高考数学一轮复习考点总结-平面向量基本定理及坐标表示（含解析）

平面向量基本定理及坐标表示(3种核心题型+基础保分练+

综合提升练+拓展冲刺练)

m【考试提醒】

1.了解平面向量基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

ill【知识点】

i.平面向量基本定理

如果ei,约是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有

一”对实数九，22,使。=九£1+%202.

若ei,e2不共线，我们把｛ei,02｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a=(xi,ji),)=(x2,yi),贝U

a+f>=(xi+x2,也+了2)，a—b=(xi-必yi一了2),2a=(Axi,/yi),\a\=^/x-?+y?.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设/(xi,71)13(x2，㈤，则/B=(X2—xi,V2~0),\AB\—yl(X2—xi)2+(y2—yi')2.

4.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,ji),)=(x2,yi),其中6/0,则a〃/>Ox”2一型0=0

【常用结论】

pi+%2,yi+y£|

已知P为线段的中点，若/(»,%),3(X2,A),则点尸的坐标为〔22J；己知

△ABC的顶点A(xi,乃)，S(X2,y2),C(x3,g)，则AABC的重心G的坐标为

pl+x2+x3yi+^2+^3]

I33J.

.2【核心题型】

题型一平面向量基本定理的应用

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的

加、减或数乘运算.

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和

结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

【例题1】(2024•湖南衡阳•三模)在三角形/3C中，点M在平面43C内，且满足

而7=4函+〃元(2,〃eR),条件P:而=3嬴，条件0：2"-22=1,则尸是。的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】由向量的线性运算法则可得从而可判断充分性成立；令几=1得

44

3

可判断必要性不成立.

【详解】若而=3流，由向量的线性运算法则，

-----►—►-----►—►3—►—►3—►—►1—►3—»

=BA+AM=BA+-AC=BA+-(BC-BA)=-BA+-BC,

4444

___ki3

因为痂=4⑸+〃就，所以2=:，〃=：,所以2〃-24=1,所以。是。的充分条件；

44

若2〃-22=1,令;1=1得〃=],^XBM=ABA+/JBC,得的=0+|■前，

由三点共线充要条件可知点Me/C,此时而=3流不成立，所以?不是0的必要条件.

故选：A

【变式1](2024・河北•模拟预测)在边长为1的正三角形NBC中，AD=^AB,BE=^BC,

AE与CD交于点、尸,则函.脐=()

1V3

A.1B.0C.——D.--

22

【答案】B

__.»»_—►4—>1—►

【分析】设8尸=/18/+〃3。,根据平面向量的基本定理求出8/=—氏4+—8。，再根据平面

77

向量的数量积运算即可求解.

【详解】设丽=42+〃初，

__►3—►—►—►

因为BA=—BD,BC=3BE,

2

___34_______

所以丽=3而+〃瓦？，丽=2瓦5+3〃族.

因为尸,Q,C三点共线三点共线,

32A=-

=+〃=1,解得，7—►4—1—►

所以.所以2尸=-BA+-BC.

77

A+3〃=1

4—•1―►

所以CD-BF=^BD-^C\\^BcA1+-BC

7

41—

-^4-5C-53+-5C

377

8—2214，、一一►1—►：2

=—BA+—x-\BABC--BC

213777

^^BA2^BA.BC--BC2

21217

—xlxlx1

-xI2=0

212127

故选:B.

【变式2］（2023•陕西咸阳・模拟预测）在ABC中，点。是BC的中点，点E在/。上，且

屉=+IBC,AE=xBA+yBC,贝!I^x-y=.

【答案】J

【分析】根据平面向量共线定理的推论求出X,再根据平面向量基本定理求出X、V,即可

得解.

____k„1____,____„1____k_

【详解】依题意诙=方+而=方+—就，又点石在40上，^BE=-BA+ABC,

23

—►1—►—»1—►—，11

所以BE=—B4+2BC=—BA+22BD,所以一+24=1,解得；1=—,

3333

—»1—、2—►

即BE=-BA+-BD,

33

所以近=万+班=Z§+—丽+—分。=——BA+-BD=——BA+-JC,

333333

__k___21

又AE=xBA+yBC,所以尤=-],y=~>

1(2)15

j5frU,Ax-y=-xl

_5

故答案为：9

【变式3](2023•广东佛山•模拟预测)在“3C中，48=2,8c=2近，M点为3C的中

点，N点在线段NC上且MV=；/C,BN=2.

