广东省广州市某校2024-2025学年高二年级上册期末数学模拟试卷（含答案）

广东省广州市某校2024-2025学年高二上学期期末数学模拟试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线a,b与平面a,B，下列四个命题中正确的是（）

A.若aua,bua,I1a,I1b,贝！H_La

B.若a_La,6_L0,a_L£,则a_Lb

C.若可/a,b//p,a//p,则a〃b

D.若直线a上存在两点到平面a的距离相等，则a〃a

2.已知等差数列｛时｝的前n项和为晚,且+a4=11,S6+S7=75,则Sg=（）

A.52B.54C.56D.58

3.到直线3x-4y-ll=0的距离为1的直线方程为（）

A.3x—4y—1=0B.3x—4y—6=0或3x—4y-16=0

C.3x-4y+1=0或3尤—4y-1=0D.3%-4y+16=0或3久-4y—3=0

4.双曲线C：=1（£1>0,匕>0）的渐近线与圆万2+3—4）2=4相切，则双曲线C的离心率为（）

2A/~34

A.詈B.2C.D.4

21

5.已知直线zn：ax+y+3=0与直线ri：3x+（2b-l）y-1=0,（a,b>0）,且?n_Ln,则公+3的最小值

为（）

A.12B.8+4AA3C.15D.10+2<3

6.在空间中，“经过点P（%o，yo，Zo），法向量为3=（45C）的平面的方程（即平面上任意一点的坐标Q,y,z）满

足的关系）是：A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0”,如果给出平面a的方程是x-y+z=1,平面£的方

程是，-楙-?=1,则由这两平面所成的二面角的正弦值是（）

"B.苧C.苧D.|

7.某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027

年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息

的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（）万元.（

参考数据：1.027«1.149,1.028«1.172）

A.5.3B.4.6C.7.8D.6

8.已知圆C：（X+1）2+y2=2,点P在直线Z：x-y-3=0上运动，直线P4PB与圆C相切，切点为A,B,

则下列说法正确的是（）

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A.|P川的最小值为2

B.|P4|最小时，弦4B长为VH

C.|P4|最小时，弦2B所在直线的斜率为-1

D.四边形P4CB的面积最小值为门

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图，在平行六面体4BCD-&B1C1A中，以顶点4为端点的三条棱长2g

都是2,且它们彼此的夹角都是60。，P为与AD1的交点，若方=益，4/4__________/

AD=b，AA±=c>则下列正确的是（）

A.CP=-a—―/7+—c

B.4cl=a+b—c

C.cosS?,宿）=苧

D.BDi的长为2c

10.已知直线l的方程为ax-y+1=0,aeR,则下列说法正确的是（）

A.2与直线x+ay+1=0有唯一的交点

B」与椭圆］+y2=1一定有两个交点

C.I与圆（久-I）2+y2=4一定有两个交点

2

D.满足与双曲线^v-y2=1有且只有一个公共点的直线/有2条

11.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内

一个高塔，施工单位在某平台。的北偏东45。方向40，1巾处设立观测点4在平台。的正fC

西方向240机处设立观测点B,已知经过。，A,B三点的圆为圆C,规定圆C及其内部区\

域为安全预警区以。为坐标原点，。的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角

坐标系,经观测发现，在平台。的正南方向200nl的P处，有一辆小汽车沿北偏西45。方向行驶，贝1］（）

A.观测点4,B之间的距离是2807n

B.圆C的方程为/+V+240%-320y=0

C.小汽车行驶路线所在直线的方程为y=—x—200

D.小汽车会进入安全预警区

12.已知椭圆9+*1（0<b<3）的左、右焦点分别为F2,过点FI的直线1交椭圆于4,B两点，若网

的最小值为4,贝）

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A.椭圆的短轴长为，石

B.\AF2\+IBF2I最大值为8

C.禺心率为?

D.椭圆上不存在点尸，使得N&PF2=90°

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式

抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4加，当水面下降0.96时，水面的宽度为m；

该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为m.

