高考数学一轮复习练习卷：立体几何初步（原卷版+解析版）

高考仿真重难点训练-立体几何初步

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.下列命题中正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

C.圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面

D.四边形可确定一个平面

2.已知尸，，是平面，a,b,c是直线，ac\P=a,6n7=6,7na=c,若4口6=尸，贝！J（）

A.PecB.P生c

C.CCQ=0D.cn/?=0

3.水平放置的小8C的斜二测直观图如图所示，已知HC=3,B'C'=2,则"5C的面积是（）

C.6D.7

4.已知底面边长为2的正四棱柱/BCD-44GA的体积为16,则直线/C与45所成角的余弦值为（）

A2^/5„V5「厢n3而

551010

5.已知/、根是不重合的两条直线，a、/?是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（）

A.若£口£=/,mua,U/m,则机//£

B.若1ua,mu0,all（3,则〃/加

C.若Y□£=/,mua,mil,则

D.若/_L机，mlla,贝!]/_!_a

6.漏刻是中国古代的一种计时系统，“漏”是指计时器——漏壶，“刻”是指时间，《说文解字》中记载：“漏

以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器，如图，计时器由三个圆

台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0,

当最上层漏水壶中水全部漏完时，浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:3,则当最上层漏

水壶水面下降到其高度的一半时，浮箭刻度约为（）（四舍五入精确到个位）

A.38B.60C.61D.62

7.如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，四个三角形为正三角形，瓦分别

是P4,尸。,8。的中点，在此四棱锥中，则（）

A.BE与CF是异面直线，且BE//平面尸EW

B.BE与CF是相交直线，且AE〃平面

C.BE与CF是异面直线，且平面

D.8E与CF是相交直线，且平面PFA/

8.如图，将边长为1的正"8C以边48为轴逆时针翻转。弧度得到△/2C,其中夕构成一个三

棱锥C-/8C.若该三棱锥的外接球半径不超过巫，则。的取值范围为（）

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知空间两条异面直线。力所成的角等于60。，过点P与。,6所成的角均为。的直线有且只有一条，则。的

值可以等于（）

A.30°B.45°C.75°D.90°

10.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中

的一种.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为。的截

角四面体，则下列说法中正确的是（）

B.直线DE与平面/2C所成角的正切值为2

C.该截角四面体的表面积为76/

D.该截角四面体存在内切球

11.（多选）如图，在棱长为1的正方体/3CD-44中，点P是线段4。上的动点，则（）

B.三棱锥片一28£的体积为，

C.存在点P,使得尸G

D.存在点尸，使得40,平面P8G

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知底面半径为2的圆锥的侧面积为4右兀，则该圆锥的外接球的表面积为.

13.已知正四面体/一BCD的棱长为6,尸是四面体/一BCD外接球球面上的动点，。是四面体/一BCD内

切球球面上的动点，则尸。的取值范围是.

14.如图，在四棱柱48co-4片。1〃中，底面为正方形，AB=4,AlB=BCl,BBX±BDt,且二面

角4-3?-G的正切值为也.若点尸在底面N2CZ)上运动，点。在四棱柱内运动,

20=*,则尸耳+PQ的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥尸一中，PAl^ABCD,ABICD,PA=AB=2CD=2,PC=>/6,ZADC=90°,

E,F分别为PB,的中点.

(1)求三棱锥E-PCF的体积；

(2)求直线CE与平面PCF所成线面角的正弦值.

16.如图，三棱柱NBC-44G所有棱长都为2,组吟60。,。为4c与NG交点.

(1)证明：平面3CDJ_平面/3C；

⑵若DB\=与,求二面角4-CB厂G的余弦值.

17.如图，在四棱锥P/2CD中，底面NBCD是边长为2的正方形，E为的中点，且

(1)求证：ZPAD=ZPDA；

(2)若四棱锥P/ED的体积为半，直线与PE所成角为30。，求二面角尸-4D-E的正切值.

18.如图，在四棱锥尸-/BCD中，AB=BC=DC=DA=AP=PD,PC=PB=41AB.

