高考数学一轮复习考点总结-利用导数研究函数的零点（含解析）

利用导数研究函数的零点（3种核心题型+基础保分练

+综合提升练+拓展冲刺练）

D1【考试提醒】

函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考

查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题,一般作为解答题

的压轴题出现

£3【核心题型】

题型一利用函数性质研究函数的零点

利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函

数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.

【例题1】（2024•全国•模拟预测）若函数[（x）=e，-尤+。-2有两个零点，则实数。的取值

范围是（）

A.（-oo,l]B.（-oo,0]C.D.（-co,l）

【答案】D

【分析】将零点问题切换成函数图像交点，再利用导数研究函数的单调性及参数的取值范围.

【详解】法—设g（x）=e-x,则函数〃尤）有两个零点转化为函数g（x）=e=x的图像与

直线V=2-。有两个交点，

因为g'（x）=e*-l,当x<0时，g'（x）<0；当x>0时,g'（尤）>0,

所以g（x）在区间（-叫0）上单调递减，在区间（0,+8）上单调递增，则g（x"g⑼=e°-0=1,

当xfYo时，g（x）->+8；当xf+oo时，g（x）->+8,贝！j2-a>l,解得a<1,即实数。

的取值范围是（一叫1）.

法二：函数/（无）=1-尤+”2有两个零点可转化为函数/心）=砂的图像与直线y=x+2-a

有两个交点.

因为函数的图像与y轴交于点（0,1）,且函数力⑺在点（0,1）处的切线方程为y=x+l,

所以直线>=x+2-a与该切线平行，且该直线V=x+2-a与了轴交于点（0,2-fl）,

所以点（0,2-a）在点（0,1）上方，即解得a<l,即实数。的取值范围是（-叫1）.

故选：D

【变式1］(2024•陕西西安・一模)若不等式xe，-x+a21wr-2恒成立，则实数。的取值范围

为.

【答案】［T+s)

【分析】函数不等式恒成立问题与隐零点问题.构造函数/(x)=lnx-2-xe*+无，求导后再次

构造函数g(x)=l-xe)求导分析g(x)的单调性，找到隐零点七,并得到廿。=,，然后再

xo

分析“X)的单调性，找到最大值〃%),最后再结合对数的运算求出函数“X)的最大值即

可.

【详解】不等式移项可得a2brc-2-xe'+x,

T

设/(x)=lnx—2—xeX+x,x〉0则/'(x)=-(e+AET)+1+-=(x+1)上至,x>0,

设g(无)=1-疣"户>0,贝!]g'(x)=-(e*+xe*)<0恒成立,

所以函数g(x)在(0,+为上单调递减,

因为g(o)=1-0=1,g(l)=l-e<0,

所以乱使得g(Xo)=Onl-Xoe*。=0ne%①

所以g(无)在(o,%)上单调递增，在(％,+(»)上单调递减，最大值为g(无)111ax=g(xo),

所以当0<x<x。时，/%)>0,〃x)在(0,x0)上单调递增；

当x>x0时，f'［x)<0,7(x)在(％,+00)上单调递减；

+/+lnXo-2,代入①可得〃x)max=-/.；+尤0+1$-2=-3,

X0C

所以a2-3,所以实数。的取值范围为［-3,+8),

故答案为：［T+8).

【点睛】方法点睛：

(1)证明带参数的不等式恒成立问题时可采用分离参数法，再构造函数利用导数分析函数

的最值情况，如一次构造不容易看出单调性可二次构造再求导；

(2)对于隐零点问题，可求导后分析特殊值找到隐零点的大概区间，再以隐零点为边界分

析函数的单调性

【变式2](2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=工2一(2+a)x+alnx,tzeR.

⑴讨论了(%)的单调性;

(2)设g(x)=-----f(x)+x2-(a+l)x-2a+(a-l)lnx，若g(x)存在两个不同的零点，x,

x2

且王<9•

(i)证明:2。>e+1；

4/—2。—1

(ii)证明:-x<--------------

2a-l

【答案】⑴答案见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【分析】(1)先确定定义域，求出导函数并进行通分和因式分解后根据开口方向、根的大小

关系、根与定义域的位置关系等信息进行分类讨论得出导数正负情况，从而得出函数的单调

性.

