高考数学专项复习：常用逻辑用语（新高考）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第02讲常用逻辑用语(精讲)

题型目录一览

充分、必要条件的判断

根据充分必要条件求参数的取值范围

全称量词命题与存在量词命题的否定

根据命题的真假求参数的取值范围

、知识点梳理

1.充分条件、必要条件'充要条件

(1)定义

如果命题”若p,则为真(记作夕nq),则p是4的充分条件；同时4是〃的必要条件.

(2)从逻辑推理关系上看

①若pnq且44p,则p是＜7的充分不必要条件；

②若q且qnp,则p是4的必要不充分条件；

③若pnq豆qnp,则〃是q的的充要条件(也说p和4等价)；

④若q且44P，则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：pnq,则p是q的充分条件，同时q是p的

必要条件.所谓“充分”是指只要“成立，4就成立；所谓“必要”是指要使得"成立，必须要q成立(即如果q不

成立，则p肯定不成立).

2.全称量词与存在童词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“X/”表示.

含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有p(x)成立"可用符号简记

为“VxeM,p(x)”，读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”

表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的一个/,使p(x0)成立"可用符号

简记为“玉:°eM,P(Xo)”，读作“存在M中元素％,使p(x0)成立"(存在量词命题也叫存在性命题).

3.含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题°：\/%6朋\?(%)的否定一^为三不€〃，->P(X0).

(2)存在量词命题p:3xoeM,p(x0)的否定-y?为VxeM，r>(x).

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【常用结论】

1.从集合与集合之间的关系上看：设4={%|0(%)},5={%|4(%)}.

(1)若则p是q的充分条件(pnq),q是p的必要条件；若A雕，则夕是q的充分不必要

条件，“是p的必要不充分条件，即〃nq且q4p■,

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小n大”.

(2)若BqA,则p是4的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若A=5,则p与4互为充要条件.

2.常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)(<)(所有)有一个有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有一个都

(<)(>)两个没有

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合加中的每一个元素x证明其成立，要判断全称量词

命题为假命题，只要能举出集合M中的一个X。，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合〃中能找到一个为使之成立即可，否则这个存在量

词命题就是假命题.

二、题型分类精讲

题型一充分、必要条件的判配

畲策略方法判断充分、必要条件的几种方法

确定条件p和结论q,尝试p=q,q=p,确定

条件p和结论q的关系

等价条件和结论带有否定性词语的命题，常转1

——

转化法化为其逆否命题来判断真假1

1

根据p,q成立时对应的集合之间的包含关

1关系法1-系进行判断，抓住“以小推大”的技巧，即小

范围推得大范围，即可解决问题！

【典例1］己知｛4｝是无穷等差数列，其前项和为S“，则“｛%｝为递增数列”是“存在“eN*使得S“>0”的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：因为｛可｝是无穷等差数列，若｛4｝为递增数列，

所以公差d>0,

令叫+^^b>0,解得Q1-子，

1-学］表示取整函数，

a

所以存在正整数"。=1+1-号，有\>0,故充分；

设数列｛%｝为5,3,1,-1,...»满足$2=8>0,但"=—2<0,

则数列｛4｝是递减数列，故不必要,

故选：A

2

【典例2】条件X-OX+3>0,则，的一个必要不充分条件是（）

A.av5B.a>5C.a<4D.a>4

【答案】A

【分析】对于命题p,由参变量分离法可得,求出函数〃尤）=尤+?在［1,3］上的最大值，可得

出实数。的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.

【详解】若3xe［1,3］,使得Y一依+3>0,贝!W+3,可得。<》+」，则”"之］,

xIX人xa

因为函数〃尤）=X+］在［1,6］上单调递减，在［右,3］上单调递增，

且〃1）=〃3）=4,

故当xe［l,3］时，f（x）皿=4,即p:a<4,

所以，P的一个必要不充分条件是。<5.

故选：A.

【题型训练】

一、单选题

1.（2021春•广东梅州•高三校考期中）设Z石均为单位向量，贝广忖-囚=卜+目”是“£1.斤’的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据向量的运算法则和公式阵=片进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由忖-B卜|£+年贝巾一邛=归+@,即7+■-2Q•BJ+片+2〃•B,

可得7B=o,所以凡即充分性成立；

反之：由则7B=O,可得归-q=Q-B）2=£一+斤且归+q=（£+B）2=£~+斤，

所以|z-q=,+q,即必要性成立，

综上可得，|£-4=归+4是2,五的充分必要条件.