⑴求NC；

(2)若点P为与3N的交点，求的余弦值.

【答案】⑴6

(2)巫

13

【分析】(1)利用两次余弦定理建立方程求解即可；

(2)把的余弦值转化为求cos万7,丽，向量分解表示万7,丽，利用数量积夹角

公式求解即可.

【详解】(1)在。8C中，AB=2,BC=2A/7,

/牙+心-8c2-24+AC2

由余弦定理得cos/=

2AB-AC4AC

在A4BN中，48=2,AN=-AC,BN=2,

3

-AC2.

AB^+AN?-BN?

由余弦定理得cosN=J=-AC，

2AB-AN-AC12

3

所以—24+/C2J/。,即2/C2=24,解得/C=6；

4AC123

1兀

（2）由（1）知COSZ=3，又Z£（0,7T）,所以4=4,

所以酢•就=2x6xg=6,又M点为5c的中点，所以而=（（方+就）,

因为/N=』/C,所以丽=万一方=」就一方，

33

.，1------►------►1------►，1------»21»21-------►------►

所以4M.BN=—（4B+/C）・（一ZC—45）=——AB+-AC——ABAC=2,

23263

X|ZA7|=17（^5+^C）2=^\AB2+AC2+2AB-AC=y/i3,且|丽卜2,

cosAMPN=cosAM,BN=AM'^N=—

所以河口叫2而13

题型二平面向量的坐标运算

（1）利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向

量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程（组）进行求解.

（2）向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解

答转化为我们熟知的数量运算.

【例题2］（2023•广东佛山•二模）已知Y/BCD的顶点”（-1,-2）,S（3,-l）,C（5,6）,则顶

点。的坐标为（）

A.（1,4）B.（1,5）C.（2,4）D.（2,5）

【答案】B

【分析】由平行四边形可得友=前进而即得.

【详解】因为4（—1,一2）,8（3,-1）,C（5,6）,由平行四边形可得比=在=（4,1）,

设。（X/）,贝！］（5-x,6-y）=（4,l）,

所以x=l,y=5,即。的坐标为（1,5）.

故选：B.

【变式1］（2024•全国•模拟预测）在平面直角坐标系xOy内，已知点赤=（1,-2）,

则丽=（）

A.（2,-3）B.（0,—ljC.（-2,3）D.（0,1）

【答案】B

【分析】根据题意，结合向量的坐标表示与运算，即可求解.

【详解】因为点火一1,1）,罚=（1,-2）,则次=（-1,1）,

可得酝=况+存=（-1,1）+（1,-2）=（0,-1）.

故选：B.

【变式2］（多选）（2022•海南•模拟预测）用下列反，［能表示向量2=（3,2）的是（）

A.q=（6,4）,e2=（9,6）B.ex=（-1,2）,e2=（5,-2）

C.g］=（3,5）,e2=（6,10）D.ex=（2,-3）,e2=（-2,3）

【答案】AB

【分析】根据题意，设Z=+利用向量的坐标运算，得到关于x，＞的方程组，结合

方程组的解，即可求解.

【详解】对于A中，设』[+逅,可得（3,2）=于6,4）+武9,6）,

[6x+9y=3一一一

则“/C，方程组有无数组解，例如x=-l,y=l时，a=-q+e2,所以A成立;

[4x+6y=2

对于B中，设"=W+遍，可得（3,2）=武-1,2）+武5,-2）,

-x+5y=3

则解得x=2/=l时，。=2,+/，所以B成立;

2x-2y=2

对于C中，设£=以+谖，可得（3,2）=W3,5）+了（6,10）,

则?=3此时方程组无解，所以晟晟不能表示工，所以C不成立；

[5x+10y=2

对于D中，^a-xe,+ye2,可得（3,2）=x（2,-3）+y（—2,3）,

（2x—2y—3—一

则、，此时方程组无解，所以0,02不能表示所以D不成立.

[_3x+3y=2

故选：AB.