(2)考查用导数研究函数零点问题，(i)用导数研究函数的单调性和最值情况，确保函数

零点个数为2即可证明2a>e+l；(ii)根据零点的分布和大小情况进行考虑入手即可.

【详解】(1)由题/(x)的定义域为(0,+8),

.x)=2>(2+a)+q=2江一(2+。)》+。=(2xj)(xf,

XXX

①若aVO,贝！)2尤-a>0,当0cx<1时，f\x)<0；当x>l时，f\x)>0,

所以/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+«)上单调递增.

②若a>0,令/，(x)=0,得%=1,x2=-|.

当0<a<2时，0<-<1,

2

当0<、<彳或无>1时，fXx)>0；当3Vx<1时，f'(x)<0,

22

所以“X)在/£),(1,+。)上单调递增，在上单调递减；

当4〉2时，—>1,

2

当。<%<1或时，/v)>o；当1<“<q时，/v)<o,

22

所以“X)在(0,1),[j,上单调递增，在上单调递减;

当a=2时，/⑶二？。一。，。,当且仅当x=1时等号成立，

所以在(0,+8)上单调递增.

(2)(i)由题意知g(x)=^——Inx+x-2tz，

x

所以g'(x)=(xl)e—_I)'_D(e+x)

x2XX2X2

当0<X<1时，g'(x)<0；当尤>1时，g'(x)>0,

所以g(无)在(0,1)上单调递减，在(1,+⑼上单调递增，

则g(x)min=g6=e+l-2a,

因为函数g(x)存在两个不同的零点，故e+1-2a<0,即2a>e+l.

(ii)下面找出两个点加，n(0<m<l<n),使得g(加)>0,g(n)>0,

注意到4/-2"1=2〃一_二，且。<11

口<1。，于是考虑找点2%不

2a—12a—1

1

下面我们证明：g(2a)>0,g>0,

2a-l

x

e2ae

①g(2a)〉0o------ln(2a)>0,设m(x)=-----Inx(x>2),下证m(x)>0,

2ax

方法1：设//(%)=—0),贝[]/(%)=1一工一1,故/z〃(x)=e"—1>0,

所以(x)在(2,+oo)上单调递增,得h\x)>"(2)=e?-3>0,

所以Kx)在(2,+8)上单调递增，

故力(%)〉〃(2)=e2-4>0,即e">；，+x(x>2),

e%1

因止匕冽(x)=-----Inx>—x+1-Inx,

x2

111

设〃(x)=—x+1-lnx(x>2),贝！JM(x)=------=——>0,

22x2x

所以〃(x)在(2,+8)上单调递增,所以〃(%)N〃(2)=2—ln2>0,

QX2A

因止匕冽(x)=-----Inx>0,又2o〉e+l>2,故E----ln(2q)〉0,即g(2〃)>0,

x2a

又/⑴<0,所以1<%<2匹

方法2：易知“(x)=-T)x,设va)=(x-i)e，-x,贝!]M(x)=x/-1>0,

X

所以V(x)在(2,+00)上单调递增,得v(x)>v(2)=e2-2>0,

2

所以加(%)在(2,+oo)上单调递增,故m(x)>m(2)=——eIn2>0,

2

2a

又2“>e+l>2,从而----ln(2a)>0,即g(2a)>0,

2a

又/(1)<0,所以1</<2即

1

@gfTrV(2«-l)e^-ln-l-+-l--2«

<2。-1J2a-12。-1

1—X

设t{x}=lnx-x+l,则f(x)=---,

易知《X)在(0,1)上单调递增，在(L+如上单调递减,

所以(工)(《1)=0,BPInx<x-1,

又2〃>e+l,即0<---<—,

2a-1e

1

所以In—~7-1，且「2所11、n，

2a-12a-Ie—l〉u

因此g占>afeG-⑶-1)=(勿-1)

e2fl-1-1>0,

又/(l)<0,所以二二<占<1,即_1<_玉<一::

2。一12〃-1

4/—2a—1

%2—1]<2cl------

2。—12a-\

【点睛】思路点睛：利用导数研究函数零点问题，要留意零点个数以及判定的依据、零点分

布情况等，结合问题的方向才能找准切入研究的方向

【变式3](2024•辽宁■三模)已知/3=(x-l)e，+*.

