2025年中考数学几何模型综合训练专题01双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型解读与提分精练（学生版）

专题01双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型

线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出

发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部

分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.线段的双中点模型..............................................................................................................................1

模型2.线段的多中点模型..............................................................................................................................4

模型3.双角平分线模型与角n等分线模型..................................................................................................6

.................................................................................................................................................10

模型1.线段的双中点模型

线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为

线段的双中点模型。

1

条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：MNAC.

2

证明：①当点B在线段AC上，如图1，

图1

11

∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BMAB（中点定义）；BNBC（中点定义）；

22

1111

∵MN=BM+BN，∴MNABBCABBCAC；

2222

②当点B在线段AC的延长线上，如图2，

图2

11

∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BMAB（中点定义）；BNBC（中点定义）；

22

1111

∵MN=BM-BN，∴MNABBCABBCAC；

2222

③当点B在线段CA的延长线上

图3

11

∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BMAB（中点定义）；BNBC（中点定义）；

22

1111

∵MN=BN-BM，∴MNBCABBCBAAC；

2222

例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．

(1)若AB18cm,AM5cm，求CN的长；(2)若MN6cm，求AB的长；

例2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点C在线段AB上，点M，N分别是线段AC，BC的中点．

(1)若AC10cm，CB6cm，求线段MN的长；(2)若ACCBacm，求线段MN的长度．

例3．（23-24七年级·山东淄博·期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段

AB12cm，则线段BD的长为（）

A．10cmB．8cmC．8cm或10cmD．2cm或4cm

例4．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段AB上两点（点D在点C右侧），E，F分别是

线段AD，BC的中点．下列结论：

1

①EFAB；②若AEBF，则ACBD；③ABCD2EF；④ACBDECDF．

2

其中正确的结论是（）

A．①②B．②③C．②④D．③④

例5．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知线段AB24，点C为线段AB的中点，点D为线段AC上的

三等分点，则线段BD的长的最大值为（）

A．16B．18C．15D．20

例6．（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）点A、B在数轴上所表示的数如图所示，P是数轴上一点：

(1)将点B在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点P，求出A、P两点间的距离

是多少个单位长度．

(2)若点B在数轴上移动了m个单位长度到点P，且A、P两点间的距离是4，求m的值．

(3)若点M为AP的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变

化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．

模型2.线段的多中点模型

条件：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN2a，第1次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、

N1﹔第2次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2﹔第3次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，

n1

1

N3；…连续这样操作n次，结论：MnNna．

2

11

证明：∵M、N1是AM和AN的中点，∴AMAM，ANAN，

11212

111

∴MNAMANMNa，∵M、N是AM和AN的中点，

112222211

111111

∴AMAM，ANAN，∴M2N2AM1AN1M1N1a，

2212212222

11

∵M，N是AM和AN的中点，∴AMAM，ANAN，

3322322322

2n1

111111

∴M3N3AM2AN2M2N2aa，……发现规律：MnNna，

222422

例1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点O为原点，点A表示的数为3，动点P从点O

出发，按以下规律跳动：第1次从点O跳动到OA的中点A1处，第2次从点A1跳动到A1A的中点A2处，第3

次从点A2跳动到A2A的中点A3处，…，第n次从点An1跳动到An1A的中点An处，按照这样的规律继续跳动

到点A4，A5，A6，…，A2024处，那么点A2024所表示的数为．

例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN16，第一

次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；

第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3，连续这样操作4次，则M4N4．

例3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN2，第一次操

作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1﹔第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2﹔第三次

