指数与指数函数第一轮复习

第二章

函数概念与基本初等函数I§2.5指数与指数函数第1页内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提升练出高分第2页基础知识

自主学习第3页1.分数指数幂0没有意义(2)有理数指数幂运算性质：aras＝

，(ar)s＝

，(ab)r＝

，其中a>0，b>0，r，s∈Q.ar＋sarsarbr知识梳理1答案第4页2.指数函数图象与性质y＝axa>10<a<1图象定义域(1)__R答案第5页值域(2)_________性质(3)过定点_____(4)当x>0时，_____；当x<0时，______(5)当x>0时，_______；当x<0时，____(6)在(－∞，＋∞)上是_______(7)在(－∞，＋∞)上是_______y>10<y<10<y<1y>1增函数减函数(0，＋∞)(0,1)答案第6页××××××思索辨析答案第7页D考点自测2解析答案12345第8页解析因为当x＝1时，y＝0，所以图象过点P(1,0).故选D.D解析答案12345第9页3.已知0.2m<0.2n，则m________n(填“>”或“<”).解析

设f(x)＝0.2x，f(x)为减函数，由已知f(m)<f(n)，∴m>n.>解析答案12345第10页4.若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a取值范围是_______________________________.解析由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a2－1<1，∴1<a2<2，解析答案12345第11页5.函数y＝8－23－x(x≥0)值域是______.解析

∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x值域为[0,8).[0,8)解析答案12345返回第12页题型分类深度剖析第13页题型一指数幂运算解析答案第14页(2)解析答案思维升华第15页思维升华

(1)指数幂运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，方便利使用方法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算先后次序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能现有分母又含有负指数.第16页0跟踪训练1解析答案第17页解析答案第18页例2

(1)函数f(x)＝ax－b图象如图所表示，其中a，b为常数，则以下结论正确是(

)A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0解析由f(x)＝ax－b图象能够观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b图象是在f(x)＝ax基础上向左平移得到，所以b<0，故选D.D题型二指数函数图象及应用解析答案第19页(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b取值范围是________.解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b图象如图所表示，由图象可知：假如|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足条件是b∈[－1,1].[－1,1]

解析答案思维升华第20页思维升华(1)已知函数解析式判断其图象普通是取特殊点，判断选项中图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于相关指数型函数图象问题，普通是从最基本指数函数图象入手，经过平移、伸缩、对称变换而得到.尤其地，当底数a与1大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)相关指数方程、不等式问题求解，往往利用对应指数型函数图象，数形结合求解.第21页A.关于y轴对称

B.关于x轴对称C.关于原点对称

D.关于直线y＝x对称∴它与函数y＝2x图象关于y轴对称.A跟踪训练2解析答案第22页(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则以下结论中，一定成立是(

)A.a<0，b<0，c<0 B.a<0，b≥0，c>0C.2－a<2c

D.2a＋2c<2解析答案第23页∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.答案

D

解析作出函数f(x)＝|2x－1|图象，如图，∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，第24页命题点1比较指数式大小例3

(1)以下各式比较大小正确是(

)A.1.72.5>1.73

B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2

D.1.70.3<0.93.1题型三指数函数图象和性质解析答案第25页解析A中，

∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；C中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2大小.∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B.答案B第26页∴a>c，故a>c>b.a>c>b解析答案第27页命题点2解简单指数方程或不等式解析答案第28页所以0≤a<1.故a取值范围是(－3,1)，故选C.答案

C

第29页命题点3和指数函数相关复合函数性质例5设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R奇函数.(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0解集；解析答案思维升华第30页又a>0且a≠1，所以a>1.因为f′(x)＝axlna＋a－xlna＝(ax＋a－x)lna>0，所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，所以x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，所以x>1或x<－4.所以不等式解集为{x|x>1或x<－4}.解因为f(x)是定义域为R奇函数，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1，f(x)＝ax－a－x.解析答案第31页所以g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，所以原函数为ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，解析答案第32页思维升华第33页思维升华指数函数性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题.常利用指数函数单调性及中间值(0或1)法.(2)简单指数方程或不等式求解问题.处理这类问题应利用指数函数单调性，要尤其注意底数a取值范围，并在必要时进行分类讨论.(3)处理指数函数综合问题时，要把指数函数概念和性质同函数其它性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要尤其注意底数不确定时，对底数分类讨论.第34页(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m取值范围是

________.所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，所以m取值范围是(－∞，4].(－∞，4]跟踪训练3解析答案第35页解析答案返回第36页答案A解析由题意得1＋3x＋a·9x≥0解集为(－∞，1]，返回第37页思想与方法系列第38页思想与方法系列4.换元法在和指数函数相关复合函数中应用解析答案思维点拨第39页解析因为x∈[－3,2]，第40页思维点拨

依据复合函数单调性“同增异减”进行探求.解析设u＝－x2＋2x＋1，又u＝－x2＋2x＋1增区间为(－∞，1]，∴f(x)减区间为(－∞，1].(－∞，1]温馨提醒解析答案返回思维点拨第41页温馨提醒(1)处理和指数函数相关复合函数单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数单调性，搞清复合函数结构，利用换元法转化为基本初等函数单调性或值域问题.(2)换元过程中要注意“元”取值范围改变.返回第42页思想方法感悟提升第43页1.经过指数函数图象比较底数大小问题，能够先经过令x＝1得到底数值，再进行比较.2.指数函数y＝ax(a>0，a≠1)性质和a取值相关，一定要分清a>1与0<a<1.3.对与复合函数相关问题，要搞清复合函数由哪些基本初等函数复合而成.方法与技巧第44页1.恒成立问题普通与函数最值相关，要与方程有解区分开来.2.复合函数问题，一定要注意函数定义域.3.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式方程或不等式，常借助换元法处理，但应注意换元后“新元”范围.失误与防范返回第45页练出高分第46页1234567891011121314151.函数f(x)＝2|x－1|图象是(

)B解析

∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C、D.又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除A.故选项B正确.解析答案第47页2.函数f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)图象必经过点(

)A.(0,1) B.(1,1) C.(2,0) D.(2,2)解析

∵a0＝1，∴f(2)＝2，故f(x)图象必过点(2,2).D123456789101112131415解析答案第48页∴a>b>c.D123456789101112131415解析答案第49页B因为y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减.故选B.123456789101112131415解析答案第50页123456789101112131415解析答案第51页②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求.答案

D

解析方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点.123456789101112131415第52页2123456789101112131415解析答案第53页7.已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n大小关系为________.解析

∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍).函数f(x)＝3x在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.m>n123456789101112131415解析答案第54页所以g(x)≥g(0)＝0；所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)最小值是0.0123456789101112131415解析答案第55页令g(x)＝－x2－4x＋3，因为g(x)在(－∞，－2)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).123456789101112131415解析答案第56页(2)若f(x)有最大值3，求a值.因为f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，即当f(x)有最大值3时，a值为1.123456789101112131415解析答案第57页10.已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数底数).(1)判断函数f(x)单调性与奇偶性；∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，∴f(x)在R上是增函数.∴f(x)定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.123456789101112131415解析答案第58页(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.123456789101112131415解析答案第59页解

存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，123456789101112131415第60页11.函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)关系是(

)A.f(－4)>f(1) B.f(－4)＝f(1)C.f(－4)<f(1) D.不能确定解析

由题意知a>1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由单调性知a3>a2，∴f(－4)>f(1).