2025年中考数学几何模型综合训练专题12三角形中的重要模型之面积模型解读与提分精练（教师版）

专题12三角形中的重要模型之面积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三

角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应

试题分析，方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.等积变换基础模型..............................................................................................................................1

模型2.蝴蝶（风筝）模型..............................................................................................................................7

模型3.燕尾（定理）模型............................................................................................................................12

模型4.鸟头定理（共角定理）模型............................................................................................................17

模型5.金字塔与沙漏模型............................................................................................................................23

.................................................................................................................................................26

模型1.等积变换基础模型

模型1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图，当，则；反之，如果，则可知直线。

1AB//CDS△ACDS△BCDS△ACDS△BCDAB//CD

图1图2图3

模型2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2，当点D是BC边上的动点时，则SABD∶SADC＝BD∶DC。

△△

如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则SABD∶SADC＝BE∶CF。

△△

证明：模型1）如图1，过点A作AE⊥CD、过点B作BF⊥CD。∵AB//CD，∴AE=BF。

11

∵S△CDAE；S△CDBF；∴SS。反之同理可证。

ACD2BCD2△ACD△BCD

模型2）如图2，过点A作AH⊥BC。

11

∵S△BDAH；S△CDAH；∴SABD∶SADC＝BD∶DC。

ABD2ACD2

△△

如图3，过点C作CF⊥AD、过点B作BE⊥AD。

11

∵S△ADBE；S△ADCF；∴SABD∶SADC＝BE∶CF。

ABD2ACD2

△△

例1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，若点D是边BC上的点，且BD:CD3:2，则△ABD与

ACD的面积之比为（）

A．3:2B．9:4C．2:3D．4:9

【答案】A

【分析】此题考查了三角形面积问题，解题的关键是掌握三角形面积的表示方法．设点A到BC的距离为h，

1

BDh

11SBD3

首先表示出SBDh，SCDh，结合BD:CD3:2，得到ABD2．

ABDACDS1CD2

22ACDCDh

2

11

【详解】解：设点A到BC的距离为h，∴SBDh，SCDh，

ABD2ACD2

1

BDh

SBD3

∵BD:CD3:2，∴ABD2．故选：A．

S1CD2

ACDCDh

2

例2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，E，F分别是ABCD的边，上的点，AF与相交于

点P，BF与相交于点Q，若△APD的面积为2，BQC的面积为4，�A�BC�D�的面积为26，则�阴�影部是

的面积为𝐷．

【答案】7

【分析】本题考查了平行四边形的性质，连接E、F两点，过点E作EMDC于点M．根据平行四边形的

1

性质得出S2613，S△S△进而减去公共的△EQB的面积可得S△EFQS△BCQ，同理

△DEC2EFCBCF

S△EFDS△ADF，得出S△EFPS△ADP，进而即可求解．

【详解】解：如图，连接E、F两点，过点E作EMDC于点M．

11

∵SDCEM，SDCEM26，∴S2613．

△DEC2ABCD△DEC2

∵四边形是ABCD平行四边形，∴AB∥CD，

∴EFC的FC边上的高与VBCF的FC边上的高相等，

∴S△EFCS△BCF，∴S△EFQS△BCQ，同理S△EFDS△ADF，∴S△EFPS△ADP．

∵S△APD2，S△BQC4，∴S四边形EPFQ246，故阴影部分的面积S△DECS四边形EPFQ1367．

例3．（2024·上海浦东新·一模）如图，在VABC中，AB4，AC6，E为BC中点，AD为VABC的角平分

:

线，VABC的面积记为S1，VADE的面积记为S2，则S2S1．

【答案】1:10

【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．根

据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可．

【详解】解：过点D作DMAB,DNAC，

AD为VABC的角平分线，DMDN,

1

ABDM

1SVABD242

∵AB4,AC6,E为BC中点，∴SVSVSV,,

ABEAECABCS163

2VADCACDN

2

5

53xx

设SV2x,SV3x，则SV5x,SVSVx,则S221，故答案为：1:10．

ABDADCABCABEAEC2

S15x10

例4．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】

如图1，AD是VABC中BC边上的中线，△ABD与ACD的面积相等吗？请说明理由，

【应用】如图2，点A、B、C分别是BD、CE、AF的中点，且SABC4，则图2中阴影部分的面积为；

【拓展】（1）如图3，VABC中，延长CA至点F，使得AFCA，延长AB至点D，使得BD2AB，延长BC

至点E，使得CE3CB，连接EF、FD、DE，如果S△ABC3，那么S△DEF为．

（2）如图4，VABC中，AB12，AC16，点D、E是BC、AC边上的中点，AD、BE交于点F．若VABC

的面积为S，则四边形DCEF面积为（用含S的代数式表示）；四边形DCEF的面积存在最大值，这个值

为．

1

【答案】探究：S=S，理由见解析；应用：24；拓展：（1）54；（2）S，32

ABDACD3

【分析】探究：根据等底同高的三角形面积相等，即可得结论；

应用：连接AE，BF，CD，运用探究结论可知S△ABCS△ABES△AED4，则S△BDE2S△ABC8，同理可得

S△BDES△CEFSADF8，即可求得阴影部分的面积；

拓展：（1）如图，连接AE，CD，S△ABC3，利用等高的性质，求得所有三角形的面积，再求和，可得结

论；（2）连接CF并延长交AB于G，可知CG是AB边上的中点，记6个小三角形的面积分别为S1，S2，S3，

11

S，S，S，可得S1S2S3S4S5S6，进而可得S1S2S3S4S5S6S△ABCS，可知四边形DCEF

45666

11

面积S4S5S，要使得四边形DCEF面积S最大，只需要使得VABC的面积S最大，则只需要ABAC，

33

1

可得VABC的面积最大值为SABAC96，即可求得四边形DCEF面积最大值．

2

本题考查与三角形中线有关的面积问题，等高模型的性质等知识，解题的关键是理解三角形中线的性质．

=

【详解】解：探究：SABDSACD，理由如下：过点A作AHBC，交BC于H，

1

∵AD是VABC中BC边上的中线，则BDCDBC，

2

111

∴S△BDAHCDAHS△S△，即：S=S；

ABD22ACD2ABCABDACD

应用：连接AE，BF，CD，

∵点A、B、C分别是BD、CE、AF的中点，∴ADAB，BCBE，CACF，

∴S△ABCS△ABES△AED4，则S△BDE2S△ABC8，

同理可得S△BDES△CEFSADF8，∴阴影部分的面积为3824，故答案为：24；

拓展：（1）如图，连接AE，CD，S△ABC3．

∵BD2AB，则AD3AB，∴S△BCD2S△ABC6，S△ACD3S△ABC9，

∵EC3BC，∴S△EAC3S△ABC9，S△ECD3S△BCD18，

∵ACAF，∴S△ADFS△ACD9，S△AEFS△ACE9

∴DEF的面积S△ABCS△BCDS△ECDS△ACES△AEFS△ADF361899954．故答案为：54；

（2）连接CF并延长交AB于G，∵点D、E是BC、AC边上的中点，∴CG是AB边上的中线，

记6个小三角形的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，

=

则S1S2，S3S4，S5S6，S1S2S3S4S5S6，

∴S1S2S5S6，即：2S12S6，∴S1S6，即：S1S2S5S6，

11

同理可知，SSSSSS，∴SSSSSSS△S，

1234561234566ABC6

11

∴四边形DCEF面积S4S5S，要使得四边形DCEF面积S最大，只需要使得VABC的面积S最大，

33

∵VABC中，AB12，AC16，∴要使得VABC的面积S最大，则只需要ABAC，

1

∴VABC的面积最大值为SABAC96，

2

111

则四边形DCEF面积最大值为S9632，故答案为：S，32．

333

例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）规律：如图1，直线m∥n，B，C为直线n上的点，A，P为直线

