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文档简介
利用导函数研究函数零点问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.............................................1
二、典型题型.............................................2
题型一:判断(讨论)零点(根)个数问题................2
题型二:证明唯一零点问题..............................4
题型三:根据零点(根)的个数求参数....................5
三、专项训练.............................................7
一、必备秘籍
1、函数的零点
(1)函数零点的定义:对于函数y=/(x),把使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的
零点.
(2)三个等价关系
方程/(%)=0有实数根=函数;v=/(x)的图象与x轴有交点的横坐标o函数了=/(x)
有零点.
2、函数零点的判定
如果函数y=/(x)在区间[凡口上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
/(a)-/(6)<0,那么函数y=/(x)在区间(a,Z?)内有零点,即存在ce(a,b),使得
/(c)=0,这个c也就是/(x)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.
注意:单调性+存在零点=唯一零点
3、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法:根据题目要求画出函数的图象,标明函数极(最)值的位置,借助数形结合的思想
分析问题(画草图时注意有时候需使用极限).
(2)利用函数零点存在定理:先用该定理判定函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函
数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.
4、利用函数的零点求参数范围的方法
⑴分离参数(。=g(x)诟,将原问题转化为J=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a
与V=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解;
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解;
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.
二、典型题型
题型一:判断(讨论)零点(根)个数问题
1.(2024・广东梅州•二模)已知函数/(x)=e*,g(x)=x2+1,〃(x)=asinx+1(a>0).
(1)证明:当时,f(x)>g(x);
(2)讨论函数万(尤)=在(0,兀)上的零点个数.
2.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/。)=展)诒龙+》-3苞/3为/(刈的导函数,
A0)=2.
⑴求。的值;
(2)求/'(x)在(0,兀)上的零点个数.
3.(23-24高二下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/=(oeR).
⑴讨论y(x)的单调性;
(2)讨论了(X)的零点个数.
1y
4.(23-24高二下•山东淄博•阶段练习)已知函数〃x)=ax+=,g(x)=4.
ee
⑴讨论y(x)的单调性;
(2)若a=l,试判断函数),=/(无)与J,=g(x)的图象的交点个数,并说明理由.
5.(23-24高二下•山东荷泽•阶段练习)给定函数./(x)=(x+3)e''
⑴求/(x)的极值;
(2)讨论/(力=机(〃2€11)解的个数.
题型二:证明唯一零点问题
1.(2024•浙江杭州•二模)已知函数/(x)=aln(x+2)-eR).
(1)讨论函数/(无)的单调性;
(2)若函数/(x)有两个极值点,
(i)求实数。的取值范围;
(ii)证明:函数/(x)有且只有一个零点.
2.(23-24高二下•江苏常州•阶段练习)已知函数〃无)=ae,+sinx+l在区间内恰有一
个极值点,其中aeR,e为自然对数的底数.
⑴求实数。的取值范围;
(2)证明:/(x)在区间内有唯一零点.
3.(2024高三上,全国•专题练习)已知a>0,函数/(x)=xe*-a,g(x)=xhix-a.证明:
函数/(x),g(尤)都恰有一个零点.
4.(23-24高三上•黑龙江•阶段练习)已知函数/(x)=x+lnx,g(x)=e*lnx+a,且函数〃x)
的零点是函数g(x)的零点.
⑴求实数。的值;
(2)证明:y=g(x)有唯一零点.
题型三:根据零点(根)的个数求参数
1.(23-24高二下•广东广州•期中)已知函数/(无)=ae2,+(a-2)eX-x.
(l)a=0时,证明:x>0时,f(x)<0;
(2)讨论/(x)的单调性;
⑶若/(X)有两个零点,求。的取值范围.
2.(2024•宁夏固原•一模)已知函数/口)=以(瓜丫+1)+1(4>0).
⑴求/(x)的最小值;
(2)若有两个零点,求。的取值范围.
3.(23-24高二下•广东佛山•期中)已知函数/(同=111工-0%(0€1<).
(1)当了=/(》)的图象与x轴相切时,求实数。的值;
(2)若关于X的方程/@)=》有两个不同的实数根,求。的取值范围.
1y
4.(23-24高二下•浙江•期中)已知函数/")=彳/7+如一,“eR,e为自然对数的
2e
底数.
(1)讨论函数/(x)的单调性;
⑵判断函数/(x)能否有3个零点?若能,试求出。的取值范围;若不能,请说明理由.
5.(23-24高二下•天津,阶段练习)若函数/(x)="3一法+4,当x=2时,函数/(x)有极
值T
⑴求曲线〉=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程;
⑵若方程/(x)=左有3个不同的根,求实数上的取值范围.
