高考数学二轮复习专练：利用导函数研究函数零点问题（原卷版+解析版）

利用导函数研究函数零点问题

(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍.............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：判断(讨论)零点(根)个数问题................2

题型二：证明唯一零点问题..............................4

题型三：根据零点(根)的个数求参数....................5

三、专项训练.............................................7

一、必备秘籍

1、函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=/(x),把使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的

零点.

(2)三个等价关系

方程/(%)=0有实数根=函数;v=/(x)的图象与x轴有交点的横坐标o函数了=/(x)

有零点.

2、函数零点的判定

如果函数y=/(x)在区间［凡口上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

/(a)-/(6)<0,那么函数y=/(x)在区间(a,Z?)内有零点，即存在ce(a,b),使得

/(c)=0,这个c也就是/(x)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.

注意：单调性+存在零点=唯一零点

3、利用导数确定函数零点的常用方法

(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想

分析问题(画草图时注意有时候需使用极限).

(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函

数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

4、利用函数的零点求参数范围的方法

⑴分离参数(。=g(x)诟，将原问题转化为J=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a

与V=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；

(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.

二、典型题型

题型一：判断(讨论)零点(根)个数问题

1.(2024・广东梅州•二模)已知函数/(x)=e*,g(x)=x2+1,〃(x)=asinx+1(a>0).

(1)证明：当时，f(x)>g(x)；

(2)讨论函数万(尤)=在(0,兀)上的零点个数.

2.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/。)=展)诒龙+》-3苞/3为/(刈的导函数,

A0)=2.

⑴求。的值；

(2)求/'(x)在(0,兀)上的零点个数.

3.(23-24高二下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/=(oeR).

⑴讨论y(x)的单调性;

(2)讨论了(X)的零点个数.

1y

4.(23-24高二下•山东淄博•阶段练习)已知函数〃x)=ax+=，g(x)=4.

ee

⑴讨论y(x)的单调性;

(2)若a=l,试判断函数)，=/(无)与J，=g(x)的图象的交点个数，并说明理由.

5.(23-24高二下•山东荷泽•阶段练习)给定函数./(x)=(x+3)e''

⑴求/(x)的极值;

(2)讨论/(力=机(〃2€11)解的个数.

题型二：证明唯一零点问题

1.(2024•浙江杭州•二模)已知函数/(x)=aln(x+2)-eR).

(1)讨论函数/(无)的单调性；

(2)若函数/(x)有两个极值点，

(i)求实数。的取值范围；

(ii)证明：函数/(x)有且只有一个零点.

2.(23-24高二下•江苏常州•阶段练习)已知函数〃无)=ae，+sinx+l在区间内恰有一

个极值点，其中aeR,e为自然对数的底数.

⑴求实数。的取值范围；

(2)证明：/(x)在区间内有唯一零点.

3.(2024高三上,全国•专题练习)已知a>0,函数/(x)=xe*-a,g(x)=xhix-a.证明:

函数/(x),g(尤)都恰有一个零点.

4.(23-24高三上•黑龙江•阶段练习)已知函数/(x)=x+lnx,g(x)=e*lnx+a,且函数〃x)

的零点是函数g(x)的零点.

⑴求实数。的值；

(2)证明:y=g(x)有唯一零点.

题型三：根据零点(根)的个数求参数

1.(23-24高二下•广东广州•期中)已知函数/(无)=ae2，+(a-2)eX-x.

(l)a=0时，证明：x>0时，f(x)<0；

(2)讨论/(x)的单调性；

⑶若/(X)有两个零点，求。的取值范围.

2.(2024•宁夏固原•一模)已知函数/口)=以(瓜丫+1)+1(4>0).

⑴求/(x)的最小值;

(2)若有两个零点，求。的取值范围.

3.(23-24高二下•广东佛山•期中)已知函数/(同=111工-0%(0€1<).

(1)当了=/(》)的图象与x轴相切时，求实数。的值；

(2)若关于X的方程/@)=》有两个不同的实数根，求。的取值范围.

1y

4.(23-24高二下•浙江•期中)已知函数/")=彳/7+如一，“eR,e为自然对数的

2e

底数.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

⑵判断函数/(x)能否有3个零点？若能，试求出。的取值范围；若不能，请说明理由.

5.(23-24高二下•天津,阶段练习)若函数/(x)="3一法+4,当x=2时，函数/(x)有极

值T

⑴求曲线〉=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

⑵若方程/(x)=左有3个不同的根，求实数上的取值范围.