【变式3]（2023•全国•模拟预测）在平行四边形MCD中，点4（0,0）,川-4,4）,。（2,6）.若

NC与8。的交点为M,则。M的中点E的坐标为,

【答案】

【分析】利用平行四边形法则表示出向量衣，利用坐标运算计算出向量近的坐标，由A为

坐标原点，所以即可得£的坐标

【详解】在平行四边形中，

因为/C与8。的交点为〃，且E为。”的中点，

所以次■（而+而）

~2

q（2,6）+；（T4）cs，

由A为坐标原点，所以向量运的坐标即为E的坐标，

故点E的坐标为

US

故答案为：122人

题型三向量共线的坐标表示

平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

（1）若0=（X1,力），6=（X2,y2）,其中则。〃分的充要条件是Xl、2=X2yi.

（2）在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为相（/ICR）.

命题点1利用向量共线求参数

【例题3】（2024•陕西渭南•三模）已知向量而=（2"）,尢=（2-4T）,若应与方共线且反向，

则实数2的值为（）

A.4B.2C.-2D.-2或4

【答案】A

【分析】利用向量共线的坐标表示求出2,再结合反向共线即可得解.

【详解】由向量丽=（2"）,拓=（2-4一4）共线，得“2-1）=-8,解得力=-2或4=4,

当彳=-2时，成=（2,-2）,万=（4,-4）,比与方同向，不符合题意，

当2=4时，而=（2,4）,«=（-2,-4）,玩与万反向，符合题意，

所以实数4的值为4.

故选：A

【变式1】（2024•浙江•模拟预测）已知向量2=（4,加），b=（m\2）,若"〃g,则〃?=（）

A.4或2B.-2C.2D.2或-2

【答案】C

【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解.

【详解】由3/区，则4x2-加3=o，得m=2.

故选：C

【变式2］（2024•四川绵阳•模拟预测）已知向量工=（3,4）,b=（2,k）,且（2+可/石，则实数

k=.

【答案】g

【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算，求上的值.

【详解】a+b=（5,4+k）,由。+B）〃公得3（4+左）=5x4,解得上=§.

故答案为：

【变式3](2023•四川成都•一模)已知向量3=(situ,1),ft=(V3co&x-2),函数

/(x)=(a+5)•万.

⑴若万/区，求cos2x的值；

(2)a,b,c为AABC的内角A,B,。的对边，。=2,且/(/)=：,求08c面积的最大

值.

【答案】⑴；

(2)73

【分析】(1)根据向量共线定理可得tanx=-且，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式

2

的应用可得解；

(2)根据向量数量积公式可得/(x),进而可得A,再利用余弦定理和基本不等式求6c的

最大值，最后用三角形面积公式即可得解.

【详解】(1)a!lb>V3cosx=-2sinx,则tanx=-也；

2

,r"

1---------

222

c2.cosx-sinx1-tanxI2J1

cos2x=cosx-sin2x=——〜--------〜—=——〜----一一

sinx+cosxtanx+1V3、27

+1

2

7

故cos2x=—.

7

(2)/(x)=(G+=^sinx+V3COSxjsinx+(l-2)X1=sin2x+V3sinxcosx-l

=sin2xcos2x—=sin^即/(x)=sin^2x---

又/(/)=1，所以由11(2/_二]=1,得2/_g=g+2左兀#eZ,又Ze(0,兀)，即/=

2I6J623

因为Q=2,且由余弦定理/=/+/_2bccosA可知，

4=b2+c2—2bccos—,所以〃+0?=4+be,

由基本不等式可得〃+H=4+A22bc,

所以庆44,(当且仅当b=c=2时取等)，

（5.,^）=—Z>csinA=—x4x-=^3「

故222即面积最大值为百

命题点2利用向量共线求向量或点的坐标

【例题4】（2024•全国•模拟预测）已知M（4,-2）,N（-6,-4）,且砺=-;何，则点尸的

坐标为（）

A.（1,1）B.（9,-1）C.（-2,2）D.（2,-1）

【答案】B

【分析】由的坐标得出加，设点P（x,y）,得出砺，根据砺=而列出方

程组求解即可.

【详解】因为河（4,-2）,^（-6,-4）,

1____1

所以—5〃^=—5（—10,—2）=（5』），

设尸（xj）,则〃？=（》一4,〉+2）,

—►1——►

又MP=——MN,

2

x—4二5八,x=9

所以一，解得

）=—1'

所以点尸的坐标为（9,-1）.

故选：B.

