高考数学一轮复习讲义：等差数列

等差数列

【考试要求】1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前〃项和公式.3.能在具体的

问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函

数、二次函数的关系.

-落实

佚口识梳理】

1.等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第爰项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个

数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母a表示，定义表达式

为他一飙1=。(常数X〃22,

(2)等差中项

由三个数〃，A,b组成等差数列，则4叫做。与b的等差中项，且有2>=。+4

2.等差数列的有关公式

(1)通项公式：。”=。工+5-l)d.

n(n-l)n(ai-\-an)

(2)前n项和公式：Sn=nax-\------d或Sn=-------.

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an=am+(n—m)d(n,

(2)若｛四｝为等差数列，且左+/=加+〃(左，I,m,〃£N*),贝!j@+包=。>+42.

(3)若｛&｝是等差数列,公差为d,则即Clk+m，恁+2加，…(左，加WN*)是公差为侬L的等差数

列.

(4)数列S加，S2m—Sm,S3rn—S2fn^…也是等差数列.

(5)S2“_1=(2n—l)6z„.

(6)等差数列｛恁｝的前〃项和为此，］为等差数列.

【常用结论】

1.己知数列｛隔｝的通项公式是a“=p〃+g(其中夕q为常数)，则数列｛即｝一定是等差数列，

且公差为“

2.在等差数列｛斯｝中，m>0,d<0,则存在最大值；若死<0,d>0,则S,存在最小

值.

3.等差数列｛%｝的单调性：当d>0时，｛斯｝是递增数列；当d<0时，｛%｝是递减数列；当

d=0时，｛四｝是常数列.

4.数列｛斯｝是等差数列OS〃=N〃2+8"(48为常数).这里公差［=24

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数

列.(X)

(2)数列｛斯｝为等差数列的充要条件是对任意〃GN*,都有2a“+i=a“+a“+2.(V)

(3)在等差数列｛斯｝中，若斯十0”=他+%,则〃z+〃=〃+q.(X)

(4)若无穷等差数列｛a“｝的公差上0,则其前〃项和必不存在最大值.(V)

【教材改编题】

1.在等差数列｛斯｝中,已知。5=U，。8=5,则等于()

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

解析设等差数列｛四｝的公差为以由题意得解得，二

・・・a〃=—2〃+21.・・・Qio=-2X10+21=1.

2.设等差数列｛即｝的前〃项和为S〃，若84=8,S8=20,则砌+。10+。11+。12等于()

A.12B.8C.20D.16

答案D

解析等差数列｛。〃｝中，S4,Si2—见仍为等差数列，即8,20—8,的+的0+。11+。12为

=

等差数列，所以a9+«io+«ii+«i216.

3.设等差数列｛恁｝的前〃项和为用.若幻=10,S4=28,则用的最大值为.

答案30

n(n―1)

解析由Qi=10,S4=4QI+6d=28,解得d=-2,所以S=nax~\----------rf=—/+11儿当n=

n2

5或6时，S〃最大，最大值为30.

■探究核心题型

题型一等差数列基本量的运算

例1(1)(2023・开封模拟)已知公差为1的等差数列｛〃〃｝中，层=的恁，若该数列的前n项和Sn

=0,则〃等于()

A.10B.11C.12D.13

答案D

解析由题思知（〃1+4）2=（41+2）（可+5）,na\~\----------=0,解得〃i=—6,n=13.

（2）（2020・全国H）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块

圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9

块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数

相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

答案C

解析设每一层有〃环，由题意可知从内到外每环之间构成d=9,田=9的等差数列.由等

差数列的性质知S；,S2n~Sn,$3"—S20成等差数列，且（$3"一$2"）—（$2"—S"）="d,则9"2=

729,得"=9,

27X26

则三层共有扇面形石板S3“=S27=27X9H——--X9=3402（块）.

思维升华（1）等差数列的通项公式及前〃项和公式共涉及五个量句，n,d,a„,S„,知道其

中三个就能求出另外两个（简称“知三求二”）.