m上的点．如果A，B，C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，VABC与PBC

_________

的面积始终相等，其理由是___．

应用：

（1）如图2，B、C、D三点在同一条直线上，VABC与ECD都是等边三角形，连结BE，AE．若CD2，

BC2CD，求ABE的面积．（2）如图3，已知E，F，G，H是矩形ABCD边上的点，且EF∥AD，GH∥AB，

连结GB交EF于点M，连结交GH于点N，连结DN交EF于点P，连结GP，若四边形AEOG的面积

等于5，求四边形GMNP的面�积�．

5

【答案】规律：同底等高的两个三角形的面积相等；（1）43（2）

2

【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理，等边三角形的性质，平行线之间的距离等知识点；

规律：利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答；

（1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”求SABC即可解答；

（2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”，将四边形AEOG的面积拆成4个小三

角形，将四个小三角形转化为矩形AEOG的一半，即可求解．

【详解】解：规律：∵直线m∥n，∴点A和点P到直线n的距离相等．

又∵在ABC和PBC中，BCBC，∴SABCSPBC（同底等高的两个三角形的面积相等）．

故答案为：同底等高的两个三角形的面积相等．

（1）如图所示，过点A作AFBC于点F，

∵VABC与ECD都是等边三角形，∴BACCED60∴AB∥CE，∴S△ABES△ABC

∵AFBC,ABAC,BAC60∴BAF30∵CD2，BC2CD，∴ABBC4∴BF2

11

∴22∴；

AFABBF23SABESABCBCAF42343

22

（2）如图所示，连接OA,OB,OC,OD，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD,AD∥BC

∵EF∥AD，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC,AB∥GH∥DC，

∴SGOPSOPD，SOPNSDOPSONDSONC，∴SGOPSONPSONC，

又SONCSOMNSOMC，∵EF∥BC，∴SOMCSOMB，∴SOMCSMOGSOGB，

15

∵AB∥GH，∴SSS，

OGBOGA2四边形AEOG2

5

∴SSSSS，∴S

OPGOPNMONMOGOMA四边形GMNP2

模型2.蝴蝶（风筝）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则

四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

1）任意四边形的蝴蝶定理：

如图，结论：①或；②。

1S1:S2S4:S3S1S3S2S4AO:OCS1S2:S4S3

证明：由基础模型）知：；；即故；即。

2S1:S2DO:BOS4:S3DO:BOS1:S2S4:S3S1S3S2S4

由基础模型）知：；即。

2S△ABD:S△BCDOA:OCAO:OCS1S2:S4S3

2）梯形蝴蝶定理：

如图，结论：①22；②222。

2S1:S3a:bS1:S3:S2:S4:SABCDa:b:ab:ab:ab

证明：∵四边形为梯形，∴，∴易证，∴22。

ABCDAD//BCAODCOBS1:S3a:b

同理可证得：222。

S1:S3:S2:S4:SABCDa:b:ab:ab:ab

例1．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，任意四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，把△AOB、△AOD、

△COD、BOC的面积分别记作S1、S2、S3、S4，则下列各式成立的是（）

A．S1+S3=S2+S4B．S3S2S4S1C．S1S4=S2S3D．S1S3=S2S4

【答案】D

S3S1

【分析】作BEAC于点E，从而可分别表示出S2和S3然后可得出，同理可得出，这样即可证得

S2S4

S1S3S2S4．

【详解】解：如图，过点D作DEAC于点E，

SCOSAOSS

113112

则S3CODE，S2AODE，，同理可证：，，S1S3S2S4．故选：D．

22S2AOS4COS4S3

【点睛】本题考查了三角形面积的求法．解答该题时，主要是抓住不同底等高三角形面积间的数量关系．

例2．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，2AB3CD，如果对角线

AC与BD相交于点O，△AOD、△BOA、△COB、△DOC的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列

