反比例函数（压轴专练）（六大题型）解析版-2024-2025学年北师大版九年级数学上册

反比例函数压轴专练（六大题型）

题型1:存在性问题

1.如图，直线y=|x与双曲线＞=£（左HO）交于/,8两点，点/的坐标为（九-3）,点c是双曲线第一象

限分支上的一点，连接3c并延长交X轴于点。，且8c=2CD.

⑴求左的值并直接写出点8的坐标；

⑵点用、N是了轴上的动点（M在N上方）且满足比乂=1,连接MB,NC,求+九W+NC的最小值；

（3）点尸是双曲线上一个动点，是否存在点P,使得NODP=NDOB,若存在，请直接写出所有符合条件的P

点的横坐标.

【答案】⑴左=6,5（2,3）；

(2)1+765;

（3）点P的横坐标为：4-2^5,4+273,4-273

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的性质与判定；

（1）运用一次函数与反比例函数的交点坐标即可求解；

（2）根据BC=2CD,求得点C的坐标，再把将军饮马模型在坐标系中直接运用，根据勾股定理求解即可;

（3）根据题意画图分析，根据平行求相关函数关系式，再求两条线的交点解方程组，即可得解.

【解析】（1）解：根据题意可知点4冽，-3）在直线y=a和双曲线歹=k?左W0）的图象上，

3

-m=-3,角星得m=-2,

：.点A的坐标为（-2,-3）,代入双曲线歹=勺后/0）得：

k=(-2)x(-3)=6,

由图象可知点5与点A关于原点对称,

・•・3(2,3)；

(2)过点8、C分别作％轴的垂线，垂足分别为E、F,作点B关于V轴的对称点点？，并向下平移一个

单位记为5〃，连接5〃。，

则5E〃CF,BE〃=L

:ADCFS^DBE,

.CFDC

•:BC=2CD,5(2,3),*(—2,3),B”(-2,2),

DC1clc

••=—,BE=3,

DB3

：,CF=\,即点。的纵坐标为1,

・••点c在反比例函数y=9的图象上，

X

•••C(6,1),B"C=^(2-1)2+[6-(-2)]2=J1+64=病,

.•.MB+MN+NC的最小值即为8皮+丁。=1+而；

(3)当/0D尸=4003时，当。尸在x轴下方时，DP//AB,

设直线BC的解析式为y=kxx+b,

由(2)可知：5(2,3),C(6,l),

2左+6=3k=­

解得।}2

6k+b=\

xb=4

y=—x+4,

2

当y=0时，一gx+4=0,解得x=8,

3

DP//AB,直线力B的解析式为y=

3

•••设直线DE的解析式为y=-x+n,

把。(8,0)代入得：12+〃=0,

n=—12,

y——x—12,

2

由尸是直线DE与反比例函数的交点可得：

3-

y=-x-12

v2解得石=4+2行，X2=4-2A/5,

y=-

lx

此时点尸在第三象限，西=4+2右不符合题意,

当。尸在x轴上方时，则与下方的D尸关于x轴对称,

3

可得直线DP的解析式为：y=--x+12,

3

y=——x+12

联立/得士=4+2#,x=4-2-s/3,

62

y=-

X

此时点尸在第一象限，两个都符合题意,

，点尸的横坐标为：4-2百4+2后,4-.

1k

2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数>=-5》+3与反比例函数y=((x>0)的图象交于点工(。,2),

8(4力)两点.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)点C是第一象限内一点，连接4C,8C,使/C〃龙轴，8C〃y轴，连接CM,OB.若点尸在V轴上，

且AOPA的面积与四边形OACB的面积相等，求点P的坐标；

(3)在直线08上有一动点M,过M点做y轴的平行线交反比例函数于点N,当以M、N、B、。四个点为顶

点的四边形是平行四边形时，求N点坐标；

(4)在平面内是否存在两点〃、0,使得四边形是矩形，且该矩形面积为15?若存在，请直接写出〃

点坐标；若不存在，请说明理由.