故选：c.

2.（2023春・湖北•高三安陆第一高中校联考阶段练习）若6片0,则“=痴”是“。，b,c成等比数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用等比中项的性质结合充分不必要条件的判定即可得到答案.

【详解】因为6=疝，则"=收，且6力0,所以。，b,c成等比数列，故前者可以推出后者，

若。，b,c成等比数列，举例a=l/=-2,c=4,则不满足6=疝，故后者无法推出前者，

所以“6=疝”是“。，b,c成等比数列，，的充分不必要条件.

故选：A.

3.（2023.重庆・统考二模）"/_彳<0，，是"1>0，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】将已知转化为集合的关系再利用充分条件和必要条件的定义处理即可.

【详解】由尤之一》<0可得其解集为：xe{x[0<x<l},由e工>0可得其解集为：xeR.

而何0<X<1}UR,即由-x<0”可以推出“炉>0”,反过来“ex>0”不能推出“/-x<0",故"Y_x<0

是“e'>0”的充分不必要条件.

故选：A

4.（2023・天津滨海新•天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）设向量2=（1,-sin。），5=（sin2e,sin。），

则“小方’是"tan。=2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先根据求tan。的值，再判断充分，必要条件.

【详解】由条件可知，a^=sin26>-sin26>=0,

得2sin夕cos6—sin?0=0}化简得sine（2cos8—sing）=0,

得sin6=0或2cos，一sin8=0,

即tan。=0或tan，=2

所以是“tan。=2"的必要不充分条件.

故选：B

二、填空题

5.（2022秋・湖南长沙•高三校考阶段练习）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不

还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既

不充分也不必要”）

【答案】必要不充分

【分析】根据古诗的含义依次判断充分性和必要性即可.

【详解】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性

成立;

，“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

2

6.（2023・全国•高三专题练习）已知p:VxeR,ax+2x+l>0;q：ae（l,+x>）,则p是4的条件.（在

充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）

【答案】必要不充分

【分析】将全称命题为真命题转化为不等式恒成立，利用充分必要条件判断即可求解

【详解】因为P：VxwR,62+2天+120为真命题等价于不等式办2+2X+1N0在xeR上恒成立,

当a=0时，2x+l\0显然不成立；

[a>Q

当4。。时，｛n，解得421,

综上，实数。的取值范围为

所以p:ae[l,4<o),

又因为q:ae(l,y),

所以P是q的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

fx>01八

7.（2023•宁夏中卫•统考二模）命题。：八，命题4：一>0,则。是4的____________条件.

[y>0孙

（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）

【答案】充分不必要

【分析】先解工>。，然后根据条件判断即可.

孙

,1fx>0fx<0

【详解】因为4：—>0n八或八，

xy[y>0[y<0

[x>0

而*八，

[y>o

所以P是4的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

4

8.（2023春•江苏南京・高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）“tana=3”是“cos2c=-,

的条件.（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个）

【答案】充分不必要.

【分析】利用弦化切得cos2a=必3,将tana=3整体代入即可证明其充分性成立，令匕竺4=一3

1+tana1+tana5

解得tana=±3,必要性不成立.

..cos2a-sin2a1-tan2a1-94

【详解】若tana=3,cos2a=cos2a—sin2=--------；~~--=-------=----=—

cosa+sina1+tana1+95

41_t为n2

反之，若cos2a=-=,则---------=-一,则tan2a=9,贝！Jtantz=±3,

51+tan-a5

4

则tana=3”是"cos2e=-弓”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

三、解答题

9.（2023秋・河南许昌•高三校考期末）已知集合4={幻正+2彳-840},B={x\m-4<x<3m+3].

⑴求A；

（2）若“无GA”是“xdg”的充分不必要条件，求m的取值范围.

【答案】⑴[T2]

⑵-g,。

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出V+2X-8W0即可；

（2）由题意知若“xeA”是“xe3”的充分不必要条件则集合A是集合3的真子集，求出m的取值范围,

再讨论即可.

【详解】(1)由丁+2工一8<0,可得(x+4)(x—2)W。,

所以TWXV2,所以集合人=[-4,2].