（2）确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a,和公差d.

跟踪训练1（1）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨

水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、

春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为

（一丈=十尺=一百寸）（）

A.一尺五寸B.二尺五寸

C.三尺五寸D.四尺五寸

答案B

解析由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列

{an},设公差为d,

•••冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，

‘。1+。4+。7=3。1+91=315,

-9X8

"[&=9ai+——d=855,

解得1汇弟

Id10,

芒种日影长为ai2=ai+lld=135-llX10=25（寸）=2尺5寸.

（2）数列|2］是等差数列，且=1，03=—1，那么。2024=___________.

la”十1J3

［21122

解析设等差数列的公差为d,因为的=1,的=--，所以^=1,^=3.所以3

b“+lJ3ai+1«+1

2222022

=l+2d,解得d=l.所以一二=1+〃-1=〃，所以a“=-1.所以。2024=--------1=----------=

a„+ln20242024

1011

1012'

题型二等差数列的判定与证明

例2（2021•全国甲卷）已知数列｛四｝的各项均为正数，记S”为｛斯｝的前〃项和，从下面①②③

中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛。“｝是等差数列；②数歹！J｛屈｝是等差数列；③々=3的.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解①③=②.

已知｛。“｝是等差数列，。2=3的.

设数列｛四｝的公差为d,

则。2=3。1=。1+。,得d=20i，

n(n~1)

所以S=na\~\-------d=n2a.

n2i

因为数列｛。“｝的各项均为正数，

所以倔=%/%，

所以1）/石一（常数），所以数列｛、/居二｝是等差数列.

①②=③.

已知｛斯｝是等差数列，｛年｝是等差数列.

设数列｛四｝的公差为d,

n(n~\)1/d\

==2

则Snna\~\-------d~nd~\~\a\一一九.

I—,—d

因为数列｛倔｝是等差数列，所以数列｛屈｝的通项公式是关于〃的一次函数，则的一a=o,

即d=2cii,所以。2=。1+4=3。］.

②③=①.

已知数列｛向｝是等差数列，念=3的，

所以S2=〃i+。2=4对.

设数列｛倔｝的公差为d,d>0,

则J而一4GI—y[~a\—d,得=理，

所以倔=A+(〃-l)d=〃d,

所以S„=n-(P,

所以a〃=S”-S„-1=n2cP—(?7—1户理=2〃"一6p("22),是关于〃的一次函数,且。1=/满足

上式，所以数列｛。“｝是等差数列.

思维升华判断数列｛斯｝是等差数列的常用方法

(1)定义法.

⑵等差中项法.

(3)通项公式法.

(4)前n项和公式法.

跟踪训练2已知数列｛斯｝的各项都是正数，"GN*.

(1)若｛斯｝是等差数列，公差为d,且6”是％和&+i的等比中项,设。"=法+1—法,"GN*,求

证：数列｛金｝是等差数列；

(2)若后+层+泊H-----\-an—Sn,S”为数列｛斯｝的前"项和，求数列｛斯｝的通项公式.

(1)证明由题意得房=a”a”+i,

=+1-612-

则cnbn与=。“+。”+a”a“+i=2da“+i,

因此c”+1—c„=2d(即+2—即+1)=2泮(常数)，

,｛金｝是等差数列.

⑵解当〃=1时，(A—cA,,.•01>0,...01=1.

/+泊+泊+…+凉=郃，①

当时，鬲+泊+a孑+…+晶-1=的-1,②

①一②得，an—Sn—Sn-l—(S„—S„-])(S„+S„_i).

,；a“>0,；.a2=S“+S“—[=2S〃-a”，(3)

：ai=l也符合上式，.•.当时，陷-I=2S〃T—a“_i，④

-1=

③一④得层一陷2(5”—Sn-i)—an~\-an^\=2a„—an~\-an-\=a„-\-an-\,

a„+a„_i>0,/.a„—a„-i=l,

二数列｛a“｝是首项为1,公差为1的等差数列，可得斯=".

