高等数学（第2版）课件：函数与极限

分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法手段—研究前提状态函数与极限

二、函数一、集合第一节函数三、函数的几种特性四、反函数五、复合函数六、初等函数七、函数的分解

一、数集与邻域

N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集例如：10对于数集,记──正整数集──非零实数集──正实数集20由于实数集中的元素（数）与数轴上的点一一对应，故我们也称数为“点”．

1.数集——元素都是数的集合注开区间闭区间无穷区间半开区间２.区间——一类特殊的数集．３.点a的

邻域其中,a称为邻域中心,

称为邻域半径.去心

邻域左

邻域:右

邻域:

定义域二、函数的概念1.函数的定义定义.设x

和y是两个变量,D是一个给定的数集，则称对应法则f是定义记作f(D)={y|}称为值域自变量因变量如果按照某个法则f，对于每个数x∈D，变量y都有唯一确定的值和它对应，在D上的函数。

函数的两要素定义域对应规则对两个函数，只有当它们的定义域与定义域相同，对应规则与对应规则也相同时，它们才是同一个函数

2.函数的定义域使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.求函数定义域的方法♦有分母时要使分母≠0♦有偶次根式时要使被开方数≥0♦有对数时要使真数＞0♦有arcsinx，arccosx时要使|x|≤1当函数表达式中有多个因素时，最终考虑它们的交集

例1.设，求函数的定义域

解:要使函数有定义，必须即故函数的定义域为例2.已知f(x)的定义域为(0,1]，求函数f(lnx

)的定义域．解：

由得，故函数f(x)的定义域为[1,e].例3

判定下列各组函数是否为同一函数（1）f(x)=x,（2）f(x)=sinx,（3）f(x)=x,（4）y=f(x),u=f(t)

x与t的取值范围相同不同定义域不同不同对应规则不同相同相同

例4.

已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域

例5

设f(x)=12xx<0x=00<x≤4，求f(x2

)

解：

３.反函数定义注1.解析法（公式法）三、函数的表示法20分段函数──在定义域的不同范围内，对应法则用不同的式子表示的函数．2.表格法3.图形法注10显函数与隐函数显函数──因变量由自变量的解析式直接表示出来的函数．隐函数──自变量与因变量的对应关系由一个二元方程来表示的函数．四、函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称函数无界的定义为有界函数.在I上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.

(2)单调性,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.

设，且(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有

判定函数奇偶性的方法♦按奇偶性的定义判定♦按奇偶函数运算的性质判定♦按奇偶性的特殊结论判定设f(x)是任意函数，：当n为奇数时为奇函数，当n为偶数时为偶函数sinx：奇函数cosx：偶函数常数C：偶函数奇偶函数运算的性质奇偶然函数之间四则运算后的奇偶性与正负号运算的结论类似特殊结论则一定是奇函数

一定是偶函数，又如,奇函数例如,偶函数

(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).

五、复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合

两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:

例6

设|x|<1|x|=1|x|>1，求f[g(x)]，g[f(x)]

解:例7

设，求例8设，求解解

令则于是，即因为所以六、初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.非初等函数的情形：主要是分段函数

例9指出下列函数是怎样复合而成的

解：由复合而成．由复合而成．P91(2,4,5);3(1,3,6);8(2,3);9(2,3);11作业第二节

一、数列的概念

二、数列的极限三、数列极限的性质第二节

数列的极限

一、数列的概念定义xn=f(n)按照一定的法则排列的有次序的数x1，x2

称为数列，记作：，且

,…,xn

,…

例（1）（2）（3）（4）（5）→0→0→1→∞无趋向

如果满足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤

…，则称设有数列{xn

}，

单调数列的概念如果满足x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…，则称{xn}为单调增加数列；如例中的（4）{xn}为单调减少数列；如例中的（1），（2）

