广东省大湾区2025届高三年级上册12月模拟联考数学试卷（含答案）

广东省大湾区2025届高三上学期12月模拟联考数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.设集合4={%|/_%>0},3={%|111（%+1）»0}则403=（）

B.(-l,l)C.(l,+oo)D.[l,+oo)

2.已知复数z=5,则z在复平面内对应的点位于()

3-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.如图，某双曲线笔筒的轴截面曲线部分为一条离心率为6且焦距为10cm的双曲线

的一部分忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为()

A.4cmB.2\/5cmC.6cmD.3«cm

已知cos（a+/?）=；,cosacos/?=；,贝！Jcos（o-/）=（

4.）

A-tB-lclD-4

5.已知向量M=(x+3,4),b=(%,-1),若,+5卜卜-5卜则实数％的值为()

A.4B.-4或1C.-lD.4或-1

6.已知函数那么在下列区间中含有函数/(%)零点的是()

A.,；]B.[,[呜1]D.(l,+8)

7.已知随机变量占服从正态分布N(3,2),〃服从二项分布5m,则()

A.D（^）=V2B.D（/7）=2

C.P（77=1）=P（77=5）,D.P（^>2）+P（^>4）=1

8.已知/(x)=2sin(ox+9)10〉O,|0|<、J,其中相邻的两条对称轴的距离为g,且

/(%)经过点(0,-1),则关于x的方程/(x)=siiw在[0,2句上的不同解的个数为()

A.6B.5C.4D.3

二、多项选择题

9.为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼搏的搏斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内

射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6,6,7,8,9,9,9,10(位：环)，则这

组样本数据的()

A.极差为4B.平均数是8

C.75%分位数是9D.方差为4

10.设函数〃力=(%+1)2(%—2),贝!]()

A./(x)有三个零点

B.x=l是“X)的极小值点

C./(%)的图像关于点(0,-2)中心对称

D.当0<%<1时，/(%)>/(x2)

11.曲线E上任点P(x,y),满足点P到定点网0,5)的距离与到定直线y=l的距离之

和为6,则下列说法中正确的有()

A.曲线E经过原点

B.曲线E关于y轴对称

D.直线y=x+3被曲线E截得的线段长为8(石-0)

三、填空题

12.二项式缶-j_Y的展开式中/的系数是

13.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为4cm,母线长最短5cm,最长

8cm,则斜截圆柱的体积为cm3

14.若直线y=Ax(左为常数)与曲线/(x)=lnx,曲线g(x)=ae"均相切，则

a=.

四、解答题

15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知

cos2A=cosBcosC-sinBsinC.

⑴求角A的大小；

(2)已知a=6,c=26求△ABC的面积

16.如图，在三棱柱ABC-AgG中，侧面BBCC是边长为2的菱形，其对角线交于

点。且49,平面

(1)求证：片C,平面ABC1；

(2)若N43C=60。，OA=OB,求平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值

17.已知函数〃%)=彳一1一alnx,aeR

⑴判断函数/(x)的单调性；

⑵若/(力20恒成立，求a的值

22

18.已知椭圆C：T+斗=l(a〉6〉0)的焦点为耳(-2,0),工(2,0),尸为椭圆上一点且

ab

△P/花的周长为4+4及.

(1)求椭圆C的方程

(2)若直线/过点工交椭圆C于A，3两点，且线段的垂直平分线与x轴的交点

*0

⑴求直线/的方程；

(ii)已知点Q(T,O),求△ABQ的面积

19.已知数列｛4｝是由正整数组成的无穷数列若存在常数左eN*,出-1+%,=履“对任

意的"eN*成立，则称数列｛an｝具有性质中仕).

⑴若a“=2”,请判断数列｛«„｝是否具有性质T(2)；

(2)若数列｛4｝满足%印九=1,2,3,...),求证：“数列｛叫具有性质巩2)”是“数列

｛%｝为常数列”的充要条件；

⑶已知数列｛%｝中的=1,且an+l>%(〃=1,2,3,...).若数列｛an｝只有性质T(4),求数列

｛«„｝的通项公式

参考答案

1.答案：C

解析：4={#2-%>0}={小(%-1)>。}={小>1或为<0},

B=|x|ln(x+l)>0|=|x|ln(x+l)>lnl|=,

所以4口6=（1,转）.