4

【答案】(1)»=—(x>0)

x

(2)(0,4)或(0,-4)

(4)存在，〃(7,7)或。,-5)

【分析】(1)根据点4。,2),5(4,6)在一次函数了=-3》+3的图象上求出。、6的值，得出A、B两点的

坐标，再运用待定系数法解答即可;

(2)延长C/交V轴于点E,延长CB交x轴于点尸，构建矩形OECF,根据

S四边形WCfi=S矩形OECF-S^OAE~S^OBF，设点尸(0,⑼，根据反比例函数的几何意义解答即可；

(3)先求出直线的函数关系式为y="x,设再分为当点M在线段。8延长线上时及当点M

在线段上时，两种情况进行分类讨论求解即可；

(4)分为当点打在直线N3的上方时及当点8在直线的下方时，两种情况分类讨论求解即可.

【解析】(1)解：.••点4%2),仅4,6)在一次函数歹=-3》+3的图象上，

—a+3=2,b=—x4+3,

22

..〃=2,Z?—1,

・••点A的坐标为(2,2),点§的坐标为(4,1),

又•.♦点/(2,2)在反比例函数y=±的图象上，

X

「"=2x2=4,

4

・••反比例函数的表达式为>=-(x>0)；

x

(2)解：延长。1交V轴于点石，延长。5交x轴于点厂，

•・・4C〃x轴轴,

则有轴，(/，工轴，点。的坐标为(4,2)

二•四边形OECF为矩形，且C£=4,C尸=2,

一S四边形0/C3=S矩形0反尸—S^OAE-S^OBF

=2x4——x2x2——x4xl

22

=4,

设点P的坐标为(0,m),

则S0p=gx2・|加|=4,

m=±4,

二点尸的坐标为(0,4)或(0,T).

(3)解：设直线。2的函数关系式为〉=。丫,

••,点3的坐标为(4,1),

•.4P=1,

1

•••直线的函数关系式为N=Jx，

4

设""1'q']

如图，当点M在线段08延长线上时,

••・以M、N、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形,

MN〃BC且MN=BC,

由可得N”,4

•••点。的坐标为(4,2),点8的坐标为(4,1),

：.MN=BC=\,

141

-t—=I,

4t

解得：/=26+2或/=-26+2（舍去）,

当点M在线段05上时，

4I,

------1=I,

t4

解得：”2百-2或/=-2百-2(舍去),

(4)解：存在，

如图，当点H在直线的上方时,

过点〃作交的延长线于点凡

•••点A的坐标为(2,2),点3的坐标为(4,1),

AB=V22+l2=V5，

•.•矩形45"。面积为15,

:.AB・BH=15,即63"=15,

:.BH=3下,

•.•四边形Z8H0是矩形,

:"ABH=ZACB=NBRH=90°,

ZCAB+ZABC=90°,ZABC+ZRBH=90°,

NCAB=ZRBH,

:ACABS^RBH,

ACBCAB

BR~RH~BH

2_1_V5

赢―丽—亚

:.BR=6,RH=3,

.•.“(7,7)；

当点、H在直线AB的下方时,

则点H与点(7,7)关于点3对称,

设加,〃),

m+7,〃+7

-------=4,-------1,

22

:.m=\,n--5,

综上所述，〃（7,7）或（1,-5）.

【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及与几何结合问题，涉及的知识有：直线与坐标轴

的交点，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，矩形的性质与判定及相似三角形的判定与性质，

作出恰当的辅助线是解本题的关键.

3.如图，一条直线与反比例函数〉=:的图象交于4（1,4）、3（4,”）两点，与x轴交于。点，轴，

（2）如图乙，若点E在线段4。上运动，连接CE,作/CE尸=45。，EF交4c于F点.

①试说明ZXCDES^EAF；

②当△ECF为等腰三角形时，直接写出尸点坐标.