(2)若“xeA”是“xeB”的充分不必要条件,

则集合A是集合8的真子集,

由集合A不是空集，故集合8也不是空集,

7

m>——

m-4<3m+321

所以m—4<-4=>m<0=>——<m<0,

3

3m+3>21

m>——

3

113

当时，2={x|-]WxW2}满足题意,

当m=0时，3=｛x|-4VxW3｝满足题意,

故-g1wmVO,即m的取值范围为-；,0.

3

10.(2023•全国•高三专题练习)已知数歹lj｛/｝满足%+%+i=2〃+l("eN*),求证：数列｛%｝为等差数列的

充要条件是4=1.

【答案】证明见解析

【分析】先证明必要性，再证明充分性.

【详解】必要性：数列｛%｝为等差数列，公差为d,

则q=ai+{n-1）d,an+i=ax+nd,

所以+。”+1=%+（“一l）d+q+/KZ=2al+（2“-l）d=2dn+2al-d

{%}满足见+“n+1=2〃+10/eN*）恒成立,

d=1

所以G,，解得%=1；

2%-a=1

充分性:

因为“22时，+%+i=2〃+1①，=2〃-1②,

①一②得：时，4+1-。1=2.

即｛4｝的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列.

因为%+%=3,%=1,所以电=2.

所以％女=々2+2（左一1）=2左，02k一1=%+2（左一1）=2左一1,

所以%=〃，数列｛%｝为等差数列.

综上，数列｛q｝为等差数列的充要条件是4=1.

题型二根据充分必要条件求参数的取值范围

⑨^策略方法

1.充分'必要条件的探求方法（与范围有关）

先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件.

2.利用充要条件求参数的两个关注点

⑴巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集

合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

⑵端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.

【典例1]若关于尤的不等式卜-2|<。成立的充分条件是。<无<6,则实数。的取值范围是（）

A.（一双2）B.[2,4]C.（4,+8）D.[4,+8）

【答案】D

【分析】由卜―2|〈。化简得至（）2—a<x<a+2,根据不等式卜―2|<a成立的充分条件是0<尤<6,列出不

等式组，求得答案.

【详解】当a«0时，卜-2|<。不成立，故a>0,此时由|x-2|<a得2-a<x<a+2,

因为不等式卜-2|<。成立的充分条件是0<x<6,即（0,6）a（2-a,“+2）,

故选:D

【典例2】已知p：-尔<O"，q：“lgx<。"，若p是q的必要不充分条件，则实数机的取值范围是（）

A.[0,+8)B.(。,+8)C.[1,包)D.(l,+oo)

【答案】D

【分析】由p、q分别定义集合A={x|f-如<0}和3={x|lg尤<0},用集合法求解.

【详解】由选项可判断出m>0.

由q："lgx<0”可得：B={x|lgx<0}={x|0<x<l}.

由p：“L-mrvO”可得:4=一的<0}.

因为p是q的必要不充分条件，所以8A.

若m=0时，A=0,BA不满足，舍去；

若m>0时，A=|x2-znr<0^={%10<x<7/?）.

要使8A,只需m>l.

综上所述：实数m的取值范围是（1,+s）.

故选：D

【题型训练】

一、单选题

1.（2022秋・河南安阳•高三校联考阶段练习）若“|尤+1|=2”是“1限工+2，=°”的必要不充分条件，则实数。=

（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

［分析］解方程归+［=2得x=l或-3,再将“|%+1|=2”是“1叫x+2*=a"的必要不充分条件转化为BA且

BW0,然后根据集合间的包含关系求a即可.

【详解】解上+1|=2的尸1或-3,设集合A={1,-3},方程log?x+2,=a的解集为集合8,则8A且八0,

所以8={1}或3={-3},

1

当3={1}时，log21+2=a,所以a=2；

当3={-3}时，不成立；

故选：B.

2.（2022秋•山东临沂•高三统考期中）已知°:/+》-2>0,4：彳>。，若〃是4的必要不充分条件，则（）

A.a.AB.a,,1C.a..-2D.④-2

【答案】A

【分析】由条件p:V+x-2>0,解得x范围.根据P是4的必要不充分条件，即可得出”的取值范围.

【详解】条件P：/+x-2>0,解得x>l或x<-2.

条件q:x>。，

・•.P是4的必要不充分条件，

（a,+s）是（f,-2）加1,小）的真子集，

故选：A.

