自动控制原理第三章第一二讲学习资料

第三章线性系统的时域分析法3.1控制系统的时域指标

所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。

分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，根轨迹法，频域分析法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。

为了研究控制系统的输出响应，必须了解输入信号的变化形式。在工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输入量是如何变化的（如随动系统）。

因此，为了方便分析和设计，使各种控制系统有一个比较的基础，需要选择一些典型测试信号作为系统输入，然后比较各种系统对这些测试信号的响应。常用的测试信号在第一章已经介绍，它们是脉冲信号、阶跃信号、斜坡信号、抛物线信号及正弦信号。这些信号都是简单的时间函数，并且易于通过实验产生，便于数学分析和试验研究。

如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信号，选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输入信号大多具有突变性质时，则选用阶跃函数较合适。

需要注意的是，不管采用何种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性能。此外，在选取测试信号时，除应尽可能简单，以便于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作为典型实验信号。

本章主要讨论控制系统在阶跃信号、斜坡信号、加速度信号等输入信号作用下的输出响应。1.典型测试信号（1）单位脉冲信号拉氏变换为

单位脉冲函数是对脉冲宽度足够小的实际脉冲函数的数学抽象，可用于考查系统在脉冲扰动后的恢复运动。拉氏变换为

单位阶跃函数是用于考查系统对于恒值信号跟踪能力时的实验信号。非单位值情况下，阶跃函数的数学表达式为R为常量，是阶跃函数的幅值。（2）单位阶跃信号（3）单位速度（斜坡）信号拉氏变换为

单位速度函数是用于考查系统对匀速信号跟踪能力时的实验信号。（4）单位加速度（抛物线）信号拉氏变换为

匀加速函数是用于考查系统机动跟踪能力时的实验信号。（5）正弦信号拉氏变换为A是正弦函数的幅值正弦函数主要用于频域分析，有时也用于时域分析。2动态过程和稳态过程

（1）动态过程（过渡过程、瞬态过程）：系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程；根据系统结构和参数选择的情况，动态过程表现为衰减、发散和等幅振荡几种形态。用动态性能指标描述。

（2）稳态过程：系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现方式；稳态过程表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统稳态误差的信息，用稳态性能指标描述。

可见，控制系统在典型输入信号作用下的时域性能指标由动态性能指标和稳态性能指标两部分组成。

为便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且系统输出量及其各阶导数均等于零。对于大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。控制系统的典型单位阶跃响应曲线如下图所示。3动态性能和稳态性能0tσ超调量允许误差±Δ10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或0.05)(∞h)(∞h)(∞h)(∞h稳定是系统运行的首要条件，只有当动态过程收敛时，研究其动态性能才有意义。

一般认为，阶跃输入对系统来说是最为严峻的工作状态，如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，在其他输入形式作用下的动态性能也能满足要求。因此，通常在阶跃函数作用下测定或计算系统的动态性能。而系统的动态性能指标就用其在单位阶跃函数作用下的响应，即系统的单位阶跃响应的特征量来描述。（1）动态性能指标

上升时间tr

（RisingTime）:响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。对于振荡系统，也可定义为由零开始，首次达到稳态值所需的时间。

峰值时间tp

（PeakTime）：响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。

延迟时间td

（DelayTime）：响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间

调节时间ts（SettlingTime）：响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内所需的最短时间。允许误差范围用稳态值的百分数（通常取5%或2%）表示。

超调量（MaximumOvershoot）：指响应的最大偏离量h(tp)与终值之差的百分比，即（2）稳态性能指标

稳态误差ess

：期望值与实际值之差。

或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体上反映系统的快速性。评价系统的阻尼程度。衡量系统控制精度和抗干扰能力。ess3-2一阶系统的时间响应一、一阶系统的数学模型由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。

在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。典型闭环控制一阶系统如图3-1所示.其中1/Ts是积分环节，T是时间常数。图3-1T是表征系统惯性大小的重要参数R(s)C(s)1/Ts-j0-1/T二、单位阶跃响应

设系统的输入为单位阶跃函数r(t)=1(t),其拉氏变换为则输出的拉氏变换为

对上式进行拉氏反变换，求得单位阶跃响应为(3-4)

上式表明，当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线,式中的1为稳态分量，为瞬态分量，当t→∞时，瞬态分量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都不会超过稳态值。由于该响应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。一阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示。斜率1C(t)0.95T3T0.632图

一阶系统的单位阶跃响应图中指数响应曲线的初始（t=0时）斜率为.因此，如果系统保持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达到稳态值。实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经过T时间后，输出量C（T）从零上升到稳态值的63.2%。经过3T～4T时，C（t）将分别达到稳态值的95%～98%。可见，时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升越快，响应过程的快速性也越好。

