2025年中考数学几何模型综合训练专题03三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型解读与提分精练（学生版）

专题03三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型

与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.“8”字模型............................................................................................................................................1

模型2.“A”字模型...........................................................................................................................................4

模型3.三角板拼接模型..................................................................................................................................6

...................................................................................................................................................8

模型1.“8”字模型

“8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。

图1图2

1）8字模型（基础型）

条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；

结论：①ABCD；②ABCDADBC。

证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；

∵∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D；在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；

∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴ABCDADBC。

2）8字模型（加角平分线）

条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；

结论：2∠P=∠B+∠D

证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD

∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D②

1

①+②得2∠P=∠B+∠D，则PBD，即2∠P=∠B+∠D

2

例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确

的是（）

A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D

例2．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求ABCDEFG的度数．

例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段AB,CD相交于点O，连接AC,BD，则我们

把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：ACBD；(2)如图2，若CAB和BDC的平分线AP

和DP相交于点P，且与CD,AB分别相交于点M、N．①若B100,C120，求P的度数；②若角

11

平分线中角的关系改为“CAPCAB,CDPCDB”，试探究P与B,C之间的数量关系．

33

例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．

(1)如图1，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD，判断ADBC与ABCD的大小关系，并说明理由；

(2)如图2，OC平分AOB，P为OC上任意一点，在OA，OB上截取OEOF，连接PE，PF．求证：PEPF；

(3)如图3，在ABC中，ABAC，P为角平分线AD上异于端点的一动点，求证：PBPCBDCD．

例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题

(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则A，B，C，D四个角的数量关系是______；

(2)如图2，若BCD，ADE的角平分线CP，DP交于点P，则P与A，B的数量关系为P______；

(3)如图3，CM，DN分别平分BCD，ADE，当AB70时，试求MN的度数（提醒：解

决此问题可以直接利用上述结论）；

11

(4)如图4，如果MCDBCD，NDEADE，当ABn时，则MN的度数为______．

44

模型2.“A”字模型

如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。

条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；

结论：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E

证明：①∵∠1=∠A+∠ACB∴∠1=∠A+180°-∠2∴∠1+∠2=∠A+180°。

②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。

例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，1的度数是（）

A．62B．63C．75D．118

例2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在ABC中，A55，若剪去A得到四边形BCDE，则

12．

例3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线l与ABC的边AC，AB分别相交于点D，E（都

不与点A重合）.

(1)若A64，①求12的度数；②如图2，直线m与边AB，AC相交得到3和4，直接写出34

的度数.(2)如图3，EO，DO分别平分BED和CDE，写出EOD和A的数量关系，并说明理由；

(3)如图4，在四边形BCDE中，点M，N分别是线段DC、线段BE上的点，NG，MG分别平分BNM和

CMN，直接写出NGM与E，D的关系.

模型3.三角板拼接模型

由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。

图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，

当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），

再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。

常见角度拼接（证明特别简单，故略过）：

例1．（2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中

E90，C90，A45，D30，则12．

例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在DE边上，AB∥DF，则1

的度数为（）

A．30B．45C．60D．75

例3．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板ABC、DEF，其中ACBDEF90，

A30，D45．如图，将三角板DEF的顶点E放在AB上，移动三角板DEF，当点E从点A沿AB

向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当DEAB时，ACE60；

②BEF逐渐变小；③若直线DF与直线AB交于点M，则ACEDME为定值；④若ABC的一边与DEF

的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有．（填序号）

例4．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线MN上，两个直角顶点重合在一起，

交直线MN于点C，其中A30，EDC45．

(1)如图2，将图1中的三角板CDE绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中，ECB与ACD的数量关

系是___________；(2)将图1中的三角板CDE绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时CE在ACB

的内部，ED与AB相交于点P，当ECB30时，求DPB的度数；(3)将图1中的三角板CDE绕点C按

逆时针方向旋转，当DE∥AB时，DCB的度数为___________．（直接写出结果即可）

1．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在Rt△ABC中，C90，若沿图中虚线剪去C，则12