(1)讨论函数〃x)的单调性;

(2)当。>0时，证明：函数/(x)有且仅有两个零点%,％,JLXJ+%2<0.

【答案】(1)当.»0时，“X)在(0,+司上单调递增，在(-刑0)上单调递减；

当-1<a<0时，/(x)在(-℃,ln(-a))和(0,+oo)上单调递增，在(ln(-a),0)上单调递减;

当。=一1时，〃x)在R上单调递增；

当a<-1时，/(x)在(-8,0)和(ln(-a),+oo)上单调递增，在(0,In(-a))上单调递减

(2)证明见解析

【分析】(1)对「(X)求导，对。分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解；

(2)先用零点存在性定理证明结论，再构造新函数讨论/(匹)与/'(-尤2)大小关系，利用/(X)

在(0,+◎上单调性，证明结论即可.

【详解】(1)f'(x)-xe^+ax=x(ex+a),

当aNO时，令f'(x)>0,得x>0,令f'(x)<0,得x<0,

所以/'(无)在(0,+功上单调递增，在(-叫0)上单调递减；

当a<0时，令/''(x)=0,得x=0或x=ln(-a),

当ln(-a)<0,即一1<°<0时，由/'卜)>0得X«-8,111(-(7))30,+00),得

xe(ln(-a),0),

所以/(x)在(-8,ln(-a))和(0,+s)上单调递增，在(ln(-a),0)上单调递减；

当ln(-a)=。即。=-1时,广(力20恒成立,〃x)在R上单调递增；

当ln(-a)>0,即a<-l时,由/'(x)>0得xe(-co,0)D(ln(-a),+e),由/'(x)*0得

xe(O,ln(-a)j,

所以/'(无)在(-8,0)和(ln(-a),+e)上单调递增，在(0,皿-叫上单调递减.

综上，当.20时，/(x)在(0,+e)上单调递增，在(-8,0)上单调递减；

当-l<a<0时，［(X)在(-81n(-a))和(0,+功上单调递增，在(ln(-a),0)上单调递减；

当。=-1时，/(》)在R上单调递增；

当时,/(力在(-甩0)和(ln(-a),+e)上单调递增,在(0,山(-a))上单调递减.

(2)由第(1)问中a>0时，/(x)在(0,+“)上单调递增，在(-8,0)上单调递减，

当x>0时，因为a>0,/(0)=-1<0,/(1)=|>0,

由零点存在性定理可得：函数/(x)在区间(0,+功上存在唯一零点巧，且ze(0,l),

使得1(%)=0；

当x<0时，x-l<0,0<ex<1,贝！J(x—l)e”>%—1,

贝!=ax2>(x-1)+；ax2=；ax2+x-\,

显然一元二次方程:"2+%_1=0的两个不等实根为：和,

2aa

苴中-1+J1+2Q-1-J1+2Q

aa

取6=上叵至<0,

a

/■伍)=伍-1)金+)仍2>；仍2+6-1=。，

即/他)>0,且/(0)=-1<0,

由零点存在性定理可得：函数/(X)在区间(-8,0)上存在唯一零点七，且再€0,0),

使得/■6)=();

所以当a>0时，函数f(x)有且仅有两个零点；

因为X2为零点，所以/。2)=(%-1)12=0,

所以;ax；=(1-X2)e*2,

%2

所以/(―X2)=(—x?—l)e"++—ax；=(-x2—l)e"+(1—x2)e,

令g(无)=(-尤-1)尸+(1-尤)e，,g，(x)=x(b-e,),

-xx

当x>0时，e-e<0,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+oo)上单调递减,

因为g(0)=0，x2>0,所以g(X2)<0,

所以(-/T)ef+(1-X2)e*2<0,所以/(-尤2)<0,所以/(无J=0>/(f),

因为/'(无)在(-叫0)上单调递减，

所以为〈-无2，所以王+马<0.

