专题7.1 复数的概念【八大题型】（人教A版2019必修第二册）【含答案解析】

专题7.1复数的概念【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1复数的分类及辨析】 2【题型2复数的相等】 3【题型3已知复数的类型求参数

】 4【题型4复数的几何意义】 7【题型5复数的向量表示】 8【题型6共轭复数的求解】 10【题型7复数的模的计算】 11【题型8复数的模的几何意义】 12【知识点1数系的扩充和复数的概念】1．数系的扩充与复数的相关概念(1)复数的引入

为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：

①，即i是方程的根；

②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.

在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.(2)复数的概念

我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了.(3)复数的表示复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.(4)复数的分类对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即.

复数z=a+bi可以分类如下：

复数，

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.2．复数相等在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.【题型1复数的分类及辨析】【例1】（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若x2+1=0，则x=C．z=x2+1i可能是实数 【解题思路】根据复数的概念即可求解.【解答过程】A.x=±iB.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；C.当x=i时，z=D.复数z=2+i故选：C.【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（

）A．如果实数a=b，那么a−b+(a+b)iB．实数是复数．C．如果a=0，那么z=a+biD．任何数的偶数次幂都不小于零．【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.【解答过程】对于A中，若a=b=0，那么a−b+(a+b)i对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确；对于C中，若a=0且b=0时，复数z=a+bi对于D中，由虚数单位i2故选：B.【变式1-2】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题：①若a∈R，则a+1②若a，b∈R，且a>b，则a+③若x2−4+④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④【解题思路】对于①，当a=−1时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当x=−2时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断.【解答过程】对于①，若a=−1，则a+1i对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x=−2，则x2−4=0，x2对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确.故选：D.【变式1-3】（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（

）A．若z∈C，则B．若x,y,z∈C,C．若a∈R，则(a+2)D．若p,q∈C,p>0且q>0，则pq>0【解题思路】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断.【解答过程】对于A，当z=i时，z2=−1<0对于B，当x−y=i,y−z=1时，(x−y)2+(y−z)对于C，若a+2=0，则(a+2)i并不是纯虚数，故选项C对于D，因为p,q∈C,p>0且q>0，所以p,q为正实数，则pq>0且p+q>0，故选项故选：D.【题型2复数的相等】【例2】（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）已知i为虚数单位，x，y为实数，若x−2i=3+yi，则x−y=A．1 B．−5 C．5 D．−1【解题思路】根据复数相等的充要条件可得x=3,y=−2，即可求解.【解答过程】由x−2i=3+yi可得x=3,y=−2故选：C.【变式2-1】（23-24高一下·湖南·期末）已知x，y∈C，则“x=y=1”是“x+yi=1+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】利用复数相等的概念，以及条件的变化x,y∈C【解答过程】当x=y=1时，x+yi=1+i显然成立，所以x=y=1当x=i,y=−i则x=y=1是x+yi故选：A.【变式2-2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数z1=2−ai,z2=b−1+2i，（a,b∈A．a=−1,b=1 B．a=2,b=−3C．a=2,b=3 D．a=−2,b=3【解题思路】根据题意，结合复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.【解答过程】由复数z1=2−ai,z2因为z1=z2，可得2−ai故选：D.【变式2-3】（24-25高一下·全国·单元测试）已知z1=m2−3m+m2i，z2=4+(5m+6)iA．4 B．−1 C．6 D．−1或6【解题思路】根据复数相等联立方程求得m的值.【解答过程】由z1−z2=0根据复数相等的充要条件可得m2−3m=4m故选：B.【题型3\o"已知复数的类型求参数"\t"/gzsx/zj168412/_blank"已知复数的类型求参数

】【例3】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数z=m2−m−2−(m+1)i是纯虚数，m∈R，A．m=−1 B．m=2 C．m=−1或m=2 D．m≠−1且m≠2【解题思路】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．【解答过程】解：z=m则m2−m−2=0−(m+1)≠0故选：B．【变式3-1】（23-24高一下·四川凉山·期末）若复数a−1+a2−1iA．1 B．−1 C．±1 D．±【解题思路】由复数分类可得其虚部为0，可得a=±1.【解答过程】根据题意可得其虚部为a2−1=0，解得故选：C.【变式3-2】（23-24高一下·上海·期末）“m=1”是“z=m2−3m+2A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要【解题思路】依题意得，m2【解答过程】解：z=m则m2−3m+2=0m−2≠0则“m=1”是“z=m故选：D.【变式3-3】（23-24高一下·重庆·阶段练习）若复数a2−a−2+a−1A．a=−1 B．a≠−1且a≠2 C．a≠−1 D．a≠2【解题思路】根据实部为零，虚部不为零列式计算.【解答过程】由题意可得：a2−a−2=0，解得a=−1或a=2，又a−1−1≠0故选：A.【知识点2复数的几何意义】1．复数的几何意义(1)复平面

根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.(2)复数的几何意义——与点对应

由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.(3)复数的几何意义——与向量对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.2．复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).3．共轭复数(1)定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.(2)几何意义互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.(3)性质①.