【变式1］（2024•江苏南京,二模）已知向量G=（1,2）,B=（X,X+3）.^a//b,贝口=（）

A.-6B.-2C.3D.6

【答案】C

【分析】利用向量平行的判定方法得到b（x+3）=2-x,再解方程即可.

【详解】由）〃不，知l-（x+3）=2-x,解得x=3.

故选：C

【变式2】（2023•山东青岛•一模）已知。（0,0）,A（l,2）,5（3,-1）,若向量而〃刀，且玩与

砺的夹角为钝角，写出一个满足条件的玩的坐标为.

【答案】（-1,-2）

【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解.

【详解】根据题意可得：04-(1,2),03=(3,-1),

设加=(x,y),

因为向量灰〃且玩与砺的夹角为钝角,

Ly=2-x

所以<3-x+(-l)-y<0

3-y^(-l)-x

所以x<0,

不妨令x=T,

所以y=-2,

行=(-1,-2),

故答案为：(-L-2)

【变式3](2024•河南信阳•模拟预测)抛物线E：j?=4x的焦点为尸，直线⑷?，CD过尸

分别交抛物线E于点A,B,C,D,且直线ND,3c交x轴于N,M,其中N(2,0),

则M点坐标为.

【答案】&,。]/(0.5,0)

【分析】设出直线N5的方程，与抛物线方程联立，用点B的坐标表示点A的坐标，同理用

点C的坐标表示点D的坐标，再利用共线向量的坐标表示求解即得.

【详解】依题意，尸(1,0),显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为x=)+l,

\x=ty+\.224

由。2_以消去工得：y-4(y-4=o,设4(方v学v,％),贝!j必为=-4,即必=一了，

于是点“(，■，-(),设点。(?,乃)，同理得。(j,一；)，

NA=^-2,--),ND=(^-2,—),

%%%%

4444212

显然而//福，则---(--2)=----(二一2),整理得为=----，即点---),

歹2%%歹2%%%

设M>,0),则砺=(除-加,孔),就=(士-加,-马，而砺//就，

4%为

因止匕-7（牛=,整理得-£+2%=1-叼；，即（2+y；）勿=1+半,

解得切=；，所以M点坐标为（g,0）

故答案为：（g,0）

1【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）如图所示，在边长为2的等边“3C中，点E为中线AD的三等

分点（靠近点8）,点/为8C的中点，则砺.丽=（）

【分析】由平面向量数量积公式以及平面向量基本定理求解结果.

【详解】由已知有|拓|=2,|芯|=2,乙48c=60。，

所以丽•而=|说||就1〔cos418C=2x2x1=2.

己知。是NC的中点，则丽,说+灰?），BE=-B15=-（BA+BC）^F=FC=]^C,

2362

所以诙=丽-而=:两+前）-界=〃-押,

则丽.丽=（［说-）而）（-押〉-挪•元+/2=_9隼;-.

故选：D.

2.（2024•河北承德•二模）在“3C中，。为3C中点，连接/。，设£为4。中点，且

BA=x,BE=y,则就=（）

A.4x+2yB.-4x+y

C.-4x-2yD.4y-2x

【答案】D

【分析】利用平面向量基本定理将屉用族,而表示出来，再用向量的线性运算把就用

赤，瓦5表示即可.

【详解】由于砺=；（疹+丽）=；拓+；反，所以瑟=4砺一2或=4/一2亍，

故选：D

3.（2024•河北秦皇岛■二模）已知向量a=（私2加+3）,6=（1,4m+l）,则"加=-：'是"々与B

共线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出加的值，判断得解.

【详解】向量。=（加,2加+3）,6=（l,4m+l）,

若Z与B共线，则机（4m+1）-（2机+3）=0.解得加=-1或%=1,

3

所以"%=—J"是纭与石共线”的充分不必要条件，

4

故选：A.

J-_»J__£

4.（2024•四川模拟预测）已知向量。=（2,1）,b=（x,2）,若°〃人贝口=（）

A.4B.2C.1D.-1

【答案】A

【分析】利用共线向量的坐标表示计算得解.

【详解】向量。=（2,1）,b=（x,2）,由工//3，得2x2-x=0,所以x=4.