【答案】⑴①了二：，②〃=1,。（5,0）

⑵①见解析；②。,2）或（1,4）或（1,8-4夜）

【分析】（1）①把/的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得函数的解析式，②根据反比例函数的解析

式，求得8的坐标，即可得到〃的值，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式，进而求得与x轴的

交点。的坐标；

（2）①根据题意易证A/CD是等腰直角三角形，利用两角对应相等的两个三角形相似即可证得；②分

。/=位,即=/。,即=以三种情况，利用等腰三角形的性质，即可求得CF的长，则尸的坐标可以求得.

【解析】（1）解：①把/（1,4）代入y得：4=1,

解得：k=4,

4

则反比例函数解析式是：＞=—；

44

②把％=4代入歹=一得：〃=：=1,

x4

.*.5(4,1),

设直线48的解析式为v=,

把4(1,4)、8(4,1)代入＞=凡+*得：I=4《+6'

[k'=—\

解得：入＜，

[b=5

则直线N3的解析式是：y=-x+5,

令V=0,解得：x=5,

则。的坐标是：0(5,0)；

(2)解:①•••/(l,4),O(5,0),/C，x轴，

CD=AC=4,

9：ACLCD,

工NCAD=NCDA=45。,

又•；/FEC=45。,

：.ZAFE=ZACE+ZFEC=ZACE+45°,/DEC=/ACE+ACAD=ZACE+45°,

・•・ZAFE=/DEC,

：./\CDEs△区4尸，

②・・・△EC厂为等腰三角形分三种情况.如图乙：

图乙

当CF=CE时，ZCEF=ZCFE=45°,

又,:ZCAB=45°,

・・・4,尸重合，则尸的坐标是(1,4)；

当斯=FC时，NFCE=ZCEF=45°,

ACE是等腰直角4CD的角平分线，

是期的中点，ZFEC=ZECD=45°,

：.EF//CD,

二方是/C的中点,

CF=1,

尸的坐标是：（1,2）；

③当£F=C£•时，

/\CDES&EAF,

ACDE2AEAF,

：.CD=EA=4,

•••AD=yJCD2+AC2=472

DE=AF=AD-EA=442-4

；.CF=^C-T1F=4-（4V2-4）=8-4V2,

的坐标是：（1,8-4收）.

综上，点尸的坐标为：（1,2）或（1,4）或0,8-4后）.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形相似的判定条件坐标与图

形，等腰三角形的存在问题，综合性性强.

424

4.如图1,在平面直角坐标系中，直线＞=彳'+12与双曲线歹=-一交于45两点（点A在点5左边），

3x

过4。两点作直线，与双曲线的另一交点为。，过5作直线49的平行线交双曲线于点C.

（1）则点A坐标为点3坐标为并求直线8C的解析式；

Q

（2）如图2,点P在V轴负半轴上，连接P8,交直线49于点E,连接CE、PA,且=77s弱虚，将线段

R9在〉轴上移动，得到线段尸‘。'（如图3）,请求出|尸'8-。'0的最大值;

⑶如图4,点/在x轴上，在平面内是否存在一点N,使以点C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在,

请直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（-6,4）,（-3,8）,y=-jx+6

⑵

（3）点N的坐标为（10,-6）或（12-2跖2）或（12+2跖2）或（0,-2）

4-

y=—x+12

3

【分析】（1）联立方程组24即可得出点45的坐标，利用待定系数法先求出直线的解析式,

V=-----

Ix

再求出的解析式即可；

（2）设尸（0,a）,先表示出，再求出％CE=45,结合廉研=^SABCE，求出。=-4,从而得

出尸（0,-4）,将点5向上平移4个单位长度，得到点与（-3,12）,设点用、巴关于了轴对称，则鸟（3,12）,

连接。当并延长交y轴于点。，即可得解；

（3）设M（见0）,N（s,t）,分三种情况：当CD为对角线时，当CO为边时，菱形为CZ）MN时，当CD为边

时，菱形为CD7W时；分别利用菱形的性质结合勾股定理求解即可.