6.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/■(x)=(x-l)e*-办2,aeR
⑴当a=]时,求/(x)的单调区间;
(2)若方程/(x)+a=0有三个不同的实根,求。的取值范围.
三、专项训练
1.(2024•全国•模拟预测)设函数/(x)=-%2+ax+liu(awR).
⑴若4=1,求函数/(%)的单调区间;
⑵设函数/(X)在r,e]上有两个零点,求实数。的取值范围.(其中e是自然对数的底数)
2.(2024•全国•模拟预测)已知函数-,且曲线y=/(x)在点(0,/(初处
的切线方程为y=-2x+6.
(1)求实数。,6的值;
(2)证明:函数/(x)有两个零点.
3.(2024•福建•模拟预测)已知函数〃x)=alnx-在处的切线在了轴上的截距为
-2.
(1)求。的值;
(2)若/(x)有且仅有两个零点,求6的取值范围.
4.(2324高二下•北京顺义•阶段练习)已知函数/(x)=lnx-e',曲线y=/(x)在点(1J⑴)
处切线斜率为l-e
(1)求。的值;
(2)求证:/(x)有且只有一个极值点;
⑶求证:方程xlnx=e"+x无解.
5.(2024・辽宁・二模)已知函数/(6=卜2-3工+1卜1
⑴求曲线V=/(x)的平行于x轴的切线的切点横坐标;
(2)证明曲线j,=/(x)与x轴恰有两个交点.
6.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=xlnx+办(aeR).
⑴求函数〃x)的单调区间;
(2)当。=-1时,方程〃X)=加有两个解,求参数〃2的取值范围.
7.(23-24高二下•浙江•期中)设/(X)=1X3-X2-8X-1.
(1)求函数/(x)的单调递减区间;
(2)若方程/(x)=。(。eR)有3个不同的实根,求。的取值范围.
8.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(x)=e'-x2+a,xeR,(p{x)=f[x}+x--x.
(1)若9(x)的最小值为0,求。的值;
(2)当a<0.25时,证明:方程/(x)=2x在(0,+8)上有解.
9.(23-24高二下•河北张家口•阶段练习)已知函数/(x)=gax3-4x+4(aeR)在工=一2处
取得极值.
⑴确定。的值并求的单调区间;
(2)若关于x的方程/'(x)=b至多有两个根,求实数b的取值范围.
10.(23-24高二下•山东•阶段练习)已知函数/1)=(2”一1育.
x-1
⑴求函数/(X)的单调区间与极值;
(2)关于x的方程(2x-l)e'=a(x-l)有两个不同的实数解,求实数a的取值范围.
利用导函数研究函数零点问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.............................................1
二、典型题型.............................................2
题型一:判断(讨论)零点(根)个数问题................2
题型二:证明唯一零点问题..............................4
题型三:根据零点(根)的个数求参数....................5
三、专项训练.............................................7
一、必备秘籍
1、函数的零点
(1)函数零点的定义:对于函数y=/(x),把使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的
零点.
(2)三个等价关系
方程/(%)=0有实数根=函数;v=/(x)的图象与x轴有交点的横坐标o函数了=/(x)
有零点.
2、函数零点的判定
如果函数y=/(x)在区间[凡口上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
/(a)-/(6)<0,那么函数y=/(x)在区间(a,Z?)内有零点,即存在ce(a,b),使得
/(c)=0,这个c也就是/(x)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.
注意:单调性+存在零点=唯一零点
3、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法:根据题目要求画出函数的图象,标明函数极(最)值的位置,借助数形结合的思想
分析问题(画草图时注意有时候需使用极限).
(2)利用函数零点存在定理:先用该定理判定函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函
数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.
4、利用函数的零点求参数范围的方法
⑴分离参数(。=g(x)诟,将原问题转化为J=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a
与V=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解;
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解;
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.
二、典型题型
题型一:判断(讨论)零点(根)个数问题
1.(2024・广东梅州・二模)已知函数/(x)=e*,g(x)=x2+1,〃(x)=asinx+1(a>0).
(1)证明:当时,f(x)>g(x);
(2)讨论函数万(尤)=在(0,兀)上的零点个数.
【答案】⑴证明见解析
(2)当。W1时,尸(x)在。兀)上没有零点:当。>1时,尸(x)在。兀)上有且仅有1个零点.
【分析】(1)结合已知不等式构造函数G(x)=/(x)-g(x)=e'-/-l,对其求导,结合导数与
单调性关系即可证明;
(2)对尸(x)求导,结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对。的范围进行分类讨论即
可求解.