斜率1C(t)0.95T3T0.632图3-2一阶系统的单位阶跃响应C（t）由式（3-4）可知，只有当t趋于无穷大时，响应的瞬态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间（即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差为5%或2%。系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得的曲线与上图的曲线作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统或等效为一阶系统。此外，用实验的方法测定一阶系统的输出响应由零值开始到达稳态值的63.2%所需的时间，就可以确定系统的时间常数T。(3-4)例3.1一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试求系统的调节时间ts;如果要求ts≤0.1秒。试求反馈系数kt应取多大？解：系统的闭环传递函数100/sktR(s)C(s)对上式进行拉氏反变换，求得单位脉冲响应为由此可见，系统的单位脉冲响应就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。一阶系统的单位脉冲响应曲线如图3-4所示。

（t≥0）(3-5)0.368C(t)3T斜率C(t)T2Tt图3-4一阶系统的脉冲响应三、单位脉冲响应

设系统的输入为单位脉冲函数r(t)=δ(t),其拉氏变换为R(s)=1,则输出响应的拉氏变换为

一阶系统的单位脉冲响应是单调下降的指数曲线，曲线的初始斜率为，输出量的初始值为。当t趋于∞时，输出量c(∞)趋于零，所以它不存在稳态分量。在实际中一般认为在t=3T～５T时过渡过程结束，故系统过渡过程的快速性取决于T的值，T越小系统响应的快速性也越好。由上面的分析可见，一阶系统的特性由参数T来表述，响应时间为（3-4）T；在t=0时，单位阶跃响应的斜率和单位脉冲响应的幅值均为;单位斜坡响应的稳态误差为T。T值越小，系统响应的快速性越好，精度越高。式中，t-T为稳态分量，为瞬态分量，当t→∞时，瞬态分量衰减到零。一阶系统的单位斜坡响应曲线如图3-5所示。

（t≥0）(3-6)TtTC(t)r(t)=to图3-5一阶系统的单位斜坡响应四、单位斜坡响应

设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t，其拉氏变换为则输出的拉氏变换为显然，系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但它们之间存在跟随误差。即且可见，当t趋于无穷大时，误差趋近于T，因此系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c(t)将小于输入量r(t)一个T的值，时间常数T越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。输入信号输出响应表中各响应说明如下：（1）一阶系统只有一个特征参数，即其时间常数T。在一定的输入信号作用下，其时间响应c（t）由其时间常数唯一确定。下表列出了一阶系统对三种典型输入信号的响应(2)一阶系统的响应时间为（3-4）T；在t=0时，单位阶跃响应的斜率和单位脉冲响应的幅值均为1/T;单位斜坡响应的稳态误差为T。T值越小，系统响应的快速性越好，精度越高。输入信号输出响应这一关系表明，系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由初始条件确定。

这一结论适用于任何线性定常连续控制系统。因此，研究线性定常连续控制系统的时间响应，可以只对其中一种典型输入信号，如单位阶跃信号的时间响应进行计算和测定。（3）因为脉冲函数δ(t)和斜坡函数t1(t)分别是阶跃函数1(t)的对时间t的一阶微分和积分，故系统的单位脉冲响应和单位斜坡响应分别是系统的单位阶跃响应对时间t的一阶微分和积分。

由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛，此外，许多高阶系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究，因此，详细讨论和分析二阶系统的特征具有极为重要的实际意义。C(t)R(t)_C(t)图3-7二阶系统结构图（3-9）

设一个二阶系统的结构图如图3-7所示。系统的闭环传递函数为

其中K为系统的开环放大系数，T为时间常数。§3-3二阶系统的时域响应与式（3-9）相对应的微分方程为

可见，该系统是一个二阶系统。为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式式中，称为自然频率，（或无阻尼振荡频率），称为阻尼比（或阻尼系数）。(3-11)系统的闭环特征方程为（3-12）它的两个根(闭环极点)为（3-13）二阶系统特征根（即闭环极点）的形式随着阻尼比取值的不同而不同。

1.二阶系统的单位阶跃响应

设系统的输入为单位阶跃函数，则系统输出响应的拉氏变换表达式为

对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系统的单位阶跃响应。

当阻尼比小于0时，系统具有实部为正的极点，输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。P85它们在S平面上的位置如图3-9所示。此时，输出可写成[s]o图3-9欠阻尼时的极点分布当时，系统具有一对共轭复数极点，且在S平面的左半部分，即(1)欠阻尼（）的情况将它们代入上式并将式中的第二项分成两项得式中，称为阻尼振荡频率。由含共轭复数极点求拉氏反变换的方法，得，，取拉氏反变换得到c(t)，见P32表2-3---序号15、17令,则。于是有