4

y=—x+12

3

【解析】（1）解：联立方程组24,

y=—

IX

:点A在点8左边，

.•./(-6,4),5(-3,8),

设直线AO的解析式为y=kx(k丰0),

将”(-6,4)代入解析式得：-6左=4,

解得：k=j

2

...直线ZO的解析式为y=

BC〃OA,

2

设直线2C的解析式为：y=--x+b,

将2(-3,8)代入解析式得：一：义(-3)+6=8,

解得：6=6,

2

直线3C的解析式为：v=-jx+6；

(2)解：•.•点A、。关于原点对称，A(-6,4),

D(6,—4),

:点P在V轴负半轴上，

设尸(0,。)，

令直线A5交了轴于尸，

4

在y=§x+12中，当x=0时，y=i2,即厂(0,12),

PF=12—a,

1x13

SA*BP=S.APF—S.BPF=~(12-a)x6--x(12-a)x3=18--a,

2,

y=——x+6

-3

联立

24

y=—

X

解得:

：.C(12,-2),

：•BC=^[12-(-3)]2+(-2-8)2=5岳，

作。G_L8C于G,连接CD、BD,则BD=J(-3-+[8-(-4)了=15,C£>=^(12-6

222

由勾股定理得：BG=NBD?-DG。=-225-/，CG=y/CD-DG=740-A>

■:CG+BG=BC=5岳,

J225-力2+，40-/=5而，

解得：h兽叵（负值舍去）,

13

.八厂_18后

13

BC〃CU,

.c1D厂八厂1</7718V13

・・S=—BC,DG=—x57、Jx--------=45,

△BCE2213

•S^PAB=百^/\BCE，

38

A18——Q=—x45,

215

解得：a=-4,

・・・P(0,—4),则OP=4,

如图，将点3向上平移4个单位长度，得到点耳（-3,12）,则8用=P。=4=户。，则34。下为平行四边形,

P'B=O'Bl,

设点与、鸟关于y轴对称，则与（3,12）,连接。坊并延长交y轴于点O,

/.\P'B-O'D\=\O'B}-O'D\=\0'B2-。到的最大值为DB2=J（6-3『+（-4-12『=7265；

（3）解:由（2）可得：C（12,-2）,D（6,-4）,

设M（加,0）,Ng）,

•.•以点GD、M、N为顶点的四边形是菱形，

12+6=加+s

当。为对角线时,-2+（-4）=0

加=8

解得：＜s=10,即N（10,-6）,

t=-6

12+机=6+5

当CQ为边时，菱形为时，1-2+0=-4+，

J（s-12）2+[,一（一2）]=J（S—加）2+«_0）2

加=6+2y/6m=6—2^6

解得：卜=12+26或卜=12—26，即N02+2后,2）或N02—2指,2）；

t=2t=2

12+5=6+m

当CQ为边时，菱形为CDW时，《-2+£=-4+0

m=6Im=18

解得：＜s=o或r=6(不符合题意，舍去)，即N(0,-2)；

n=—2[〃=-2

综上所述，点N的坐标为(10,-6)或92-2跖2)或(12+2跖2)或(0,-2).

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理、

菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键.

题型2：动点问题

12

5.已知反比例函数了=一,直线4：y=kx+m(k^0),直线人与反比例函数交于点4),8(-21)，与x

X

(1)求直线4的解析式；

⑵过点C作无轴的垂线4，4上有一动点过点M作y轴的垂线段与夕轴交于点N,连接8V,求

AM+MN+NB的最小值和此时M点的坐标；

(3)在(2)问的前提下，当/〃+九W+N5取得最小值时，作点〃关于x轴的对称点。在坐标轴上有一

动点P,^ZPAC=ZQCA,求点尸的坐标，并写出其中一种情况的过程.