6.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/■(x)=(x-l)e*-办2,aeR

⑴当a=］时，求/(x)的单调区间；

(2)若方程/(x)+a=0有三个不同的实根，求。的取值范围.

三、专项训练

1.(2024•全国•模拟预测)设函数/(x)=-%2+ax+liu(awR).

⑴若4=1,求函数/(%)的单调区间；

⑵设函数/(X)在r,e］上有两个零点，求实数。的取值范围.(其中e是自然对数的底数)

2.(2024•全国•模拟预测)已知函数-,且曲线y=/(x)在点(0,/(初处

的切线方程为y=-2x+6.

(1)求实数。，6的值；

(2)证明:函数/(x)有两个零点.

3.(2024•福建•模拟预测)已知函数〃x)=alnx-在处的切线在了轴上的截距为

-2.

(1)求。的值；

(2)若/(x)有且仅有两个零点，求6的取值范围.

4.(2324高二下•北京顺义•阶段练习)已知函数/(x)=lnx-e',曲线y=/(x)在点(1J⑴)

处切线斜率为l-e

(1)求。的值；

(2)求证：/(x)有且只有一个极值点；

⑶求证：方程xlnx=e"+x无解.

5.(2024・辽宁・二模)已知函数/(6=卜2-3工+1卜1

⑴求曲线V=/(x)的平行于x轴的切线的切点横坐标;

(2)证明曲线j，=/(x)与x轴恰有两个交点.

6.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=xlnx+办(aeR).

⑴求函数〃x)的单调区间；

(2)当。=-1时，方程〃X)=加有两个解，求参数〃2的取值范围.

7.(23-24高二下•浙江•期中)设/(X)=1X3-X2-8X-1.

(1)求函数/(x)的单调递减区间；

(2)若方程/(x)=。(。eR)有3个不同的实根，求。的取值范围.

8.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(x)=e'-x2+a,xeR,(p{x)=f[x}+x--x.

(1)若9(x)的最小值为0,求。的值;

(2)当a<0.25时,证明：方程/(x)=2x在(0,+8)上有解.

9.(23-24高二下•河北张家口•阶段练习)已知函数/(x)=gax3-4x+4(aeR)在工=一2处

取得极值.

⑴确定。的值并求的单调区间；

(2)若关于x的方程/'(x)=b至多有两个根，求实数b的取值范围.

10.(23-24高二下•山东•阶段练习)已知函数/1)=(2”一1育.

x-1

⑴求函数/(X)的单调区间与极值；

(2)关于x的方程(2x-l)e'=a(x-l)有两个不同的实数解，求实数a的取值范围.

利用导函数研究函数零点问题

(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍.............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：判断(讨论)零点(根)个数问题................2

题型二：证明唯一零点问题..............................4

题型三：根据零点(根)的个数求参数....................5

三、专项训练.............................................7

一、必备秘籍

1、函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=/(x),把使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的

零点.

(2)三个等价关系

方程/(%)=0有实数根=函数;v=/(x)的图象与x轴有交点的横坐标o函数了=/(x)

有零点.

2、函数零点的判定

如果函数y=/(x)在区间［凡口上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

/(a)-/(6)<0,那么函数y=/(x)在区间(a,Z?)内有零点，即存在ce(a,b),使得

/(c)=0,这个c也就是/(x)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.

注意：单调性+存在零点=唯一零点

3、利用导数确定函数零点的常用方法

(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想

分析问题(画草图时注意有时候需使用极限).

(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函

数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

4、利用函数的零点求参数范围的方法

⑴分离参数(。=g(x)诟，将原问题转化为J=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a

与V=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；

(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.

二、典型题型

题型一：判断(讨论)零点(根)个数问题

1.(2024・广东梅州・二模)已知函数/(x)=e*,g(x)=x2+1,〃(x)=asinx+1(a>0).

(1)证明：当时，f(x)>g(x)；

(2)讨论函数万(尤)=在(0,兀)上的零点个数.

【答案】⑴证明见解析

(2)当。W1时，尸(x)在。兀)上没有零点：当。>1时，尸(x)在。兀)上有且仅有1个零点.

【分析】(1)结合已知不等式构造函数G(x)=/(x)-g(x)=e'-/-l,对其求导，结合导数与

单调性关系即可证明；

(2)对尸(x)求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对。的范围进行分类讨论即

可求解.

