2025年中考数学几何模型综合训练专题06三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型解读与提分精练（学生版）

专题06三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型

近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的

一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型(M

型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）..............................................................................................................1

模型2.铅笔头模型..........................................................................................................................................4

模型3.牛角模型..............................................................................................................................................7

模型4.羊角模型..............................................................................................................................................9

模型5.蛇形模型（“5”字模型）..................................................................................................................11

.................................................................................................................................................13

模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）

先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根

据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。

①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。

图1图2图3

条件：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②条件：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.

证明：如图1，过点P作PQ∥AM，

∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，

∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．

条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.

证明：根据图1中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，

条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.

证明：由图2的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1

例1．（2024·山西·二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束AB与DC平行射入接收天线，

经反射聚集到焦点O处，若ABO38°，DCO45，则BOC的度数为（）

A．90B．83C．76D．73

例2．（2024九年级下·辽宁·学业考试）如图，AB∥CD，AEEF,A25,EFC130，则C的度

数为．

11

例3．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知AB∥CD，EAFEAB，ECFECD，若

33

E66，则F为（）

A．23°B．33°C．44°D．46°

例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们

青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进

滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺

直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，当人脚与地面的夹角

CDE60时，求出此时上身AB与水平线的夹角BAF的度数为（）

A．60B．45C．50D．55

例5．（23-24七年级下·广东云浮·期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识

后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线AB∥CD，直线AC是直线AB，CD的第三条截线，AK，

CK分别是BAC，DCA的平分线，并且相交于点K．

问题解决：（1）BAC，DCA的平分线AK，CK所夹的K的度数为______；

问题探究：（2）如图2，BAK，DCK的平分线相交于点K1，请写出AK1C与AKC之间的等量关系，

并说明理由；

拓展延伸：（3）在图3中作BAK1，DCK1的平分线相交于点K，作BAK2，DCK2的平分线相交于点

K3，依此类推，作BAK2023，DCK2023的平分线相交于点K2024，求出K2024的度数．

例6．（2024·上海·八年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，

联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？

（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？

（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．

模型2.铅笔头模型（子弹模型）

因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才

是关键。

①注意拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.

图1图2图3

条件：如图1，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。

证明：在图2中，过P作AM的平行线PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，

∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；

条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°

证明：在图2中，过P1作AM的平行线P1E，过点P2作AM的平行线P2F，

∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F，∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；

条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.

证明：在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，

根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．

例1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凸透镜的折射后，折射光线BE

和折射光线DF交主光轴于点P，若ABE155，CDF160，则FPE°．

∥∥

例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线l1l2l3,125,ABC73，则2的度数为（）

A．142B．140C．138D．132

例3．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线ABCD，点E，F分别是直线AB,CD上的两点，

点P在直线AB和CD之间，连接EP,FP,PEB和PFD的平分线交于点Q，下列等式正确的是（）

A．P2Q360B．2PQ360C．Q2PD．PQ180

例4．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片．如图②所

示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（BAE、AEC、ECD），则BAEAECECD（度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（BAE、AEF、EF、FCD），则

BAEAEFEFCFCD（度）；

（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（BAE、AEF、EFG、FGC、GCD），

则BAEAEFEFGFGCGCD（度）；

（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n1个角，那么这n1个角的和是（度）．

例5．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，

探索问题的解．

(1)如图1，AB∥CD，点E为AB、CD之间的一点．求证：1MEN2360．

(2)如图2，AB∥CD，点E、F、G、H为AB、CD之间的四点．则123456______．

(3)如图3，AB∥CD，则123n______．

模型3.牛角模型

因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。

图1图2

条件：如图1，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，结论：.

证明：如图，延长AB交DE于点F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝，

∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴；

条件：如图2，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，结论：180.

证明：如图，延长AB交DE于点F，

∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-，

∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴180；

例1．（2024·山西·模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1是某同

学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知AB∥CD，EBA80，E25，

则EDC的度数为（）

A．125B．115C．105D．95

例2．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若ABCD，则（）

A．123B．132C．123180D．123180

例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE

平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．

例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内

的一点，(1)问题提出：如图1，A120，C130．求APC的度数：

(2)问题迁移：如图2，写出APC，A，C之间的数量关系，并说明理由：

H

(3)问题应用：如图3，EAH:HAB1:3，ECH20，DCH60，求的值．

E

例5．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，ABEBEDCDE．

(1)如图1，求证AB∥CD；(2)如图2，点P在AB上，CDPEDP，BF平分ABE，交PD于点F，探

究BFP，BED的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图3，PQ交ED延长线于点

Q，DPQ2APQ，PQD80，求CDE的度数．

模型4.羊角模型

因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。

图1图2

条件：如图1，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.

证明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝，

∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴；

条件：如图2，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：180.

证明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-，

∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴180；

例1．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，已知CDE110，如果AC∥DE，ACBC，那么B的度数

为．

例2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知l1∥l2，VABC是等腰直角三角形，BAC90，顶点A,B分

别在l1,l2上，当∠170时，2．

例3．（2023·河南·统考三模）如图，已知AB∥DE，ABC150，CDE75，则BCD的度数为（）

A．55B．60C．45D．50

例4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，AB∥CD，ABM的角平分线BP交HCD的角平分线的反

向延长线于点P，直线PB交CD于点N，若HCD2BNC24，则PH°

例5．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知AB∥MN．

(1)如图1，求证：NEB；

1

(2)若F为直线MN、AB之间的一点，EEFB，BG平分ABF交MN于点G，EF交MN于点C．

4

①如图2，若N57，且BG∥EN，求E的度数；②如图3，若点K在射线BG上，且满足

1

KNMENM，若NKBEFB，EFBD，直接写出E的度数．

4

模型5.蛇形模型（“5”字模型）

因模型像一条弯曲的水蛇，故取名蛇形模型。

图1图2

条件：如图1，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：180.