【答案】(l»=2x-2

(2)/M+ACV+8N的最小值为2回+1；M(LT)

⑶(3,0)或\g，o］或卜j

【分析】(1)利用反比例函数解析式求出/、2坐标，再利用待定系数法求出直线人的解析式即可；

(2)先求出点C的坐标，进而求出点M的横坐标，则MN=1；如图所示，过点3作

BH//MN,BH=MN,连接AH,则证明四边形是平行四边形，得至1］氏¥=〃腹，

则当/、m、X三点共线时，+有最小值，即此时++有最小值，最小值为/〃+1,利

57

用勾股定理得到4f7=2a,则/M+儿W+3N的最小值为2亚'+1；求出直线解析式为》=5才-5,

进而可得M0T)；

(3)根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到0(1,1),如图3-1所示，当点P在x轴上

时，则C0〃2P,可得4P〃了轴，则点P的坐标为(3,0)；

如图3-2所示，在直线C。上且在点0上方找一点K,连接/K使得/K=CK,设K(1J),由勾股定理得到

(l-3)2+(Z-4)2=Z2,解方程得到小岛，同理可得直线4K解析式为蚱卜+：则直线尸。与x轴,

y轴分别交于卜：,0；/,£(，由等边对等角得到NKC=/0C4,则当点尸在射线/K(不包括/)上

时都满足题意，再由尸在坐标轴上，可得点尸的坐标为或卜彳).

121212

【解析】(1)解：在歹=一中，当y=—=4时，x=3；当x=-2时，y=—=-6,

XXX

；./(3,4),5(-2,-6),

3左+加=4

把4(3,4),8(-2,-6)代入了=丘+加优*0)中得:

-2k+加=-6

k=2

解得

m=-2,

・・・直线4的解析式为片27；

(2)解：在y=2x-2中，当y=2x-2=0时，x=l,

,直线4轴，

/.点M的横坐标为1,

：Wy轴，

:.MN=\；

如图所示，过点、B作BH〃MN,BH=MN,连接MHAH,则

四边形是平行四边形，

BN=HM,

,AM+MN+BN=AM+HM+\,

.•.当/、M、〃三点共线时，+有最小值，即此时4W+MN+8N有最小值，最小值为/〃+1,

•.•/(3,4),7/(-1,-6),

；•AH=J(-l-3『+(-6-4)2=2回,

：./M+MV+3N的最小值为2回+1；

设直线AH解析式为y=kxx+bx,

3kl+4=4

把/(3,4),“(-1,-6)代入y=《x+4中得:

-左+4=-6

解得，

4=—

[2

57

...直线/"解析式为y=,

57

在〉=—x-不中，当x=l时，、=-1,

-22

(3)解；由(2)知朋'(1,-1),

•.•点〃■与点0关于原点对称，

.1.2(1,1),

VC(1,O),

.•.CQ〃y轴，

如图3-1所示，当点尸在X轴上时,

NPAC=ZQCA,

/.CQ//AP,

，AP//y^,

：/（3,4）,

点尸的坐标为（3,0）；

如图3-2所示，在直线C。上且在点。上方找一点K,连接/K使得NK=CK,

设

（1-3）2+（1-4）2=/,

解得/=:，

同理可得直线4K解析式为y=3+7:,

44

373777

在＞=:工+:中，当歹=:1+:=。时，x=一；；当％=0时，y=-,

444434

二直线尸%+:与X轴一轴分别交于［一10］，U，

AK=CK,

：.ZKAC=ZKCA,即/gC=/0C4,

当点P在射线NK（不包括4）上时都满足题意，

又在坐标轴上，

二点p的坐标为或

综上所述，点尸的坐标为(3,0)或卜：,0)或(0,：).

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等边对等角,

一次函数与几何综合，坐标与图形变化一轴对称等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

6.如图1,已知双曲线了=&经过口/BCD的C、。两点，且点4-1,0),3(0,-2),C(2,2).

(1)求双曲线和直线DC对应的函数关系式；

(2)如图2,点尸在双曲线了=勺上，点0在y轴上，若以点A、B、P、。为顶点的四边是平行四边形，请

直接写出满足要求的所有点。的坐标；

⑶如图3,以线段为对角线作正方形点T是边相(不含点A、尸)上一个动点，点/是5

的中点，MNLHT,交AB于点、N.当T在加上运动时，/7W的度数是否会变化？若会的话，请给出你

的证明过程.若不是的话，只要给出结论.