【详解】(1)证明,☆G(x)=/(x)-g(x)=et-£-l,

贝ljG(x)=e*-2x,

记p(x)=ex-2x,则p'(x)=ex-2,

当xe(0,ln2)时,pr(x)<0,当xe(ln2,+co)时，p'(x)>0,

所以p(x)在xe(0,ln2)上单调递减：在xe(ln2,+8)上单调递增，

从而在(0,+co)上，G'(x)=p(x)>p(ln2)=2-21n2>0,

所以G(x)在(0,+W上单调递增，

因此在(0,+◎上,G(x)>G(0)=0,即此x)>g(x)；

(2)户(%)=f(x)—h(x)=—tzsinx—1,Fr(x)=ex-acosx,

0<tz<1,在(0,兀)上，=ex-tzcosx>1-tz>0,

所以，/(X)在(0,兀)上递增，尸(%)>尸(0)=0,即函数/(X)在(0,兀)上无零点；

a>1,记q(x)=F(x)=eX-“cosx,

则q\x)=ex+asinx>0,9a)在(0,兀)上递增,

而夕(0)=1-/<o应百=e?>0,

7T

故存在Xoe(0,-),使q(x0)=0,

.•.当0<X</时，尸(无)递减，Xo<X<7!时，&x)递增，尸。焉=尸(%),

而F(%)<g(0)=0,尸(7t)=e"-l>0,

尸(x)在(O,xo)上无零点，在(％,兀)上有唯一零点，

综上，当。W1时,尸(幻在(0,兀)上没有零点:

当。>1时，/(x)在(0,兀)上有且仅有1个零点.

【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：

1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；

2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系;

3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4.构造"形似"函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

2.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(》)=恁，稣+》-85%/'(外为/(》)的导函数，

r(o)=2.

⑴求。的值；

(2)求/'(X)在(0,兀)上的零点个数.

【答案】(1)1

(2)1

【分析】(1)求导,利用八0)=2可解;

(2)设ga)=/i),利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理可确定零点个数.

【详解】(1)由f(x)=aexsinx+x-cosx,

贝Ijf'(x)-aexsinx+ae'cosx+1+sinx=aex(sinx+cosx)+1+sinx,

又/'(0)=2,所以a+l=2,即。=1；

(2)由(1)可知/<x)=e*(sinx+cosx)+l+sinx,

设g(x)=/'(尤)=e*(sin尤+cosx)+1+sinx,

贝!Jg'(x)=e*(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)+cosx=cosx(2e*+1),

则当时，g'(x)>0,则g(x)单调递增，

当时，g'(x)<0,则g(x)单调递减，

2

所以当xe(O,无)时，g(x)max=g(|-)=e+2>0,

又g(0)=/'(0)=2>0,g(7i)=1-e71<0,

所以g(x)在上无零点，在1会”上有一个零点；

从而/‘(X)在(0,兀)上有1个零点.

【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：

(1)分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；

(2)高阶导数的应用：讨论端点(特殊点)与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清

楚判断所讨论区间的单调性是关键；

(3)关注三角函数的有界性与常用不等式放缩.

3.(23-24高二下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/(x)=(zx-eM,(aeR).

⑴讨论)(x)的单调性；

(2)讨论“X)的零点个数.

【答案】⑴答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】(1)含参数的单调性讨论问题，先求导，再分和。>0导函数的正负来求原

函数的单调性即可；

(2)零点问题即方程根个数问题，首先讨论特殊情况即当尤=0时根的情况；再讨论当尤W0

时，构造函数g(x),求导后分x<0、0<x<l、x>l时讨论g(x)的单调性和极值情况，然

后函数夕=。与函数g⑴图像交点的情况即可得到结果.

【详解】(1)■.-f(x)=ax-ex+1,:.f\x)=a-e+i

分当aV0时，/''(x)<0恒成立，在R上单调递减.

当〃>0时，令得x<ln〃一l；令/'(x)<0,得lna-1

二.—(%)在(-8,Ina-1)上单调递增，在(ina-1,+8)上单调递减.

综上所述：当aWO时，/(%)在R上单调递减；

当〃>0时，/'(%)在(-°°,111。-1)上单调递增，在(ina-1,+8)上单调递减.

(2)令QX—=0,

当x=0时，方程不成立，，0不是/(%)的零点，

pX+lpX+1pX+1X+1^+lA

当xwO时，a=—,令g(x)=J,则g，(x)=e…=e4I)

XXXX

当x<0时，gr(x)<0,g(%)在(-8,0)上单调递减,且g(x)<0.

