不等式高中数学基础知识与典型例题

数学基础知识与典型例题不等式不等式知识关系表不等式的性质不等式的性质⑴(对称性或反身性);⑵(传递性);⑶(可加性),此法则又称为移项法则;(同向可相加)⑷(可乘性).(正数同向可相乘)⑸(乘方法则)⑹(开方法则)⑺(倒数法则) 掌握不等式的性质，应注意：条件与结论间的对应关系，是“”符号还是“”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的基本手段.例1.“a+b>2c”(A)a>c或b>c(B)a>c且b<c(C)a>c且b>c(D)a>c或b<c例2.若a>b,下列式子中①;②a3>b3;③;④,正确的有()(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个例3.的大小关系为.例4.设,且则与的大小关系是.例5.已知满足,试求的取值范围.重要不等式1.定理1：如果a,b∈{x|x是正实数}，那么≥（当且仅当a=b时取“=”号）.注:该不等式可推出:当a、b为正数时,（当且仅当a=b时取“=”号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数2.含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：⑴⑵由可推出(,);⑶如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么.（当且仅当a=b=c时取“=”号）3.绝对值不等式：注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),但特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.例6.“a>0且b>0”是“≥”的()(A)充分而非必要条件(B)必要而非充要条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件例7.若,A,G,H，其中R+，则A，G，H的大小关系是()（A）A≤G≤H（B）A≤H≤G（C）H≤G≤A（D）G≤H≤A例8.若,且，那么有最小值（）(A)6(B)9(C)4(D)3例9.不等式的最大值是（）(A) (B)(C)(D)例10.若a+b+c=3，且a、b、c∈R+，则的最小值为.不等式解法解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。 一元一次不等式和一元二次不等式是最简单的不等式.其它不等式，如高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数和对数不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。 解不等式时，要注意不等式的同解原理和变形过程的等价性的正确运用，对各类不等式要掌握它的特点，变形过程的程序性和特殊性，注意归纳解各类不等式的思路和方法。 （1）高次不等式若可以分解成几个含x的一次因式，可用列表法或数轴标根法来解。（2）分式不等式要正确运用以下同解原理。 （3）无理不等式:将无理不等式变形为与它同解的不等式组。①不等式的同解不等式组是②不等式的同解不等式组是 （4）指数、对数不等式①指数不等式的同解不等式：当时，为；当时，为.例11.若关于的不等式的解集是,则等于()例12.不等式的解集是()例13.不等式≥的解集是（）≤≤≤≤≤≤例14.不等式的解集是()(A)(B)或(C)(D)或不等式解法②对数不等式的同解不等式：当时，为;当时，为 因此，在解指数、对数不等式时，首先要注意利用对数的性质化为同底不等式. （5）绝对值不等式 解绝对值不等式关键是化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），主要方法： 对含有几个绝对值符号的不等式，用分区间的方法化为等价的不含绝对值的不等式组。注:绝对值的几何意义:表示数轴上的数对应的点与原点的距离.表示数轴上的数对应的点与数对应的点的距离. （6）含字母系数的不等式 对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的字母系数，解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解。注:解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。例15.不等式的解集是____________.例16.解不等式例17.解关于x的不等式不等式的证明不等式的证明1.证明不等式的基本依据： （1）实数大小的比较原则； （2）不等式的性质； （3）几个重要不等式，特别是算术——几何平均值不等式 （4）已知函数的增减性； （5）实系数一元二次方程的根的判别式.例18.已知x∈R，求证：－2≤<2.不等式的证明2.证明不等式的常用的方法:⑴比较法：①作差比较，要点是：作差——变形——判断。这种比较法是普遍适用的，是无条件的。根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b②作商比较，要点是：作商——变形——判断。这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。当b>0时，a>b>1。比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等）。⑵分析法：就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。这种方法的实质是“充分条件”的化简。分析法证明不等式的逻辑关系是：.分析法的思维特点是：执果索因⑶综合法：就是从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。（1）从分析法找思路，（2）从“重要不等式”，特别是平均值不等式找思路。用综合法证明不等式的逻辑关系是：.综合法的思维特点是：由因导果⑷放缩法若证明“A≥B”，我们先证明“A≥C”，然后再证明“C≥B”，则“A≥B”。例19.若求证:.例20.设,且,求证:例21.设用放缩法证明:.不等式的证明⑸用数学归纳法证明不等式: 有关自然数的命题，（当然这里是不等式）可用数学归纳法证明。 有关自然数的命题成立的条件有二：一是它必需具备特殊性，二是它必需具备递推性。 数学归纳法就是证明有关自然数的命题具有上述两条性质，从而确定其正确性。 用代数方法证明不等式是考查思维能力的重要内容，但随着对思维能力考查的力度的增加，运用多种方法证明不等式和综合代数、三角等的有关内容而产生的有关不等式证明的综合问题应充分重视。熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法（比较法、分析法、综合性、反证法、数学归纳法），以及运用放缩、增量、构造（函数或不等式）、判别式等方法。例22.已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证:.不等式的应用不等式的应用 不等式是研究方程、函数的重要工具，在历年高考题中，多次用到不等式解决函数的定义域、值域、最大值或最小值，函数的单调性以及用不等式讨论方程中根与系数的关系，运用不等式去解决有关应用问题。例23.建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m2的造价分别是200元和150元,那么池的最低造价为_______元例24.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点.甲有一半时间以速度行走,另一半时间以速度行走;乙有一半路程以速度行走,另一半路程以速度行走.如果,甲、乙两人谁先到达指定地点.数学基础知识与典型例题(第六章不等式)答案例1.C例2.B例3.例4.n3+1>n2+n例5.提示:把“”、“”看成一个整体.解:∵=又∵,∴,∴的取值范围是例6.A例7.A例8.B例9.B例10.例11.B例12.D例13.C例14.D例15.例16.解：原不等式等价于情形1当x>0时，上述不等式组变成解得：情形2当x<0时，上述不等式组变成解得所以原不等式解集为例17.解:原不等式等价于由于恒成立，∴当a>0时，；当a=0时，；当a<0时，.例18.证明:令y=，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴当y≠2时，要方程有实数解，须Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;⑵当y=2时,代入(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0中,得3=0，矛盾.∴综上所述,－2≤y<2得证.例19.综合法提示:另外本题还可用几何法.证明:对于，可想到直角三角形的斜边，先考虑a、b、c为正数的情况，这时可构造出图形：以a+b+c为边长画一个正方形，如图，则，.显然，即.当a、b、c中有负数或零时，显然不等式成立.例20.答案见高中数学第二册(上)第27页例1可用分析法,比较法,综合法,三角换元法以及向量法等证例21.提示:利用例22.高中数学第二册(上)第17页习题9法一:构造函数法证明：∵f(x)=EQ\F(x,x+m)(m>0)=1－EQ\F(m,x+m)在(0,+)上单调递增，且在△ABC中有a+b>c>0，∴f(a+b)>f(c)，即EQ\F(a+b,a+b+m)>EQ\F(c,c+m)。又∵a，bR*，∴EQ\F(a,a+b+m)+EQ\F(b,a+b+m)=EQ\F(a+b,a+b+m)，∴.法二:分析法证明:要证，只要证a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)－c(a+m)(b+m)>0，即