二次函数 知识点梳理及专项练习-2025年中考数学一轮复习

专题8二次函数

1.一般地，如果y=aK2+匕久+c(a,b,c是常数，a/)),那么y叫作x的二次函数.其中，是二次项，

________是一次项_________是常数项.

2.二次函数的图象的性质：二次函数的图象是________对称轴是________.(1)若a>0,当_________时，y随*

的增大而增大；当_________时，y随x的增大而减小；当_________时，函数有最小值，为.(2)若a<0,当一

时,y随x的增大而减小；当________时，y随x的增大而增大；当_______时，函数有最大值，为

3.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a/))中,a,b,c的含义:a的符号与有关时抛物线开

口向上________时抛物线开口向下；b的符号与对称轴有关，对称轴为x=-白,先根据开口方向确定a的符号，

2a

再根据对称轴的确定b的符号；C的符号与抛物线和的交点有关，抛物线和y轴的交点坐标为—

当抛物线和y轴正半轴相交时当抛物线和y轴负半轴相交时,.

4.二次函数与一元二次方程的关系:一元二次方程的解是其对应的的图象与x轴的交点坐标的

_；一元二次方程中的可以判定二次函数的图象与x轴是否有交点，当_________时，图象与x轴有_____

—；当________时，图象与x轴有;当_______时，图象与x轴.

5.二次函数的平移法则:.

6.二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式:；(2)顶点式::⑶交点式：.若已知抛物线上任

意三点，通常选择利用待定系数法列来解；当已知抛物线的或_______时，常设其解析

式为顶点式来解；结合题设的具体情况，亦可选择顶点式的为所求函数的解析式；当已知抛物线与x轴有一

时，则选择设函数解析式为来解.

7.用二次函数解决实际问题

(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的_____值.

(2)二次函数的应用包括以下几个方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的_____关系；运用二次

函数的知识解决实际问题中的______值.

实战演练

1抛物线.y=2(x+9)2-3的顶点坐标是()

A.(9,-3)B.(-9,-3)

C.(9,3)D.(-9,3)

2.点A(m-l,yi),B(m,y2)都在二次函数y=(x-I)2+n的图象上.若yi<y2,,贝!]m的取值范围为()

3

A.m>2B.m>-

2

C.m<lD.-<m<2

2

3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,0<a<c)经过点(1,0),有下列结论：

①2a+b<0;

②当x>l时，y随x的增大而增大；

③关于x的方程ax2+陵+(b+c)=。有两个不相等的实数根.

其中，正确结论的个数是()

A.OB.lC.2D.3

4.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-l,0),B两点，对称轴是直线x=l,下列说法正确

B.当x>-l时，y的值随x值的增大而增大

C.点B的坐标为(4,0)

D.4a+2b+c>0

5.抛物线的函数表达式为产3(%-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度将y轴向左平移3个单位长度,

则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为()

Ay=3(%+1)2+3

by=3(%-5)2+3

C.y=3(%—5)2-1

D.y=3(%+1)2-1

6.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：

x-2013

y6-4-6-4

下列各选项中，正确的是()

A.这个函数的图象开口向下

B.这个函数的图象与x轴无交点

C.这个函数的最小值小于-6

D.当x>l时，y的值随x值的增大而增大

7.二次函数y-ax2-2ax+c(a>0)的图象过A(-3,yi),B(-l,y2),C(2,y3),D(4,y4)四个点，下列说法一定正确的

是()

A.若y02>。，则yiy2>0

B.若yiy4>。，则y2y3>0

C.若y2y4<。，则y/3<0

D.若y3y4<。，则yiy2<0

8.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸

臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间

t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：p=at2+bt+c(a丰O,a,b,c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上

述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为()

A350分钟B405分钟P.

0.91..................

C.3.75分钟D.4.25分钟即二二工工「

9.设抛物线y=/+g++a,其中a为实数.

0----------34-5-F

(1)若抛物线经过点(-1,m)厕m=;

⑵将抛物线y=x2+Ca+l)x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______.

10.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看

作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：

m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+fc(a<0).

某运动员进行了两次训练.

(1)第一次训练时，该运动员的水平距离X与竖直高度y的几组数据如下：

水平距离x/m02581114

竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(%-by+k(a<0);

⑵第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04(%-9)2+23.24.记该运动

员第一次训练的着陆点的水平距离为由,第二次训练的着陆点的水平距离为d2,则5d2(填或

11.如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=-'J+bx+c与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,3).

4

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ_Lx轴于点Q交AB于点M,求PM+的最大值

及此时点P的坐标；

12.在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处.