当0<x<l时，g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减，，g(x)>g⑴,

,■1g(1)=e2,\g(x)〉e2,

当x>l时，g'(x)>0,g(x)在(l,+oo)上单调递增，

.1g(x)>g⑴即'g(尤”e?,

x+1

.,.当a>e?时，直线y=。与函数g(x)=(有两个交点，函数〃x)="-产】有两个零点，

X+1

当a=e2时，直线与函数g(x)=(有一个交点，函数/(无)有一个零点，

X+1

当OVave?时，直线N=a与函数g(x)=±J没有交点，函数/@)="-砂包没有零点，

X+1

二当a<0时，直线>与函数g(x)=3j有一个交点，函数/'(x)=^-e加有一个零点

综上所述，当ae(e2,+”)时，函数/(无)="-6川有两个零点；

当卜¥,0)u{e"时，函数/3="-对有一个零点；

当。力。©)时，函数/⑴:办-浮没有零点.

4.(23-24高二下•山东淄博•阶段练习)已知函数/(x)=ax+=，g(x)=4-

ee

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)若a=l,试判断函数y二八力与了二各⑺的图象的交点个数，并说明理由.

【答案】⑴答案见解析

(2)无交点，理由见解析

【分析】(1)求导可得/'(x)=W^,分类讨论当aWO、a>0时函数/(x)对应的单调性

即可求解；

(2)由/'(x)=g(x)得4-x+l=0,令〃z(x)=xe*-x+l,利用二次导数讨论函数，"(x)的

性质可得加(x)2%⑼=1,即可下结论.

【详解】(1)函数/(x)=ax+J的定义域为R,且/(x)=a-：=日二，

当aW0时/'(x)<0恒成立，所以在R上单调递减，

当a>0时，令/(x)=0,解得x=-lna,

所以当x<-In”时/'(x)<0,当x>-Ina时/欧x)>0,

所以〃x)的单调递减区间为(…,-Ina),单调递增区间为(-历见内)，

综上可得：当a《0时/(x)在R上单调递减；

当a>0时〃x)的单调递减区间为(-刃,-Ina),单调递增区间为(-Ina,+s).

(2)a=\,则■—-,令/(x)=g(x),即xe"—x+l=0,

令〃z(x)=xe*-x+1,则加'(x)=(x+l)e*-1,

令"(x)="(x)=(x+l)e*-1,则"(x)=(x+2)e”,

所以当xe(-ao,-2)时〃(x)<0,则〃(x)单调递减,且〃(x)<0,

当xe(-2,+co)时"(x)>0,则”(x)单调递增，

X«(-2)=-e2-1<0,«(0)=0,故当x<0时<0,

所以当xe(-oo,0)时〃(x)<0,则加(x)单调递减,

当xe(0,+8)时m(x)>0,则m(x)单调递增,

所以加(x)N加(0)=1,所以方程xe*-x+1=0无实根，

所以函数了=/(x)与y=g(尤)的图象无交点.

5.(23-24高二下•山东荷泽•阶段练习)给定函数.f(x)=(x+3)e，

⑴求/(x)的极值;

(2)讨论/卜)=机(〃2€2解的个数.

【答案】⑴极小值为-片4,无极大值.

(2)答案见解析

【分析】(1)对原函数求导数，并根据导数的符号判断函数在对应区间内的单调性，从而

求得极值；

(2)根据(1)中的单调性与极值讨论函数y=/(x)的图像与水平线>="的图象交点个数

即可.

【详解】(1)V/(x)=(x+3)ex

/'(x)=(x+3)'e1+(尤+3)6)'=(x+4)e*,

令/'(x)=(x+4)铲>0得x>-4,

令八乃=(》+4)铲<0得xV—4,

/.函数〃x)在区间(-巴-4)上单调递减，在(-4,+8)上单调递增，

当x=-4时，〃x)取得极小值为〃-4)=-尸，无极大值.

