高等数学（第2版）课件：不定积分

微分法:积分法:互逆运算不定积分

二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念定义1.给定区间I上定义的函数f(x),如果存在函数F(x),满足在区间

I

上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如：给定，由是的一个原函数给定给定，由是的一个原函数，由是的一个原函数

问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.

存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数

定理2.(C为任意常数)证:1)又知故即属于函数族即

则的原函数也是且的全体原函数。包含了定义2.在区间

I上的全体原函数称为上的不定积分,其中—

积分号;—

被积函数;—

被积表达式.—

积分变量;若则(C为任意常数)C

称为积分常数不可丢失!例如,记作

不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.

例1.设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为

的方程.或或

的原函数是(1)积分运算与导数运算是互逆运算.任意函数都是自身导函数的一个原函数.二、基本积分表(k为常数)

或或三、不定积分的性质

例2.求解:原式

例3.求解:原式

例4.

求解:原式=例5.求解:原式=

例6.

求解:原式=

例7.

求下列积分:提示:

内容小结1.不定积分的概念•

原函数与不定积分的定义•

不定积分的性质•

基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质

作业P130

1

(双);第二节

二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法

换元积分的引入

注意为什么

在积分公式中相同一、第一类换元法定理1.可导，则有换元公式(也称凑微分法)第一类换元的思考过程成为基本积分公式的形式

例1.（1）解:

解:

（2）

解:

（3）

类似例2.(1)解:原式=

(2)解:原式=例3.求解:原式=例4.求解:原式=

例5.

(1)

(2)解:原式=解:原式=例6.求解法1解法2两法结果一样

例7.解:原式=

例8.

解1:原式=

解2:原式=例9.例10.

解:原式=

解:原式=例11.解:

例12.

解:原式=例13.解:想到公式

例14.想到解:

例15.解:∴原式=

例16.解法1

解法2同样可证或

下列各题求积方法有何不同?例17.

解例18.

常用的几种配元形式:万能凑幂法

例19.解:

原式记

例20.解:令则∴原式

定理2.设是单调可导函数,且具有原函数则有换元公式关键：正确选择换元关系反映在计算上是首先写出换元关系及dx的形式

二、第二类换元法令消根号幂函数代换三角代换被开方数是一次因式被开方数是两项的平方和或差令令根式令解出求对三角代换，通过画辅助三角形实现回代分母中因子次数较高时,可试用倒代换

例21.解:令则∴原式

例22.解:令则∴原式

例23.解:令原式

例24.解:令

原式例25.解:令则原式

常用基本积分公式的补充

解:原式例26.

例27.解:

例28.解:原式=例29.解:原式

作业P1402(2,4,5,7,8,9,12,16,18,20,24)

作业P1413(2,4,6,7,8,9,11)第三节

第三节分部积分法

实质:

解决两种不同类型函数乘积的积分问题

由导数公式积分得:分部积分公式如:分部积分法是相应于乘积的求导法则所建立的积分方法无法象上一题那样处理

解:

=例1.求1)

凡求导变得简单的函数应选作u;容易计算.2)

选作dv的部分应

容易求得v;udv3)

例2.求解:

udv

归纳1：当幂函数与对数函数或反三角函数乘积积分时，将幂函数部分凑到“d”中作“dv”归纳2：当幂函数与三角函数或指数函数乘积积分时，将幂函数部分看作“u”归纳3：如果则

例3.(1)(2)

解:原式解:原式例4.求解:

udv

例5.求解:

udvudv归纳

例6.

解:

例7.求解:

故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.udvudv归纳

解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例8.求解:

原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数

例9.求解:

原式=

udv例10.求解:令则原式

例11.求解:

∴

udv例12.已知的一个原函数是求解:说明:此题若先求出再求积分反而复杂.

作业P1441(2,6,8,9,11,13,16,17)习题课

第四节有理函数与

三角有理式的积分初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、三角有理式的积分一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理假分式相除多项式+真分式分解若干部分分式之和

1.有理函数及其分解部分分式的形式为

特点：●当分母是一次因式及其方幂时，分子是常数●当分母是二次质因式及其方幂时，分子是一次因式●确定若干个部分分式中的待定常数A，M，N，使得真分式与它们的和相等例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)拼凑法

(2)赋值法故

令，得令，得(3)比较系数法原式=

令，得比较的系数：比较的系数：比较的系数：得(3)

比较系数法四种典型部分分式的积分:

变分子为再分项积分

例2.（1）解:原式

（2）解:原式（3）解:原式

（4）解:原式例3.解:说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.

设表示三角函数有理式,令万能代换t的有理函数的积分二、三角函数有理式的积分则

例4.解:令则

例5.解:

说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换

内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,

作业P1501(1,3,5,7)，2(1)习题课

习题课一、不定积分的基本概念不定积分的计算方法

二、归纳求不定积分的方法

三、例题一、不定积分的