题型三等差数列的性质

命题点1等差数列项的性质

例3(1)已知在等差数列｛四｝中，若/=8且log2(2.I，­，2')=22,则S"等于()

A.40B.65C.80D.40+log25

答案B

解析log2(2^・2吠・…・2~)=log22'+log22,H-----Flog22*=的+。2T------Fan=lU6=22,

一,13仅1+。13)13(。6+。8)

所以恁=2,贝IS13=--------------=--------------=65.

22

(2)已知数歹U｛&｝,｛6〃｝都是等差数列,且。i=2,bi=—3,劭—b[=17,则〃2024—62024的值

为.

答案4051

解析令cn=an—bn,因为｛诙｝，｛4｝都是等差数列,所以｛金｝也是等差数列.设数列｛&｝的

公差为d,由已知，得。1=。1一仇=5,。7=17,则5+6d=17,解得d=2.故02024—^2024=c2024

=5+2023X2=4051.

思维升华等差数列项的性质的关注点

(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质.

n(a\~\~an\

(2)项的性质常与等差数列的前〃项和公式-4目结合.

跟踪训练3(1)若等差数列｛恁｝的前15项和815=30,则2的一。6—勾0+可4等于()

A.2B.3C.4D.5

答案A

15

解析•・,315=30,・,・万3+。15)=30,

・・〃1+。15=4,・・2。8=4,・・。8=2.

・・2%一。6—〃io+。14=。4+。6—。6―。1。+。14=。4-。1。+〃14=。1。+。8­。10=。8=2.

Q8

(2)(2023・保定模拟)已知等差数列｛〃〃｝满足一=—2,则下列结论一定成立的是()

45

<7344

答案c

as

解析由=—2得的力0,245+。8=。4+。6+。8=3。6=。,

as

所以%=°，的+砌=2〃6=0,

因为的#。，。6=0，

6Z9

所以的W0，—=—1.

。3

命题点2等差数列前〃项和的性质

Sn

例4(1)设等差数列｛四｝,｛乩｝的前〃项和分别为S〃，Tn,若对任意的〃£N*,都有,=

2H—3

的值为(

4H-365+611

2913919

A.—B.—C.—D.—

45291930

答案C

解析由题意可知仇+613=力5+济1="+615=2人8，

—

・・・--ai--F--Q1-4=-0-2+4-14=—。8=—515=-2-X--15--3.279

加+加3bs+bn2b8b®T154X15~35719

(2)已知等差数列｛〃“｝共有(2〃+1)项，其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则恁+i的

值为()

A.30B.29C.28D.27

答案B

Ql+〃2〃+l2。〃+1

解析奇数项共有(几+1)项，其和为一-——(〃+1)=二-0+1)=290,

•**(〃+l)a篦+1=290.

,ai~\~a2n2an+i

偶数项共有〃项，其和为------n=-----〃=〃斯+1=261,

22

・・・斯+1=290—261=29.

思维升华等差数列前〃项和的常用的性质是：

在等差数列｛0｝中,数列S加，S2m—Sm,83^—82”…也是等差数列,且有%=〃(％+%)=…

=几(。〃+。“+1)；S2n-l=Qn-1)。小

nm

跟踪训练4(1)设等差数列｛恁｝的前项和为%若S4=20,昆=30,册=40,则等于()

A.6B.10C.20D.40

答案C

解析由S4=20,5,5—30,得的=&—§4=10,由等差数列的性质，得85=30=5的，故"3

=6,而%—的=1°—6=4=2d,故d=2,Q冽=40=。5+2(加一5),解得加=20.

S2020S?oi4

(2)已知S〃是等差数列｛册｝的前〃项和，若〃1=—2020,金二一一"=6,则S2023等于()

20202014

A.2023B.-2023

C.4046D.-4046

答案C

解析V(-］为等差数列，设公差为/,

20202014

5i

首项为一=一2020,

2020+（2023-1）X1=2,

2023

*'-52023=2023X2=4046,故选C.