故选：C.

2.答案：A

1+i_(l+i)(3+i)_2+4i_12.

解析：•

3-i(3-i)(3+i)1055

••.z在复平面内对应的点为

•••2在复平面内对应的点位于第一象限

故选：A.

3.答案：B

解析：依题意可得2c=10cm,-=45

a

所以a=&cm,

所以该笔筒中间最窄处的直径为2a=2&cm.

故选：B.

4.答案：A

解析：,/cos(tz+^)=costzcos/J-sintzsin/7=；

cosacos/3=；

...Ill

sin(zsin/y=------,

236

112

cos(a-/7)=costzcos/?+sincrsin尸=—+—=—.

故选：A.

5.答案：B

解析：将卜+可=|万-闸两边平方，得G,5=0,

由方=(x+3,4),b

得(x+3)x+4x(—1)=0,

即/+3%—4=0,

解得x=T或1.

故选：B.

6.答案：B

解析：注意到函数/(%)图像在(0,抬)上连续不间断,

因为y=f,y=-在(0,+8)上均单调递增，

则/(£)=，-'［在(0,+8)上单调递增

对于A,/(O)-O^-Q^=0—1<0

因函数y=短在(o,+8)上单调递增，

则“可在上无零点，故A错误;

对于B,因为yI|在(0,+8)上单调递减,

对于CD,由于在(0,转)上单调递增,

/（1）=1-11=|7>0,可知C、D都是错误的

故选：B.

7.答案：D

解析：£⑷=3,E（7）=6X1=2,

D（^）=2,£>（〃）=6><（1义§7=（A故AB错误;

*〃=1)=或义；义1),P(〃=5)=C：x[]><|,

p(〃=l)wp(〃=5)故C错误；

根据正态分布的对称性可得尸信>2)+尸信》4),

=PC<4)+P(J")=1,故D正确

故选:D.

8.答案：A

解析：由已知相邻两条对称轴的距离为四，可得£=(=空

3322|(y|

又G>0,可得G=3,

由函数/(x)经过点(0,-1),则2sin9=-l,即sin°=-g,

又Ml〈巴,可得展上,所以小)=2sin(3V],

因为函数丁=51!1%的最小正周期为T=2兀,

所以函数〃x)=2sin]3x由的最小正周期为T=g,

所以在[0,2可函数/(x)=2sin13x-看)有三个周期的图象，

在坐标系中结合五点法画出两函数图像，

如图所示，由图可知，两函数图像有6个交点,

9.答案：ABC

解析：将这组数据从小到大排序，

得6,6,7,8,9,9,9,10这组数据的极差为10-6=4,故A正确;

6+6+7+8+9+9+9+10

平均数为=8,故B正确;

8

因为8x0.75=6,

0.0

所以第75%分位数为亍=9,故C正确;

+小二(6—8广+(6—8尸+(7—8)2+(8—8尸+(9—8『+(9—8尸+(9—8>+(10—8)2

万差为-----------------------------8--------------------------------

D错误

故选：ABC

10.答案：BC

解析：对于A,令/(尤)=(%+1)2(尤-2)=0,

解得％=-1或x=2,

所以"％)有两个零点，故A选项错误；

对于B,由/'(力=2(工+1)(工一2)+(x+iy=3尤2—3,

令r(x)=3f—3=0,解得x=-1或x=l,

当％<-1或》>1时，r(%)>o,

即/(X)在(-00,-1)和(1,+00)上单调递增，

当—1<%<1时，f(x)<0,即/(%)在(—1,1)单调递减，

所以x=l是“X)的极小值点，故B选项正确；

对于C,因为/(—无)+/(%)=(—x+l)2(—x—2)+(x+l)2(x—2)=—4,

则“力的图像关于点（0,-2）中心对称，故C选项正确；

对于D,当时,/（%）单调递减，

则当0<x<l时，/（%）单调递减，

又当0<%<1时，x>x2,

所以/（x）</（d）,故D选项错误；

故选：BC.