黑•球___O白球

小聪测量黑球减速后的运动速度V(单位：cm/s)、运动距离y(单位：cm)随运动时间t(单位：s)变化的数据,整

理得下表.

运动时间t/s01234

运动速度v/cm/s109.598.58

运动距离y/cm09.751927.7536

小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函

数关系.

(1)直接写出V关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；

(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；

(3)若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由.

13.已知二次函数yax2+bx+c的图象经过(-2,1),(2,-3)两点.

⑴求b的值；

⑵当0-1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是；

⑶设(m,0)是该函数的图象与x轴的一个公共点.当时，结合函数的图象,直接写出a的取值范围.

14.在平面直角坐标系中，抛物线y-x2+2mx+2m2-ni的顶点为A.

(1)求顶点A的坐标(用含有字母m的代数式表示)；

⑵若点B(2,yB),C(5,yc)在抛物线上，且yB>yc,则m的取值范围是；(直接写出结果即可)

⑶当l<x<3时，函数y的最小值等于6,求m的值.

15.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件.

⑴如图.设第x(0<xW20)个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示.求z关于x

的函数解析式(写出x的范围)；

⑵设第x个生产周期生产并销售的设备为y件,y与x满足关系式y=5x+40(0<xW20>在⑴的条件下，工厂第几个

生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？(利润=收入-成本)

售价

z万元/件

16

14

第x个

赢

020

压轴预测

1.若点A(-l,m),B(3,m)在同一个函数图象上，这个函数可能为()

X.y=(x—I)2+9B.y—(x+I)2+9

C.y=(x+3)2-9O,y=(x-2)2—9

2.已知二次函数y=-x2+2x+3,当自变量x的值满足a<x<2时，函数y的最大值与最小值的差为1,贝Ua的

值可以为()

A.--B.-C.-1D.1

22

2

3.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于(x】，0),施,0)两点,且满足-1<x1<0,1<x2<2,则下列

说法正确的个数是()

①a+b+c<0;

②b<0;

③abc>0;

④若Q蟾+bx3=axl+b%4(%3。%4)，则0<x3+%i<2.

A.lB.2

C.3D.4

4.运动场上，小明投球时，发现篮球轨迹最高点距离地面3米，小明距离最高点的水平距离为1米，篮球落地

处距离小明3米，那么你能计算出小明投篮的最高点距离地面为多少米吗?

5.如图已知二次函数y=aY图象与直线y=x+2交于点A(-2,m),点B.

⑴求m,a的值；

⑵求点B坐标;

(3)连接0人,08,求4AOB的面积.

参考答案

1.ax2bxC

_b_

2.抛物线X=

2a

bbb4ac-b2

⑴x>-——X<-------X=---------------------

2a2a2a4a

bbb4ac-b2

(2)x>-——X<-------X=-------------------

2a2a2a4a

3.开口方向a>0a<0位置y轴(0,c)c>0c<0

4.二次函数横坐标△=b2-4czcA>0两个交点△=0一个交点4<0没有交点

5.左加右减上加下减

6.(l)y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a#))

(2)y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数,a/))

(3)y=a(%-%i)•(%-久2)(a,久1,刀2是常数,a^0)一般式三元一次方程组顶点对称轴特殊形式两个交点

交点式

7.(1)最大(小)(2)二次函数最大(小)

1.B【解析】本题考查抛物线的顶点坐标抛物线y=2(x+97-3的顶点坐标是(-9,-3),故选B.

2.B【解析】本题考查二次函数的性质、解不等式•点A(m-l,yi)和点B(m,y2)都在二次函数y=(x-l)2+n

22222

的图象上，,yi—(m—1—l)+n=(m-2)+n,y2—(m—l)+n.<y2,(m-2)+n<(m—l)+

n,BP((m-2)2-(m—I)2<0,,整理得-2m+3<0,；.m>|,故选B.

3.C【解析】本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式.对于①.抛物线经过点((1,0),；.a

+b+c=0.：0<a<c,；.2a+b<0故①正确;对于②，若点(1,0)在抛物线的对称轴的左边时，在点(1,0)到顶点这段抛物线

上,y随X的增大而减小，故②错误；对于③「.,2+5+©=0,."+©=-%；.原方程可化为(ax2+bx-a=。.：△=b2+4a2

>0,，方程(«%2+bx+(b+c)=。有两个不相等的实数根，故③正确.综上所述，正确的结论是①③，共有2个，故选

C.

4.D【解析】本题考查二次函数的图象与性质.