【详解】(1)证明,☆G(x)=/(x)-g(x)=et-£-l,
贝ljG(x)=e*-2x,
记p(x)=ex-2x,则p'(x)=ex-2,
当xe(0,ln2)时,pr(x)<0,当xe(ln2,+co)时,p'(x)>0,
所以p(x)在xe(0,ln2)上单调递减:在xe(ln2,+8)上单调递增,
从而在(0,+co)上,G'(x)=p(x)>p(ln2)=2-21n2>0,
所以G(x)在(0,+W上单调递增,
因此在(0,+◎上,G(x)>G(0)=0,即此x)>g(x);
(2)户(%)=f(x)—h(x)=—tzsinx—1,Fr(x)=ex-acosx,
0<tz<1,在(0,兀)上,=ex-tzcosx>1-tz>0,
所以,/(X)在(0,兀)上递增,尸(%)>尸(0)=0,即函数/(X)在(0,兀)上无零点;
a>1,记q(x)=F(x)=eX-“cosx,
则q\x)=ex+asinx>0,9a)在(0,兀)上递增,
而夕(0)=1-/<o应百=e?>0,
7T
故存在Xoe(0,-),使q(x0)=0,
.•.当0<X</时,尸(无)递减,Xo<X<7!时,&x)递增,尸。焉=尸(%),
而F(%)<g(0)=0,尸(7t)=e"-l>0,
尸(x)在(O,xo)上无零点,在(%,兀)上有唯一零点,
综上,当。W1时,尸(幻在(0,兀)上没有零点:
当。>1时,/(x)在(0,兀)上有且仅有1个零点.
【点睛】方法点睛:利用导数证明或判定不等式问题:
1.通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性与极值(最值),从而得出不等关系;
2.利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题,从而判定不等关系;
3.适当放缩构造法:根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论,从而判定不等关系;
4.构造"形似"函数,变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
2.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(》)=恁,稣+》-85%/'(外为/(》)的导函数,
r(o)=2.
⑴求。的值;
(2)求/'(X)在(0,兀)上的零点个数.
【答案】(1)1
(2)1
【分析】(1)求导,利用八0)=2可解;
(2)设ga)=/i),利用导数研究函数单调性,结合零点存在定理可确定零点个数.
【详解】(1)由f(x)=aexsinx+x-cosx,
贝Ijf'(x)-aexsinx+ae'cosx+1+sinx=aex(sinx+cosx)+1+sinx,
又/'(0)=2,所以a+l=2,即。=1;
(2)由(1)可知/<x)=e*(sinx+cosx)+l+sinx,
设g(x)=/'(尤)=e*(sin尤+cosx)+1+sinx,
贝!Jg'(x)=e*(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)+cosx=cosx(2e*+1),
则当时,g'(x)>0,则g(x)单调递增,
当时,g'(x)<0,则g(x)单调递减,
2
所以当xe(O,无)时,g(x)max=g(|-)=e+2>0,
又g(0)=/'(0)=2>0,g(7i)=1-e71<0,
所以g(x)在上无零点,在1会”上有一个零点;
从而/‘(X)在(0,兀)上有1个零点.
【点睛】方法点睛:处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有:
(1)分段处理:结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号;
(2)高阶导数的应用:讨论端点(特殊点)与单调性的关系,注意高阶导数的应用,能清
楚判断所讨论区间的单调性是关键;
(3)关注三角函数的有界性与常用不等式放缩.
3.(23-24高二下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/(x)=(zx-eM,(aeR).
⑴讨论)(x)的单调性;
(2)讨论“X)的零点个数.
【答案】⑴答案见解析;
(2)答案见解析.
【分析】(1)含参数的单调性讨论问题,先求导,再分和。>0导函数的正负来求原
函数的单调性即可;
(2)零点问题即方程根个数问题,首先讨论特殊情况即当尤=0时根的情况;再讨论当尤W0
时,构造函数g(x),求导后分x<0、0<x<l、x>l时讨论g(x)的单调性和极值情况,然
后函数夕=。与函数g⑴图像交点的情况即可得到结果.
【详解】(1)■.-f(x)=ax-ex+1,:.f\x)=a-e+i
分当aV0时,/''(x)<0恒成立,在R上单调递减.
当〃>0时,令得x<ln〃一l;令/'(x)<0,得lna-1
二.—(%)在(-8,Ina-1)上单调递增,在(ina-1,+8)上单调递减.