故选：A

二、多选题

5.（2024・全国•模拟预测）已知向量万=（%,1）花二（4,2）,则（）

A.若海，贝!U=2

B.若之_1,3，则X=7

2

C.若尤=3,则向量3与向量石的夹角的余弦值为逆

10

D.若h-1,则向量B在向量3上的投影向量为（亚,行）

【答案】AC

【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断A；利用向量垂直的充要条件的坐标表示

判断B；利用向量夹角的坐标表示判断C;利用向量投影的坐标表示判断D

【详解】若£〃九则2x-4=0,解得x=2,故A正确.

若a_kg,贝!j4x+2=0,解得》=一5,故B错误.

若x=3,则@=（3,1）,又5=（4,2）,所以向量£与向量g的夹角的余弦值为

a-b_12+2_7逝

丽=正义2下=='故,正确.

若x=-l,则G=（-1,1）,又5=（4,2）,所以向量B在向量£上的投影向量为

—2（—1,1）/、

a-ba直寸=（1，一1），故D错误.

向同

故选：AC.

6.（23-24高三上•山东枣庄•期末）设行=（-1,3）,行=（1,2）,则（）

A.忻-2司=10

B.（m—2n）±m

C.若（四一2万）〃（国+五），则左=一;

1r

D.万在玩上的投影向量为；;

2

【答案】BCD

【分析】根据向量的坐标运算计算验证各选项是否正确.

【详解】因为：而一2后=（-1,3）-2（1,2）=（-3,-1）,所以同一2司=|（一3,-1）|=可，故A错误;

因为：（而一2初成=（-3,-1）•（-1,3）=3-3=0,所以（成一2为口比，故B正确;

因为（万一2万）||（痂+/j）=lxl—（一2）左=0=左=一），故C正确;

「1ALm-n5VlOVlOmVlOm1_

因为：故D正确.

故选：BCD

三、填空题

7.（2023•河南关B州•模拟预测）已知点O为坐标原点，04=（1,1）,无=（-3,4）,点P在线

段N3上，且|万|=1,则点P的坐标为

1O

【答案】建）

【分析】解设48点坐标，根据已知得出4（1,1）,2（-3,4）,利用直线43方程，解设P点坐

标，再根据|不|=1,得出答案即可.

【详解】由题知，0（0,0）,设“（西,凶）,85,外）,

■.■ft4=(l,l),OB=(-3,4)..-.(xj-0,^-0)=(1,1),(x2-0,y2-0)=(-3,4),

,卜]=1（x2=-3

[%=4，

「.4（1,1）,5（-3,4）,kAB=--,则直线ZB方程为"-a"j

设夕点坐标为]x（）,—'|xo+'）,-3<x0<1,

Ap

=，-L-9+1]，二网=J（X°T）2+[_*+,]=i,

1Q1O

求解可得，%=不，..・%=],即尸点坐标为（不".

1o

故答案为：（%令

8.（2024•陕西安康•模拟预测）已知平面向量々=（3,4）,5=（私3）.若向量*23与&+B共线,

则实数加的值为

9

【答案】］

【分析】借助向量的坐标运算与共线性质计算即可得.

【详解】由题意，知2^=(3-2〃52)*+1=(3+应?，

g

由向量G-2B与M+B共线，得7(3-2加)+2(3+冽)=0,解得加二：

_,9

故答案为：—.

4

9.(2023河南开封•模拟预测)已知两点4T2),5(2,4),若向量5=(2,⑼与万垂直，则

m=.

【答案】-3

【分析】求出方=(3,2),根据鼠初=0即可求解.

【详解】因为4T2),8(2,4),所以方=(3,2).

因为向量Z=(2,M与您垂直，

所以&-与=2x3+2m=o,解答刃=-3.

故答案为：-3.

四、解答题

10.(2024・湖北•二模)如图，。为坐标原点，尸为抛物线=2x的焦点，过下的直线交抛

物线于45两点，直线/。交抛物线的准线于点。，设抛物线在3点处的切线为/.

⑴若直线/与y轴的交点为£,求证：\DE\=\EF\.