结论中，不正确的是（）

A．2S23S1B．2S23S4C．S1S3D．S1S3S2S4

【答案】B

DOCOCD2

【分析】证△DOC∽△BOA，可得，再利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式

BOAOAB3

逐一分析判断各选项即可得出结论．

DOCOCD

【详解】解：∵AB∥CD，∴△DOC∽△BOA，∴，

BOAOAB

2

DOCOCD2S424

∵2AB3CD，∴，∴，∴4S29S4，故B符合题意；

BOAOAB3S239

S2

DO21

∵，∴，即2S23S1，故A不符合题意；

BO3S23

∵AB∥CD，∴S△ABDS△ABC，即S1S2S3S2，∴S1S3，故C不符合题意；

SOASOCSSOAOC

1313

∵，，∴1，∴S1S3S2S4，故D不符合题意；故选B

S4OCS2OAS2S4OCOA

【点睛】本题考查的是梯形的性质，相似三角形的判定与性质，等底或等高的两个三角形的面积之间的关

DOCOCD2

系，证明BOAOAB3是解本题的关键．

例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为

p2、q2，则梯形的面积为．

2

【答案】pq

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据梯形，得到AB∥CD，过O作OECD于E，延长EO交

CDOES

AB于F，则EFAB，证明ABO∽CDO，得到CDOq:p，设梯形上下底分别为mq,mp，

ABOFSABO

两个三角形对应的高分别为nq,np，根据三角形的面积公式，得到mn2，再根据梯形的面积公式进行求解

即可．掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应边上的高线比等于相似比，是解题的关键．

【详解】解：∵四边形ABCD是梯形，∴AB∥CD，

如图，过O作OECD于E，延长EO交AB于F，则EFAB，

CDOES

∵AB∥CD，∴ABO∽CDO，∴CDOq:p，

ABOFSABO

mpnp

设梯形上下底分别为mq,mp，两个三角形对应的高分别为nq,np，∴p2，∴mn2

2

2

(mpmq)(npnq)mn(pq)2

∴S(pq)2；故答案为：pq．

梯形ABCD22

例4．（2024·山西·校考一模）阅读与探究

请阅读下列材料，完成相应的任务：

凸四边形的性质研究

如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做

凸四边形．凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成

的两对对顶三角形的面积之积相等．

例如，在图1中，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点О，且ACBD，VAOB，BOC，△COD，

1

OBOA

S12OB

△AOD的面积分别为S1,S2,S3,S4，则有S·SSS，证明过程如下：

1324S1OD

4ODOA

2

任务：（1）请将材料中的证明过程补充完整；（2）如图2，任意凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，

分别记VAOB，BOC，△COD，△AOD的面积为S1,S2,S3,S4，求证S1·S3S2S4；

（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，SAOD4，S△BOC6，SAOB:SCOD1:3，

则四边形ABCD的面积为________________．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1082