②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.4．复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部.【题型4复数的几何意义】【例4】（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）12−1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】根据复数的几何意义判断即可.【解答过程】12−1故选：D.【变式4-1】（23-24高一下·北京通州·期末）复平面内点A(1,−2)所对应复数的虚部为（

）A．1 B．−2 C．i D．−2【解题思路】根据题意，由复数的几何意义即可得到点A对应的复数，从而得到结果.【解答过程】复平面内点A(1,−2)所对应复数为1−2i，其虚部为−2故选：B.【变式4-2】（23-24高一下·广东清远·期中）已知复数z=3−4i，则（

A．z的虚部为−4i B．C．z=3+4i D．【解题思路】根据复数虚部、共轭复数、模和对应点坐标所在象限的知识，选出正确选项.【解答过程】复数z=3−4i的虚部为−4|zz=3+4z在复平面内对应的点的坐标为(3,−4)，位于第四象限，故D不正确.故选：C.【变式4-3】（23-24高一下·安徽亳州·期末）复数z=i2−2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可.【解答过程】由题意得z=i2−2i=−1−2该点位于第三象限，故C正确.故选：C.【题型5复数的向量表示】【例5】（23-24高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数3+4i，−2+i对应的向量分别是OM，ON，其中O是原点，则向量MN对应的复数为（A．−5−3i B．−1−3i C．5+3i【解题思路】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解.【解答过程】由题意可得OM=3,4，所以MN=所以向量MN对应的复数为−5−3i故选：A.【变式5-1】（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为−1−2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量OB对应的复数为（

A．−2−i B．C．1−2i D．【解题思路】由对称得点B的坐标，即可确定复数.【解答过程】由题意可知，点A的坐标为−1,−2，则点B的坐标为1,−2，故向量OB对应的复数为1−2i故选：C.【变式5-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，设向量OP，PQ，OQ所对应的复数为z1,zA．z1B．zC．z2D．z1【解题思路】由向量加减法的运算法则，结合复数的几何意义，逐项验证即可.【解答过程】对于A，由题图可知，OP−则z1对于B，OP+PQ+对于C，PQ−OP−对于D，OP+PQ−故选：D.【变式5-3】（24-25高一下·河北张家口·阶段练习）已知复数z1=1−i,z2=−1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点分别为A,B，将向量OA绕着点O（O为复平面内的原点）逆时针旋转

A．−1+2i B．2i C．3i【解题思路】依题意可得A1,−1，B−1,2，向量OC与向量OA=1,−1关于x轴对称，即可求出【解答过程】依题意可得A1,−1，B−1,2，由图知，向量OC与向量OA=1,−1关于x轴对称，∴OC所以OC+OB对应的复数为故选：C.【题型6共轭复数的求解】【例6】（23-24高一下·浙江绍兴·期末）复数1−2i的共轭复数是（

A．1−2i B．1+2i C．−1+2i【解题思路】根据共轭复数的定义可以求得.【解答过程】由共轭复数的定义可得，复数1−2i的共轭复数为1+2故选：B.【变式6-1】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）复数z=1+2i，则z的共轭复数z的虚部为（

A．2i B．−2i C．−2 【解题思路】由共轭复数定义以及复数的虚部概念可直接得解.【解答过程】由题z=1−2i，所以z的共轭复数z的虚部为故选：C.【变式6-2】（24-25高一下·四川遂宁·阶段练习）复数z=2+3iA．z的实部为2 B．z的虚部为3C．z=2−3i 【解题思路】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案【解答过程】因为z=2+3i所以实部为2，虚部为3，z=2−3i，故选：B.【变式6-3】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知复数z=−1+i（i为虚数单位），则其共轭复数z在复平面内对应的点位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】先求出其共轭复数，然后可求出结果.【解答过程】由z=−1+i得z=−1−所以其共轭复数z在复平面内对应的点(−1,−1)位于第三象限.故选：C.【题型7复数的模的计算】【例7】（23-24高一下·北京丰台·期末）设复数z=1+i，则|z|=（

A．1 B．2 C．2 D．4【解题思路】利用复数模的定义计算即得.【解答过程】复数z=1+i，则|z|=故选：B.【变式7-1】（23-24高一下·广东茂名·期中）若复数z=2−bib∈R的实部与虚部互为相反数，则A．0 B．2 C．8 D．2【解题思路】根据复数的有关概念即可得到结论【解答过程】因为复数2−bib∈R由题意可得−b+2=0，解得b=2,z故选：D.【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知z=(2a−1)+(a+1)i(a∈R)，则“|z|=2”是“a=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】由|z|=2建立a的等量关系，求解a【解答过程】因为z=2a−12+a+12=2，化简得5a故选：B．【变式7-3】（24-25高一下·新疆和田·阶段练习）设复数z=x+1+x−3i,x∈RA．1 B．2 C．22 【解题思路】先求出|z【解答过程】由题得|z|==2⋅(x−1)2+4当x=1故选：C.【题型8复数的模的几何意义】【例8】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数z满足z−1=1，则z+2+4i（i是虚数单位）的最小值为（A．17−1 B．4 C．17+1【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果.【解答过程】设z=x+yi，则由z−1所以复数z在复平面内对应的点坐标在1,0为圆心，1为半径的圆上，如下图所示：而z+2+4i即求复平面内点x,y到−2,−4距离的最小值，由圆的几何性质可知当点x,y位于−2,−4与圆心1,0点连线交点时，取到最小值，即−2−1故选：B.【变式8-1】（24-25高一·全国·随堂练习）设z∈C，则满足1≤z≤3的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（A．π B．4π C．8π 【