(2)过点8作/的垂线与直线交于点G,求证：

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线的方程为

X=叼+；,/（XQJ,Bd,％）,联立直线和抛物线方程求得D6,yJ,心半］,即可得

DE=EF>得证；

（2）写出过点3的/的垂线方程，解得交点G的纵坐标为九=%（%2+2）,再由相似比即可

得|%-M「=闵帆_川,即证得|4D旧阕

【详解】（1）易知抛物线焦点尸［g,。］,准线方程为x=-；；

设直线的方程为x=〃9+g,/（尤］,%）,8（了2，%）,

x=my+—^0

联立2得y-2my-1=0,

y2=2x

A=4m+4>0

可得+%=2加,所以必=一；

1%

旧%=-1

不妨设A在第一象限，B在第四象限，对于夕=-属

可得/的斜率为一-石=

月%

xx

所以/的方程为y-%=—(-2),即为了=—工+今

y2%2

令x=0得EoA

直线。区的方程为歹=上％=2%=-2y/,

国必

令X=_g得。（［，力）.

又尸',o］,所以瓦=而

即。同=|跖I得证.

（2）方法1：

由（1）中/的斜率为:可得过点8的/的垂线斜率为-%,

/

所以过点B的/的垂线的方程为了一%=-了2卜一了2），即>=一%无+%1+

如下图所示:

2

联立/=-%x+%11+;-J,解得G的纵坐标为％=%（y2+2）

y=-2y2x

要证明|/。2=|/。|但司，因为40,D,G四点共线，

只需证明1%-必「=|必「尻f|（*）•

M“儿一XI=」M（4+2）-耳卜0+”）­

必必

所以（*）成立，⑷『=|）。卜|/得证.

方法2：

由。（-；,力］，3（》2，%）知08与X轴平行，

.•产阴①

\AB\AD\J

又DF的斜率为-%，2G的斜率也为,所以。厂与BG平行,

AF\AD

5=所②，

……AOAD

由①②得二万二即|/。2司/。卜［4勺得证.

~AG

y=-yx+v1+

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设点法，从而得到22

y=

-2y2x

解出点G的坐标，从而转化为证明卜-必「=|必卜尻-必|即可-

H.（2022•北京•三模）如图四棱锥尸-/BCD中，AP4D是以4D为斜边的等腰直角三角形,

BC//AD,ABLAD,AD=2AB=2BC=2,PC=6,，£为尸。的中点.

⑴求证：直线CE〃平面P4B

（2）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值.

⑶设厂是BE的中点，判断点尸是否在平面R4C内，并证明结论.

【答案】（1）证明见解析

（2）-

3

⑶在平面为C内，证明见解析

【分析】（1）通过做辅助线证明四边形GEC3为平行四边形，再通过直线与平面平行的判

定公理证明

（2）通过建立空间直角坐标系，利用平面法向量与直线向量求得直线与平面所成角的正弦

值

（3）建立空间直角坐标系，根据平面向量基本定理求证结果

P

取4P中点G,连接G£,GB,EC

因为是以为斜边的等腰直角三角形，AD=2

所以GE=1

因为GE||4D,AD/7BC

所以GE||3C,又因为GE=BC

所以四边形GEC2是平行四边形，所以£C||G8

又因为EC<Z平面为3

GBu平面PAB

所以CE〃平面尸48

取/。中点0,连接尸。，CO,由已知是以40为斜边的等腰直角三角形

所以尸O_L40又40=2,所以P4=PD=C。PO=OD=1

ABLAD,AB=1,BC=-AD=\

2

所以四边形NBC。为正方形，即40,CO

PC=42,PO=I,oc=i,所以尸c?=p(y+oc2

所以PO_LOC

因为/r)noc=。，所以P。」平面48CD

所以以。。为x轴，0D为y轴，。尸为z轴，建立如图所示空间直角坐标系

所以

P(O,O,1),N(O,-1,O),C(LO,O),8(1,-LO)

设平面PAC的一个法向量为力=(X],y”Z])

尸/=(0,-1,一1)

就=。』,0)

丽=(1,-1,T)

n-PA=0得I—y,—必z,=。0可取_”(

由1+=LTD

n-AC=0

设直线与平面E4c所成角为。

।一।\PB^n\11

贝ijsin6=cos<PB,n>\=,*_..*=

11M-HGx"3

⑶证：£为功的中点，由⑵可知父。另），又尸是郎的中点，所以叫

CP=(-1,0,1)

C4=(-l,-l,0)

^CF=xCA+yCP,即

1

——=-x-y

2i

x=—

4

<-7=-x解得<

41

1y^~

I『

11—►1—►1—，

故有唯一一组实数对（二,二）使得CF=：C4+：CP

4444

因此符合向量基本定理，故C尸与C4,CP共面，即尸在平面为。内

【综合提升练】

一、单选题

1.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知向量1=（2,。，B=（l,2）,若当1=4时，a-b^\a\-\b\,

当％=%时，alb贝I」（）

-

A.%=4,t2=—\B.%=-4,t2=1

C.%=4,%2=-1D.%=4,%2=1

【答案】C

【分析】根据向量同向及数量积为0分别建立方程求解.