11.答案：ABD

解析：设点P（x,y）,

因为点P到定点F（0,5）的距离与到定直线y=1的距离之和为6,

所以J,+（y—5）2+|y—1]=6,

当时，得Jd+（y_5）2=7_y,

两边同平方，得£=Ty+24（lWyW6）；

当y<l时，得Jd+（y_5）2=5+y,

两边同平方，得％2=20y（0WyWl）,

对于A,如图，曲线E过原点，A正确；

对于B,由图易知，两段抛物线弧均关于y轴对称,

故曲线E关于y轴对称，B正确；

对于C,若点P（九,y）在三=-4y+24（lWyW6）上，

得-=—4y+24<20,所以-2百<x<2氐

若点P（羽y）在x2=20y（0<y<1）上，

同理得—2际<x<2行，C错误；

对于D,由卜2=f+24（1«”6）,

y=x+3,

得r=2或y=—6（舍去），

」=51y=_3

由卜2=20y（0"«l）,

[y=x+3

X=10-4A/10_fx=10+4710

得或《_（舍去），

y=13—4^/10'y=13+4A/10

故y=x+3与曲线E交于点F（2,5）,Q（10-4痴,13-4碗）

13-4屈-5

贝Ik

PQ10-4710-2

可得闸=^17^1_&卜0><卜0_4而_2卜8（君_⑹,D正确

故选：ABD.

12.答案：60

1,3

解析:的展开式的通项为（+1=C其缶严.=（-1）*（在6yx2.

7xJ

3

令6—2左=3,则左=2,

2

故X3的系数是（—1）2（0）6-2屋=4x15=60.

故答案为：60

13.答案：26K

解析：将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱,

则圆柱底面半径为2cm,高为8+5=13（cm）,

体积为兀x2?xl3=52兀（cm，，

则该几何体的体积为圆柱体积的一半，

即52兀x~=26兀（cn?）.

解析：因为/(x)=liix,xe(0,+oo)

所以f'(x)=-,

设直线y="与/(x)=lnx的切点为(％/叫)，

则切线方程为,一1%=-(x-xA,BPy=—x+lnxj-l,

%%

Lk,

又因为y=乙，所以,再

1叫一1二0,

解得玉=e,k=—

e

所以切线方程为丁=’工，

e

因为g(x)=ae，，所以g'(x)=(oe")=aex,

设直线y=L与g(x)=ae"的切点为(Xo，〃e%),

所以g'(%o)=ae与=-@

e9

又因为切点(%o，ae殉)在直线y=，%上,所以=，/②,

e

由①和②可得冗0=1,所以〃e=',解得。=4.

ee

故答案为：4

e

15.答案：(1)A=：

(2)66

解析：⑴因为cos2A=cosBcosC-sinBsinC,

=cos(B+C)=cos-COSA

即2COS2A-1=-cosA,

解得cosA=」或cosA二一1.

2

因为在△ABC中，0<人<兀，

所以

3

(2)在AABC中，由余弦定理片=〃+，—2ACOSA,

LL1

得6?=/?2+(2A/3)2-4A/3Z?X-,

整理得2回-24=0,

由b>0,解得b—46)

所以△ABC的面积为S“BC=-bcsinA=lx4/义x1=66.

222

16.答案：(1)证明见解析

⑵半

解析：(1)证明：因为四边形3瓦GC是菱形，所以用c,BC],

又因为49,平面BBCC，且用Cu平面所以AO,51c.

XAOHBCj=(9,AO,BC]U平面ABC一

所以与C,平面ABC1.