操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有

线段之和M1N1M2N2M2024N2024．

例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGebra做了n次取线段中

点实验：如图，设线段OP01，第1次，取OP0的中点P1；第2次，取P0P1的中点P2；第3次，取P1P2的中

点P3，第4次，取P2P3的中点P4；…

(1)请完成下列表格数据．

次数Pi1Pi线段OPi的长

11

第1次PPOPOPPP1

01210012

111

第2次PPOPOPPP1

12222112222

1111

第3次PPOPOPPP1

2323322322223

11111

第4次PPOPOPPP1

342443342222324

第5次①______②________

………

(2)小明对线段OP4的表达式进行了如下化简：

11111111111

因为OP41234，所以2OP42121，

2222222232422223

121

两式相加，得3OP2，所以OP．

42443324

请你参考小明的化简方法，化简OP5的表达式．

(3)类比猜想：Pn1Pn_____，OPn=_____，随着取中点次数n的不断增大，OPn的长最终接近的值是____．

模型3.双角平分线模型与角n等分线模型

双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分

线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自

己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。

图1图2图3图4

1）双角平分线模型（两个角无公共部分）

1

条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：DOEAOC。

2

11

证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴DOBAOB，BOEBOC，

22

1111

∴DOBBOEAOBBOCAOC，∴DOEAOC。

2222

2）双角平分线模型（两个角有公共部分）

1

条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：DOEAOC。

2

11

证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴DOBAOB，BOEBOC，

22

1111

∴BOEDOBBOCAOBAOC，∴DOEAOC。

2222

3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）

条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；

1

结论：POP180AOB。

122

11

证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴POCAOC，POCBOC，

1222

∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，

1111

∴POPPOCPOCAOCBOCAOCBOC180AOB。

12122222

4）角n等分线模型

条件：如图4，AOB,OA1、OB1分别是AOM和MOB的平分线，OA2、OB2分别是A1OM和MOB1

的平分线，OA3、OB3分别是A2OM和MOB2的平分线…，OAn,OBn分别是An1OM和MOBn1的平分

线；结论：．

证明：QAOB，OA1、OB1分别是AOM和MOB的平分线，

11111

AOMAOM,BOMBOM，AOB(AOMBOM)AOB，

121211222

11

OA、OB2分别是AOM和MOB1的平分线，AOMAOM,BOMBOM，

21221221

1111

AOB(AOMBOM)AOBAOB，

222112112222

11

OA、OB分别是AOM和MOB的平分线，AOMAOM,BOMBOM，

3322322322

1111111

AOB(AOMBOM)AOBAOBAOB，…，

33222222221122223

由此规律得：AOB=。

nn2n

例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线AB上一点，OE平分BOC，OD平分AOC，

若BOE28，则AOD的度数为（）

A．58B．60C．62D．70

例2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线OC平分AOB，射线OD平分BOC，则下列等

式中成立的有（）

①CODAODBOC；②CODAODBOD；③2COD2AODAOB；④

1

CODAOB．

3

A．①②B．①③C．②③D．②④

例3．（2023春·黑龙江·七年级校考阶段练习）如图，射线OG是AOC的角平分线，射线OM是AOB的

角半分线，射线ON是BOC的角平分线，则下列结论成立的有（）个．

11

①MONCOG；②MOGAOGBOG；③GON(COGBOG)；④

22

1

MON(AOCBOG)；

2

A．0个B．1个C．2个D．3个

例4．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，AOB,OA1、OB1分别是AOM和MOB的平分线，

OA2、OB2分别是A1OM和MOB1的平分线，OA3、OB3分别是A2OM和MOB2的平分线，…，OAn,OBn

分别是An1OM和MOBn1的平分线，则AnOBn的度数是．

例5．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD

的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．

A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为．

B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为（用含α的代数式表示）．

例6．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分AOC

和BOC．(1)求DOE的度数；(2)如果COD60．①求AOE的度数；②若AOF20，直接写出

FOD的度数．

例7．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若AOB120°，AOC40，OD、OE

分别平分AOB、AOC，求DOE的度数；

°

(2)若AOB，AOC是平面内两个角，AOBm°，AOCn°n<m180，OD、OE分别平分AOB、

AOC，求DOE的度数．（用含m、n的代数式表示）

例8．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题

如图1，射线OC在AOB的内部，图中共有3个角：AOB，AOC和BOC，若其中有一个角的度数

是另一个角度数的两倍，则称射线OC是AOB的“巧分线”．(1)一个角的平分线这个角的“巧分线”，（填“是”