3.（2023・湖南邵阳•统考二模）已知集合4=[-2,5],B=.若是“xeA”的充分不必要

条件，则机的取值范围是（）

A.（-8,3]B.（2,3]C.0D.[2,3]

【答案】B

【分析】若"xw夕'是“xeA”的充分不必要条件，则8A,列出不等式组求解即可.

【详解】若"xe夕'是“xeA”的充分不必要条件，则6A,

m+1<2m-1

所以"+12-2,解得2〈根43,即机的取值范围是（2,3].

2m-1<5

故选：B.

4.（2022•重庆沙坪坝•重庆八中校考模拟预测）使得不等式元2-依+1>。对VxeR恒成立的一个充分不必要

条件是（）

A.0<a<2B.0<«<2C.a<2D.a>—2

【答案】A

【分析】先由不等式炉-分+1>0对VxeR恒成立得ae（-2,2）,再由充分不必要条件的概念即可求解

【详解】由不等式尤,一6+1>0对VxeR恒成立，得A<0,即（-城_4<0,解得一2<°<2,

从选项可知0<。<2是-2<。<2的充分不必要条件，

故选：A.

5.（2022.全国•高三专题练习）“当xe[-2,l]时，不等式依3一/+4x+3W0恒成立”的一个必要不充分条件为

A.ae[-5,-1]B.ae[-7,-1]

C.aw[—6,—2]D.ae[-4,-3]

【答案】B

【分析】分x=0,0<xW-2Wx<0三种情况求出使不等式奴3_/+以+320恒成立的。的取值范围，从而

可求出使其成立的一个必要不充分条件

【详解】当尤=0时，不等式恒成立，

当0<xWl时，不等式办3一d+4x+3之0恒成立，等价于

x2-4x-3

当—2«x<0时，不等式加—％2+4%+320恒成立，等价于

x3

min

丫2_4Y-3

令/(x)=xX；2,Xe[-2,0)u(0,l],

.%24x—3

〃r尤)=一^

X

贝（）丁=一3/-4»+Ly=-9?-8z+l,

可知函数y=-3/-4产+r在上递增，在（-甩-1）,3,+81上递减，

所以当xe（0,l],即te[l,+co）时，当仁1时，为1ax=-6,即/（初四=一6,所以。2-6,

当xe[-2,0）时，即-g）时，函数y=-3/-4产+/在递减，在上递增，所以当仁-1时,

ymin=-2,所以aV—2,

综上，当xe[-2,l]时，不等式办3r2+4X+3N0恒成立的充要条件为-64a〈-2,

所以aw[-7,-1]是“当xe[-2,1]时，不等式加一/+320恒成立”的一个必要不充分条件,

故选：B

6.（2023・四川南充•四川省南部中学校考模拟预测）已知函数无2一Hnx,则函数『⑴在（0,+◎上

单调递增的一个充分不必要条件是（）

4422

A.a<—B.a?—C.〃<—D.QW—

9933

【答案】A

【分析】根据题设条件转化为广。）之。在（0，+8）上恒成立，即aW3无3-3尤2在（0,+8）上恒成立，令

g(x)=3x3-3x2,^>0,利用导数求得g(x)单调性和最小值，结合题意，即可求解.

【详解】由函数/(》)=尤3一；/一Rn无，可得函数〃尤)的定义域为(0,内)，

且f\x)=3x2-3x--,

x

因为函数“X)在(0,—)上单调递增，即/'0)20在(0,y)上恒成立，

即3/一3x-旦20在(0,+8)上恒成立，即°<3x3-3/在(0,+8)上恒成立，

X

令g(%)=3A3一3x2,%>0,可得g'(x)=9炉-6x=3x(3%-2),

当xe(0,y时，g/(x)<0,g(无)单调递减；

当xe[,+ao)时，g,(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(x)疝n=g1|J=-。所以a?

结合选项，可得a<-。时函数/(x)在(。,+◎上单调递增的一个充分不必要条件.

故选：A.

二、填空题

7.(2021秋•四川南充•高三四川省南充高级中学校考阶段练习)已知p：|x+[<2,0a<x<a+l,若p

是q的必要不充分条件，则”的取值范围是.

【答案】[-3,0]

【分析】利用P是q的必要不充分条件,转化为集合与集合之间的关系求解即可.