【详解】当时，由万名=同4|可知3与B方向相同，^|=|>0,解得6=4；

当％=%2时，a-b=0即2+21=0,解得%2=-1.

故选：C

2.（2024•山西•模拟预测）已知向量2=（2,尤），A=（-1,3）,若£〃g,贝中+可=（）

A.V6B.2A/2C.3D.Vio

【答案】D

【分析】根据向量平行，建立坐标关系，求出X.再利用模长公式求出模长.

【详解】因为所以2X3-(-1)，=0,即X=-6.

因为1+5=(2,-6)+(-1,3)=(1,-3),所以[+q=/2+(_3)2=而.

故选：D.

3.(2024•重庆•三模)已知向量3n(2,3)模=(加-1,2加+1),若方//],则冽=()

11

A.3B.-C.——D.-5

88

【答案】D

【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可.

【详解】由题意可知2(2加+1)=3(加-1)=>加=-5.

故选：D

4.(2024・浙江温州・三模)平面向量。=(%2),5=(-2,4),若。〃(a-3),则加=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.

【详解】a-^=(m+2,-2),由于。〃(a-9)，所以-2机=2(机+2),解得加=-1,

故选：A

5.(2024•辽宁•二模)已知平行四边形/BCD,点尸在△BCD的内部(不含边界)，则下列

选项中，刀可能的关系式为()

—、1—►3—►1—►3—►

A.AP=—AB+—ADB.AP=-AB+-AD

5544

—»2—►3—►2—►4—►

C.AP=-AB+-ADD.AP=—AB+—AD

3433

【答案】C

【分析】根据题意，设万=x^+y诟，结合平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解.

【详解】^.AP=xAB+yAD(x,yeR),由平面向量的基本定理，可得：

当无+y=l时，此时点P在直线2。上；

当0<x+y<l时，此时点尸在点/和直线2D之间;

当l<x+”2时，此时点尸在点C和直线2D之间；

当x+y=2时，此时点P在过点C且与直线BD平行的直线上，

—►1—>3—>13

对于A中，由向量4尸=1夕+1。，满足二+s<1,所以点尸在△力如内部，所以A错误;

对于B中，由=+满足“：=1,所以点。在3。上，所以B错误；

4444

—»2—►3—»23

对于C中，由/尸=彳/5+:/。，满足1<7+;<2,所以点P可能在△5CQ内部，所以C

3434

正确；

—>2—►4—►24

对于D中，由=满足彳+；=2,此时点尸在过点。且与直线AD平行的

3333

直线上，所以D错误.

故选：C.

6.(2024•全国•模拟预测)在中，点0满足而+2而=0.若|c/|=3,|。4=也，

ZACD=^,则囱=()

A.4B.2#>C.372D.273

【答案】C

【分析】首先根据已知取基0=凡函=日，然后用基底表示在，然后利用卜后7求

出即可

【详解】如图，在A/CD中，记0=扇丽=3,则而-万.

■：BD+2AD=0>DB=2AD=2b-2d-

在△BCD中，CB^CD+DB=3b-2a>又同=3,忖=后，a,b=^,

.-.|CS|=A/9P+4a2-12a-^=^18+36-12x3x72=372.

故选：C.

7.(2023•全国•模拟预测)在“BC中，点。是线段上靠近3的四等分点，点E是线段

CA上靠近。的三等分点，则获=()

2--1—.1—5―■5—•1—.1—.?—.

A.——CA+-CBB.-CA——CBC.——CA+-CBD.——CA+-CB

33266233

【答案】C

【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；

方法二：设“BC是等腰直角三角形，且。=C3=4,建立空间直角坐标系，写出点的坐

标，设赤=小0+〃而，从而得到方程组，求出答案.

【详解】方法一：如图，由题意得直、丽，AD=^AB,

^AE=AC+CE=AC+-CD=AC+-（AD-AC]=-AC+-AD

33、>33

1—►