高等数学（第三版）课件：导数

微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分英国数学家Newton机动目录上页下页返回结束第一节

导数的概念一、引例二、导数的定义三、由定义求导数举例四、导数的几何意义五、可导与连续的关系

一、引例1.变速直线运动的瞬时速度设质点运动的位置函数为则在内的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2.切线的斜率切线——割线的极限位置播放如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.设则割线MN的斜率为切线MT的斜率为二、导数的定义定义11.函数在某点处导数的定义注2．左导数与右导数的定义定义2注20左导数与右导数统称为单侧导数．3．导函数的定义定义3注10（＊＊）式称为导函数的定义式．20导数与导函数的关系：30

在不至于引起混淆的场合，导函数通常简称为导数．三、按定义求导数举例例1按定义求函数的导数．解解一般地例如,例2按定义求函数的导数．例3设按定义求．解例4解例5设求解例6设求解四、导数的几何意义注法线方程为切线方程为30

解切线方程为法线方程为即即五、可导与连续的关系【简言之，可导一定连续.】证定理注连续不一定可导，不连续一定不可导．例8解（１）连续性在x=０处连续．（２）可导性在x=０处不可导．例9解（１）连续性函数y

在x=０处不连续．（２）可导性但函数y在x=０处不可导．由（1）知，2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数机动目录上页下页返回结束2.设存在,则3.已知则4.

若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且机动目录上页下页返回结束5.

设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.机动目录上页下页返回结束备用题

解:因为1.设存在,且求所以机动目录上页下页返回结束在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2.设故机动目录上页下页返回结束牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术，并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.机动目录上页下页返回结束莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机，系统地阐述二进制计数法，并把它与中国的八卦联系起来.机动目录上页下页返回结束一、基本初等函数的导数公式二、函数的和、差、积、商的求导法则三、反函数的求导法则四、复合函数的求导法则五、分段函数的求导法第二节基本导数公式与函数的求导法则

一、基本初等函数的导数公式注三角函数与反三角函数的导数公式的符号记忆法：正“＋”，余“－”二、函数的和、差、积、商的求导法则定理1设函数都可导，则注解解例1求．设例2求设例3求设解例4求．设解例5求．设解例6求设解三、反函数的求导法则定理2【简言之，反函数的导数等于直接函数导数的倒数.】例7证证明：是的反函数，内单调、可导，内有四、复合函数的求导法则定理3【简言之，因变量对自变量的导数等于因变量对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数】则设注解例8设求可分解为解例9设求解例10设求解例11设求解例12设求解解例14设求例13设求解例16设求其中为可导函数,例15设求解五、分段函数的求导法分段点处按定义求导，在分段区间内部按导数公式与运算法则求导．

例17设求当时，解当时，解例18设求当时，当时，当时，综上得：思考题设求思考题解答⑥①②③④⑤二、高阶导数的求法第三节一、高阶导数的概念高阶导数

一、高阶导数的概念（一）定义（二）记号一阶，二阶，三阶，四阶，，ｎ阶二、高阶导数的求法例1解（一）逐次求导归纳法（直接法）设例2解设特别地，例3解同理可得设例4解设1.高阶导数的运算法则:【莱布尼兹（Leibniz）公式】（二）公式法（间接法）

运用高阶导数的运算法则及常用的高阶导数公式2．常用的高阶导数公式特别地，例5解设例6解设例7解设例8解设解例9设解解例10设其中存在，求例11设其中存在，求解例12试从导出：思考题设连续，且，求.思考题解答不一定存在,故用定义求解:

设求其中f二阶可导.备用题机动目录上页下页返回结束隐函数及由参数方程

所确定的函数的导数

相关变化率一、隐函数的求导方法二、幂指函数及“乘积型”复杂函数的求导方法三、由参数方程所确定的函数的求导法则四、相关变化率第四节

一、隐函数的求导方法方程两边对自变量x求导，得到关于所求导数的等式，从中出解,即得所求导数．解解得例1设方程两边对求导，得解解得例2设方程两边对求导，得解例3设方程两边对求导，得方程(1)两边对求导，得将二、幂指函数及“乘积型”复杂函数的

求导方法例4设解一等式两边取对数得方程两边对求导，得（对数求导法）解二（指数求导法）例4设例5设解等式两边取对数得方程两边对求导，得三、由参数方程确定的函数的求导法则若则解例6设解例7设四、相关变化率▲相关变化率问题:已知其中一个变化率，求出另一个变化率．▲相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得两个相关变化率之间的关系式求出未知的变化率例8解试求当容器内水有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以位等于锥高的一半时水面上升的速率.设时刻t容器内水面高度为

x,水的两边对t

求导，得而故体积为V,则例9的速率自顶部向容器内注水,解方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得①由方程确定,求设思考题1思考题1解答再将代入②得方程组两边同时对t求导,得思考题2,求设思考题2解答练习1.求螺线在对应于的点处的切线方程.解:化为参数方程当时对应点斜率∴切线方程为机动目录上页下页返回结束求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导2.设机动目录上页下页返回结束3.设求提示:分别用对数微分法求答案:机动目录上页下页返回结束第五节机动目录上页下页返回结束函数的微分

○、引例

函数增量的近似值问题一、微分的定义二、可导与可微的关系

三、微分的几何意义四、基本微分公式与微分的运算法则

五、微分的求法

○、引例

函数增量的近似值问题实例:正方形金属薄片受热后面积的增量的计算.∵正方形面积Δx的线性函数，是ΔS的主要部分．一、微分的定义定义注二、可导与可微的关系定理证(1)必要性从而【简言之，可导可微】(2)充分性由函数极限与无穷小的关系得,∴函数30

注10

且当时，三、微分的几何意义MNT）PQ例1解例2解四、基本微分公式与微分的运算法则1.基本微分公式2.微分的四则运算法则3．复合函数的微分法则u是自变量u是中间变量注五、求微分的方法方法一直接法

利用微分的公式与法则．方法二间接法

利用微分与导数的关系：例3解法二设解法一例4解设例5解设例6解在下列等式的括号中填入适当的函数,使等式成立.六、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:机动目录上页下页返回结束1.函数值与函数增量的近似计算特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得机动目录上页下页返回结束的近似值.解设取则例7求机动目录上页下页返回结束的近似值.解例8计算机动目录上页下页返回结束例9有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,机动目录上页下页返回结束2.误差估计某量的精确值为A,其近似值为a,称为a

的绝对误差称为a

的相对误差若称为测量

A

的绝对误差限称为测量

A

的相对误差限机动目录上页下页返回结束误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,机动目录上页下页返回结束例10

设测得圆钢截面的直径

测量D的

绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解计算A

的绝对误差限约为

A

的相对误差限约为试估计面积的误差.计算机动目录上页下页返回结束(mm)思考题设函数的图形如下,试在图中标出点处的及并说明其正负.思考题解答习题课一、导数和微分的概念及应用机动目录上页下页返回结束二、导数和微分的求法导数与微分

一、导数和微分的概念及应用♦导数:当时,为右导数当时,为左导数♦微分:机动目录上页下页返回结束♦关系

:可导可微(思考P124题1)♦应用:(1)利用导数定义解决的问题

(3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限1)推出三个最基本的导数公式及求导法则其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.机动目录上页下页返回结束例1.设存在,求解:

原式=机动目录上页下页返回结束例2.，其中存在解:原式=且联想到凑导数的定义式机动目录上页下页返回结束求，例3.设在处连续,且求解:思考

:

P124题2机动目录上页下页返回结束例4.设试确定常数a,b

使f(x)

处处可导,并求解:得即机动目录上页下页返