【详解】由已知得命题P为-3<x<l,

由p是q的必要不充分条件可知，q=p豆p与q,

设集合A={x|-3<尤<1},集合3={x[a<x<a+l},

则集合5是集合A的真子集，即;解得-35。，经检验满足题意

则a的取值范围是

故答案为：

8.（2023・上海长宁•统考二模）若"x=l”是的充分条件，则实数。的取值范围为.

【答案】（/1）

【分析】由充分条件定义直接求解即可.

【详解】=是“x>的充分条件，:.x=l^x>a,:.a<l,

即实数。的取值范围为（力,1）.

故答案为：（f』）.

9.（2022秋•安徽滁州•高三校考阶段练习）己知集合4=㈤-14<2},B={x\l-m<x<l+2m,m>0］,若“尤GA”是

“xGB”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为.

【答案】

【分析】根据必要不充分条件的性质进行求解即可.

【详解】由题意可知，当B为空集时，LmNl+2m,解得mgO,与m>0矛盾，故舍去；

当B不是空集时，需满足Lmvl+2m,且或l-m<l+2m,且且l+2m<2,解得OvmW5,

综上，实数m的取值范围为（0,

故答案为：［o,1

10.（2022秋・河南驻马店•高三校考阶段练习）已知p：x2-x-12<0,qt（x+m）［x-（l+2??7）］<0,（?n>0）,

若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是.

【答案】⑶"）

【分析】命题P对应的集合为A,命题4对应的集合为8,由p是q的充分非必要条件，可得A是8的真子

集，根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可.

【详解】解：由不等式V一尤一12V0,解得一34x44,

设命题P对应的集合为A,则人=［-3,4］,

由不等式（元+m）［尤-（1+2:〃）］40,解得mWx<2"2+1。”>0）,

设命题q对应的集合为B,则3=［-m,2m+］］（m>0）,

因为P是q的充分非必要条件，

所以A是8的真子集，

I—j/i<—3

则功小4（不同时取等号）,解得心3,

所以实数m的取值范围是［3,+s）.

故答案为：［3,+a））.

题型三全称量词命题与存在量词命题的否定

净0策略方法

全称量词命题与存在量词命题的否定

⑴改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进

行改写.

（2）否结论：对原命题的结论进行否定.

【典例1］命题“VxeR,〃eN*,使得“4x”的否定形式是（）

A.VxeR,3/7eN*,使得B.VxeR,V-eN*,都有〃>x

C.eR,3neN*,使得〃>xD.3%eR,V/jeN*,者|5有

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解.

【详解】“VxeRVweN*,使得〃Vx”是全称命题，全称命题的否定是特称命题

故否定形式是IteR,V〃eN*,都有">x.

故选：D

【题型训练】

一、单选题

1.（2022秋•辽宁本溪•高三本溪高中校考期中）若命题p:Vx2Lx3^1,则力为（）

A.Vx>l,x3<1B.\/x<l,x3<1C.BX>1,X3<}D.BX<1,X3<1

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定是特称命题改写即可.

【详解】因为命题P：Vx*l,x341,

所以T7为女21户3<1,故选：C.

2.（2023・重庆•统考模拟预测）命题*wR,x+|x|<0的否定是（）

A.eR,x+|.¥|>0B.VxeR,%+|.x|<0

C.VxeR,x+|x|>0D.VxeR,x+|x|>0

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可得答案.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为VxeR,x+|x|20.

故选：C

3.（2023•四川达州•统考二模）命题p：VxeR,2x+x2-x+l>0,则工为（

A.VxeR,2X+%2-^+1<0B.VxeR,2X+x2-x+l<0

C.3x0eR,2'。+XQ—Xg+1<0D.3x0eR,2"+XQ—X。+1W0

【答案】D

【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出力.

【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，

所以命题p：VxeR,2*+尤2-尤+1>0的否定为：3x0eR,2”。-%+1W0.

故选：D

4.（2023•全国•局二专题练习）已知命题p：yeZ,2x+4y=3,则（）

A.。是假命题，p否定是V无，yeZ,2x+4yw3

B.。是假命题，。否定是二，yeZ,2元+4y*3

C.p是真命题,p否定是Vx,>wZ,2尤+4yw3

D.p是真命题，。否定是Hx,yeZ,2x+4y^3

【答案】A

【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.

【详解】由于x，y是整数，2元+4y是偶数，所以〃是假命题.