【点睛】方法点睛：本题考查双变量型不等式恒成立问题，属于难题.该类问题常用的解题

方法有：一是消元法，变量统一；二是变更主元法；三是构造函数法；四是最值法

题型二数形结合法研究函数的零点

含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用

X表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数.

ln(l-x),x6(-oo,0]

【例题2】(2024•北京房山•一模)若函数/(无)=1小\，则函数

下可,xe(0,+8)

g(x)=/(x)+x+c零点的个数为()

A.1B.2C.1或2D.1或3

【答案】A

【分析】令g(元)=/(x)+x+c=0,则/(x)+x=-c,则函数g(x)零点的个数即为函数

了=〃x)+x/=-c图象交点的个数，构造函数〃(x)=/(x)+x,利用导数求出函数〃(x)的

单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.

ln(l-x),xG(一。,0]111(1-X),XG(-(X),o]

【详解】/(幻=1)=X,XEp,l)

所,X£(0,+8)

|-1-,xe[l,+<z>)

令g(无)=/(x)+x+c=0,贝！j/(x)+x=-c,

则函数g(x)零点的个数即为函数y=〃x)+x,y=-c图象交点的个数,

ln(l一x)+x,%£(一。,0]

：

令〃(X)=/(x)+x=<2x,xG(0,1)

—+X,XG[1,4-00)

、x

1x

当x£(—oo,0]时，A(x)=ln(l-x)+x,贝ijl(x)=---+1=---->0,

X—1X—1

所以函数,(x)在(-8,0］上单调递增,且〃(0)=0,

当％£(0,1)时,A(X)=2XG(0,2),

1-12i

当xe[l,+<»)时，〃(尤)=—+x,则〃(x)=--v+l=^-^->0,

XXX

所以函数”(可在口,+⑹上单调递增，且3)=2,

又当xf-oo时>-00,当Xf+CO时，/?(%)-»+OO,

作出函数访(x)的大致图象如图所示,

2仁二c

4"

由图可知函数了=/(尤)+尤J=-C的图象有且仅有一个交点，

所以函数g(x)=/(x)+x+c零点的个数为1个.

故选：A.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体

现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/'(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线夕=。与函

数V=g(x)的图象的交点问题.

3e，,

---?x>一]1

【变式1](2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=,,g(x)=x+TO.若

—+—,x<-1

lx2

g(/(x))=o有三个不同的根，则a的取值范围为

【答案】,汉一修)

【分析】利用导数研究函数单调性，画出草图，然后数形结合解出结果.

【详解】当尤＞-1时，八幻=:，，所以“X)在(-1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递

(x+1)

增,

又/(0)=3,x—+00时，y(x)f+00,x--1时，y(x)f+8,所以/(x)e[3,+co)；

当xV-1时，易知外工)在上单调递减,所以/(x)e

作出函数/(x)的大致图象如图所示.

令t=f(x),则数形结合可知方程g⑺=0有两个不同的实数根，分别记为

且仆-1,1L{3},Z2e(3,+oo),而方程g«)=0有两个不同的根等价于函数y=与

的图象有两个不同的交点，且两个交点的横坐标分别为.

（11（0\—]<-Q1Q

数形结合可知.£[0,5卜右£（3,+/）.令0（。='+-,令（2）,解得〃<—?•

[夕⑶<-a

10

-009---------

故答案为:3

【变式2](2024•陕西西安•模拟预测)已知函数〃x)=e，-l-办(aeR).

⑴若函数〃x)在点处的切线与直线x+2ey+l=0垂直，求°的值；

(2)当x€(0,2]时,讨论函数尸(x)=/(x)-xlnx零点的个数.

[答案](1)0=-e

⑵答案见解析

【分析】(1)求导可得/⑴=e-。，根据题意结合垂直关系运算求解；

(2)构建g(x)=W-J-lnx(x40,1),由题意分析可知"x)的零点个数即为了=。与

V=g(x)的交点个数，求导，利用导数判断y=g(H的单调性和最值，进而可得结果.

【详解】(1)由题意可知：/'(x)=e「a,可知/''⑴=e-a,

且直线x+2ey+l=0的斜率为后=-,，

2e

由题意可知：(e-a)x(-\J=T，解得。=一。.