【分析】（1）根据三角形的高相同，面积比等于底的比求解即可；（2）分别过点A,C作AEBD于点

E,CFBD于点F，再根据三角形的高相同，面积比等于底的比计算即可；（3）设SAOB=x，SCOD3x，

根据“任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等”求解即可．

11

OBCFOBOA

SOBSOBSS

【详解】解：（1）∵22，12，12SSSS；

S1ODS1ODSS1324

3ODCF4ODOA43

22

（2）如答图，分别过点A,C作AEBD于点E,CFBD于点F．

11

OBOAOBCF

SOBSOBSS

12；22；12；SSSS；

S1ODS1ODSS1324

4ODOA3ODCF43

22

（3）由SAOB:SCOD1:3，SAOD4，S△BOC6，设SAOB=x，SCOD3x，

根据任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，

可得：则即，，

3x²=4×6=24,x=22,SAOB=22SCOD322=62

∴四边形ABCD的面积=SAOD+SBOC+SAOB+S△COD=4+6+22+62=10+82．

【点睛】本题考查了面积及等积变换，掌握三角形的高相同，面积比等于底的比、任意凸四边形被对角线

分成的两对对顶三角形的面积之积相等是解题的关键．

模型3.燕尾（定理）模型

条件：如图，在△ABC中，E分别是BC上的点，G在AE上一点。

结论：S1:S2S3:S4（S1+S3）:（S2+S4）BE:EC。

证明：由基础模型）知：；；故；

2S3:S4BE:ECSABE:SAECBE:ECS1:S2BE:EC

即S1:S2S3:S4（S1+S3）:（S2+S4）BE:EC。

例1．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．

（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，

SACMAM

如图1，VABC的边AB上有一点M，请证明：；

SBCMBM

CD1CE1

（结论应用）（2）如图2，CDE的面积为1，,，求VABC的面积；

AC4CB3

（拓展延伸）（3）如图3，VABC的边AB上有一点M，D为CM上任意一点，请利用上述结论，证明：

SAM

ADC；

SBDCBM

1

（迁移应用）（4）如图4，VABC中，M是AB的三等分点AMAB，N是BC的中点，若VABC的面

3

积是1，请直接写出四边形BMDN的面积：．

5

【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析；（4）

12

【分析】本题主要考查了三角形的面积公式以及三角形的中线的性质的运用：

【经验发展】过C作CHAB于H，依据三角形面积计算公式，即可得到结论；

【结论应用】连接AE，依据“如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比”，即可得到

VABC与CDE面积之间的关系；

【拓展延伸】依据如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，即可得到△ADC与BDC

面积之间的关系；

1

【迁移应用】连接BD，设△ADC,即可得出S2a,S△ACD3a,SSS3a,进而得到

BDMCDNBDN2BCD

5

S=S．

四边形BMDN12ABC

【详解】（经验发展）如图1，过C作CHAB于H，

1

AMCH

11S△ACM2AMS△ACMAM

SAMCH，SBMCH，，即．

△ACM△BCMS1BM

22△BCMBMCHS△BCMBM

2

CD11

（结论应用）如图2，连接AE，∵，SS，

AC4CDE4ACE

CE11111

又∵，SS，SSS，

CB3ACE3ABCCDE43ABC12ABC

又CDE的面积为1，ABC的面积为12．

S△ACMAM

（拓展延伸）如图3，∵M是AB上任意一点，∴，

S△BCMBM

CDCD

∵D是CM上任意一点，SS，SS，

ACDCMACMBCDCMBCM

CD

S△ACM

SSS△AM

∴△ACDCM△ACM，即ADC．

SCDSS△BM

△BCDS△BCMBDC

CM△BCM

1S△ACDAM1

（迁移应用）如图4，连接BD，∵M是AB的三等分点AMAB，∴，

3S△BCDBM2

SCN

∵N是BC的中点，∴△ACD1，

S△ABDBN

1

设Sa，则S2a，S△ACD3a，SSS3a，

ADMBDMCDNBDN2BCD

5555

S四边形5a，S12a，S四边形S△1．故答案为．

BMDNABCBMDN12ABC121212

例2．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）【问题情境】如图1，AD是VABC的中线，VABC与△ABD的面积

有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边BC上的高AE，根据中线的定义可知BDCD．因为高AE相

=

同，所以SABDSACD，于是S△ABC2S△ABD．

据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．

(1)【深入探究】如图2，点D在VABC的边BC上，点P在AD上．

①若AD是VABC的中线，请判断SAPB与SAPC的大小关系，并说明理由．

②若BD3DC，则SAPB：SAPC______．

(2)【拓展延伸】如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得A，B，C，D分别为DH，AE，BF，CG的中