课时精练

D基础保分练

1.首项为一21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是（

（3,+°°一8,

答案D

解析an=~21+（n-1）（/,因为从第8项起为正数，所以劭=-21+62W0,恁=-21+

7

7d>0,解得3<dW-.

2

2.设其是等差数列｛斯｝的前几项和，若850—847=12,则&7等于（

A.198B.388C.776D.2023

答案B

解析,***S*50―347=。48+。49+。50=12,「・〃49=4,

97X（41+497）

&7=-------------------=97禽9=97X4=388.

3.已知等差数列｛恁｝的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,

则该数列的中间项为（）

A.28B.29C.30D.31

答案B

解析设等差数列｛。〃｝共有2〃+1项，

则S奇=al+a3+a5^^〃2什1，

S偶=02+04+06H-----1-42”，

该数列的中间项为恁+1，

又S奇一S偶=。1+（的一。2）+（。5—。4）+…+（。2什1—42〃）=。1+d+d+…+d=Qi+〃d=Q“+i,

所以Q〃+1=S奇一S偶=319—290=29.

4.天干地支纪年法，源于中国.中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、

戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、

亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后,

天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙

寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即''甲戌”“乙亥”,

之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制

帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称'‘辛亥革命”.1949年新中国成立，

请推算新中国成立的年份为（）

A.己丑年B.己酉年

C.丙寅年D.甲寅年

答案A

解析根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从

1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，

则38=3X10+8,则1949年的天干为己，38=12X3+2,则1949年的地支为丑，所以1949

年为己丑年.

5.设&为等差数列｛%｝的前〃项和,若3a5=7。“，且%>0.则使&<0的〃的最小值为（）

A.30B.31C.32D.33

答案B

解析根据题意，设等差数列｛四｝的公差为d,

若3a5=7。”,且。］>0,

则3（m+4砌=7（死+104，

29

变形可得4°i+58d=0,则°i=------d,

2

n（n-\）d

所以S”=H-------------

2

29”（〃一l）dd

=—―zitZH------------=-（/12—30/7）,

一，29

因为a\----d>0,所以d<0,

2

若S"<0,必有〃2—30">0,又由〃GN*,则心30,故使S”<0的〃的最小值为31.

111

6.（多选）在中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,若——,——，----依次成

tanAtanBtanC

等差数列，则下列结论中不一定成立的是（）

A.a,b,c依次成等差数列

4依次成等差数列

C.。2,62,c2依次成等差数列

D.tz3,b\03依次成等差数列

答案ABD

111211

解析在△/BC中，若——,——,——依次成等差数列，则——=——+——,整理得

tanAtanBtanCtanBtanAtanC

2cosBcosCcosA«2+c2-62a2~\-b2—c2Z72+c2-

-----=——+——，利用正弦定理和余弦定理得2---------=----------+---------,

sinBsinCsinA2abc2abc2abc

整理得2〃=a2+c2,即02,公,02依次成等差数列，此时对等差数列02,%C2的每一项取

相同的运算得到数列。，b,C或6,"，、?或〃，於，。3,这些数列都不一定是等差数列，

除非。=6=c,但题目中未说明△N8C是等边三角形.

7.(2022•全国乙卷)记s,为等差数列｛即｝的前〃项和.若2s3=3邑+6,则公差d=.

答案2

解析由2s3=3$2+6,

可得2(〃1+〃2+。3)=3(。1+。2)+6,

化筒得2a3=。1+。2+6,

即2(qi+2(/)=2qi+d+6,

解得d=2.

8.设S〃是等差数列｛〃“｝的刖〃项和，Sio=16,Sioo-890=24,则Sioo=.

答案200

解析依题意，Sio，S20—Sio，S30—So，…，Si。。一S90依次成等差数列，设该等差数列的公

8

差为d.又Sio=16,5IOO-S=24,因此Sioo—&0=24=16+(10—l)d=16+9d,解得d=一，

9O9

10X910X98

因此Sioo=lOSio+---d=10X16~\——--X-=200.