4

【答案】(1)反比例函数的解析式为^=一；直线。。的函数关系式为丁=-2X+6

x

⑵满足要求的所有点。的坐标为：0(0,6)、。(0,-6)、0(0,2)

(3)/7W的度数不会变化，等于45。

【分析】(1)把。(2,2)代入y=幺求出左值，可得反比例函数解析式，根据平行四边形的性质得出。点坐标,

利用待定系数法即可得出直线DC解析式；

(2)可分两种情况：AB为边、4B为对角线讨论，然后运用中点坐标公式即可解决问题；

(3)过点N作于S,作尸于R,连接人力、NT,根据正方形的性质及角平分线的性质可

得NR=NS,利用HL可证明RtATW^RtAffiN,得出4RNT=NSNH,由此可得/7W=/7WS=90。，

即可得到△7W是等腰直角三角形，因而/.THN=45°为定值.

k

【解析】(1)解：・・,双曲线V=—经过口45C。的。、。两点，且点4(—1,0),5(0,-2),C(2,2),

x

左=2x2=4,

4

反比例函数的解析式为：y=—,

・・•四边形Z8S是平行四边形，4-1,0),8(0,-2),C(2,2),

[a+b=4

设直线。。的函数关系式为：y=ax+b,则/7.

a-2

解得:

b=6

・・・直线。。的函数关系式为：y=-2x+6.

4

(2)解：由(1)知：反比例函数的解析式为:片一

x

4

•・•点尸在双曲线^=—上，点。在y轴上,

x

.•.设o(o,y),尸m

①如图1,当4B为边时,

若四边形/BP。为平行四边形，则曰尸=0,

解得：x=l,

：.尸(1,4),

.0+4

・・N，

2

,20中点坐标为(0,2),8(0,-2),

•_2+打

••—乙，

2

解得：坨=6,

2(0,6).

如图2,若四边形/BQP为平行四边形，

•/四边形ABQP为平行四边形,

：.AP//BQ,AP=BQ,

4-1,0),

/.P(-l,-4),则/尸=4,

/.AP=BQ=4,

•：5(0,-2),

0(0,-6).

②如图3,当48为对角线时,

二•四边形/尸3。为平行四边形，

AP//BQ,AP=BQ,

V4-1,0),

/.P(-l,-4),则/尸=4,

/.AP=BQ=4,

•••2(0,2).

综上所述，满足要求的所有点。的坐标为：0(0,6)、0(0,-6)、2(0,2).

(3)解：当T在"'上运动时，/77W的度数不会变化，等于45。，理由如下:

过点"作用*_1_/〃于S,作NR工AF于R,连接NH,NT,如图所示，

NFAB=NHAB=45°,

：.NR=NS,

7点M是印1的中点，MNLHT,

：.NT=NH,

RtATRN=RtMiSN(HL),

/.ZRNT=ZSNH,

NTNH=ARNS=90°,

•••A7W是等腰直角三角形，

，Z7W=45°.

【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角

形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第(2)小题

的关键，除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第(1)题和第(2)题.

7.已知：如图，正比例函数'的图象与反比例函数了=幺的图象交于点力(3,2).

O\CX

⑴试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

⑵根据图象回答，在第一象限内，当X取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

⑶是反比例函数图象上的一动点，其中0<加<3,过点Af作直线轴，交V轴于点3；过点

A作直线/C||y轴，交x轴于点C,交直线M3于点。.当四边形O4DM的面积为6时，请判断线段9与

DM的大小关系，并说明理由.

【答案】⑴了="y=-

3x

(2)0<x<3

(3)BM=DM,理由见解析

【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合：

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可;

(3)先推出5。，08,CD±OC,贝U0C=3,由反比例函数比例系数的几何意义得到

63

40c=a=3,则S四边形03℃=S△OBM+24oc+S四边形0力A”二12,据此求出08=4,则以/二^,再由

3

BD=0C=3,即可得到3河=。〃=,.