综上所述:当aWO时,/(%)在R上单调递减;
当〃>0时,/'(%)在(-°°,111。-1)上单调递增,在(ina-1,+8)上单调递减.
(2)令QX—=0,
当x=0时,方程不成立,,0不是/(%)的零点,
pX+lpX+1pX+1X+1^+lA
当xwO时,a=—,令g(x)=J,则g,(x)=e…=e4I)
XXXX
当x<0时,gr(x)<0,g(%)在(-8,0)上单调递减,且g(x)<0.
当0<x<l时,g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减,,g(x)>g⑴,
,■1g(1)=e2,\g(x)〉e2,
当x>l时,g'(x)>0,g(x)在(l,+oo)上单调递增,
.1g(x)>g⑴即'g(尤”e?,
x+1
.,.当a>e?时,直线y=。与函数g(x)=(有两个交点,函数〃x)="-产】有两个零点,
X+1
当a=e2时,直线与函数g(x)=(有一个交点,函数/(无)有一个零点,
X+1
当OVave?时,直线N=a与函数g(x)=±J没有交点,函数/@)="-砂包没有零点,
X+1
二当a<0时,直线>与函数g(x)=3j有一个交点,函数/'(x)=^-e加有一个零点
综上所述,当ae(e2,+”)时,函数/(无)="-6川有两个零点;
当卜¥,0)u{e"时,函数/3="-对有一个零点;
当。力。©)时,函数/⑴:办-浮没有零点.
4.(23-24高二下•山东淄博•阶段练习)已知函数/(x)=ax+=,g(x)=4-
ee
⑴讨论〃x)的单调性;
(2)若a=l,试判断函数y二八力与了二各⑺的图象的交点个数,并说明理由.
【答案】⑴答案见解析
(2)无交点,理由见解析
【分析】(1)求导可得/'(x)=W^,分类讨论当aWO、a>0时函数/(x)对应的单调性
即可求解;
(2)由/'(x)=g(x)得4-x+l=0,令〃z(x)=xe*-x+l,利用二次导数讨论函数,"(x)的
性质可得加(x)2%⑼=1,即可下结论.
【详解】(1)函数/(x)=ax+J的定义域为R,且/(x)=a-:=日二,
当aW0时/'(x)<0恒成立,所以在R上单调递减,
当a>0时,令/(x)=0,解得x=-lna,
所以当x<-In”时/'(x)<0,当x>-Ina时/欧x)>0,
所以〃x)的单调递减区间为(…,-Ina),单调递增区间为(-历见内),
综上可得:当a《0时/(x)在R上单调递减;
当a>0时〃x)的单调递减区间为(-刃,-Ina),单调递增区间为(-Ina,+s).
(2)a=\,则■—-,令/(x)=g(x),即xe"—x+l=0,
令〃z(x)=xe*-x+1,则加'(x)=(x+l)e*-1,
令"(x)="(x)=(x+l)e*-1,则"(x)=(x+2)e”,
所以当xe(-ao,-2)时〃(x)<0,则〃(x)单调递减,且〃(x)<0,
当xe(-2,+co)时"(x)>0,则”(x)单调递增,
X«(-2)=-e2-1<0,«(0)=0,故当x<0时<0,
所以当xe(-oo,0)时〃(x)<0,则加(x)单调递减,
当xe(0,+8)时m(x)>0,则m(x)单调递增,
所以加(x)N加(0)=1,所以方程xe*-x+1=0无实根,
所以函数了=/(x)与y=g(尤)的图象无交点.
5.(23-24高二下•山东荷泽•阶段练习)给定函数.f(x)=(x+3)e,
⑴求/(x)的极值;
(2)讨论/卜)=机(〃2€2解的个数.
【答案】⑴极小值为-片4,无极大值.
(2)答案见解析
【分析】(1)对原函数求导数,并根据导数的符号判断函数在对应区间内的单调性,从而
求得极值;
(2)根据(1)中的单调性与极值讨论函数y=/(x)的图像与水平线>="的图象交点个数
即可.
【详解】(1)V/(x)=(x+3)ex
/'(x)=(x+3)'e1+(尤+3)6)'=(x+4)e*,
令/'(x)=(x+4)铲>0得x>-4,
令八乃=(》+4)铲<0得xV—4,
/.函数〃x)在区间(-巴-4)上单调递减,在(-4,+8)上单调递增,
当x=-4时,〃x)取得极小值为〃-4)=-尸,无极大值.