或“不是”）．(2)如图2，若MPN60，且射线PQ是MPN的“巧分线”，则MPQ（表示出所有

可能的结果探索新知）．(3)如图3，若MPN，且射线PQ是MPN的“巧分线”，则MPQ（用

含α的代数式表示出所有可能的结果）．

1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取AB6cm，再截取AC14cm，则AB

的中点D与AC的中点E之间的距离为（）

A．4cmB．8cmC．4cm或10cmD．3cm或8cm

2．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中

点，下列结论：①若ADBM，则AB3BD；②若ACBD，则AMBN；③ACBD2MCDN；

④2MNABCN．

其中正确的结论是（）

A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④

3．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN10，第一次操作：

分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：

分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之

和M1N1M2N2M2023N2023（）

5555

A．10B．10C．10D．10

22022220232202222023

4．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知AOB130，以点O为顶点作直角COB，以点O

为端点作一条射线OD．通过折叠的方法，使OD与OC重合，点B落在点B处，OE所在的直线为折痕，

若COE15，则AOB（）．

A．30B．25C．20D．15

5．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在AOB的内部作射线OC，射线OC把AOB分成两个角，分

11

别为AOC和BOC，若AOCAOB或BOCAOB，则称射线OC为AOB的三等分线．若

33

AOB60，射线OC为AOB的三等分线，则AOC的度数为（）

A．20B．40C．20或40D．20或30

6．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，

在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，

放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是．

7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知AB12,C是线段AB上的一个点，M是CA的中

4AN

点，N为BC中点，且满足ACBMAB，求．

3AM

8．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段AB和线段CD在同一直线上，线段AB（A在左，B在右）

的长为a，长度小于AB的线段CD（D在左，C在右）在直线AB上移动，M为AC的中点，N为BD的中

点，线段MN的长为b，则线段CD的长为（用a，b的式子表示）．

9．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段AB上，P，Q分别是AD，BC的中点，若

PC

AB3CD，则．

QD

10．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知AOB50，由定点O引一条射线，使得BOC30，

OM、ON分别是AOB和BOC的平分线，则MON度．

11．（2024·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠

11

BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝°．（用含n的代数式表示）

nn

2

12．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：a2b2b0．如图，在数轴上，

点O是原点，点A所对应的数是a，线段BC在直线OA上运动（点B在点C的左侧），BCb．

下列结论：①a4,b2；②当点B与点O重合时，AC3；

③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则POPA2PB；

④在线段BC运动过程中，若M为线段OB的中点，N为线段AC的中点，则线段MN的长度不变．

所有结论正确的序号是．

13．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，O为直线AB上一点，COD90，OE平分AOC，

OG平分BOC，OF平分BOD，下列结论：①EOG90；②DOE与BOF互补；

1

③AOCBOD90；④DOGAOC．请你把所有正确结论的序号填写在横线上．

2

14．（2023春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内，AOB120，C为AOB内部一点，射线OM平分

AOC，射线ON平分BOC，射线OD平分MON，当AOCCOD30时，BOC的度数是．

15．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：

如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB6，AC2，求MN的长．

(1)根据题意，小明求得MN______．

(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始

深入探究．设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮

助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN______．

11

②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AMAC，BNBC，求MN的长．

33

11

③若M，N分别是AC，BC的nn2等分点，即AMAC，BNBC，则MN______．

nn

16．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】

AC

当点C在线段AB上，ACnAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作dn．

AB

1AC1AC11

例如，点C是AB的中点时，即ACAB，则d；反之，当d时，则有ACAB．

2AB2AB22

AC

因此，我们可以这样理解：“dn”与“ACnAB”具有相同的含义．

AB

ACAC2

(1)【理解与应用】如图，点C在线段AB上．若AC3，AB4，则d________；若d，

ABABm

BC

则________．

AB

(2)【拓展与延伸】已知线段AB10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点