2

【解析】(1)解：把4(3,2)代入)="中得：2=3*解得〃=§,

2

・・・正比例函数解析式为V=§x；

kk

把4(3,2)代入>=—中得：2=-,解得上=6,

x3

・♦•反比例函数解析式为>=9;

X

(2)解：由函数图象可知，当0<x<3时，反比例函数的值大于正比例函数的值；

(3)解：BM^DM,理由如下：

：3Z)〃x轴，CD〃y轴，

Z.BD±OB,CDLOC,

：4(3,2),

/.0C=3,

..•点/和点M都在反比例函数图象上,

6

••S/^OBM=S^AOC=5=3，

・・•四边形CUZW的面积为6,

••S四边形05DC-S4OBM+^/\AOC+S四边形Q4OM二12，

.・・ocoB=n,

：.OB=4,

：.-x4BM=3

2f

3

:,BM=—,

2

又,：BD=0C=3,

3

：.BM=DM=~,

2

题型3：旋转问题

YY]

8.如图①，一次函数必=2x+4的图像交反比例函数%=—图像于点A,B,交x轴于点C,点3为

X

⑴求反比例函数的解析式;

(2)如图②，点/为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数M=2x+4图像

于点N,连接9,若ABMN是以为底边的等腰三角形，求ABMN的面积;

(3)如图③，将一次函数弘=2x+4的图像绕点C顺时针旋转45。交反比例函数%="■图像于点。，E,求点

X

E的坐标.

【答案】⑴Y

X

(2)8

IM+1]

⑶£

【分析】(1)首先确定点3坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可;

(2)设点N的坐标为&2f+4),则点，根据题意，是以为底边的等腰三角形，则点8

在"N的垂直平分线上，易得;（2/+4+。）=6,解得t的值，进而确定点刊，N的坐标，然后根据三角形

面积公式求解即可；

（3）设一次函数乂=2x+4的图像与y轴交于点尸，过点尸作尸于。，过。作轴于尺，过点

尸作尸尸，0R,交尺。延长线于点P,证明AEP0丝AQRC,由全等三角形的性质可得以=0尸，FP=QR,

/、[a=b

设。39,易得求解即可确定点。坐标，进而可利用待定系数法解得直线co的解析式，联

[4一6=〃+2

立直线C0的解析式>==x+：与反比例函数解析式尸9,求解即可获得答案.

33x

【解析】（1）解：对于一次函数%=2%+4,

当％=1时，可有y=2x+4=6,

•••点8（1,6）,

将点5的坐标代入反比例函数表达式%=上，

X

可得左=1x6=6,

即反比例函数表达式为V=9；

X

（2）设点N的坐标为。2+4）,则点河„,

若ABMN是以MN为底边的等腰三角形，则点8在的垂直平分线上，

则有（2'+4+，=6,

解得看=1（舍去）或%=3,

AM（3,2）,TV（3,10）,

则%”'=9的.国-/）=9（10-2）x（3-1）=8；

（3）设一次函数必=2x+4的图像与V轴交于点尸，过点B作尸0LCD于。，过。作轴于R,过点

尸作尸尸，Q?,交及。延长线于点P,如下图，

对于一次函数y=2x+4,

令x=o,可有y=4,即尸的坐标为(0,4),

令y=o,可有0=2x+4,解得x=-2,即C的坐标为(-2,0),

由题意可知，一次函数必=2x+4的图像绕点C顺时针旋转45。交反比例函数%=—图像于点。，E,

X

・・."。。=45。，

・.・FQLCD,

：.ZCFQ=90°-ZFCQ=45°=ZFCQ,

：.CQ=FQ,

•：FQLCD,FPLPR,轴，

/.ZPFQ+ZPQF=ZPQF+ZRQC=90°,

...ZPFQ=/RQC,

又,.・ZFPQ=ZQRC=90°,

；.AFPQ4QRC（AAS）,

；・CR=QP,FP=QR,

设。（。,6）,

,/C（-2,0）,尸（0,4）,

OC=2,OF=PR=4,OR=a,QR=b,

a=b[a=1

可有

4-b=a+2解得kl

设直线CQ的解析式为y=kx+6(k小0),

将点0(1,1),C(—2,0)代入，

1=k+b

可得0=-2k+b'解得

12

直线CQ的解析式为y="x+：,

联立直线C0的解析式+］与反比例函数解析式y=

33x

12

y=-x—

曰十日

r可得,彳,33,可得；1》+；2=一6,

633x

y=-

lx

整理可得，+2x-18=0,

解得西=一1=-1-V19(不合题意，舍去),

,V19+1

••y----------,

3

：.EF

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定

与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合

的思想分析问题.