(2)由(1)知函数/(x)在区间(-*-4)上单调递减,且当x<-3时,/(x)=(x+3)ex<0;
当x=-4时,〃x)取得极小值为4)=-4,
e
从而得知,当x<-3时,/*)图象恒在x轴下方,
且当Xf-8时,/(x)-O,即以无轴为渐近线,
二当机=-■^时,方程有一个解;
e
当加上0时,方程有一个解;当机<-1时,方程有0个解;
e
当-[■<加<0时,两图象有两个交点,方程有两根.
e
综上,当初=-■^或加20时,方程有一个解;
e
当-[<冽<0时,方程有两个解,当加<-」时,方程解的个数为0.
ee
题型二:证明唯一零点问题
1.(2024■浙江杭州•二模)已知函数/(X)=aln(x+2)-ReR).
⑴讨论函数/(x)的单调性;
⑵若函数/(X)有两个极值点,
(1)求实数。的取值范围;
(ii)证明:函数/(x)有且只有一个零点.
【答案】⑴答案见解析;
(2)(i)-l<(z<0;(ii)证明见解析
【分析】(1)求出函数的导函数,再分aV-1、-1<。<0、三种情况,分别求出函数
的单调区间;
(2)(i)由(1)直接解得;(ii)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.
【详解】(1)函数73=。山卜+2)-321€刈的定义域为(_2,+8),
且/。)=后一丫=—(X+1)+〃+1
x+2
当。4一1时,当(X)40恒成立,所以/(无)在(-2,+8)单调递减;
当一1<。<0时,令/'(%)=0,即一(1+1『+〃+1=0,解得X]=-力+1-1,x2=y/a+l-1,
因为一1<。<0,所以+则—2<—J〃+l—1<—1,
所以当无£卜2,-JQ+1-1)时yr(x)<o,
当x£+1,y/a+1-1)时/,(%)>0,
当x£(Ja+1-l,+oo)时/'(x)<0,
所以/(%)在1-2,-Ja+1-1)上单调递减,在(7a+1-17a+1-1)上单调递增,
在(Ja+1—1,+00)上单调递减;
当时,此时_6工1_1<_2,
所以)£92,JQ+1-1)时f^x)>0,当xE(Jr+1-l,+oo)时/z(x)<0,
所以/(%)在卜2,1)上单调递增,在(J4+1-1,+8)上单调递减.
综上可得:当时〃x)在(-2,供)单调递减;
当-1<。<0时〃力在卜2,-V^I-l)上单调递减,
在卜Ja+1-l,Ja+l-1)上单调递增,在L+00)上单调递减;
当时〃x)在卜2,后互-1)上单调递增,在上单调递减.
(2)(i)由(1)可知一1<。<0.
(ii)由(1)在1-2,-Ja+1-1)上单调递减,
在Va+\—1,y/a+1—1)上单调递增,在(J〃+1-l,+oo)上单调递减,
所以/(X)在工=而[-1处取得极大值,在X=-而1-1处取得极小值,
又-1<。<0,所以0<。+1<1,则1<Ja+1+1<2,
又/(x)极大值=/(力+1T)=aln(Ja+lJa+1T)<0,
X/(-V^+T-i)</(V^+T-i)<o,
所以/(X)在卜而I-1,+8)上没有零点,
444
又-l<a<0,贝年则o<e"e"-2<e'2<「一2,
/4、2
贝|」0<e;-2<4,
\7
/4\.(4丫____
所以/ea-2=4——ea-2>0,所以/(%)在卜2,-V^1T-1)上存在一个零点,
I)21)
综上可得函数/(%)有且只有一个零点.
2.(23-24高二下•江苏常州•阶段练习)已知函数/(尤)=+sinx+1在区间内恰有一
个极值点,其中aeR,e为自然对数的底数.
(1)求实数。的取值范围;
(2)证明:〃x)在区间内有唯一零点.
【答案】⑴(TO)
(2)证明见解析
【分析】(1)求导得了'(X),分a20和a<0讨论/'(x)的单调性,并保证在(0,,内有唯一
零点4即可;
(2)利用导数确定/(x)在区间[。,g)上的单调性,根据零点存在性定理证明即可.