(2)由b(x)=/(x)-xlnx=0得--1-ln.x,

XX

令g(%)=----------InX(XG(0,2]),

可知尸(X)的零点个数即为y=a与y=g(x)的交点个数,

(x-l)ex

则g'(x)=11

X2X2

因为x>0,则e*—1>0,

令g，(x)>0,解得l<x<2;令g'(x)<0,解得0<x<l；

可知g(x)在(0,1)内单调递减，在2］内单调递增,

且%趋近于0时，g(x)趋近于+8,g(l)=e-l,g(2)=F~-ln2,

函数尸(x)有一个零点;

2

2_i

当e-e-----ln2时，函数厂(%)有两个零点;

2

当a<e-l时，函数尸(x)没有零点.

【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求

解.这类问题求解的通法是:

(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域;

(2)求导数，得单调区间和极值点；

(3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解

【变式3](2024•河北邯郸•二模)已知函数/(x)=e*-"7x,g(x)=x-zwlnx.

⑴是否存在实数相，使得和g(x)在(0,+“)上的单调区间相同？若存在，求出加的取

值范围；若不存在，请说明理由.

(2)已知再,人是的零点,马,马是g(x)的零点.

①证明：m>e,

3

②证明：1<x1x2x3<e.

【答案】⑴存在，且机

(2)①证明见解析②证明见解析

【分析】(1)结合导数与函数单调性的关系，分加40与加>0进行讨论即可得；

(2)①利用导数得到/(x)的单调性后，借助零点的存在性定理可得;'(1的)=能-血n〃?<0,

解出即可得；(^)构造函数加(》)=§(》>0),"(》)=.(》>1),结合导数得到函数的单调性,

画出相应图象，可得从而得到占=皿2，W=e"，从而可得再工会3=只，结合工2的范围即可

得解.

【详解】(1)由题意得xe(O,+e)J'(x)=e，-叽g'(x)=l-W=U，

当"?V0时，/,(x)>0,g,(x)>0,所以〃尤)和g(x)在(0,+向上都单调递增,符合题意；

当机>0时，若/(x)和g(x)在(0,+e)上的单调区间相同，

则/(x)和g(无)有相同的极值点,即=m,

令h(m)=】nm-m,贝lj%'(加)='-I=■!——,

mm

当机€(0,1)时，九'(m)>0,当加e(l,+8)时,h'[m)<0,

所以M刃)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，贝必(勿)4〃⑴=-1,

所以ln»?=m无解，

综上，当加e(-8,0]时，/(x)和g(x)在(0,+e)上的单调区间相同；

x

(2)①由题意，/(x)有两个零点，f'(x)=e-m,

若机W0,则/''(x"。，所以/(无)在R上单调递增，不符合题意，

若加>0,则当尤e(-8,ln")时，/'(x)<0,/(x)单调递减,

当xe(lwn,+8)时,厂(x)>0,/(尤)单调递增，

且当Xf-8时，f(X)->-00,当Xf+8时，f(%)->+00,

所以/(111加)=扭-加111，*<0,解得利〉e,得证；

②令/"(x)=0,g(x)=0,^#eT=mx,x=m\nx,即上=机>0,二=机>0,

xInx

令加(x)=>0),〃(x)=-^(x>1),贝！J加'(x)=----2―\,

xInrx(mx)

当x£(0,1)时，m\x)<0,m(x)单调递减，

当x£(l,+8)时，m\x)>0,m(x)单调递增,

当x£(l,e)时，n\x)<0,〃(x)单调递减,

当x£(e,+8)时，，(%)>0,〃(x)单调递增,

在同一坐标平面内作出函数加(x)=F(x〉0)与函数〃卜)=.(1>1)的图象,

它们有公共点/(乙，%)，如图，

辽八1r-e*e"2%%

故°<玉<1<%2<e<x3,且有==-=-，

国x2lnx2lnx3

e%i%e"iginx2

由—二；2,得—=----,即加(再)二相(lux?),又0〈ln%2<l,所以西=111^2,

%lnx2再lnx2~

=xe3

故再入2%32(l?e).

m(x)=­(x>0),n(x)=-^(x>1)