(1)证明：平面尸4D_L平面/BCD；

(2)在棱PC上是否存在点£,使得平面NE3与平面BCE夹角的正弦值为垃？若存在，求名的值；若不

7EC

存在，请说明理由.

19.在棱长均为2的正三棱柱4BC-48G中，E为3G的中点.过/£的截面与棱BB\,4G分别交

于点F,G.

(1)若尸为Aft的中点，求三棱柱被截面/GE尸分成上下两部分的体积比沙；

(2)若四棱锥4-NGEF的体积为野,求截面AGEF与底面A8C所成二面角的正弦值;

(3)设截面NFEG的面积为面积为0,面积为Sz,当点歹在棱58上变动时，求不黑的取

值范围.

高考仿真重难点训练-立体几何初步

一、选择题

1.下列命题中正确的是()

A.三点确定一个平面

B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

C.圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面

D.四边形可确定一个平面

【答案】B

【分析】根据确定平面的依据，判断选项.

【解析】A.由确定平面的依据可知，不共线的三点确定一个平面，故错误；

B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故正确；

C.根据确定平面的依据，直线和直线外一点确定一个平面，所以应改为圆的一条直径和圆上除直径端点外的

一点，可确定一个平面，故错误；

D.空间四边形，四点不在同一个平面，故错误；

故选：B

2.已知a,/3,7是平面，a,b,c是直线，ac/3=a,p[\y=b,/Aa=c,若。口6=尸，贝l]()

A.PecB.Pic

C.ma=0D.cc£=0

【答案】A

【分析】根据空间中点线面之间的位置关系结合平面的基本性质逐一判断四个选项的正误，即可得正确选

项.

【解析】因为=a,0Cy=b,所以aua,buy,

由Qp|b=尸，可得尸£4且PEZ),

所以尸且尸E7,

因为7。。=。，所以PEC,故选项A正确，选项B不正确；

因为PEC,Pea,所以。、〃有公共点尸，故选项C不正确；

因为bu/3,所以尸£尸，因为尸£0,所以。与夕有公共点。，故选项D不正确；

故选：A.

3.水平放置的。3c的斜二测直观图如图所示，已知/'C'=3,B'C'=2,则AA8C的面积是（）

【答案】C

【分析】根据直观图与斜二测画法的定义求解.

【解析】由题可知，小BC为直角三角形，

S.ACLBC,AC=A'C'=3,BC^2B'C'^4,

4.已知底面边长为2的正四棱柱48CD-4耳GA的体积为16,则直线NC与48所成角的余弦值为（）

.2>/5DV5「Mc3屈

A•D.C.--------U.-----------

551010

【答案】C

【分析】如图，确定人（或其补角）为直线/C与48所成的角，求出CG，进而求解.

【解析】如图，连接/D，C2,则48〃，C,取ZC的中点O,连接。口，则CRLZC,

所以ZACR（或其补角）为直线/C与4?所成的角，

又正四棱柱的体积为16,则该棱柱的高为CG=2=4,

又AC=2后,AD、=CD]+爰=2/5,

lAC

所以c0s43=

10

即直线AC与AXB所成角的余弦值为巫.

10

故选：C

5.已知/、加是不重合的两条直线，。、用是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（）

A.若mua,H/m,则加//£

B.若/ua,mu/3,alip,则〃/加

C.若mcza,mil,则a_L£

D.若/_L〃z,mlla,贝！J/_La

【答案】A

【分析】对于A,先判断〃?<Z£,然后由线面平行判定定理可判断；对于BCD,通过正方体模型举反例即可

判断

【解析】对于A,因为加Utz,所以加（z£,

又〃/加，Iu/,所以〃?//〃，A正确；

对于B,在正方体48co-4片。百中,

记平面48CD为a,平面/4CQ1为尸，AB为I,AQ、为m,

贝U/ua,mu0,all/3,但/与加不平行，B错误；

对于C,记平面/8G2为二，平面48co为尸，AB为I,为加，

由正方体性质可知，/平面ADDXAX,gu平面ADDXAX,所以4鼻_LAB,

则。口尸=/,mua,m_Ll,但a,A不垂直，C错误;

对于D,记4D1为/,AB为m,平面为a,

贝！mlla,但/与a不垂直，D错误.