【详解】⑴由题意可得/'(x)=qe*+COST,当xjo,?时,cosxe(0,l),
①当时,/'(外>0,〃》)在(0,?上单调递增,没有极值点,不合题意;
②当a<0时,令g(x)=/'(x),则在上g'(x)=ae、-sinx<0,
所以/'(无)在(ogj上单调递减,
因为/”(O)=a+lj[;[=a』<0,且〃x)连续不间断,
所以/''⑼=0+1>0,解得.>-1,
由零点存在定理,此时/'(尤)在。,野内有唯一零点七,
所以当xe(O,xJ时,#(x)〉0;当xe.l时,/,(x)<0,
所以71”在(o,g内有唯一极大值点毛,符合题意,
综上,实数。的取值范围为
兀371)
(2)由(1)知一1<。<0,当xw5'万J时,V=前"<0j=cosxW0,
所以在号曰上了。)=温+/<0,〃x)在]:上单调递减,
所以当xe(O,xJ时,〃x)单调递增,当时,/(尤)单调递减,
又因为/(再)>/(。)=。+1>0,所以在(。,再)内无零点,
当寸,因为〃演)>0,R〃x)连续不间断,
所以由零点存在定理,/(切在(占,芸J内有唯一零点,即/(X)在[0,EJ内有唯一零点.
3.(2024高三上•全国•专题练习)已知a>0,函数/(x)=xe*-a,g(x)=xlnx-a.证明:
函数/(x),g(x)都恰有一个零点.
【答案】证明见解析
【分析】先求导确定函数单调性,然后利用零点存在定理来证明即可.
【详解】证明:函数/(司=犹,-。的定义域为R,r(x)=(x+l)e\
Qx<-1时,/((x)<0,尤>-1时,f^[x)>0,
\/(x)在(-叫-1)上单调递减,/(x)在(-1,+8)上单调递减增,
Qx<0时,/(X)<0,/(0)=-a<0,/(a)=ae"—a=a(e"—1)>0,
函数/(x)恰有一个零点.
函数g(x)=xlnx-a的定义域为(0,+e),g'(x)=lnx+l,
11
—时,g"(x)<0,x〉一时,g'(x)>0,
ee
;.g(x)在。:上单调递减,g(x)在、,+s]上单调递增,
;X<1时,g(x)<0,g⑴=-ci<0,
令b>tnax{a,e}(max{私〃}表示力,"中最大的数),g(Z,)=Z>lnZ?-a>a(lna-l)>0,
•••函数g(x)恰有一个零点.
4.(23-24高三上•黑龙江•阶段练习)已知函数/(x)=x+lnx,g(x)=e*lnx+a,且函数
的零点是函数g(x)的零点.
⑴求实数。的值;
(2)证明:y=g(x)有唯一零点.
【答案】(1)1
(2)证明见详解
【分析】⑴易判断“X)单调递增,令/(%)=%+111%=0,即可得x4=l,令g(x0)=0
即可求。;
(2)由导数判断g(x)单调递增,g(无。)=0即可得证.
【详解】(1)由〃x)=x+lnx易判断了⑺在(0,+8)单调递增,
1|=l+ln-=--l<0,/(l)=l+lnl=l>0,
leyeee
所以可令/(Xo)=无o+lnx。=0,
x
得X。=-lnx0,所以X。+lnx()=lnkoe'°)=0=>xoe°=1,
x
由题意g(x0)=O,即e*InJC0+a=~e°x0+a--\+a-Q,
所以a=1;
(2)g(x)=evlnx+l,则g<x)=e[lnx+J,
令p(x)=lnx+L贝!
XXX'x~
所以当xe(O,l)时,p(x)<0,P(x)单调递减,当xe(l,+8)时,p(x)>0,p(x)单调递
增,所以。(x)2p⑴=l>0,
所以8'卜)=炉(111》+1]>0,
结合(1)可得存在唯一/使得8伉)=0,即函数了=g(x)有唯一零点.
【点睛】关键点点睛:解决本题(1)的关键是通过同构得出无。产=1;(2)的关键是二次
求导确定函数的单调性.
题型三:根据零点(根)的个数求参数
1.(23-24高二下•广东广州•期中)已知函数/(无)=ae2,+(a-2)ex-x.
(1)。=0时,证明:x>0时,/(%)<0;
(2)讨论/⑴的单调性;
⑶若/(x)有两个零点,求。的取值范围.
【答案】⑴证明见解析
(2)答案见解析
⑶(。,1)
【分析】(1)直接由指数函数与一次函数的单调性证明即可;
(2)先求导函数,分类讨论求单调性即可;
(3)结合(2)的结论先得。>0,再利用其最小值小于零结合〃(。)=山。-:+1的单调性计
算得a根据零点存在性定理验证即可.