【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于构造函数%,

结合导数得到函数的单调性，从而得到XF2X3=只

题型三构造函数法研究函数的零点

涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零

点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的

取值范围

【例题3】(2023•吉林通化•模拟预测)已知函数/&)=12+2乂--3#+/))满足：①定义

域为R;②〈<6<4；③有且仅有两个不同的零点七，则的取值范围是()

2再入2

A.(-2,-1)D.(1,2)

一「5

【答案】B

【分析】由题意可转化为g⑴=/-3aX?+b有且仅有两个不同的零点为，巧，对g(x)求导,

结合g(x)的单调性可知g(2a)=0,由此可知g(x)另一根为-a,由6的范围可求出。的范

围，即可求出1+三的取值范围.

【详解】函数/。)=(—+2乂/-36+6)有且仅有两个不同的零点不x?,

因为犬+2>0,令g(x)=x'-3#+/),即g(x)有且仅有两个不同的零点七，X?,

g<x)=3x?-6ax=3x(x-2a)=0得x=0或x=2a,

若a>0,令g'(x)>0,可得x>2a或x<0；令g'(x)<0,可得0cx<2a,

所以g(x)在(-*0),(2。,+8)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，

同理若a<0,g(x)在(-甩2。),(0,+⑹上单调递增，在(2a,0)上单调递减，

因为g<6<4,g(0)=bw0,

要使g(x)有且仅有两个不同的零点七，巧，则g(2a)=0,

而g(2a)=8/-12/+6=0,贝因为g<6<4,

1,1

则—<4/<4,则—<a<1,

22

则g(x)有一根是确定的为2a,又因为g(x)=》3-3浸+6=(x-2a)2(x+a),

所以g(x)的另一根为-a,

故选：B.

【变式1](2024•河北沧州・模拟预测)已知函数〃x)=ax2e*-21nx-x-a,则()

A.当。=1时,/(x)有极小值B.当。=1时，/(x)有极大值

C.若/(x"0,贝|。=1D.函数/(x)的零点最多有1个

【答案】AC

【分析】对于AB：代入。=1,求导，求单调性即可判断；对于C：设1=将不等

式转化为6(。=。”1)-111拈0成立，求导，研究其单调性，极值来判断；对于D：求导，

分0<a<l,a=1,aVO讨论研究零点个数.

【详解】对于AB：当“=1时，6+2内/7%>0),

令eh2-l=0,即所以lne、=ln4，即21nx=—x,

XX

结合函数图象可知，存在使得/'(无。)=0,

令e"2_i>o,则21n尤〉-x,得x〉玉,

所以当xe(0,%)时，/'(x)<0,函数/(x)单调递减，

当xe(x°,+s)时，/'(x)>0,函数/(X)单调递增，故A项正确，B项错误.

若/(x)N°，BPax2ex>Inx2+IneA+a,则。(x%，-1)2ln(x2e*).

设f=x2e、>0,则

设G(/)=a«_l)_lnf,可知G«)20,则G'«)=a_；,t>0.

若aWO,则G'(f)<0,G«)为减函数，注意到G(l)=0,可知当r>l时，G«)<0,不合题

若。>0,则G(/)=—,

当此1o,£|时，G'(/)<0,G(。为减函数，当时，G'(/)>0,G⑺为增函数，

所以G«)2G[[=l-a+lnaNO.设9(Q)=ln〃-a+l,Q〉0,

Ii_/j

贝!!"'(〃)=——1=---，a>0.

aa

当〃>1时，“⑷<0,9(。)为减函数，当0<〃<1时，d(〃)>0,9(o)为增函数,

贝!]"(〃)《"(1)=0,所以只有当〃=1时，G⑺"才能成立.

综上所述，4=1,故C项正确.

由C项可知，t=x2ex,x>0,贝”=/，+2%）〉0,所以，=%2吸工〉0）为增函数.

1

当a〉1时，（p（a）=G<0,

a

当f无限趋近于0时，G"）无限趋近于+8,且G（e）=a（e-1）-1>0,

即此时G（f）有两个零点，因为，=，/（工>0）为增函数，且t>0,

所以此时/（x）有两个零点.

同理可得，当0<。<1时，/（X）有两个零点.