(2)由(1)知函数/(x)在区间(-*-4)上单调递减，且当x<-3时,/(x)=(x+3)ex<0；

当x=-4时，〃x)取得极小值为4)=-4，

e

从而得知，当x＜-3时，/*)图象恒在x轴下方,

且当Xf-8时，/(x)-O,即以无轴为渐近线，

二当机=-■^时，方程有一个解；

e

当加上0时，方程有一个解；当机＜-1时，方程有0个解；

e

当-[■＜加＜0时，两图象有两个交点，方程有两根.

e

综上，当初=-■^或加20时，方程有一个解；

e

当-[＜冽＜0时，方程有两个解，当加＜-」时，方程解的个数为0.

ee

题型二：证明唯一零点问题

1.(2024■浙江杭州•二模)已知函数/(X)=aln(x+2)-ReR).

⑴讨论函数/(x)的单调性；

⑵若函数/(X)有两个极值点，

(1)求实数。的取值范围；

(ii)证明：函数/(x)有且只有一个零点.

【答案】⑴答案见解析；

(2)(i)-l＜(z＜0；(ii)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导函数，再分aV-1、-1＜。＜0、三种情况，分别求出函数

的单调区间；

(2)(i)由(1)直接解得；(ii)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.

【详解】(1)函数73=。山卜+2)-321€刈的定义域为(_2,+8),

且/。)=后一丫=—(X+1)+〃+1

x+2

当。4一1时,当(X)40恒成立,所以/(无)在(-2,+8)单调递减;

当一1<。<0时，令/'(%)=0,即一(1+1『+〃+1=0,解得X]=-力+1-1,x2=y/a+l-1,

因为一1<。<0,所以+则—2<—J〃+l—1<—1,

所以当无£卜2,-JQ+1-1)时yr(x)<o,

当x£+1,y/a+1-1)时/，(%)>0,

当x£(Ja+1-l,+oo)时/'(x)<0,

所以/(%)在1-2,-Ja+1-1)上单调递减，在(7a+1-17a+1-1)上单调递增，

在(Ja+1—1,+00)上单调递减；

当时，此时_6工1_1<_2,

所以)£92,JQ+1-1)时f^x)>0,当xE(Jr+1-l,+oo)时/z(x)<0,

所以/(%)在卜2,1)上单调递增，在(J4+1-1,+8)上单调递减.

综上可得：当时〃x)在(-2,供)单调递减；

当-1<。<0时〃力在卜2,-V^I-l)上单调递减，

在卜Ja+1-l,Ja+l-1)上单调递增，在L+00)上单调递减；

当时〃x)在卜2,后互-1)上单调递增，在上单调递减.

(2)(i)由(1)可知一1<。<0.

(ii)由(1)在1-2,-Ja+1-1)上单调递减,

在Va+\—1,y/a+1—1)上单调递增，在(J〃+1-l,+oo)上单调递减，

所以/(X)在工=而［-1处取得极大值，在X=-而1-1处取得极小值，

又-1<。<0,所以0<。+1<1,则1<Ja+1+1<2,

又/(x)极大值=/(力+1T)=aln(Ja+lJa+1T)<0,

X/(-V^+T-i)</(V^+T-i)<o,

所以/(X)在卜而I-1,+8)上没有零点，

444

又-l<a<0,贝年则o<e"e"-2<e'2<「一2，

/4、2

贝|」0<e;-2<4,

\7

/4\.(4丫____

所以/ea-2=4——ea-2>0,所以/(%)在卜2,-V^1T-1)上存在一个零点，

I)21)

综上可得函数/(%)有且只有一个零点.

2.(23-24高二下•江苏常州•阶段练习)已知函数/(尤)=+sinx+1在区间内恰有一

个极值点，其中aeR,e为自然对数的底数.

(1)求实数。的取值范围；

（2）证明：〃x）在区间内有唯一零点.

【答案】⑴（TO）

（2）证明见解析

【分析】（1）求导得了'（X）,分a20和a<0讨论/'（x）的单调性，并保证在（0,，内有唯一

零点4即可；

（2）利用导数确定/（x）在区间［。,g）上的单调性，根据零点存在性定理证明即可.