点，依次连接E，F，G，H得四边形EFGH．直接写出S△HDG，SFBE与S四边形ABCD之间的等量关系；_______．

【答案】(1)①1:1，理由见解析；②3:1(2)S△HDGS△FBE2S四边形ABCD

【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的

关键．（1）①根据中线的性质可得S△ADBS△ADC，点D为BC的中点，推得PD是△PBC的中线，SPDBSPDC，

得到S△APBS△APC，即可得出结果；②设VABC边BC上的高为h，根据三角形的面积公式可得

11

SBDh，SDCh，即可推得S3S，同理推得S3S，即可求得

ADB2ADC2ADBADCPDBPDC

SAPB3SAPC，即可证明SAPB:SAPC3:1；

11

（2）连接AG，AC，CE，根据中线的判定和性质可得SSS，SSS，

GAHGAD2GHDCBACBE2CAE

1111

SSS，SSS，推得SSS，SSS，即可

ECFECB2EFBADCADG2ACGADCADG2GHDCBACBE2EFB

1

求得S四边形SS，即可证明S△HDGS△FBE2S四边形．

ABCD2GHDEFBABCD

【详解】（1）解：①证明：∵AD是VABC的中线，∴点D为BC的中点，S△ADBS△ADC，

∴PD是△PBC的中线，∴SPDBSPDC，∴SADBSPDBSADCSPDC，

即S△APBS△APC，∴S△APB:S△APC1:1

11

②设VABC边BC上的高为h，则SBDh，SDCh，

ADB2ADC2

∵BD3DC，∴SADB3SADC，同理SPDB3SPDC，

则SADBSPDB3SADC3SPDC，即SAPB3SAPC，∴SAPB:SAPC3:1．

（2）①证明：连接AG，AC，CE，如图：

∵点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，

∴AG，BC，CE，DA分别为GHD，CAE，△EFB，ACG的中线，

1111

∴SSS，SSS，SSS，SSS，

GAHGAD2GHDCBACBE2CAEECFECB2EFBADCADG2ACG

11

∴SSS，SSS

ADCADG2GHDCBACBE2EFB

111

∵S四边形SSSSSS，即S△HDGS△FBE2S四边形ABCD．

ABCDADCCBA2GHD2EFB2GHDEFB

SABDBD

例3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知D是的BC边上一点，连结AD，此时有结论，

SACDCD

�𝐴�

请解答下列问题：（1）当D是BC边上的中点时，ABD的面积ACD的面积（填“>”“<”或“=”）．

（2）如图1，点D、E分别为AB，AC边上的点，连结CD，BE交于点O，若BOD、COE、BOC的面

积分别为5，8，10，则ADE的面积是（直接写出结论）．

（3）如图2，若点D，E分别是的AB，AC边上的中点，且SABC60，求四边形ADOE的面积．可以

�𝐴�

用如下方法：连结AO，由ADDB得SADOSBDO，同理：SCEOSAEO，设SBDOx，SCEOy，则SADOx，

112xy30

SAEOy，由题意得SABESABC30，SADCSABC30，可列方程组为：，解得xy20，

22x2y30

可得四边形ADOE的面积为20．解答下面问题：

如图3，D，F是AB的三等分点，E，G是CA的三等分点，CD与BE交于O，且SABC60，请计算四边

形ADOE的面积，并说明理由．

120

【答案】（1）=；（2）18；（3），见解析

7

【分析】（1）利用同高（或同底）的三角形面积比等于对应边（或高）的比即可得．

（2）连接AO，利用同高的三角形面积比等于对应边的比，结合已知条件联立方程可得．

（3）连接AO，利用同高的三角形面积比等于对应边的比，结合已知条件联立方程可得．

SBDSBD

ABDABD=

【详解】（1）∵，D是BC边上的中点∴BDCD,1，则SABDSACD

SACDCDSACDCD

（2）如图，连结AO

∵BOD、COE、BOC的面积分别为5，8，10，

SDO1SDO1

BDODEO

∴，∴SDEO4设SADOa，SAEOb

SBCOOC2SCEOOC2

aDO1a1

b8CO2b82

则整理得解得a10，b12，

bEOSCOE8b84

a5BOSBOC10a5105

则SADEabSDEO1012418．

（3）连结AO，设SAODx，SCOEy，∴SBOD2x，SAOE2y，

22

∵S60，SS6040∴3x2y40

ABCABE3ABC3

11

∵S60，SS=6020