14.经过点P(0,-1)作直线/,若直线I与连接4(1,-2),2)两点的线段总有公共点，则直线1的倾斜角a

的取值范围是

15.已知点M是圆/+y2=1上的动点，点N是圆(X-5)2+(y—2)2=16上的动点，点P在直线x+y+5=

0上运动，则|PM|+|PN|的最小值为

16.如图，在长方体48C。一4遇16。1中，AB=3,BC=CQ=2,M,N分

别为8C,CG的中点，点P在矩形BCC/1内运动(包括边界)，若&P〃平面

AMN,则41P取最小值时，三棱锥P—M&B的体积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)

已知△ABC的顶点4(3,2),边2B上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,边4C上的高所在直线方程为2x-

y—9=0.

(1)求顶点C的坐标；

(2)求直线BC的方程.

18.(本小题12分)

已知。为坐标原点，双曲线C：=l(a>0,匕>0)的离心率为，且过点(2,2).

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(1)求双曲线C的标准方程；

(2)圆/+y2=4的切线/与双曲线C相交于4,B两点.

⑴证明：Q410B；

(五)求404B面积的最小值.

19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—ABC。中，BD1PC,乙BAD=120°,四边形2BCD是菱形，PB=yTlAB=讥PA,E是

棱PD上的动点，且匠=2万.

(1)证明：P2_L平面4BCD.

(2)是否存在实数人使得平面P4B与平面4CE所成锐二面角的余弦值是穿？若存在，求出2的值；若不存

在，请说明理由.

20.(本小题12分)

已知数列｛即｝是递增的等差数列，数列｛.｝是等比数列，且的=3,%-La2-1、。3+1成等比数列，瓦=1,

。5—2^2=%•

(1)求数列｛册｝和｛匕｝的通项公式;

(2)若d=b+log工，求数列｛%｝的前n项和土.

n2an+l

21.(本小题12分)

假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房.预计在今后的若干年内，该市每

年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米

,求：

(1)截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计(以2023年为累计的第一年)为多少万平方米？

(2)哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

22.(本小题12分)

已知动点M在/+必=4上，过M作无轴的垂线，垂足为N,若H为中点.

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(1)求点”的轨迹方程；

(2)过4(0,，)作直线/交H的轨迹于P、Q两点，并且交x轴于B点.若用=2而，QA=nQB,求证：,+工为定

ZA/Z

值.

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1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】AC

11.【答案】BCD

12.【答案】BCD

13.【答案】83.2

14.【答案】[0,加尊兀)

15.【答案】7149-5

16.【答案】I

17.【答案】解：(1)因为边4C上的高所在直线方程为2x—y—9=0,设直线AC的方程为x+2y+a=0,

又因为直线AC过点4(3,2),贝必=一7,

得到直线AC的方程为x+2y-7=0,

联立解得C的坐标为(1,3)；

1人r乙y—/一u

(2)设B(a,b),因为边4B上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,

边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0,

可得2a—b—9=0且竽—3•竽+8=0,解得即B的坐标为(8,7).

则直线BC的方程为4x-7y+17=0.

18.【答案】解：(1)由题意得3=，豆，将(2,2)代入双曲线中得2—g=1,

U.U.[j

又。2=。2+房，解得q2=2,炉=4,

故双曲线C的标准方程为1；

24

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(2)证明：(i)当切线I的斜率为0时，方程为y=±2,

22

不妨设y=2,此时二一n二=1，解得*=±2,不妨设4(—2,2),5(2,2),

24

则a•0B=(-2,2)-(2,2)=-4+4=0,所以。A1OB；

当切线斜率不为0时，设为％=my+t,

由圆心到直线距离可得=2,故［2=4+4巾2,

V1+m2

联立％=my+t与贮一优=1得，(2m2—l)y2+47nty+2t2—4=0,

24

叱T16京？-4(2/_4)(2源-1)>0年/=4+4m2,

解得THW土苧，

设4(%1，丫1)，8(%2，、2)，则%+丫2=5M：，%、2=22：，

故％i%2=(jnyi+0(W2+t)=血2yly2+mt(y1+y2)+/，

22

故瓦？•~OB=xrx2+yry2=(1+rn)y1y2+mt(%+y2)+t

八,2、2t2-44m212,―212-4+2m212-4m2-4m212+2m212-12

=(1+*而口-赤口+/=------------而=------------

t2—4—4m2八

=2m2-l=0>

故。aiOB；

⑷当切线/的斜率为0时，△04B的面积为^|。4||0旬=3X2，IX2，E=4,当切线斜率不为0时,

,-------,------------------,-------2/2.t2+4m2-4

222

|AB|=V1+mV(yi+y2)-4yiy2=Vl+m—旨12T-'