【详解】⑴由题意可得/'（x）=qe*+COST,当xjo,?时，cosxe（0,l）,

①当时，/'（外>0,〃》）在（0,?上单调递增，没有极值点，不合题意；

②当a<0时，令g（x）=/'（x）,则在上g'（x）=ae、-sinx<0,

所以/'（无）在（ogj上单调递减，

因为/”（O）=a+lj［；［=a』<0,且〃x）连续不间断，

所以/''⑼=0+1>0,解得.>-1,

由零点存在定理，此时/'（尤）在。，野内有唯一零点七，

所以当xe（O,xJ时，#（x）〉0；当xe.l时，/，（x）<0,

所以71”在（o，g内有唯一极大值点毛，符合题意，

综上，实数。的取值范围为

兀371）

（2）由（1）知一1<。<0,当xw5'万J时，V=前"<0j=cosxW0,

所以在号曰上了。）=温+/<0,〃x）在］:上单调递减，

所以当xe（O,xJ时，〃x）单调递增，当时，/（尤）单调递减，

又因为/（再）>/（。）=。+1>0,所以在（。,再）内无零点,

当寸，因为〃演）>0,R〃x）连续不间断，

所以由零点存在定理，/(切在(占,芸J内有唯一零点，即/(X)在［0，EJ内有唯一零点.

3.(2024高三上•全国•专题练习)已知a>0,函数/(x)=xe*-a,g(x)=xlnx-a.证明：

函数/(x),g(x)都恰有一个零点.

【答案】证明见解析

【分析】先求导确定函数单调性，然后利用零点存在定理来证明即可.

【详解】证明：函数/(司=犹，-。的定义域为R,r(x)=(x+l)e\

Qx<-1时，/((x)<0,尤>-1时，f^［x)>0,

\/(x)在(-叫-1)上单调递减，/(x)在(-1,+8)上单调递减增，

Qx<0时，/(X)<0,/(0)=-a<0,/(a)=ae"—a=a(e"—1)>0,

函数/(x)恰有一个零点.

函数g(x)=xlnx-a的定义域为(0,+e),g'(x)=lnx+l,

11

—时，g"(x)<0,x〉一时，g'(x)>0,

ee

;.g(x)在。:上单调递减，g(x)在、,+s］上单调递增，

；X<1时，g(x)<0,g⑴=-ci<0,

令b>tnax{a,e}(max{私〃}表示力,"中最大的数)，g(Z,)=Z>lnZ?-a>a(lna-l)>0,

•••函数g(x)恰有一个零点.

4.(23-24高三上•黑龙江•阶段练习)已知函数/(x)=x+lnx,g(x)=e*lnx+a,且函数

的零点是函数g(x)的零点.

⑴求实数。的值；

(2)证明:y=g(x)有唯一零点.

【答案】(1)1

(2)证明见详解

【分析】⑴易判断“X)单调递增，令/(%)=%+111%=0,即可得x4=l,令g(x0)=0

即可求。；

(2)由导数判断g(x)单调递增，g(无。)=0即可得证.

【详解】(1)由〃x)=x+lnx易判断了⑺在(0,+8)单调递增,

1|=l+ln-=--l<0,/(l)=l+lnl=l>0,

leyeee

所以可令/(Xo)=无o+lnx。=0,

x

得X。=-lnx0,所以X。+lnx()=lnkoe'°)=0=>xoe°=1,

x

由题意g(x0)=O,即e*InJC0+a=~e°x0+a--\+a-Q,

所以a=1；

(2)g(x)=evlnx+l,则g<x)=e[lnx+J,

令p(x)=lnx+L贝!

XXX'x~

所以当xe(O,l)时，p(x)<0,P(x)单调递减，当xe(l,+8)时，p(x)>0,p(x)单调递

增，所以。(x)2p⑴=l>0,

所以8'卜)=炉(111》+1]>0,

结合(1)可得存在唯一/使得8伉)=0,即函数了=g(x)有唯一零点.

【点睛】关键点点睛：解决本题(1)的关键是通过同构得出无。产=1；(2)的关键是二次

求导确定函数的单调性.

题型三：根据零点(根)的个数求参数

1.(23-24高二下•广东广州•期中)已知函数/(无)=ae2，+(a-2)ex-x.

(1)。=0时，证明：x>0时，/(%)<0；

(2)讨论/⑴的单调性；

⑶若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】⑴证明见解析

(2)答案见解析

⑶(。，1)

【分析】(1)直接由指数函数与一次函数的单调性证明即可；

(2)先求导函数，分类讨论求单调性即可；

(3)结合(2)的结论先得。>0,再利用其最小值小于零结合〃(。)=山。-：+1的单调性计

算得a根据零点存在性定理验证即可.

