，求四棱锥P-ABCD的体积.

3

解：(1)平面ABC。，CDu平面ABCD,PB±CD,

过点、B作BH//CD,交A£＞于点

ITJT

由ZR4D=—,得NBHA=NADC=/BAD=—,

44

71

则NAB〃=—,

2

所以ABLCD,

由P5cAB=5，PB,A8u平面上钻，得CD,平面Q43,

APu平面上45,

所以"LCD；

JT

(2)四边形BCM为平行四边形，DH=BC,ZBAD=-,AD=2BC=4,

4

AH=AD—DH=AD—BC=2,AB=BH=—AH=y[2,

2

3”,54,5P两两垂直，以8为原点，出/,区4,5「所在直线分别为苍yz轴建立如图所示

的空间直角坐标系，

设依=乂/>0),则5(0,0,0),H(V2,o,o),A(0,V2,0),P(0,0,t),

CD=5H=(A/2,0,0),BC=AH=(V2,-V2,0),PC=BC-BP=(41,-A/2,-Z),

,、PC-n=y/2x-yfly-tz=Q

设平面PC。的一个法向量为=(x,y,z),贝叶—,厂'，

CD-n=y/2x=0

令y=f,则x=o,z=—7^,即和=(0/,一陋')，

,、PC-m=y/2a-41b-tc=0

设平面PCS的一个法向量诩="c),贝匹—.「「,

BC-n=y/2a-y/2b=0

令a=l,则b=l,c=0,即羽=(1,1,0),

平面PCD与平面PCB夹角的余弦值为B,

3

则有|cos丸制=[----_—=—,解得f=2,

11#72x723

等腰梯形ABCD的面积为0（C8+AD）-ABsin：（2+4）x忘x!

22

故彩YBc»=gs-P3=；x3x2=2.

所以四棱锥P—A6CD的体积为2.

21.甲乙两家新能源汽车企业同时量产，第一年的全年利润额均为p万元根据市场分析和

预测，甲企业第〃年的利润额比前一年利润额多万元，乙企业前〃年的总利润额

为?（川一〃+1）万元，记甲，乙两企业第"年利润额（单位：万元）分别为用,,".

⑴求用，也；

(2)若其中某一新能源汽车企业的年利润额不足另一企业的年利润额的50%,则该企业

将被另一企业收购，判断哪一家新能源汽车企业有可能被收购？如果有这种情况，至少会

出现在第几年？

解：⑴由题意知，…=p(P>0),……3岭52),

2

设乙企业前几年的总利润额为sn,则S“=p(n-n+l),

当”=1时，仄=S[=p,

22

当“22时，bn=Sn-=p(n-n+l)~p[(n-I)-(n-1)+1]=2p(n-1),

将〃=1代入bn=2p(n-1)可得4=0不符合,

P.n=l

所以〃=”

2p(n-l),n>2'

又a“一明2),q=P，

所以%=%+(a2—q)+(%—%)"I---1-(%—4_])=p++…+

2

x72

=p+3px二=M5—9x(z)"M],

乙3

3

2

当〃=1时q=p也符合上式，所以g="5—9x(-),,+1].

y=]1

(2)①

2

p(2n+3x(-)n-

,，714=gp>0，即

当〃=1时，

当刀之2时,

112929

(2+1_54+1)_(2—5%)=M2(〃+1)+3X(§)"+I―万]—矶2“+3义(3)"--]

2

=x2-(-r]>o,

所以包一<%之久_\“2='|P>0，即勿

ZZo2

故对于\/〃wN+，d