证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠BCF＝∠B，

∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，

∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴180.

条件：如图2，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：180.

证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠B+∠BCF＝180°，

∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，

∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴180.

例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，

如图，若ABC120，BCD80，则CDE等于（）

A．50°B．40°C．30°D．20°

例2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，AB∥CD，DCE的角平分线CG的反向延长线和ABE

的角平分线BF交于点F，EF66，则E．

例3．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）如图，已知点A，C，B不在同一条直线上，AD∥BE．

1

(1)求证BCA180；(2)如图2，AH，BQ分别为三等分DAC、EBC所在直线，DAHDAC，

3

1

EBQEBC，试探究C与AQB的数量关系；(3)如图3，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、

3

BC交于点P，APC60，请直接写出DAC:ACB:CBE_________．

例4．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图1，ACB90，MA∥BN．

(1)①如果MAC30，求CBN的度数；②设MAC，CBN，直接写出、之间的数量关

系：；(2)如图2，MAC、CBN的角平分线交于点P，当MAC的度数发生变化时，APB

的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出APB的度数；

(3)在（2）的条件下，若MAC40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，

连接EP．已知FEP10，求BPE的度数．

1．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若AB∥CD，65，25，则的度数是（）

A．115°B．130°C．140°D．150°

2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.

若132，262，则3的度数为（）

A．118B．148C．150D．162

3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线AB∥CD．若EDC2E，ABC60，则E（）

A．10B．15C．20D．30

4．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京

景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的

历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，

BAE94，DCE122，则E的度数为（）

A．28B．38C．18D．25

5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，若AB∥CD，CD∥EF，130，2130，那么BCE的度数为

（）

A．160B．100C．90D．80

6．（24-25九年级上·湖北·课后作业）①如图①，AB∥CD，则ACE；

②如图②，AB∥CD，则PAC；③如图③，AB∥CD，则EA1；

④如图④，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则180．以上结论正确的是（）

A．①②③④B．③④C．①②④D．②③④

7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若AD∥BC，1125，340，

则2的度数是°．

8．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，AB∥CD，DCE的角平分线CG的反向延长线和ABE的角

平分线BF交于点F，EF63，则E．

9．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，AB∥CD，P为AB上方一点，E、F分别为AB、CD上的

点，PEB、PFD的角平分线交于点Q，PFC的角平分线与QE的延长线交于点G，若PFD76，

G68，则GEP的度数等于．

10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线AB、CD平行，则123456．

11．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中，ABCD．

（1）分．别．说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．

（2）请你从中任．选．一．个．加以说明理由．

解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯

碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．

12．（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE

(1)求证：BCA180：(2)如图②，AQ、BQ分别为DAC、EBC的平分线所在直线，试探究C

与AQB的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QPPB，

直接写出DAC：ACB：CBE=．

13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：AB∥CD，点E在CD上，点G、F在AB上，点H

在AB、CD之间，连接FE、EH、HG，AGHFED，FEHE，垂足为点E．

(1)如图1，求EHG的度数；(2)如图2，GM平分HGB，EM平分HED，GM、EM交于点M，求M

的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，FK平分AFE交CD于点K，若KFE：MGH23：13，FK与ME

所在直线交于点Q，若射线QP从射线QF的位置开始绕着点Q逆时针以每秒5的速度进行旋转，射线QP交

直线CD于点P，旋转时间为t秒，当t为何值时，QP第一次与GH平行？并求此时FQE的度数．

14．（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）（1）如图1，已知AB∥CD，BAP40，PCD30，则

求APC的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，AM平分BAP，CM平分PCD，则AMC的度数．

（3）如图2，已知AB∥CD，AM平分BAP，CM平分PCD，．当点P、M在直线AC同侧时，直接

写出APC与AMC的数量关系：；

（4）如图3，已知AB∥CD，AM平分BAP，CM平分PCD．当点P、M在直线AC异侧时，直接写

出APC与AMC的数量关系：．

15．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）已知，直线AB∥CD，点P为平面上一点，连接AP与CP．

(1)如图1，点P在直线AB、CD之间，当BAP60，DCP20时，求APC的度数．

(2)如图2，点P在直线AB、CD之间，BAP与DCP的角平分线相交于点K，写出AKC与APC之间

的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点P落在CD下方，BAP与DCP的角平分线相交于点K，请直接

写出AKC与APC的数量关系．

16．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上；点O在直线AB、CD之间，

且EOF80(1)如图1，①若OFC20，求AEO的度数；

②若OFC，请你直接写出OFCAEO________；

(2)如图2，直线MN分别交BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，求EMNFNM的值

(3)如图3，EG在AEO内，AEGmOEG；FH在DFO内，DFHmOFH，直线MN分别交EG、

FH分别于点M、N，且FMNENM80，直接写出m的值

17．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线

的作用．李老师给出如下问题：AB∥CD，点