【详解】(1)由。=0知/'(x)=-2e*-x,易知其R上单调递减，

所以x>0时,有/(x)</(0)=-2<0,得证；

(2)易知/'(无)=2ae"+(“-2)e*-1=(ae*-l)(2e*+1),

显然aWO时，r(x)<0,此时函数/(无)在R上单调递减；

若a>0,则尤>-ln”时，x<-lna时，/'(x)<0,

即/"(X)在(-8,-Ina)上单调递减,在(-Ina,+s)上单调递增；

综上：aWO时，/(x)在R上单调递减；a>0时，/(x)在(-s,-lna)上单调递减，

在(-Ina,+8)上单调递增；

(3)由上可知aVO时，在R上单调递减，不存在两个零点，

所以a>0,即/(x)>/(-Ina)=—+(a-l)--+Ina=Ina--+1,

令〃(a)=In«--+1

要满足题意需〃(。)<0,

易知/z(a)=lna-L+l在(0,+e)上单调递增,且力⑴=0

所以ae(O,l),

1mi/、(e+Da+e?—2e(e+l)x0+e2—2e

取x=—l,则/(—=—J------——l--------------->0,

ee

取x=ln3,则dln3]=2+3_2_ln3=3+3_ln3,

a\a)aaaaa

Y—1

令g(x)=x+3-lnx(x>0)=>g'(x)=------,

则x>l时，g'(x)>0,0<x<l时，g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+")上单调递增，即g(x)2g⑴=4>0,

即jln£|>0,

则〃x)在(-1,-lna)及1_lna,ln£|上分别有两个零点，显然符合题意，

故。€(0,1).

2.(2024•宁夏固原♦一模)已知函数/(%)="(111X+1)+1((7>0).

⑴求/(x)的最小值;

(2)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)1-ae~2

(2)(e2,+a?)

【分析】⑴首先求解所给函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性即可求出最小值;

(2)结合(1)可知，只需%m<0求解计算即可得出结果.

【详解】(1)(x)=G(1WC+1)+ax•—=a(lnx+2)(a>0),

当/'(x)>0时，即lnx+2>0,贝lx〉厂,

当/''(x)<0时，即lnx+2<0,贝iJo<x<e-2,

即当0<x<e-°时，r(x)<0,函数单调递减，当时，/''aAOja)为增,

/(x)在x=e一2处取最小值，.../(e-)=l-«e2.

-2-2

(2)由(1)可知，7mi„=/(e)=l-ae，

由f(x)有两个零点，

工—>0时，f(x)=d!x(lnx+l)+l—>1,X->+8时，f(x)=6zx(lnx+l)+l->+(x),

所以，1-ae~2<0,即前-2>1,解得：a>Q2•

•••。的取值范围为份,+6).

3.(23-24高二下•广东佛山•期中)已知函数/(%)=111》-办(。€1<).

⑴当，=/(X)的图象与X轴相切时，求实数。的值；

⑵若关于X的方程/(X)=X有两个不同的实数根，求。的取值范围.

【答案】⑴

e

【分析】(1)由题意设切点为(％,0),再根据导数的几何意义列出方程组，即可得解；

(2)关于x的方程/口)=%有两个不同的实数根，即方程“+1=胆有两个不同的实数根,

即函数了=。+1,了=住的图象有两个不同的交点，构造函数g(x)=皿，利用导数求出其

单调区间及极值，作出大致图象，结合图象即可得解.

【详解】(1)由题意设切点为伍,0),

,(x)=：一0,

/'(x())=---a=0a=—

则，xo,解得＜e,

/(x0)=tax0-ax0=0[x()=e

所以a=L

(2)函数/(无)的定义域为(0,+8),

关于x的方程/(》)=%有两个不同的实数根，

即方程。+1=」InX有两个不同的实数根，

X

InV

即函数>=。+1/=吧的图象有两个不同的交点，

X

令g(x)=F，则g，3=l”x,

当0<x<e时，g'(x)>0,当x>e时，g,(x)<0,

所以函数g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+“)上单调递减，

所以g(xL<=g(e)=1

又当x->0时，当Xf+8时,g(x)>0且g(x)f0,

作出函数g(x)的大致图象，如图所示，

所以4e

1y

4.(23-24高二下•浙江•期中)已知函数/(x)=mx2-x+aln宙，aeR,e为自然对数的

底数.

⑴讨论函数〃x)的单调性;

(2)判断函数/(X)能否有3个零点？若能，试求出。的取值范围；若不能，请说明理由.

【答案】⑴答案见解析

(2)不能有3个零点，利用见解析

【分析】(1)求导得(卜)=也乎⑴，即可根据。的分类，确定/'(x)的正负，即可

求解单调性，

(2)根据函数的单调性可得必有或。>1,结合函数的极值，即可求解.