有界数列的概念设有数列{xn}，如果ヨM>0，使得|xn|<M

，称{xn}为有界数列。单调有界数列的图示问题：

n→∞时,xn=f(n)能否无限接近某个确定的常数？趋向

二、数列极限的定义数列极限的描述性定义对于数列{xn}，当n→∞时，相应的项xn如果无限接近于一个确定的常数A，

或如果数列没有极限,则称数列{xn}发散。例1：（1）当|q|＜１时，。（2）。则称常数A为数列{xn}当n→∞时的极限，或称数列{xn}收敛于A，记作

分析：当n充分大时，|xn－A|能够任意小当n大于某个正数N时，|xn－A|<任意的

任给

>0，存在N>0，当n>N

时，|xn－A|<

数列极限的精确定义对于任意给定的

>0，总存在正整数N，使当n>N的一切

xn

，有|xn－A|<

成立，则称常数A是数列xn当n→∞时的极限，记作

极限定义的几何意义对于给定的ε，存在正整数

N，使得N项后面所有的项

xn，有|xn－A|<ε

A－

ε

<

xn<A+ε

如果数列{xn}的极限为A，则在A点的附近，聚集了数列{xn}中无穷多项所表示的点定义的简记形式

e

>0

N>0

当

n>N，有|xn－A|<e

例2证明

|q|＜１时，。解

|xn－A|=|qn－0|=|q|n<e,n㏑|q|

<㏑e

e

>0

取

N＝

当

n>N，有|qn－0|<e

即。

用定义证明极限式，这类题型的关键性工作是寻找Ｎ寻找Ｎ的方法：注意：

由|xn－A|<e

解出保证不等式成立的n，其形式为

n>“含e的式子”，取Ｎ＝解出的含e的式子。

三、数列极限的性质性质1

(极限的唯一性)如果数列收敛，则极性质2

(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。

注意：{xn}收敛

{xn}有界

{xn}无界

{xn}发散

{xn}有界

{xn}收敛，如例中的（5）性质3

单调有界数列{xn}必有极限。

限值A唯一。

1.数列极限的“–N

”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;3.极限存在准则:单调有界准则内容小结第三节

第三节

二、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限

定义1

.设函数大于某一正数时有定义，若则称常数时的极限,几何解释:记作A为函数1.自变量趋于无穷大时函数的极限

一、函数极限的定义证:取因此就有故欲使即例1.证明

当时,有当时,有两种特殊情况:

定理2例2.考察下列极限

不存在注意：、但它是形式的极限不存在，有界函数(1)时函数极限的定义2.自变量趋于有限值时函数的极限在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为函数当时的极限。或即当时,有若记作定义2.设函数

几何解释:极限存在函数局部有界这表明:o时,有当且

证:故对任意的当时,因此总有例3.证明

证:欲使取则当时,必有因此只要例4.证明

注意：（1）利用极限定义证明极限这类题型的关键是寻找δ（2）寻找δ的方法是从|f(x)−A|<ε中解出|x−x0|（3）在上例中极限值等于函数值，这是计算函数极限的最简单的方法

左极限:当时,有右极限:当时,有定理3.(2)左极限与右极限

讨论时的极限是否存在.解:利用定理3.因为显然所以不存在.例5.设函数

二、函数极限的性质（以为例）性质1(唯一性)性质2(局部有界性)性质３(局部保号性)

推论1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则Th1Th3Th2是否一定有？内容小结

P192(1),4第四节作业

二、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与极限的关系一、无穷小与无穷大的定义第四节无穷小与无穷大

四、无穷小的性质当一、无穷小与无穷大的定义定义1.

若时,函数则称例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小

.时为无穷小.函数

定义2

.

若任给

M>0,使对一切满足不等式的

x,则称函数当时为无穷大,若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在总有

注意:3.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种变化状态.4.无穷大无界例如,

函数当但所以时,不是无穷大!除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!1.无穷小、无穷大是函数2.无穷小、无穷大与自变量的变化过程有关

例1.证明:证:

任给正数

M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以

二、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理1.在自变量的同一变化过程中,说明:

其中

时的无穷小量.定理2.定理3．有限个无穷小的和仍然是无穷小定理4．有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小推论1．常数与无穷小的乘积仍然是无穷小推论2．无穷小与无穷小的乘积仍然是无穷小为

三、无穷小与极限的关系四、无穷小的性质例2=0

（有界函数与无穷小的乘积）P221(1,2)，3

作业第五节

一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则第五节极限运算法则

一、极限的四则运算法则则(1)定理1.

若

B≠0(2)(3)说明:对和、差、乘积，可推广到有限个函数的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)证（1）:因则(其中为无穷小)于是由上节无穷小的性质可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知（1）的结论成立.

例1.

设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.若

x=3时分母为0!例2.因式分解消0因子

例3.

求解:

x=1时分母=0,分子≠0,但因

例4

.