原命题是存在量词命题，

其否定是全称量词，注意到要否定结论，

所以P的否定是“Vx,yeZ,2无+4>H3”.

故选：A

5.(2022秋•陕西咸阳•高三武功县普集高级中学校考阶段练习)已知命题p：mx«0,+co),3x+4=3，.下列

说法正确的是()

A.p为真命题，-P：Hxe(0,+co),3X+4W3”

B.p为假命题，-TP：Vxe(0,+oo),3X+4W3*

C.p为真命题，-f>：VXG(0,+CO),3X+4H3”

D.p为假命题，-P：Vxg(0,+oo),3尤+4w3”

【答案】C

【分析】根据方程与函数的关系结合零点存在性定理判断命题P,再由含存在量词的命题的否定方法求其

否定，由此确定正确选项.

【详解】方程3x+4=3'可化为3x+4-3，=0,设/(x)=3x+4-3\贝！J方程3x+4=3*的根就是函数

/(x)=3x+4-3'的零点，又当x=2时，/⑵=3义2+4-32>0,当x=3时，〃3)=3x3+4-下<0,由零

点存在性定理知函数/(x)=3x+4-3、在区间(2,3)内存在零点，故方程3元+4=3,在(0,+8)上有解，故p

为真命题，根据存在量词的命题的否定方法可得命题力为Vxe(0,+co),3x+4力31所以C正确，

故选：C.

6.(2022秋•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习)给出如下几个结论：

①命题"3xeR,cosx+sinx=2"的否定是"HxeR,cosx+sinxN2”；

②命题“eR,cosx+22"的否定是"X/xeR,cosxH——-—<2

sinxsinx

③对于VxJ0,—|,tan^+1>2；

I2Jtan%

④HxwR,、使sinx+cosx=0.

其中正确的是()

A.③B.③④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；

利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④，可得答案.

【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，

知①不正确，

命题“3xGR,cosx+「-22”的否定是“VxGR,COSX+「一<2或sin尤=0”,故②不正确;

sin%sinx

因为Vx0,—|,tanxd——-->2.Itanxx---=2,

I2)tanxVtanx

当且仅当tanx=-*-即x=£Jo,小时取等号，③正确;

tanx4t2)

由sinx+cosx=\/2sinx+--夜，忘］,比如％=£时,0sin(%+eJ=&,

故Hx£R,使sinx+cosx=0,④正确,

故选：B

题型四根据命题的真假求参数的取值范围

令3策略方法

1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求

真命题的补级即可.

2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

【典例1]已知命题"Vxe[l,2],2*+x-q>0”为假命题，则实数。的取值范围是()

A.(-oo,5]B.[6,+00)

C.(-8,3]D,[3,+Q0)

【答案】D

【分析】先得出题设假命题的否命题“见目1,2],2而+x0-aW0”，则等价于1mn,xe[l,2],

求y=2*+x最小值即可.

【详解】因为命题"Vxe[l,2],2'+尤-a>0”为假命题，则命题的否定“土:。e[1,2],2%-“W0”为真命

题，所以。，(2，+“小，xe[l,2].

易知函数y=2"+x在[L2]上单调递增，所以当x=l时，y=2'+x取最小值，所以此，+1=3.所以实数a

的取值范围为[3,+s).

故选：D.

【典例2]已知命题“七°eR,4%+（.-2）5+；^0”是假命题，则实数a的取值范围为（）

A.（一8,0）B.[0,4]

C.[4,-HX））D.（0,4）

【答案】D

【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解.

【详解】由题意可知，命题“可€1<,4君+（4-2）尤0+；40”是假命题

则该命题的否定“VxeR,4f+（a-2）x+2>0”是真命题，

所以A=（Q-2）2-4<0,解得0vav4；

故选：D.

【题型训练】

-*、单选题

1.（2022秋・江西宜春•高三校考开学考试）己知命题p:玉：oeR,x：+（4-l）Xo+l<O,若命题P是假命题，则

。的取值范围为（）

A.l<a<3B.-l<a<3C.-l<a<3D.0<a<2

【答案】c

【分析】先写出命题p的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得a的取值范围.

【详解】命题P是假命题，

命题P的否定是：VXGR,%2+（o-l）x+l>0,且为真命题，

所以A=（aT2_4=（q+l）g_3）V0,

解得-14a43.