【详解】(1)由=-x+67ln-~-x+alnx-ci(%-1)

所以f'(^x)=x-l+—-a=―—丛^——(x>6),

当。40时，x-a>Q,令/'(x)>0,贝心>1,此时/(x)单调递增,

令/。)<0,则0<x<l,此时/(x)单调递减,

当0<a<l时，令/''(x)>0,贝l]x>l或0<x<a,此时/'(x)单调递增,

令/'(x)<0,则”<x<l,此时〃x)单调递减，

当。>1时，令/则x>a或此时/(无)单调递增,

令/'(x)<0,贝!]l<x<”，此时/'(x)单调递减，

当。=1时，令/'(x"0恒成立，此时/(X)在x>0单调递增，

综上可得：当aWO时，/(X)在(L+8)单调递增，在(0,1)单调递减,

当0<°<1时,/(x)在(1,+8),(0,。)单调递增,在(。,1)单调递减，

当0=1时，“X)在(0,+8)单调递增，

当0>1时，/(x)在(。,+8),(0,1)单调递增，在(1,a)单调递减，

(2)若/'(x)有3个零点，则由(1)知必有0<a<l或"1,

若0<a<l,则/(x)在x=。处取极大值，在x=l处取极小值，

f(1)=——(a)=—ci~—ci+a(lna—a+1)=——<7^+aInu,

令g(a)=-^a2+alna(0<a<1),贝！]g'(a)=—a+lna+1,

令/!(々)=8'(°)=_°+111々+1,贝!]/?'(<7)=_[+!=^-->0,

aa

故g'(a)在(0,1)单调递增，g'(a)<g'⑴=0,故g(a)在(0,1)单调递减,

当a.0时，g(a)->0,故g⑷<0,

因此/'(a)<0在0<。<1上恒成立，故/(x)不可能有3个零点，

若。>1,则/(X)在x=a处取极小值，在x=l处取极大值，

且〃1)=-；<0,故“X)不可能有3个零点,

综上可得了(“不可能有3个零点，

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1,通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围;

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就

要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

5.(23-24高二下・天津•阶段练习)若函数/(力=尔-加+4,当尤=2时，函数/(x)有极

值丁

⑴求曲线V=/(力在点(1J。))处的切线方程；

⑵若方程/(x)=上有3个不同的根，求实数k的取值范围.

【答案】(吟+3>-10=0

,、4728

(2)--<^<y

1

【分析】(1)对「(X)求导后，由已知列方程组，求出3,再由导数的意义得到切线的

6=4

斜率和点(1,/。))代入曲线方程，得到/(I),最后由点斜式得到直线方程；

(2)先求出了=/(无)的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合求出实数左的取值范围.

【详解】(1)(无)=3办2_°,

f\2)=12a-b=0

由题意得1。/4，

/(2)=8"26+4=_§

'_j_

解得<3,

6二4

所以=一4%+4,/r(x)=x2-4,

所以/''(1)=一3,/(1)=1,

所以曲线>=/卜)在点(1J。))处的切线方程为〉=-3卜-1),

即9x+3y—10=0.

(2)由(1)得/1X)=(x+2)(x—2),

令/<x)=0,解得％=2或—2,

所以

X-2(々2)2(2,+8)

/'(X)+0-0+

28_4

/(X)

递增T递减-3递增

OQ4

所以，当》=-2时，/(x)有极大值手；当x=2时，/(x)有极小值-1,

所以〃x)=$3-4x+4得图像大致如下：

丹

28,

ZTV一丁

'0_

!4二

_X

-23

若/(X)“有3个不同的根，则直线y=后与函数〃X)的图像有3个交点，

,4,28

所CCI以1一一〈太<一.

33

6.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)已知函数f(x)=(x-l)e=ax2,eR

⑴当a=1时，求〃x)的单调区间；

(2)若方程/(无)+。=0有三个不同的实根，求。的取值范围.

【答案】⑴"X)单调递增区间为和(1,+8)，单调递减区间为(。,1)

⑵闯。与

【分析】(])求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式即可求出单调区间；

(2)由/(x)+a=(x-l)[e*-a(x+l)],可得x=l为/'(x)+a=0的一个根，

所以e，-a(x+l)=0有两个不同于1的实根，令g(x)=e，-a(x+l),利用导数说明函数的单

调性，从而得到当a