⑵方法1,由3月=2,四边形为菱形，ZB,BC=60°,

则八BB&是边长为2的等边三角形

所以=O5=BCsin60°=2><¥=^,。耳=。。=1,OA=OB=g

因为49,平面35CC,OB±OB,,则以点。为坐标原点,

OB,0B],Q4所在直线分别为x,y,z,轴

建立如图所示的空间直角坐标系

则网后0,0),Q(-73,0,0),4(0,1,0),A(0,0,@,c(o,-i,o)

则通=(60,-⑹，BC=(-A/3,-1,0)

设平面ABC的一个法向量为力=(x,y,z),

n-AB=y/3x—y/3z=0

必一r'

n-BC►=-V3x-y=0

取％=1,则＞=一百，z=l,故万=(1,一6,1),

易知平面ABC1的一个法向量为阳=(0,1,0),

则平面A5G与平面A5c夹角。的余弦值

c°s『°s仇砌=|篇H福|=W，

故平面ABC,与平面ABC夹角的余弦值为g；

方法2,由55]=2,四边形为菱形，ZB,BC=60°,

则△530是边长为2的等边三角形，

所以OG=05=BCsin60°=2x^=6,

=OC=1,OA=OB=6

所以河:攻加+面=屈.

取AB中点。，连接0。，CD

在等腰直角△493中，OD±AB^.OD=-AB^—

22

由勾股定理得4。=河2+。。2=2.

因为5C=2=AC,则CDLAB,

CD=J"—BD?=卜—U=芈.

注意到ODLAB,CDLAB,平面口平面ABC=AB，

所以平面ABC,与平面ABC的夹角即为ZODC.

在△ODC中，OC=1,OD=直,CD=M

22

则ocam=cz)2,

即OCLOD^cosZODC=—=巫，

CD5

故平面ABC)与平面ABC夹角的余弦值为手.

17.答案：(1)答案见解析

⑵a=l

解析：⑴函数〃龙)的定义域为(o,+8),r(x)=i--=—

JCX

当aWO时，1f(x)>0恒成立,/(%)在(0,+oo)上单调递增

当a>0时，由/'(尤)<0,得xe(O,a),

由/'(x)>0,得xe(a,+co),

则函数/(%)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增

综上，当aWO时，/(%)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，/(%)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增

⑵由⑴知，当aWO时，〃尤)在(0,+oo)上单调递增，

由/(1)=0,知当时，/(x)<0,不符合题意；

当a>0时，函数/(X)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，

故/(x)min=/(a)=aT—am。，

由/(x)20恒成立，得a—1—alnaNO恒成立，

令g(a)=a-l-alna(a>0),求导得g'(a)=—Ina,

当0<a<l时，g'(a)>0,当a>l时，g'(a)<0，

于是函数g(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以g(a)™x二8⑴二。，

故且(〃)=〃-1-〃山〃<。恒成立'

因止匕g(Q)=O=g(l),所以Q=1.

22

18.答案：⑴工+匕=1

84

(2)(i)x-V2y-2=0^x+V2y-2=0

(ii)3#

c=2

解析：(1)根据题意有<2a+2c=4+4夜,

b2=a2-c2

解得片=8,b2=4

22

所以椭圆。的方程为三+乙=1.

84

(2)①若直线/的斜率不存在，其垂直平分线与x轴重合，不符合题意;

不妨设直线I的方程为y=k(x-2)

AB的中点为N,

设B(x2,y2),N(x0,y0)

"v—kx—Dk

/与椭圆方程联立有y「1K,

整理得（1+2左2）尤2—8左2%+8左2—8=0,

8左2

直线过椭圆焦点，必有A>0,则

842—8

9=币记

2k

1+2左2

即」Y•左4k2

6k2—1

%-5

解得』¥，

J?

即y=±《-(%-2),

整理得直线/的方程为x—=0或x+0y_2=O.

(ii)由弦长公式可知

,1

2]-----

=4女*1±工=4行、」=3后,

5分1+2/1+1

由直线的对称性，知点。到两条直线/的距离相同,

即d=—=2^/3,

百

所以△ABQ的面积为:d=g义2百义3夜