9.已知｛四｝是公差为"的等差数列，其前〃项和为5”且％=1，.若存在正整数",

使得S"有最小值.

(1)求｛斯｝的通项公式；

⑵求S"的最小值.

从①03=—1，②d=2,③d=-2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问

题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解选择①作为补充条件：(1)因为。5=1，。3=—1，所以d=l,所以斯=1+(〃-5)X1=〃一

4(〃GN*).

,n(a\~\~an\1

(2)由(1)可知的=-3,所以S〃=-------=丁(〃一7).

因为〃£N*,所以当〃=3或4时，S"取得最小值，且最小值为一6.故存在正整数〃=3或4,

使得S"有最小值，且最小值为-6.

选择②作为补充条件：(1)因为恁=1，d=2,所以恁=l+(〃-5)X2=2〃一9(〃£N*).

,n(ai~\~an)

(2)由(1)可知句=—7,所以S〃=-----------=n2~Sn.

所以当〃=4时，取得最小值，且最小值为一16.

故存在正整数〃=4,使得S〃有最小值，最小值为一16.

不可以选择③作为补充条件.

10.在数列｛四｝中，。1=8,44=2,且满足魅+2—2为+1+斯=0(〃£N*).

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)设Tn=\ai\+\a2\-\---卜|。〃|，求Q

解⑴’•。〃+20,

•・〃“+2Q”+ia”，

・•・数列｛斯｝是等差数列，设其公差为d,

・Q1=8,。4=2,

an—a\-\~(n—l)d=10—2n,〃£N*.

(2)设数列｛a〃｝的前〃项和为S〃，则由(1)可得，

n(n~l)

2

Sn=Sn-\----------X(-2)=9〃-ri,〃£N*.

由(1)知为=10—2〃，令恁=0,得〃=5,

当n>5时，an<0,

则Tn=\a[\+\a2\-\----卜⑷

=。1+。2+..,+。5—(。6+。7+…+。〃)

=S5—(Sn—S5)=2S5—Sn

=2X(9X5—25)一(胡一层)="一期+40；

当后5时，斯20,

则Tn=\ai\+\ao\-\------\~\an\

=。1+。2+…+。篦=9〃一层，

._19几一层，nW5,n£N*,

••nI/—9〃+40,n26,n£N*.

立综合提升练

11.(多选)已知数列｛a,｝是公差不为0的等差数列，前〃项和为S,,满足句+5的=$8,下列

选项正确的有()

A.Qio=OB.Sio最小

C.S产S\2D.820=0

答案AC

解析根据题意，数列｛斯｝是等差数列，若QI+5〃3=S8，

即〃1+5的+104=8。1+282,变形可得。1=一9".

又由an—a\-\~(n—l)d=(n—10)d,

得药0=0，故A正确；

不能确定句和d的符号，不能确定So最小，故B不正确;

,n(n~1Wn(n~l)dd

又由S产叫+2=—9〃d+2=鼻*(〃2_19〃),

得S7=S12，故C正确；

20X19

S?o=20。i-\------------d——180t/+l90(7=10d.

因为dWO,

所以S20W0,故D不正确.

,,。2+2。7+。820Sil

12.已知等差数列｛”“｝的前〃项和为S〃，且——,——=一,则一等于()

Q3十〃611Ss

3155

A.-B-C.—D."

76114

答案D

02+207+08215+2174。620465

解析----------=——'——=—■—=—,所以一■—=—,

。3十Q6Q3十Q6Q3十Q611Q3十。611

Su116Z6116Z65

所以--=---------------=一.

Sg4(。1+。8)4(。3+〃6)4

13.将数列｛2〃一1｝与｛3〃一2｝的公共项从小到大排列得到数列｛四｝,则｛四｝的前〃项和为

答案3峭一2n

解析将数列｛2〃一1｝与｛3〃一2｝的公共项从小到大排列得到数列｛四｝,则｛〃〃｝是以1为首项,

以6为公差的等差数列，故它的前n项和为S=nX1H----------