的度数是（）．

A．270B．240C．180D．90

2．（2024·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中A90，B45，

C30则DE等于（）

A．80B．75C．70D．65

3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含45角的直角三角板的直角顶点在另一个

三角板的斜边上，若118，则2的度数是（）

A．18B．23C．28D．33

4．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，123456的度数为（）

A．540°B．500°C．460°D．420°

5．（2023·广东清远·八年级校考阶段练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（）

A．90°B．360°C．180°D．无法确定

6．（2024·安徽·八年级校考期中）如图，若CGE125，则ABCDEF．

7．（2023·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知160，CDEFAB．

8．（2023·上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠

放在一起，当ACE180，且点E在直线AC的上方时，他发现若ACE，则三角板BCE有

一条边与斜边AD平行．

9．（2023·广东·八年级假期作业）如图，若EOC115，则ABCDEF．

10．（2023·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：

（1）如图1，已知ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=°．

（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=°．

（3）如图2，根据（△1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．

11．（2024·重庆·八年级校考期中）如图，在RtABC中，ACB90，A65，D是AB边上一点，连接CD，

将ACD沿CD翻折，使A点落在BC边上的E点处，则BDE的度数为度．

12．（2024·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．

(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；

(2)若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．

13．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板PMN放置在ABC上（P点

在ABC内），三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．探究ABP与ACP是否存

在某种确定的数量关系．(1)特殊探究：若A50，则ABCACB_____度，PBCPCB_____

度，ABPACP_____度；(2)类比探索：请探究ABPACP与A的关系；(3)类比延伸：如图②，

改变直角三角板PMN的位置，使P点在ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和

点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由．

14．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，CAD与CBD的角平分线交于点P．

(1)若C35，D29，求P的度数；(2)直接写出D，C，P的数量关系；(3)若CAD与CBD

的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子．

15．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中

ACB30，∠DAE45，BACD90．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋

转，记旋转角CAE(0180)．

(1)在旋转过程中，当为度时，AD∥BC；当为度时，ADBC．

(2)当045时，连接BD，利用图3探究BDECAEDBC值的大小变化情况，并说明理由．

16．（2023·河南驻马店·八年级统考期中）将三角尺（△MPN，MPN90）放置在ABC上（点P在ABC

内），如图①所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C，我们来研究ABP与ACP是否存在某

种数量关系．(1)特例探究：若A50，则PBCPCB________度，ABPACP________度．

(2)类比探究：ABP、ACP、A的关系是___________________．

(3)变式探究：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点

B和点C，探究ABP、ACP、A的关系(只要求直接写出结论)：____________________．

17．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例

如，在图1中，AOBAOB的内角AOB与△COD的内角COD互为对顶角，则AOB与△COD为“对顶

三角形”，根据三角形△内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：ABCD．

(1)如图1，在“对顶三角形”AOB与△COD中，若AOB70，则CD；

(2)如图2，在ABC中，AD、BE分别平分BAC和ABC，若C60，ADE比BED大6，求BED

的度数．(3)如图3，BE、CD是ABC的角平分线，且BDC和BEC的平分线DP和EP相交于点P，设

A，直接写出P的度数（用含的式子表示P）．

18．（23-24七年级下·河南南阳·期末）在学习完三角形的内角、外角相关知识后，利用三角形的内角和同学

们很容易证明三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系．于是，爱思考的小红在想，三角形的一个

内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

①尝试探究：如图1，1与2分别为ABC的两个外角，试探究A与12之间存在怎样的数量关系？

为什么？

解：数量关系：12180A．

理由：∵1与2分别为ABC的两个外角，

∴11803，21804．∴12360（34）．

∵三角形的内角和为180，∴34180A．

∴12360（180A）180A．

小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．

②初步应用：（1）如图2，在ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，1130，则2C；

（2）如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角DBC、ECB，则P与A有何数量关系？；

（直接填答案）；③拓展提升：（3）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角EBC、FCB，则

P与1、2有何数