故选：A

6.漏刻是中国古代的一种计时系统，"漏"是指计时器一一漏壶，"亥U”是指时间，《说文解字》中记载：“漏以

铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器，如图，计时器由三个圆台

形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0,当

最上层漏水壶中水全部漏完时，浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:3,则当最上层漏水

壶水面下降到其高度的一半时，浮箭刻度约为（）（四舍五入精确到个位）

A.38B.60C.61D.62

【答案】D

【分析】根据题意结合台体体积公式运算求解.

【解析】由题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，

设最上层漏水壶的口径与底径分别为5a,3a,高为h,

则体积为厂=g[兀(5Q)?+7i(3tz)2+小冗&丫XTIQ!卜二^-ju2h,

当最上层漏水壶水面下降到高度的一半时，设此时浮箭刻度为X,

因为已漏水体积匕=耳兀(54+兀(4了+J兀，X7i(4z?卜—=in2h,

3L」26

-Tia2h6]

可得仁二击,解得户/1叱62，

——Tian

3

所以浮箭刻度约为62.

故选：D.

7.如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形/BCD为正方形，四个三角形为正三角形，分别

是尸8c的中点，在此四棱锥中，则()

A.BE与CF是异面直线，且3E//平面

B.BE与CF是相交直线，且2E//平面尸尸〃

C.3E与CF是异面直线，且8£_L平面

D.BE与CF是相交直线，且BE_L平面尸

【答案】B

【分析】画出几何体尸-证得四边形BCFE为梯形，得到BE与C尸为相交直线，再由线面平行的

判定定理，证得8£7/平面

【解析】根据题意，画出几何体尸-/BCD,如图所示，

因为E,尸分别是尸4的中点，可得跖///。且跖=工/D,

2

又因为4。//3c且/O=8C,所以EF//BC且好，

2

所以四边形8a花为梯形，所以8E与CF为相交直线，

因为M为3c的中点，可得斯//3”且的=瓦0,

所以四边形5MFE为平行四边形，可得BE//MF,

又因为BEU平面PEA/,MFu平面所以BE〃平面PEM.

故选：B.

8.如图，将边长为1的正“BC以边为轴逆时针翻转。弧度得到△/8U,其中。e[o，Tj，构成一个三

棱锥C'-48C.若该三棱锥的外接球半径不超过姮，则6的取值范围为（）

【答案】C

【分析】作辅助线，则。即为三棱锥的外接球球心，翻折的角。即为/CDC的大小，设OC=R,结合题意

1

分析可知"42。，结合题意分析求解即可.

12cos—

2

【解析】取线段42的中点。，线段上靠近点。的三等分点G,CC'的中点E,

连接CD,UD,D£,则G为正ABC的外心，CD=Ct）,可知DE为线段CO的中垂线,

在平面C'CD内过G作CD的垂线交即于。，连接。C,

则。即为三棱锥的外接球球心，翻折的角。即为/CDC'的大小.

设OC=A,贝|oc=oc，=",DE=—cos-,DG=立,CG^—，EC=EC=^-sm^,

2226322

心

可得"cos?=OE=00+OE=^^+y/0C2-EC2=—

22

cos—0cosd—

22

化简得A一4”2。，

12cos—

2

/7T=11<13

又因为EwXU,即一436,解得8$2彳2;，

612cos-24

结合Oe[o，M，可得cos外且，则0<gW，所以0<"9

I2；22263

故选：C.

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把

空间问题转化为平面问题求解;

2.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置,

弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

二、多选题

9.已知空间两条异面直线所成的角等于60。，过点尸与6所成的角均为。的直线有且只有一条，则。的

值可以等于（）

A.30°B.45°C.75°D.90°

【答案】AD

ITTTITIT

【分析】过点尸作。'//。,6'//6,求得直线/与必6所成角的范围为Oe或,结合选项，即

_62J|_32_

可求解.