称阻尼角。系统的稳态响应为1，瞬态分量是一个随时间t的增大而衰减的正弦振荡过程。振荡的角频率为，它取决于阻尼比和无阻尼自然频率。衰减速度取决于的大小。此时系统工作在欠阻尼状态，输出响应如右图所示。tC(t)10附图

欠阻尼响应当时，系统具有两个相等的负实数极点，，如图3-9所示。此时有

留数法部分分工展开得：

将代入，并进行拉氏反变换，得o[s]图3-9临界阻尼时极点的分布（2）临界阻尼（）的情况

该式表明，当时，系统的输出响应由零开始单调上升，最后达到稳态值1，其响应曲线如右图所示。是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界阻尼状态。t1oC(t)附图

临界阻尼响应(3-16)（3）过阻尼（>1）的情况

当>1时，系统具有两个不相等的负实数极点，它们在S平面上的位置如图3-9所示。此时，输出可写成

j0[s]图3-9过阻尼时极点分布式中将A0、A1、A2代入上式，并进行拉氏反变换，得

（3-17)式(3-11)表明，系统的单位阶跃响应由稳态分量和瞬态分量组成，其稳态分量为1，瞬态分量包含两个衰减指数项，随着t增加，指数项衰减，响应曲线单调上升，其响应曲线如附图所示。C(t)to1附图

过阻尼响应当>>１时，闭环极点比距虚轴远的多，故比衰减快的多。因此，可以忽略对系统输出的影响，从而把二阶系统近似看作一阶系统来处理。在工程上，当时，这种近似处理方法具有足够的准确度。通常，称阻尼比时二阶系统的运动状态为过阻尼状态。C(t)to1图3-7过阻尼响应

可见，系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为。响应曲线如图3–9（b）所示。综上所述，不难看出频率和的物理意义。图3-9无阻尼时的极点分布和响应[s]o(a)C(t)(b)1to（4）无阻尼（）的情况

当时，系统具有一对共轭纯虚数极点

,它们在S平面上的位置如图3-9（a）所示。将代入单位阶跃响应式得根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特点。因此阻尼比是二阶系统的重要特征参数。若选取为横坐标，可以作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线,

——无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡.

——阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。综上所述，不难看出频率和的物理意义。无因次时间如图3-10所示，此时曲线只和阻尼比有关。由图可见，越小，响应特性振荡得越厉害，随着增大到一定程度后，响应特性变成单调上升的。从过渡过程持续的时间看，当系统无振荡时，以临界阻尼时过渡过程的时间最短，此时，系统具有最快的响应速度。当系统在欠阻尼状态时，若阻尼比在0.4～0.8之间，则系统的过渡过程时间比临界阻尼时更短，而且此时的振荡特性也并不严重。图3-10二阶系统的阶跃响应

一般希望二阶系统工作在=0.4～0.8的欠阻尼状态下，在工程实际中，通常选取作为设计系统的依据。2．欠阻尼二阶系统的动态过程分析

在实际应用中，控制系统性能的好坏是通过系统的单位阶跃响应的特征量来表示的。为了定量地评价二阶系统的控制质量，必须进一步分析和对系统单位阶跃响应的影响，并定义二阶系统单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标。除了一些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工作在=0.4～0.8的欠阻尼状态下。在工程实际中，通常选取作为设计系统的依据。

当=0.4～0.8，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此下面有关性能指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。控制系统的单位阶跃响应一般来说是与初始条件有关的，为了便于比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始条件为零。系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为

(3-14)

对应的响应曲线如右图所示，下面就根据式（3-14）和右图所示曲线来定义系统的瞬态性能指标，同时讨论性能指标与特征量之间的关系。1、上升时间

响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。根据上述定义，当时，，，由式（3-14）：超调量C(t)上升时间峰值时间调节时间误差带稳态误差o1.0t附图

二阶系统瞬态性能指标即所以（k=0,1,2……）由于上升时间是c(t)第一次到达稳态值的时间，故取k=1，所以

由式(3-19)可以看出，当一定时，阻尼比越大，上升时间越长，当一定时，越大，越小。(3-19)由定义，将式（3-14）对时间求导，并令其等于零，即得经变换可得所以即（k=1,2，……）因为峰值时间是C(t)到达第一个峰值的时间，故取=1,所以2、峰值时间