【详解】(1)由。=0知/'(x)=-2e*-x,易知其R上单调递减,
所以x>0时,有/(x)</(0)=-2<0,得证;
(2)易知/'(无)=2ae"+(“-2)e*-1=(ae*-l)(2e*+1),
显然aWO时,r(x)<0,此时函数/(无)在R上单调递减;
若a>0,则尤>-ln”时,x<-lna时,/'(x)<0,
即/"(X)在(-8,-Ina)上单调递减,在(-Ina,+s)上单调递增;
综上:aWO时,/(x)在R上单调递减;a>0时,/(x)在(-s,-lna)上单调递减,
在(-Ina,+8)上单调递增;
(3)由上可知aVO时,在R上单调递减,不存在两个零点,
所以a>0,即/(x)>/(-Ina)=—+(a-l)--+Ina=Ina--+1,
令〃(a)=In«--+1
要满足题意需〃(。)<0,
易知/z(a)=lna-L+l在(0,+e)上单调递增,且力⑴=0
所以ae(O,l),
1mi/、(e+Da+e?—2e(e+l)x0+e2—2e
取x=—l,则/(—=—J------——l--------------->0,
ee
取x=ln3,则dln3]=2+3_2_ln3=3+3_ln3,
a\a)aaaaa
Y—1
令g(x)=x+3-lnx(x>0)=>g'(x)=------,
则x>l时,g'(x)>0,0<x<l时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+")上单调递增,即g(x)2g⑴=4>0,
即jln£|>0,
则〃x)在(-1,-lna)及1_lna,ln£|上分别有两个零点,显然符合题意,
故。€(0,1).
2.(2024•宁夏固原♦一模)已知函数/(%)="(111X+1)+1((7>0).
⑴求/(x)的最小值;
(2)若/(x)有两个零点,求。的取值范围.
【答案】(1)1-ae~2
(2)(e2,+a?)
【分析】⑴首先求解所给函数的导函数,然后利用导数研究函数的单调性即可求出最小值;
(2)结合(1)可知,只需%m<0求解计算即可得出结果.
【详解】(1)(x)=G(1WC+1)+ax•—=a(lnx+2)(a>0),
当/'(x)>0时,即lnx+2>0,贝lx〉厂,
当/''(x)<0时,即lnx+2<0,贝iJo<x<e-2,
即当0<x<e-°时,r(x)<0,函数单调递减,当时,/''aAOja)为增,
/(x)在x=e一2处取最小值,.../(e-)=l-«e2.
-2-2
(2)由(1)可知,7mi„=/(e)=l-ae,
由f(x)有两个零点,
工—>0时,f(x)=d!x(lnx+l)+l—>1,X->+8时,f(x)=6zx(lnx+l)+l->+(x),
所以,1-ae~2<0,即前-2>1,解得:a>Q2•
•••。的取值范围为份,+6).
3.(23-24高二下•广东佛山•期中)已知函数/(%)=111》-办(。€1<).
⑴当,=/(X)的图象与X轴相切时,求实数。的值;
⑵若关于X的方程/(X)=X有两个不同的实数根,求。的取值范围.
【答案】⑴
e
【分析】(1)由题意设切点为(%,0),再根据导数的几何意义列出方程组,即可得解;
(2)关于x的方程/口)=%有两个不同的实数根,即方程“+1=胆有两个不同的实数根,
即函数了=。+1,了=住的图象有两个不同的交点,构造函数g(x)=皿,利用导数求出其
单调区间及极值,作出大致图象,结合图象即可得解.
【详解】(1)由题意设切点为伍,0),
,(x)=:一0,
/'(x())=---a=0a=—
则,xo,解得<e,
/(x0)=tax0-ax0=0[x()=e
所以a=L
(2)函数/(无)的定义域为(0,+8),
关于x的方程/(》)=%有两个不同的实数根,
即方程。+1=」InX有两个不同的实数根,
X
InV
即函数>=。+1/=吧的图象有两个不同的交点,
X
令g(x)=F,则g,3=l”x,
当0<x<e时,g'(x)>0,当x>e时,g,(x)<0,
所以函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+“)上单调递减,
所以g(xL<=g(e)=1
又当x->0时,当Xf+8时,g(x)>0且g(x)f0,
作出函数g(x)的大致图象,如图所示,
所以4e
1y
4.(23-24高二下•浙江•期中)已知函数/(x)=mx2-x+aln宙,aeR,e为自然对数的
底数.
⑴讨论函数〃x)的单调性;
(2)判断函数/(X)能否有3个零点?若能,试求出。的取值范围;若不能,请说明理由.
【答案】⑴答案见解析
(2)不能有3个零点,利用见解析
【分析】(1)求导得(卜)=也乎⑴,即可根据。的分类,确定/'(x)的正负,即可
求解单调性,
(2)根据函数的单调性可得必有或。>1,结合函数的极值,即可求解.