【解析】过点尸作。’〃。,6'//6,

从两对角的角平分线开始，直线/与必〃所成角的范围为三5或,

62」|_32_

而均为。的直线有且仅有一条，根据对称性，可得。=30。或。=90。.

故选：AD.

10.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中

的一种.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为。的截

角四面体，则下列说法中正确的是（）

B.直线。E与平面/2C所成角的正切值为2

C.该截角四面体的表面积为70/

D.该截角四面体存在内切球

【答案】AC

【分析】如图，将该截角四面体补成正四面体尸-MN0.对于A：由平面/3C〃平面可知点E到平面

A8C的距离即为点S到平面/2C的距离，运算求解即可；对于B：由DE〃PN,可知直线DE与平面A8C

所成角即为尸N与平面MN。所成角NPNS,运算求解即可；对于C：根据正三角的面积结合比例关系运算求

解；对于D：假设存在内切球根据对称性可知该球心为正四面体尸一晔的中心。，求点。到平面/3C的

距离即可判断.

【解析】如图，将该截角四面体补成正四面体尸取底面向。的中心S,连接尸

对于选项A：由题意可知：平面N8C〃平面”N。，

则点E到平面ABC的距离即为点S到平面ABC的距离d=-PS=巫a，故A正确；

33

对于选项B：由题意可知：DE//PN,

则直线DE与平面ABC所成角即为PN与平面MNQ所成角NPNS,

可得tanZPNS=—,

SN

所以直线QE与平面45C所成角的正切值为后，故B错误；

2

对于选项C：由题意可知：SAMNO=9S.OEF=9x-X(zxaX—=,

_状_3~\/^2

人J^EFHILK——aLQEF~~?式'

所以该截角四面体的表面积为3品也”+3%0£尸=4*铝$+4、』1d=lj~3d,故C正确；

itrnlLixZA\Jttr24

对于选项D：若该截角四面体存在内切球，根据对称性可知该球心为正四面体尸-MNQ的中心O,

可知OP=ON=届-05,

因为ON?=邢*2+0$2,即=3/+OS?,解得OS=4，

由选项A可知：点S到平面48c的距离d=2尸5=友.,

33

则点。到平面ABC的距离为d-OS=红a丰OS,

12

所以该截角四面体不存在内切球，故D错误；

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将该截角四面体补成正四面体尸-MNQ,结合正四面体的性质分析

求解.

11.（多选）如图，在棱长为I的正方体力8CD-44QD］中，点尸是线段4。上的动点，贝u（）

A.的面积为Y2

2

B.三棱锥片-的体积为!

C.存在点P,使得尸£

D.存在点尸，使得4。，平面P8G

【答案】BD

【分析】选项A：当点尸与4重合，A&G为边长是血的等边三角形，求出三角形面积，即可判断；选项

B：利用等体积转化法求解即可；选项C：以8G为直径的球面与直线没有公共点，即可判断；选项D：当尸

为4。的中点时，根据线面垂直的判定定理即可得证.

【解析】A选项，在棱长为I的正方体/BCD-44GA中，

点尸是线段4。上的动点，当点尸与4重合时，APBq为等边三角形,

边长为血，

故APBG的面积为X（后『sin60°=也H正，故A错误；

2'J22

B选项,因为VBI-PBG=Vp-Bg二］S&B1BG，hP，

S

其中^BlBCl=；xlxl=g,

”表示点尸到平面8出。1的距离，故%=1,

所以三棱锥耳-尸8G的体积为：X=X1=J,故B正确；

C选项：在正方体/8CD-44GA中，以3cl为直径的球面，半径尺=也＜1,

2

则直线4。与该球面没有公共点，故不存在点尸，故c错误；

D选项：取8cl的中点M,连接加，

当月为4。的中点时，即尸为/。，/0的交点时，

因为。。£=/5,所以四边形”为平行四边形，

故D、PIIJM,

又DF=qM,

所以四边形DFMQ为平行四边形，

所以PM//2G，

因为2G，平面工。24，

易知尸M_L平面40n4，

因为AXDu平面

所以尸ALL4。，

又因为在正方体中，A}D±BCX,

而尸河口8。|=河，所以4。，平面尸8Q,故D正确.