当。=1时，0⑷=G（£|=0,此时G⑺有一个零点1,所以/（x）有一个零点.

当aVO时，G«）为减函数，G（l）=0,此时G⑺有一个零点1,即/（无）只有一个零点.

综上，函数/（x）最多有两个零点，故D项错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是利用导数研究函数t=x2e%x>0）的性质

【变式2］（2024•全国•模拟预测）设函数〃x）=f2+跋+1nxswR）.

⑴若a=l,求函数〃x）的单调区间；

（2）设函数/（x）在jLe］上有两个零点，求实数。的取值范围.（其中e是自然对数的底数）

e

【答案】⑴单调递增区间为（0』），单调递减区间为（1,+8）

【分析】（1）根据题意，求导可得/（X）,即可得到结果;

(2)根据题意，由条件可得a=x-叵，构造函数g(x)=x-则，其中xe-,e,转化为

xx_e_

最值问题，即可求解.

【详解】(1)当“=1时，/(x)=-x2+x+lnx,/(x)的定义域为(0,+司，

—2x2+x+1

令贝！］2尤2-x-l<0,解得0<x<l,

令/'(x)<0,则2X2-X-1>0,解得X>1.

函数/(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+s).

(2)令/'(x)=-x?+ax+lnr=0,则.=%-蛔.

x

入/、Inx,「1

令g(尤)=x----,其中xe-,e,

xe

令g'(x)>0,解得l<xVe,令g'(x)<0,解得14x<l.

e

.•.g(x)的单调递减区间为单调递增区间为

，g(x)min=g(D=L

e)=e--,函数/'(x)在一,e上有两个零点,

，。的取值范围是

【变式3](2024•广东•二模)已知/'(%)=+(1-2a)x-2hu,a>0.

⑴求/(x)的单调区间；

(2)函数“X)的图象上是否存在两点/(不凹),8(x2,%)(其中云产马)，使得直线与函数

/(x)的图象在％=矢三处的切线平行？若存在，请求出直线48；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴/⑴在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间;

(2)求出直线45的斜率，再求出了'(%),从而得到外,%的等式，再进行换元和求导，即可

解出答案.

【详解】(1)由题可得f\x)=ax+l-2a--=竺±1二辿二3=(办+1)(》-2)@>0

XXX

因为4〉0,所以QX+1〉O,

所以当X£(O,2)时，八%)<0,“X)在(0,2)上单调递减，

当X£(2,+8)时，/V)>0,在(2,+8)上单调递增.

综上，/(%)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

11

—ax2+(1-2a)x-21nx]~[—ax2+(1-2a)x-21nXj]

(2)由题意得，斜率左=%-乂222[x

x2一再工2一再

—a(xl-x^)+(l-2tz)(x2-Xj)-21n强21n9

2x国,

1—W/+xj-2a-

x2一再x2-x1

也3+1.2〃——i

2

由左二r(苫■)得,

2卢-1)

In强

即In三一一百一=0

再2，即In

*J1

x2一再再+x2

项

令，=三，不妨设X2>无1，贝!|，>1,

xl

2(/-D4

i己g«)=hU一_S_^=hw+-----2(%>1)

Z+l/+l

i4(7-1)

所以g'(O=-；—3=}^>o,所以g⑺在(I,+s)上是增函数，所以g(/)>g⑴=0,

t(z+i)力+1)

所以方程g«)=0无解，则满足条件的两点48不存在.

口【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1.(2023•四川资阳•模拟预测)将函数/(无)=cosx-5在(0,+。)上的所有极值点按照由小

到大的顺序排列，得到数列｛斗｝(其中〃eN*),贝I()

B-尤“+i一吃<%

c.x“+x“+i＞（2n-l）7iD.｛卜-(〃-1)兀|｝为递减数列

【答案】D

【分析】先对函数求导，结合导函数把极值点问题转化为函数g@)在(0,+")上的零点，进

一步转化为函数〃(x)=sin尤与函数优(x)=：图象交点的横坐标，然后数形结合分别判断各

选项即可.