响应曲线c(t)从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间。（3-20）可见，当一定时，越大，越小，反应速度越快。当一定时，越小，也越小。由于是闭环极点虚部的数值，越大，则闭环极点到实轴的距离越远，因此，也可以说峰值时间与闭环极点到实轴的距离成反比。3、超调量

在响应过程中，输出量C（t）超出其稳态值的最大差量与稳态值之比称为超调量。超调量可表示为式中为输出量的最大值，为输出量的稳态值。将式（3-20）代入式（3-14）求得输出量的最大值为所以根据超调量的定义，并考虑到，求得（3-21）由上式：

该式表明，只是的函数，而与无关，越小,则越大。当二阶系统的阻尼比确定后，即可求得对应的超调量。反之，如果给出了超调量的要求值，也可求得相应的阻尼比的数值。一般当时，相应的超调量。与关系曲线如图3-12所示。（3-21）10090807060504030201000.20.40.60.81.0图3-12欠阻尼二阶系统超调与阻尼比关系曲线

4、调节时间响应曲线到达并停留在稳态值的（或)误差范围内所需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）。根据调节时间的定义应有下式成立式中（或0.02）将式（3-14）及代入上式得为简单起见，可以采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05（或0.02）时，过渡过程即进行完毕，于是得到由此可求得若取，则得

若取，则得

在时，上面两式可分别近似为和该式表明，调节时间近似与成反比。由于是闭环极点实部的数值，越大，则闭环极点到虚轴的距离越远，因此，可以近似地认为调节时间与闭环极点到虚轴的距离成反比。在设计系统时，通常由要求的超调量所决定，而调节时间则由自然振荡频率所决定。也就是说，在不改变超调量的条件下，通过改变的值可以改变调节时间。

(3-23)(3-22)根据定义，振荡次数式中称为系统的阻尼振荡周期。若取，，若取，振荡次数只与阻尼比有关。阻尼比和无阻尼自振频率是二阶系统两个重要特征参数，它们对系统的性能具有决定性的影响。当保持不变时，提高使、、下降，从而提高系统的快速性，同时保持和N不变。当保持不变时，增大可使和下降,但使和上升5．振荡次数N

响应曲线在0～ts

时间内波动的次数称为振荡次数。二阶系统单位阶跃响应的性能指标归纳如下：显然在系统的振荡性能和快速性之间是存在矛盾的，例如上升时间（响应速度）和超调量（阻尼程度或相对稳定性）。要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合适的阻尼比和无阻尼自振荡率。通常可根据系统对超调量的限制要求选定，然后在根据其它要求来确定。

过阻尼二阶系统的动态过程分析

过阻尼系统响应缓慢，对于一般要求时间响应快的系统过阻尼响应是不希望的。但在有些应用场合则需要过阻尼响应特性：例如（1）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。（2）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、时间响应尽可能快。另外，有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。过阻尼动态性能指标：延迟时间、上升时间、调节时间因为求上述指标，要解一个超越方程，只能用数值方法求解。利用曲线逆合法给出近似公式（1）延迟时间计算（2）上升时间计算

（3）调节时间计算

例3-2：角度随动系统如图所示，设

K

为开环增益，T=0.1s为伺服电动机的时间常数。若要求：单位阶跃响应无超调，而且，求K的取值、系统的延迟时间和上升时间.解：因为考虑系统尽量快的无超调响应，则可选阻尼比为临界阻尼二阶系统性能的改善改善二阶系统性能的两种方法：比例-微分控制测速反馈控制（1）比例-微分控制1以角度随动系统为例(a)比例控制[0，t1)系统阻尼小，修正转矩过大；输出超调[t1,t3)转矩反向，起制动作用，但惯性与制动转矩不够大，仍超调[t3,t5)误差又为正，修正转矩又为正，力图使输出趋势减小……(b)控制措施：附加误差的微分量

[0，t2)内减小正向修正转矩，增大反向制动转矩；

[t2,t4)内减小反向制动转矩，增大正向修正转矩理论分析：比例-微分控制对系统性能的影响1有零点二阶系统比例-微分控制不改变系统的自然频率，但增大了系统的阻尼比。适当选择开环增益和微分时间常数，既可减小系统斜坡输入时的稳态误差，又可使系统具有满意的阶跃响应性能。当输入为单位阶跃函数时:P95给出了：（1）求上升时间的关系曲线；（2）峰值时间；（3）超调量；（4）调节时间

结论：（1）微分控制可增大系统阻尼，减小阶跃响应的超调量，缩短调节时间；（2）允许选取较高的开环增益，减小稳态误差；（3）微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。（2）测速反馈控制开环增益结论：（1）测速反馈可以增加阻尼比，但不影响系统的自然频率；（2）测速反馈不增加系统的零点