故选：BD.

三、填空题

12.已知底面半径为2的圆锥的侧面积为46兀，则该圆锥的外接球的表面积为

【答案】253r

【分析】求出圆锥的母线/=2若，求出圆锥的高，设圆锥外接球的半径，列出方程，求出半径，得到表面

积.

【解析】设圆锥的母线为/,又r=2,故兀〃=2/兀=4右兀，

解得/=2近，

圆锥的高为〃=J/2一户=4,

设该圆锥的外接球的半径为R,

故/。=OC=R,故O尸=4一火，

由勾股定理得OC?=。炉+/，即炉=(4一五『+4,

解得R=g，

故该圆锥的外接球的表面积为4兀露=25兀.

13.已知正四面体/一3。的棱长为6,尸是四面体/一8a)外接球球面上的动点，0是四面体/-BCD

内切球球面上的动点，则PQ的取值范围是.

【答案】曲,2国

【分析】依据题意作出图形，再求出外接球半径，再求目标式范围即可.

【解析】

如图，/£是正四面体力-BCD的高，由对称性知其外接球与内切球的球心重合，为。，且在/E上,

则£是底面正三角形的中心，BE=3义与义6=2仙,AE=46?-(26)2=2&>,

设外接球的半径为上^OA=OB=R,由OB?=0石2+8£2,得R。=Q娓-RY+(26丫，解得及=孚，

因止匕内切球的半径为r=OE=4,\OP-OQ\<PQ<OP+OQ,即R-rVPQVA+r,

又R+r=2瓜”―n,所以而VPQV2而.

故答案为：[C,2C]

14.如图，在四棱柱48cz5-48|GA中，底面/BCD为正方形，AB=4,AiB=BCl,BBXLBDt,且二面

角4-AD1-G的正切值为应.若点尸在底面/BCD上运动，点。在四棱柱A8CD-44G2内运动，

='，则PB\+PQ的最小值为.

【分析】

先求得B到平面44GA的距离，然后利用对称法以及三点共线等知识求得尸4+PQ的最小值.

【解析】连接4。，交B、D1于E,设厂是3。的中点，连接M，GF.

由于48=BG，E是4G的中点，所以4GL8E,

由于4C]_LBXDX,BEcB}DX=E,BE,BQu平面BBR,

所以4cl1平面BB}D},由于8〃,u平面BBR,所以/£_L区鼻，AlCl1EF,

由于E,尸分别是42,2。的中点，所以EF〃BB「

由于8所以跖，3，，由于4Gc£b=£，4G，E尸u平面跖£,

所以平面EFCi，由于C^u平面EFQ,所以台鼻，。/，

所以/废。是二面角B]-BDX-G的平面角,

所以tan/EFG=—=^-=V2,£T=2,

所以84=4,

EFEF

由于耳，=472,所以ADj="4后)2-42=4=BB『

所以三角形郎也是等腰直角三角形，所以2EL4A，

由于4GcBQ]=E，4G耳D[U平面43]C[Z>[,

所以BE,平面4片。。1，旦BE=；BR=2C.

由于22=*,所以。点的轨迹是以2为球心，

半径为正的球面在四棱柱群co-481GA内的部分,

2

B]关于平面ABCD的对称点为况BB'=242x2=442，

连接B'A，交平面48。于产,

所以咫+PQ的最小值为B，D「4=44拒『+(4行『-2^=8-^.

故答案为：8-变

【点睛】求解二面角有关问题，关键是找到二面角的平面角，二面角的平面角的定义是：在二面角的交线

上任取一点，然后在两个半平面内作交线的垂线，所得角也即是二面角的平面角.

四、解答题

15.如图，在四棱锥尸-48CD中，尸/_L平面/BCD,AB//CD,PA=AB=2CD=2,PC=a,ZADC=90°,

E,尸分别为PB,的中点.

⑴求三棱锥E-PCF的体积；

⑵求直线CE与平面PCF所成线面角的正弦值.

