《概率论》§5两个随机变量的函数的分布

主要内容随机变量函数分布难点随机变量函数取值范围重点会求两个随机变量和、商、最大及最小值分布第1页实际背景冷冗余系统：设有两个部件

、

其工作寿命分别为部件

坏了,换上备用部件

继续工作热冗余系统：部件

、并联同时工作,仅当两个部件都损坏时，整个系统才失效串联系统：部件

、串联同时工作,只要有一个部件损坏，整个系统就失效问题怎样确定上述各系统寿命

？系统寿命X+Y系统寿命XYmax{,}系统寿命XYmin{,}第2页离散型随机变量函数分布例

3/14/2025第3页概率解等价于3/14/2025第4页概率3/14/2025第5页3/14/2025第6页结论3/14/2025第7页设X1与X2相互独立，分别服从b(n1,p)和b(n1,p)，求Y=X1+X2分布.解依题知X+Y可能取值为0,1,2,...,n1+n2,由与独立性有由得所以Y=X1+X2服从二项分布b(n1+n2,p)二项分布可加性3/14/2025第8页X~π(

1),Y~π(

2),则Z=X+Y

可能取值为0,1,2,

,泊松分布可加性3/14/2025第9页问题question怎样求若分布？一般地设是一个二元函数怎样求分布？思路：第10页设,则分布函数为(一)的分布ZXY=+若相互独立,则密度函数为称为卷积公式,记为第11页由独立性及卷积公式有解例设

相互独立,且求

分布密度.令第12页则独立正态r.v和的一般结果设

相互独立,且普通地，若相互独立,且则对于不全为零常数有独立正态r.v的非零线性组合仍服从正态分布第13页例

已知(X,Y)~Z=X+Y,求fZ(z)解法一分布函数法解法二图形定限法解法三不等式组法3/14/2025第14页解法一（分布函数法）

x+y=z当z<0时，1yx13/14/2025第15页当0

z<1时，yx11x+y=z•z•z3/14/2025第16页x+y=z当1

z<2时，z-11yx1•z•z3/14/2025第17页1yx1x+y=z22当2

z时，3/14/2025第18页解法二（图形定限法）显然X,Y相互独立,且3/14/2025第19页z1z=xz-1=xx213/14/2025第20页解法三（不等式组法）显然X,Y相互独立,且3/14/2025第21页x210z-1zz-1zz-1zz-1z3/14/2025第22页例已知(X,Y)联合密度为Z=X+Y,求fZ(z)解法一（图形定限法）3/14/2025第23页zxz=xz=2xx=112当z<0或z>2,zzzz当0≤z<1,当1≤z<2,fZ

(z)=03/14/2025第24页3/14/2025第25页解法二（不等式组法）考虑被积函数取非零值区域令不等式边边相等,解得z轴上三个分界点0,1,2当或时不等式组无解当时不等式组解为当时不等式组解为3/14/2025第26页3/14/2025第27页解法三（积分换元法）令3/14/2025第28页2uzz=2uz=u+1z=u113/14/2025第29页z=2u2uzz=u+13/14/2025第30页求串联后总电阻概率密度.解例某电气设备中两个部件存在接触电阻两个部件工作状态是相互独立,概率密度均为其它由卷积公式有被积函数非零区域是其它其它其它第31页解例设

相互独立且都服从参数为指数分布,概率密度.求由卷积公式有密度函数为实际背景冷冗余系统的系统寿命的密度函数XEXP()~θ研究问题question相互独立且都服从参数为指数分布设分布密度.求提示：,则记设法导出递推公式，然后用归纳法证实第32页连续型随机变量商分布3/14/2025第33页同理可得故有3/14/2025第34页当X,Y独立时,由此可得分布密度为3/14/2025第35页例

设二维随机变量(X，Y)密度函数为试求随机变量Z=X/Y密度函数.解由公式3/14/2025第36页3/14/2025第37页解例设

独立同分布,其密度函数为概率密度.求时当分布函数为思考题在本例条件下,证实相互独立第38页(瑞利Rayleigh分布)解例设

相互独立同服从正态分布求概率密度.时当分布函数为

第39页设,且相互独立(二)的分布XYmax(,),min(,)XY①,则设相互独立且则②尤其当独立同分布于时有③第40页设独立同分布,含有密度怎样求question问题密度？分析第41页体育馆大屏幕由信号处理机和显示器组成，例它们寿命分别为

若它们概率密度分别为其中试求大屏幕系统寿命

概率密度.分析信号处理机和显示器组成串联络统,故整个系统寿命为密度函数也是一个指数分布,其中参数称为失效率,而表示平均寿命.解大屏幕系统寿命,由独立性有的失效率之和其失效率是每个部件可见指数分布的串联第42页例

3/14/2025第43页解3/14/2025第44页3/14/2025第45页3/14/2025第46页3/14/2025第47页3/14/2025第48页小结多维