因为严=4+4m2,点。到切线2B的距离为2,

242

故SAOAB=1X2|XB|=Vl+m22AA2A/8m_87m+m

|2m2-1||2m2-1|

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当27n2—1>0时，令27n2—1=t>0,则

故”=嚓IP=3=4符*=4所不

因为t>0,所以Sw=小(9+|)2v>4j3x(|)2_g=4，

同理，当t>0时，SA0AB>4,

综上，△。48面积的最小值为4.

19.【答案】解：(1)证明：因为四边形是菱形，所以BD14C,

因为BD1PC,AC,PCu平面P&C,且4CnPC=C,

所以8。1平面PAC,

因为PAu平面P4C,所以BD1PA,

因为PB==/IP4所以PB2=AB2+PA2,即43J,p&,

因为4B,BDu平面4BCD,S.ABQBD=B,

所以P41平面ABC。.

(2)取棱CD的中点F,连接4F,因为四边形ABCD是菱形，^BAD=120°,

所以△ACO为等边三角形，故

又PA1平面ABCD,AB,AFu平面ABCD,

所以P4_L4B,PA1AF,故AB,AF,AP两两垂直，

故以4为原点，分别以荏，AF,标的方向为久，y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

设4B=2,贝IJ2(O,O,O),C(l,73,0),£)(-1,73,0),P(0,0,2),

故就=(l,C,0),PD=(-1,><3,-2),AP=(0,0,2),

所以於=加+而=衣+2丽=(-2,<32,2-2A),

设平面4CE的法向量为元=(%,y,z),

则少政则s至=“+6二。，

m1AE(n-AE=—Ax++(2—2A)z=0

令％=y/~3f得元=(y/~3,—

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平面P4B的一个法向量为万=(0,1,0),

设面P4B与面4CE所成的锐二面角为。，

.,一一、।\n-m\12<19

r“cos8Q=cos<n,m>=।=——

则\n\\m\J4+A2-32#A+l19,

整理得3万+22-1=0,

解得4=g或2=-1(舍去)，

故存在实数4=g,使得面P2B与面"E所成锐二面角的余弦值是需.

013+

20.【答案】解：(1)由的=3,%—1、a2-l,1成等比数列，设公差为d,

2

可得(a2-I)=(&-l)(a3+1),即(3+d—1)2=(3—1)(3+2d+1),解得d=±2,

｛a九｝递增，・•・d=2,an=2n+1；

・・・瓦=1,a5-2b2=a3,设公比为q,可得ll-2q=7,解得q=2,

・・n-1

.bn=2；

n71

(2)cn=bn+log2=2t+log2=2T+[log2(2n+X)-log2(2n+3)],

n—02(202(2

Sn=(2。+2，+2〉+…+2+(log2^—log2$)+(，。。25—，。比,)+…]。九+1)—，。九+3)]

1—2”

=~ry+logz3—log(2n+3),

1—z2

n

.-.Sn=2-l+log2^.

21.【答案】解：(1)假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房，

预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%,

另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米，

设中、低价房面积构成数列｛%J,由题意可知｛a“｝是等差数列，

其中的=250,d=50,则0=250n+吧px50=25声+225几，所以Sio=475O,

所以截止2032年底，预计该市所建中、低价房的累计面积为4750万平方米；

(2)设新建住房面积构成数列｛.｝，

由题意可知｛%｝是等比数列,其中瓦=400,q=1.08,则%=400X(1.08-,

n-1

由题意可知>0.85bn,所以250+(n-1)x50>400x(1.08)x