故选：C

2.（2023•江西九江•统考二模）已知命题P：Hx-eR,x2+2x+2-a<0,若p为假命题，则实数。的取值范

围为（）

A.B.C.（一8/）D.（-oo,1]

【答案】D

【分析】首先由P为假命题，得出力为真命题，即TxeR,犬+2工+2_/0恒成立，由AVO,即可求出

实数a的取值范围.

【详解】因为命题P：eR,x~+2x+2—a<0,

所以力：VxeR,x2+2x+2-a>0,

又因为P为假命题，所以力为真命题，

即VxeR,丁+2%+2-。20恒成立，

所以AWO,即2Z-4（2-a）VO,

解得a<l,

故选：D.

3.（2023•陕西安康・统考二模）下列命题正确的是（）

A.“HxeR,l°g|（Y+l）>。”的否定为假命题

2

B.若“VxwR,狈2+4%+I>O”为真命题，贝以《4

C.若a>0,Z?>0,且。+3/?+"=9,则a+3Z?之6

D.。+6=0的必要不充分条件是:=-1

b

【答案】C

【分析】A选项，由题可知“HxeR,l°gl（尤2+1）>°”的否定，后可判断选项正误；

2

B选项，利用全称命题定义可判断选项正误；

C选项，由基本不等式可判断选项正误；

D选项，由充分条件，必要条件定义可判断选项正误.

【详解】对于A：1+121,.•.1%卜2+1）在0恒成立，则xeR,1吧（炉+1）>°为假命题，故A错误；

22

对于B：当a=0时，4%+1>0不恒成立，故B错误；

对于C；3abW（巴黄），二詈］，二9-+解得4+3626,故C正确；

对于D：当。=力=。时，得不到£=一1,但当f=-1时，必有a+b=0,所以:=-1是a+b=0的充分不必

bbb

要条件，故D错误.

故选：C

4.（2022•全国•高三专题练习）下列命题中是真命题的个数是（）

(1)VxeR,X2-2X-3>0.

(2)3xeR,x2-2x+4>0.

(3)若Vxe[-1,3],尤2一2.丫+。20为真命题，则

4

（4）3XG（-OO,0）,X+——Q2。为真命题，贝

x

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】对（1）（2）,由二次函数图象即可判断；

对（3）,y=〃x）=V-2x+a对称轴为尤=1,图象开口向上，命题为真等价于一⑴二。，求解即可；

对（4）,xe（-^,0）,x+--a>0^a<-（-x-^],由均值不等式得一（一V-4,故命题为真等价于

xvxj\X）

a<-4.

【详解】对（1）,由A=4+12=16>0得y=--2x-3与x轴有两个交点，故命题（1）为假命题；

对（2）,图象开口向上，故命题（2）为真命题；

对（3）,y=/（x）=x?-2x+a对称轴为X=1,图象开口向上，故Vxe[-1,3],1-2彳+°±0为真命题等价于

/(1)=1-2+«>0=>«>1,故命题(3)为真命题;

4

对(4),xG(-co,0),XH-----a>0oa<-

xX

命题；

故选：C

5.（2021秋.吉林长春.高三校考期中）若命题“玉$R,X2+双+4<0”是假命题，则（）

A.。的最小值TB.。的最小值4

C.4的最大值TD.4无最大值

【答案】A

【分析】根据命题的真假，找到真命题的形式，再根据二次函数的恒成立问题列式即可求解.

【详解】因为“AwR,炉+依+4<（），，是假命题，

所以“VXER,奴+4>0”是真命题，

所以AM—4x1x440,

所以/K16,

所以

故选:A.

6.（2023・全国•高三专题练习）若命题“VxeR,尤2+2x+3＞〃7”是真命题，则实数机的取值范围是（）

A.（—,2）B.[2,+oo）C.（F,2]D.（2,+oo）

【答案】A

【分析】根据全称命题的真假，转化为山＜（尤2+2彳+3）.可求解.

【详解】命题“\/%£此%2+2%+3＞机”是真命题，

贝（]机＜（x+2x+3）,

又因为y=%2+2X+3=（X+1）2+2＞2,

所以用＜2,即实数加的取值范围是（一02）.

故选：A.

7.（2023春・安徽亳州•高三校考阶段练习）已知命题“玉一只+3/+〃＞0”为