【答案】⑴

6

（2）巫.

10

【分析】⑴根据人小"“小卜…’再根据棱锥的体积计算公式，求解即可；

（2）根据（1）中所求棱锥E-尸C尸的体积，求得点E到平面尸CF的距离，结合CE的长度，利用公式，直

接求解即可.

【解析】（1）尸4_1面45。。,/。1面/3。。，故尸4_L/C,故AC=[PC?-pH=也，

又在直角梯形/as中，AD=^JAC2-CD2=7^1=1^CB=YIAD2+BF2=4i>

又E为PB中点，故嚷…g%PCF=第一BCF=｝洛CFX"

=LxLxBFxCFxPA=—Xlxlx2=

62126

（2）因为CF7/4D,故CFJ.AB,又尸N_L面/BCD,C尸u面/BCD,故CF_LP4,

又4BcPA=A,4B,PAu面P4B,

故CF,面尸/瓦尸尸u面尸/B,则C/，刊"则为直角三角形；

易知C尸=/D=\,PF=NPA'AF、后，

故S「m=』xWxH=」xlxV5=—,

“CFP222

设点E到面PCF的距离为d,

由（1）可得/uJswXdnJx好xd=,，解得d=好；

33265

因为E,尸分别为尸8,N8的中点，故EF”PA,

贝IJEBJL面N8CD,又C尸u面/BCD,则EF_LFC,

故△EFC为直角三角形，则EC=NEF+CF?712=6，

设直线CE与平面尸CF所成角为。，贝人山。=』-=也、虫=幽.

CE5210

16.如图，三棱柱/8C所有棱长都为2,组BC=60。,D为4c与4cl交点.

⑴证明：平面BCD,平面/4G；

⑵若。4=半，求二面角4-c^-c,的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

【分析】(1)由面面垂直判定定理证明，即先证明48]，平面3cD,再证明面BCD，平面

(2)先建系，然后求解出平面4cg的一个法向量拓和平面GC4的一个法向量成，代入公式

I玩.司

cos0=|cosm,n\=J即可.

【解析】(])取8C中点O,取/片中点E,连接BE,OE,

因为三棱柱/3C-44。所有棱长都为2,NB&C=60。,

有AO=BQ=6,4B=BB[,E为的中点，BCDE四点共面，

所以0E_L4B],且BE、OEu平面BCD,OE^BE=E,

所以4用_1平面5a),又平面Z4G，故平面BCO_L平面A81G.

(2)因为BC7/B1G，所以51G~L平面/。用，4及(=平面4。4，

所以所以及G为直角三角形，所以4G=2。4=屈，

所以典=JAC；-BC=3,在ANOB1中，cosN/O四=3；3；9=_；.

以。为原点，作。2_1_平面8。。4，以砺，OBX,反方向为X,y,Z轴正方向,

建H空间直角坐标系，如图所示,

则c(-i,o,o),4(o,£o),q(-2,V3,o),A

由国=可,所以4,所以*=0,手],西=",0}

CB,n=0

设平面4c4的一个法向量为元=(x,y,z),贝!],，即＜

C4•万=0

令z=l,解得方=(3,-6,1),所以平面CC4的一个法向量为应=(0,0,1),

记二面角的大小为凡且。为锐角,

\m-n\_V13

则cos3=\cosm,n\=

|玩H司13，

即二面角49-c的平面角的余弦值为党

B^1^

'x

17.如图,在四棱锥尸-48。中，底面/BCD是边长为2的正方形，£为8C的中点，且

(1)求证：NPAD=NPDA；

(2)若四棱锥尸-/ED的体积为述，直线48与PE所成角为30。，求二面角尸-4D-E的正切值.

3

【答案】⑴证明见解析

(2)-^3

【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直，利用等腰三角形的三线合一证明即可;

（2）利用垂直关系，易得线面角和二面角的平面角，即可计算求解.

【解析】（1）取/。的中点。，因为四边形N3CD是正方形，.

QADLPE,EOcPE=E,EO,PEu平面尸OE,AD1POE.