求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式

一般有如下结果：为非负常数)

二、复合函数的极限运算法则定理2.设函数存在且等于a，即且则复合函数当时的极限等于当时的极限也存在且，即

表明极限符号与函数符号可以交换次序。例5.求解:

例6.求解:

例7

设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故

解:原式

例8求例9.

试确定常数a

使解:令则故因此第六节

作业P271（2，4，6，9，10，11，12，14）；

2（1，2，4）；

4第六节

二、两个重要极限一、极限存在准则极限存在准则及两个重要极限

第六节

定理1.且1.函数极限存在的夹逼准则2.单调有界准则定理2.单调有界数列必有极限一、极限存在准则

圆扇形AOB的面积证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有二、两个重要极限

例1.求解：=5例2.求：(1)

0·∞≠0

解：解:例4.求解:令则因此原式例3.

求

例5.

求解:原式=例6.已知圆内接正n边形面积为证明:证:

2.证明思路：设，证明它单调增加且有界模式：倒数=e例7.

例8.例9.

例10.求解:原式=

P331(2，5,6，7);2(2，5，6);3(1)作业第七节

都是无穷小,引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.无穷小的比较第七节

定义.若则称

是比

高阶的无穷小,若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称

是比

低阶的无穷小;则称

是

的同阶无穷小;则称

是

的等价无穷小,记作

～时～～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且例如,当

时,～证:～例1.

证明:当

定理2.设且存在,证:例如,定理1.则

例2.求例3.求解:

解:例4.求解:原式

利用等价无穷小代换求极限时注意：（1）验证是否是无穷小（2）熟悉一些等价无穷小的关系（3）可代换的条件当时，下列无穷小等价：当分子、分母是乘积形式时，可以对各因子进行等价无穷小代换当分子、分母是代数和形式时，不可以对各项进行等价无穷小代换

例5.已知解:求

P361;3;4(2,3,5,6)作业第八节

四、函数的间断点及其分类一、函数连续性的定义第八节函数的连续性与间断点

三、初等函数的连续性

二、连续函数的运算性质一、函数连续的概念定义:在的某邻域内有定义,则称函数设函数且

例1.设函数，讨论在处的连续性。

解：在点x=0处连续．且例2.设函数，讨论处的连续性。在

解：在点处不连续．由例题可见,函数在点(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;

则称在或称它为该区间上的连续函数.在闭区间上的连续函数的集合记作称在点处左连续称在点处右连续如果在开区间内每一点都连续,上连续,则称且在a点右连续，如果在开区间上连续,在b点左连续，在闭区间上连续。

例如,在上连续.有理整函数（多项式函数）又如,有理分式函数在其定义域内连续.只要都有

对自变量的增量有函数的增量函数在点连续有下列等价命题:

函数在点连续有两种形式的定义：用于判断一个具体函数在一个已知点处的连续性用于证明函数在任意点处的连续性；或用于函数连续的理论分析

例3.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.

定理2.连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调二、连续函数的运算性质

定理3.由连续函数构造的复合函数也是连续函数.在上连续单调递增,反函数在上也连续单调递增.又如,

例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,

三.初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内都连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而

在在四、函数的间断点及其分类(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则这样的点下列情形之一时,函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;

为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例4.求下列函数的间断点时无定义，且时无定义，且不存在，时无定义，且

且为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.是分段点是分段点

间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为第一类可去间断点.为第一类跳跃间断点.为第二类无穷间断点.为第二类振荡间断点

例5.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点例6.设提示:为连续函数,求a，b.答案:x=1是第一类可去间断点,及类型。

例7.

确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.

作业P411(2，3)；2（2，3）；4（3，4，5）；5第九节

第九节一、最值定理二、介值定理闭区间上连续函数的性质

一、有界性在闭区间上连续的函数必在上有界．定理1（有界性定理）若区间不是闭区间或区间内有间断点,则结论不一定成立．注二、最值性在闭区间上连续的上取得它的最大值和最小值．定理2（最值性定理）若不是闭区间或闭区间内有间断点,则结论不一定成立．注函数必在三、介值性定理3（介值定理）MCmabyx四、零点存在性定理4（零点定理）例1.证明方程内至少有一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即在区间

至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法则则

例2.

至少有一个不超过证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然4的正根.,根的范围应该是0到4之间

则P44