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第二章第二节函数的定义域和值域题组一函数的定义域问题1.(文)(2009·江西高考)函数y=eq\f(\r(-x2-3x+4),x)的定义域为()A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)∪(0,1]解析:求y=eq\f(\r(-x2-3x+4),x)的定义域,即⇒[-4,0)∪(0,1].答案:D(理)(2009·江西高考)函数y=eq\f(ln(x+1),\r(-x2-3x+4))的定义域为()A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]解析:定义域⇒-1<x<1.答案:Cy=eq\f(mx-1,mx2+4mx+3)的定义域为R,则实数m的取值范围是()A.(0,eq\f(3,4))B.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(-∞,0]∪[eq\f(3,4),+∞)D.[0,eq\f(3,4))解析:依题意,函数的定义域为R,即mx2+4mx+3≠0恒成立.①当m=0时,得3≠0,故m=0适合,可排除A、B.②当m≠0时,16m2-得0<m<eq\f(3,4),综上可知0≤m<eq\f(3,4),排除C.答案:Df(x)的定义域是[0,1],则f(x+a)·f(x-a)(0<a<eq\f(1,2))的定义域是.解析:∵f(x)的定义域为[0,1],∴要使f(x+a)·f(x-a)有意义,须且0<a<eq\f(1,2),a<1-a,∴a≤x≤1-a.答案:[a,1-a]题组二函数的值域问题f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R,则aA.a=-1或3B.a=-1C.a>3或a<-1D.-1<a<3解析:若a2-2a-3≠0,则函数为二次函数,不可能定义域和值域都为R,当a2-2a-3=0时,得a=-1或3,但当a=3时,函数为常数函数,也不可能定义域和值域都为R,故答案:By=f(x)的值域是[eq\f(1,2),3],则函数F(x)=f(x)+eq\f(1,f(x))的值域是A.[eq\f(1,2),3]B.[2,eq\f(10,3)]C.[eq\f(5,2),eq\f(10,3)]D.[3,eq\f(10,3)]解析:令t=f(x),则eq\f(1,2)≤t≤3,由函数g(t)=t+eq\f(1,t)在区间[eq\f(1,2),1]上是减函数,在[1,3]上是增函数,则g(eq\f(1,2))=eq\f(5,2),g(1)=2,g(3)=eq\f(10,3),故值域为[2,eq\f(10,3)].答案:Ba,b∈R,记max{a,b}=.函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是()A.0B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,2)解析:函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的图象如图所示,由图象可得,其最小值为eq\f(3,2).答案:C7.(2010·珠海模拟)若函数y=f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)=1-2f(x+3)的值域是解析:∵1≤f(x)≤3,∴-6≤-2f(x∴-5≤1-2f(x即F(x)的值域为[-5,1].答案:[-5,1]8.分别求下列函数的值域:(1)y=eq\f(2x+1,x-3);(2)y=-x2+2x(x∈[0,3]);(3)y=x+eq\r(1-x2);(4)y=eq\f(1-2x,1+2x).解:(1)分离变量法将原函数变形为y=eq\f(2x-6+7,x-3)=2+eq\f(7,x-3).∵x≠3,∴eq\f(7,x-3)≠0.∴y≠2,即函数值域为{y|y∈R且y≠2}.(2)配方法∵y=-(x-1)2+1,根据二次函数的性质,可得原函数的值域是[-3,1].(3)换元法先考虑函数定义域,由1-x2≥0,得-1≤x≤1,设x=cosθ(θ∈[0,π]),则y=sinθ+cosθ=eq\r(2)sin(θ+eq\f(π,4)),易知当θ=eq\f(π,4)时,y取最大值为eq\r(2),当θ=π时,y取最小值为-1,∴原函数的值域是[-1,eq\r(2)].(4)分离常数法y=∵1+2x>1,∴0<<2,∴-1<-1+<1,∴所求值域为(-1,1).题组三函数定义域和值域的综合问题9.(2010·福建“四地六校”联考)设集合A=[0,eq\f(1,2)),B=[eq\f(1,2),1],函数f(x)=若x0∈A,且f[f(x0)]∈A,则x0的取值范围是()A.(0,eq\f(1,4)]B.[eq\f(1,4),eq\f(1,2)]C.(eq\f(1,4),eq\f(1,2))D.[0,eq\f(3,8)]解析:∵0≤x0<eq\f(1,2),∴f(x0)=x0+eq\f(1,2)∈[eq\f(1,2),1)B,∴f[f(x0)]=2(1-f(x0))=2[1-(x0+eq\f(1,2))]=2(eq\f(1,2)-x0).∵f[f(x0)]∈A,∴0≤2(eq\f(1,2)-x0)<eq\f(1,2).∴eq\f(1,4)<x0≤eq\f(1,2),又∵0≤x0<eq\f(1,2),∴eq\f(1,4)<x0<eq\f(1,2).答案:Cf(x)=若f(g(x))的值域是[0,+∞),则函数y=g(x)的值域是()A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.(-∞,-1]∪[0,+∞)C.[0,+∞)D.[1,+∞)解析:如图为f(x)的图象,由图象知f(x)的值域为(-1,+∞),若f(g(x))的值域是[0,+∞),只需g(x)∈(-∞,-1]∪[0,+∞).答案:B11.规定记号“*”表示一种运算,即a*b=eq\r(ab)+a+b,a,b是正实数,已知1];(2)函数f(x)=k*x的值域是.解析:(1)1]k)+1+k=3,解得k=1.(2)f(x)=k*x=1]x)+1+x≥1.答案:(1)1(2)[1,+∞)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,f(-1)=a-b+c=0,且-eq\f(b,2a)=-1,解得a=1,b=2.∴f(x)=(x+1)2.∴F(x)=∴F(2)+F(-2)=(

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