【详解】因为/(x)=cos尤-±7(x>0)所以/<x)=-sinx+4,

ee

令8(X)=/'(》)=一$111尤+5，

故函数/(x)在(0,+8)上的所有极值点为函数g(x)在(0,+8)上的零点，

即方程-sinx+"=o的正根，也即函数〃(尤)=sinx与函数加(x)=5图象交点的横坐标，

作出函数〃(无)=sinx和函数=图象如下

对于A,当〃=1时，由图可知0<国<],不满足故A错误；

对于B,由图可知，当〃为奇数时，xn+l-xn<Ji,当〃为偶数时，xn+l-xn>n,故B错误;

对于C,由图可知，结合〃(x)=sinx的对称性知，Xj+X2>TI,x2+x3<3n,

不满足X"+x”+|兀，故C错误；

对于D,\xn-(“T)同在x轴上表示当与(〃-1)无的距离，

由于函数加(x)=(在(0,+e)上单调递减，函数〃(x)=sin尤是以2兀为周期的函数，

结合图象可知T越来越小，即数列｛卜-("-1)兀|｝为递减数列，故D正确.

故选：D

2.(23-24高三上・湖北荆门•阶段练习)/(x)=2e<5/的零点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】先把零点个数转化为函数交点个数，再构造函数g（x）=p,结合导函数求解单调性

及极值最后应用数形结合求解.

【详解】由2e，-5/=0得"=|,构造函数g（x）=5，求导得=ev＞0

g（x）在（-8,0）上单调递减,在（0,2）上单调递增，（2,+“）上单调递减，且g（0）=0,

3.（2023・四川成都・二模）若指数函数＞="（。＞0且。片1）与幕函数y=/的图象恰好有

两个不同的交点，则实数。的取值范围是（）

,e、（e、

A.e5,+a）B.l,e5

【答案】D

【分析】令两边取对数得/=F，记/（"=乎（x＞0）,利用导数研究其单调

性，作出草图即可求解.

【详解】由幕函数和指数函数的图象和性质可知，当xWO时两函数图象无交点，

令屋=y,两边取对数得xlna=51nx,即皿=运，

x5

记〃x）=r（x＞。），则/（"=上詈，

当％£（0,e）时,/r（x）＞0,当x£（e,+e）时，/r（x）＜0,

所以/（x）在（0,e）上单调递增，在包+⑹上单调递减，

所以，当x=e时，/（X）取得最大值/（e）=一

又当x趋于+8时，/（X）趋于0,当X趋于0时，/（X）趋于-8,

所以可得/（x）的草图如图,

由图可知，当0<学<1,即时，函数〃尤）的图象与>=学有两个交点,

即指数函数歹=能（a>0且awl）与塞函数y=x5的图象恰好有两个不同的交点.

【点睛】关于函数零点个数问题，参变分离是常用方法之一，本题采用取对数的方法分离参

数，然后转化为两个函数的交点问题，在利用导数研究函数图象时，一定要注意函数是否存

在渐近线，否则容易出错.

2_15

4.(2023・全国•模拟预测)已知函数/(x)=e"-'+5+4x_ln(x+4)+e'了存在零点，则实数。

的值为()

,15°〜，15_

A.-2B.In---2C.-3D.In--3

44

【答案】D

【分析】构造新函数，利用导数求单调性，再运用基本不等式即可求解

【详解】由/(x)=0得心+二""吟=ln(x+4),

15丫？

axAa+2ln

设g(x)=e~+e-T,h(x)=ln(x+4)---4x,

设h(x)=ln(x+4)————4x,x>-4,h'(x)=-------x—4=0++",

2x+4x+4

由/(x)>0得—4<x<—3,由l(x)<0得x>-3,

所以/7（X）在（-4,-3）单调递增，在（-3,+⑹单调递减，所以〃（x）V止3）=当,

x-a+21n-^15

x-a+21n—

x4>

而g(%)=ef'~+eC~~21

当且仅当a-x=x-a+21n工，即x=a-In彳时，等号成立，

因为/(x)有零点，贝!Ja-ln，=—3,所以a=ln丁-3,

故选：D.

二、多选题

5.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(力=/-ax+1,aeR,则()

A.若有极值点，则

B.当。=1时，/(x)有一个零点

C./(x)