陕西省西安市第二中学2024-2025学年高二下学期第三次阶段性测评数学试题（原卷版+解析版）

西安市雁塔区第二中学2024—2025学年第二学期第三次阶段性测评高二年级数学试题考试时间：120分钟命题人：韩小伟审题人：李云侠一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线被圆所截得弦长为（）A. B.1 C. D.22.下列求导运算正确是（）A. B.C. D.3.直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（）A.6 B.8 C.2 D.44.等差数列中，如果，那么的最大值为A2 B.4 C.8 D.165.在等比数列中，则为（）A. B. C. D.6.已知函数，在正项等比数列中，，则（）A. B.1012 C.2023 D.20247.已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.8.设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.或为的最大值10.下列函数中，直线能作为其图像的切线的函数是（）A. B. C. D.11.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数可以是（）A.4 B.5 C.6 D.7三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列通项公式，则数列的前项和为__________．13.已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为______.14.设是数列的前项和，且，，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和.16.已知函数(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若曲线在处的切线方程为，求的值．17设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．18.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积．19.设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

西安市雁塔区第二中学2024—2025学年第二学期第三次阶段性测评高二年级数学试题考试时间：120分钟命题人：韩小伟审题人：李云侠一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线被圆所截得的弦长为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，根据点到直线距离公式可得，再由垂径定理及弦长关系即可求得所截弦长.【详解】圆，所以圆心，半径，由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为，所以直线被圆所截得的弦长为，故选：C.【点睛】本题考查了直线与圆相交的弦长求法，垂径定理的应用，属于基础题.2.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的运算法则计算．【详解】，，，．故选：B．3.直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（）A.6 B.8 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可【详解】因为抛物线的焦点坐标为，又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．故选：B4.等差数列中，如果，那么的最大值为A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【详解】试题分析：由等差数列的性质及，得，由题意可知当为正时，最大，且，即，当且仅当时，取最值，故选项为B.考点：（1）等差数列的性质；（2）均值不等式.5.在等比数列中，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据基本量运算求出等比数列中，从而判断是等比数列，最后应用求和公式计算即可.【详解】令的公比为，因为，所以，解得.根据等比数列的性质可知，数列是公比为首项为的等比数列，所以.故选：B.6.已知函数，在正项等比数列中，，则（）A. B.1012 C.2023 D.2024【答案】A【解析】【分析】由题设可得，结合等比数列的性质有，进而有，即可求目标函数值.【详解】由题意，由等比数列性质得，所以，，所以故选：A7.已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，，此时.故选：C8.设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.或为的最大值【答案】ABD【解析】【分析】由及前n项和公式可得，即可判断A、B的正误，进而得到判断C，结合二次函数的性质判断D的正误.【详解】根据题意可得，即．因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确；对于C，因为，，所以，所以，故C不正确；对于D，因为，所以，又为递减数列，所以或为最大值，故D正确．故选：ABD．10.下列函数中，直线能作为其图像切线的函数是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】依次计算每个选项中的导数，计算是否有解得到答案.【详解】直线能作为下列函数图象的切线，即函数图象存在某点的导数值为，选项A，，故，令，无解，故A不正确；选项B，，故，令，得，故B正确；选项C，，故，令，解得或，，故C正确；选项D，，故，令，故，无解，故D不正确.故选：BC.11.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数可以是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】BCD【解析】【分析】设从最底层开始的第层的正方体棱长为，则为以2为首顶，以为公比的等比数列，由此求出塔形的表面积，令即可得出的范围判断选项.【详解】设从最底层开始的第层的正方体棱长为，，，，则为以为首顶，以为公比的等比数列，∴是以为首项，以为公比的等比数列.∴塔形的表面积，令，解得，∴该塔形中正方体的个数至少为5个.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列通项公式，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】【分析】由通项公式可得，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，利用分组求和求解.【详解】解：，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列．则，．则数列的前项和．故答案为:．13.已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为______.【答案】【解析】【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立与，解得，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线方程为，联立，化简并整理得：，由题意得或，解得或无解，即，经检验，符合题意.故答案为：.14.设是数列的前项和，且，，则__________．【答案】【解析】【详解】原式为，整理为：，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以，即.【点睛】这类型题使用公式是，一般条件是，若是消，就需当时构造，两式相减，再变形求解；若是消，就需在原式将变形为：，再利用递推求解通项公式.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知正项等比数列满足，.（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意列方程可得数列的公比，则数列的通项公式.（2）结合(1)的结论可得，错位相减法可得其前n项和.【小问1详解】设数列的公比为，由和得：，即，解得或.又，则，，.【小问2详解】，，①，②①-②得：.16.已知函数(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若曲线在处的切线方程为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)当时，求导，代入得到斜率，计算切线方程.(2)求导代入数据，跟切线方程作对照，得到答案.【详解】解：(1)当时，，∴，曲线在处的切线方程为，即；(2)，若曲线在处的切线方程为，∴，∴.【点睛】本题考查了函数的切线问题，是常考题型.17.设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列前项和．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时,∴∴当时,,上式也成立∴（2）∴数列的前n项和【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.18.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由题意求得a，设出椭圆方程，代入已知的坐标求得b，则椭圆方程可求；

（2）由（1）求得c及2a，在△F2PF1中，由余弦定理可得，然后代入三角形面积公式可得△F2PF1的面积．【详解】（1）因为的焦点在轴上且长轴为，故可设椭圆的方程为（），因为点在椭圆上，所以，解得，所以，椭圆的方程为．（2）由（1）知，在△F2PF1中，由余弦定理可得：即，则【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形中椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．19.设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【答案】（1）1；（2）y＝x＋7．【解析】【分析】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，从而求得参数m.【详解】解：（1）设