又POu平面尸O£,ADIPO,

又因为。是ND的中点，所以可得尸N=即/尸=

（2）作于点。，

平面尸OE,尸Qu平面PO£,，PQ_L4D.

又£0|"|40=。，£0,2。（=平面45。，；.尸。，平面48。.

由%皿=?△曲.尸尸0=若"，得尸。=6

因为EO//4B,所以所成角为NPEQ=30。，

故tan/PEQ=-^-=^,解得。。=1.

2+003

因为4DLEO,AD1PO,所以/尸OE为二面角尸-NO-E的平面角.

tan/POE=-tanZPOQ==^3.

即所求二面角尸的正切值为一JL

18.如图，在四棱锥尸-4BCD中，AB=BC=DC=DA=AP=PD,PC=PB=y/2AB.

（1）证明：平面尸/£>_L平面48CD；

⑵在棱PC上是否存在点E,使得平面月E3与平面8CE夹角的正弦值为亚？若存在，求名的值；若不

7EC

存在，请说明理由.

【答案】⑴证明见解析

PF

⑵存在，­=1.

EC

【分析】(1)通过。CJ.PD,DC_L4P证。C_L平面尸4D,即可证面面平行；

PF

(2)通过建立空间直角坐标系，计算各点坐标，设==2(2>0)得E点坐标，并计算平面和平面BCE

EC

的法向量，根据向量垂直确定，再根据向量的夹角公式计算即可.

【解析】(1)证明：^^)AB=BC=DC=DA=AP=PD,PC=PB=^2AB

PD2+DC1=PC2,AP2+AB2=PB2.

所以DCJ_P。，ABLAP,

又AB=BC=DC=DA,

所以四边形/BCD为菱形，

所以AB//DC,DCYAP,

又4P,PDu平面P4D,

APC\PD=P,

所以DC_L平面尸/D,

又。Cu平面/BCD,

所以平面PAD1平面ABCD.

(2)由(1)得DC_L平面尸/D,

因为D/u平面尸4D,

所以

故四边形/BCD为正方形.

不妨设正方形ABCD的边长为2,

4。的中点为O,连接尸0.

因为AP/O为等边三角形，

所以POL4D,

又POu平面尸，

又平面PADc平面ABCD=AD，

且平面PAD1平面ABCD,

所以尸01平面4BCD.

以。为坐标原点，OA,DC，丽的方向分别为x,了，z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则尸(0,0,6),2(1,0,0),5(1,2,0),C(-l,2,0).

假设存在点E,使得平面月与平面8CE夹角的正弦值为文,

且力;=几(4>0)，£(尤0，%/0),

七C

PF

由彳7=九，得诙=4反,

EC

即(xoJo,Zo-A/J)=4(-1-Xo,2-%,-Zo),

解得％=一£，%=若，％=看，

所以小上吕

、1+A1+21+2,

BE

所以通=(0,2,0),SC=(-2,0,0),丽=(1,2-[1+21+/+/・

设平面4EB的法向量为方=(X]，M，zJ,

n-AB=2弘=0,

则“心防二(T-2QX「2“4=()>

、1+A

可取万=(石,0,1+24).

设平面BCE的法向量为灰=(工2，%/2),

m-BC=—2x?=0,

则.

m-=0

可取〃?=（o,血2卜

则kos伍砌=（相=|2+例

11川MV7X^3+(1+22)2

解得2=1或2=-2（舍去）,

所以在棱PC上存在点E，使得平面AEB与平面3CE夹角的正弦值为文,

1

H—=1.

EC

19.在棱长均为2的正三棱柱48c-4BG中，E为3G的中点.过/£的截面与棱BB、,4G分别交

于点尸，G.

（1）若尸为AB,的中点，求三棱柱被截面4G即分成上下两部分的体积比2；

⑵若四棱锥4-NGE下的体积为逋,求截面AGEF与底面A8C所成二面角的正弦值；

12

⑶设截面/FEG的面积为S°,A/£G面积为$,面积为S”当点尸在棱A8i上变动时，求