【详解】(1)由=-x+67ln-~-x+alnx-ci(%-1)
所以f'(^x)=x-l+—-a=―—丛^——(x>6),
当。40时,x-a>Q,令/'(x)>0,贝心>1,此时/(x)单调递增,
令/。)<0,则0<x<l,此时/(x)单调递减,
当0<a<l时,令/''(x)>0,贝l]x>l或0<x<a,此时/'(x)单调递增,
令/'(x)<0,则”<x<l,此时〃x)单调递减,
当。>1时,令/则x>a或此时/(无)单调递增,
令/'(x)<0,贝!]l<x<”,此时/'(x)单调递减,
当。=1时,令/'(x"0恒成立,此时/(X)在x>0单调递增,
综上可得:当aWO时,/(X)在(L+8)单调递增,在(0,1)单调递减,
当0<°<1时,/(x)在(1,+8),(0,。)单调递增,在(。,1)单调递减,
当0=1时,“X)在(0,+8)单调递增,
当0>1时,/(x)在(。,+8),(0,1)单调递增,在(1,a)单调递减,
(2)若/'(x)有3个零点,则由(1)知必有0<a<l或"1,
若0<a<l,则/(x)在x=。处取极大值,在x=l处取极小值,
f(1)=——(a)=—ci~—ci+a(lna—a+1)=——<7^+aInu,
令g(a)=-^a2+alna(0<a<1),贝!]g'(a)=—a+lna+1,
令/!(々)=8'(°)=_°+111々+1,贝!]/?'(<7)=_[+!=^-->0,
aa
故g'(a)在(0,1)单调递增,g'(a)<g'⑴=0,故g(a)在(0,1)单调递减,
当a.0时,g(a)->0,故g⑷<0,
因此/'(a)<0在0<。<1上恒成立,故/(x)不可能有3个零点,
若。>1,则/(X)在x=a处取极小值,在x=l处取极大值,
且〃1)=-;<0,故“X)不可能有3个零点,
综上可得了(“不可能有3个零点,
【点睛】方法点睛:对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略:
1,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;
2、利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时,一般涉及分离参数法,但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况,进行求解,若参变分离不易求解问题,就
要考虑利用分类讨论法和放缩法,注意恒成立与存在性问题的区别.
5.(23-24高二下・天津•阶段练习)若函数/(力=尔-加+4,当尤=2时,函数/(x)有极
值丁
⑴求曲线V=/(力在点(1J。))处的切线方程;
⑵若方程/(x)=上有3个不同的根,求实数k的取值范围.
【答案】(吟+3>-10=0
,、4728
(2)--<^<y
1
【分析】(1)对「(X)求导后,由已知列方程组,求出3,再由导数的意义得到切线的
6=4
斜率和点(1,/。))代入曲线方程,得到/(I),最后由点斜式得到直线方程;
(2)先求出了=/(无)的单调区间和极值,画出函数图象,数形结合求出实数左的取值范围.
【详解】(1)(无)=3办2_°,
f\2)=12a-b=0
由题意得1。/4,
/(2)=8"26+4=_§
'_j_
解得<3,
6二4
所以=一4%+4,/r(x)=x2-4,
所以/''(1)=一3,/(1)=1,
所以曲线>=/卜)在点(1J。))处的切线方程为〉=-3卜-1),
即9x+3y—10=0.
(2)由(1)得/1X)=(x+2)(x—2),
令/<x)=0,解得%=2或—2,
所以
X-2(々2)2(2,+8)
/'(X)+0-0+
28_4
/(X)
递增T递减-3递增
OQ4
所以,当》=-2时,/(x)有极大值手;当x=2时,/(x)有极小值-1,
所以〃x)=$3-4x+4得图像大致如下:
丹
28,
ZTV一丁
'0_
!4二
_X
-23
若/(X)“有3个不同的根,则直线y=后与函数〃X)的图像有3个交点,
,4,28
所CCI以1一一〈太<一.
33
6.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)已知函数f(x)=(x-l)e=ax2,eR
⑴当a=1时,求〃x)的单调区间;
(2)若方程/(无)+。=0有三个不同的实根,求。的取值范围.
【答案】⑴"X)单调递增区间为和(1,+8),单调递减区间为(。,1)
⑵闯。与
【分析】(])求出函数的导函数,再解关于导函数的不等式即可求出单调区间;
(2)由/(x)+a=(x-l)[e*-a(x+l)],可得x=l为/'(x)+a=0的一个根,
所以e,-a(x+l)=0有两个不同于1的实根,令g(x)=e,-a(x+l),利用导数说明函数的单
调性,从而得到当a
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