X

⑵如图2,当直线V=x+"经过点/时，它与反比例函数了=匚的另一个交点记为3,在y轴上找一点

X

使的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值；

(3)如图3,点尸是反比例函数图象上4点左侧一点，连接加＞,把线段"绕点/逆时针旋转90。，点P的

对应点。恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标.

【答案】⑴"=±2e

⑵△MAB周长的最小值为2(&+0)，点M的坐标为［o,g)

⑶尸［-臼

【分析】(1)联立反比例函数与一次函数的解析式，根据一元二次方程根的判别式求解即可;

(2)将4。,3)代入反比例函数的解析式求得。=一1,再将47,3)代入y=x+〃，即可求解出"的值，联立

反比例函数与一次函数的解析式，求出点2的坐标，作点/关于丁轴的对称点H,连接8H,交y轴与点

M,连接此时△跖48的周长最小，为48的长，利用两点的距离公式解答即可，设直线48解析式为

y=kx+b,利用待定系数法求出解析式，令x=0,即可求出点M的坐标；

(3)过点尸，。作x轴的垂线，与过点A作x轴的平行线，分别交于点及尸，设点尸■机＜0),证明

△QAF知APE(AAS),根据/(-1,3),得到/E=0尸=-(1+加),£尸=4F=3+—,进而得出

m

/(2+\,4+加)，根据尸点在反比例函数上，代入解析式，求解即可.

'-3

y——3

【解析】⑴解：根据题意X，则一=x+〃，

y=x+nX

即―+3=0,

・••反比例函数＞=口的图象与一次函数y=x+"的图象只有一个公共点，

X

.•.〃2—4xlx3=0,BPn2=12,

n=+2^3；

(2)解：•.・反比例函数＞=口的图象经过点”(a,3),

X

a

a=—1f

.•./(-1,3),

将4(一1,3)代入y=x+〃，贝|J3=—1+”，

二4,

二•一次函数的解析式为：V=%+4,

3

联立反比例函数与一次函数的解析式得y='—x，则=x+4,

y=x+4X

即f+4x+3=0,

再=—l,x2=—3,

当x=-3时，y=1,

根据题意得:5(-3,1),

•••AM=A'M,

.­.AM+BM+AB=A'M+BM+AB=A'B+AB,

此时的周长最小，为4B+/3的长，

...AB=了+（3-1）2=272,A'B=^[1-（-3）]2+（3-1）2=2#＞，

42+/8=2（夜+司；

设直线48解析式为了=丘+6,

]_

l=-3k+b2

则,解得

3=k+b工，

2

•••直线42解析式为y=gx+g,

令x=0,则尸g,

点”的坐标为[o,1^;

(3)解：过点尸，。作x轴的垂线，与过点A的x轴的平行线，分别交于点旦尸,

图3

设点p（机,一：）（机＜o）,

••・4（-1,3）,

E（加,3）,

/.AE=-1—m=—（1+m\^EP=3——|=3+-

Vm）m

由旋转知：AP=AQ,ZPAQ=90°

•・•/LEAP+NQAF=NEAP+AAPE=90°,

AQAF=/APE,

•••4E=4F=90°,

，△勿尸之△HPE（AAS）,

3

AE=QF=-（l+m）,EP=AF=3+—

mf

H—,4+加],

:。点在反比例函数上，

二.（4+加）（2+7]=-3,艮0加2+7加+6=0,

解得加=-6或m=-1（舍去），

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称求最短距离，等腰直角三角形的性质，全

等三角形的判定与性质.利用待定系数法确定一次函数的解析式；熟练掌握对称的性质及等腰三角形的性

质是解题的关键.

题型4：新定义题

10.在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点•如图，已知双曲线>=«(x>0)经过