选项逐项分析正误

A:抛物线开口向下，；.a<0

由图象可知，当x>-l时,在对称轴的右

B

边，y随X的增大而减小

C:点A(-LO)和点B关于直线x=l对称，，点B的坐标为(3,0)X

D由题可知.当x=2时,y=4a+2b+c>。

故选D.

5.C【解析】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的平移变换.由题意可知，将x轴向上平移2个单位

长度，即将函数图象向下平移2个单位长度；同理，将y轴向左平移3个单位长度，即将函数图象向右平移3个单

位长度•抛物线的表达式为y=3(*—2尸+1,.•.平移后的函数表达式为.y=3(%-2-3)2+1-2,即为y=3(x-

5)2-1,故选C.

6.C【解析】本题考查二次函数的图象和性质..：当x=0和x=3时，函数值y相等，，二次函数的图象关于直

线％=5寸称，..•对称轴为久=1,••.当久=|时，函数y最小值小于-6,且抛物线开口向上，A选项错误,C选项

正确;函数y经过(26),(0,-4),.•.其图象与x轴有交点，B选项错误；当x>l时，y的值随x的增大先减小后增大，D

选项错误，故选C.

7.C【解析】本题考查二次函数的图象和性质.：y=ax2-2ax+c=a(x-I)2-a2+c,:抛物线的对称轴为.

x=l一,.四点中距离对称轴远近关系为A>D>B>C,,*乂),...抛物线开口向上,...yi>yi>y2>y3，当%>y4>y2>0

>丫3时,yiy2>0,y3y4<0,且yiy4>0,y2y3<0,故选项A,B,D错误;当yx>y4>0>y2>y3时,y2y4<0,yiy3<0,故选项

c正确，故选c.

8.C【解析】本题考查二次函数的应用.将图象中的三个点(3,0.8),(4,0.9),(5,0.6)代入函数关系.p=at2+bt+c

'9a+3b+c=0.8,(a=-0.2,

中得16a+46+c=09解得b=1.5,所以函数关系式为p=-0.2t2+1.5t-19.由题意可知，加工煎炸臭豆

25a+5匕+c=0.6,=-1.9,

腐的最佳时间应为抛物线顶点的横坐标t=-擀=--^―=3.75,则当t=3.75分钟时，为最佳时间，故选C.

2a2x(—0.2)

9.(1)0；(2)2【解析】本题考查二次函数的性质、函数图象的平移.(1)将代入y=x2+(a+l)x+a得m

=1-(a+l)+a=0;(2源抛物线顶点的纵坐标为七厘=上詈二，向上平移2个单位长度后的纵坐标为

44

土詈二+2=土产=-%)2+8,...当a=1时所得抛物线顶点的纵坐标存在最大值，最大值为2.

444

10.(1)23.20,y=-0.05(%-8)2+23.20(2)<

(1)由表格中的数据确定抛物线的顶点坐标，从而可得h,k的值,k的值即为运动员竖直高度的最大值，再将(0,

20.00)代入函数关系式即可求出a的值，据此可得函数关系式；(2)设着陆点的纵坐标为t,分别代入第一次和第二

次的函数关系式，求出着陆点的水平距离，比较大小即可作出判断

解:⑴由题知，抛物线的顶点坐标为(8,23.20),所以11=8,]<=23.20,

即该运动员竖直高度的最大值为23.20m.

根据表格中的数据可知,当x=0时,y=20.00代入y=a(x-8)2+23.20”得20.00=64a+23.20.解得a=-0.05,

所以函数关系式为y=—0.05(x-8尸+23.20.

(2)<.

由题意，设着陆点的纵坐标为t(t<20.00),

则第一次训练时，t=-0.05(%-8)2+23.20,

解得%=8±720(23.20-t),

由图知，第一次训练着陆点的水平距离

di=8+/20(23.20-t),

第二次训I练时,t=-0.04(x-9)2+23.24,

解得x=9士,25(23.24—t),

由图知，第二次训练着陆点的水平距离

d2=9+/25(23.24—t).

因为20(23.20-t)<25(23.24-t),

所以di<d2.

11.⑴y=一|/+%+

(1)将点A,B的坐标分别代入抛物线解析式，解出b,c的值即可求解；(2)根据待定系数法求出直线AB的解

析式，设出P点的坐标(t为待定系数),进而得出点M的坐标，用含t的式子表示出PM,MQ的长，利用勾股定

理及锐角三角函数的定义用含t的式子表示出AM的长，进而表示出PM+94M利用二次函数的性质可得答案.

解：(1)；抛物线y=—|/+。乂+c经过点A(4,0),B(0,3),

.「12+4干=0,解得,=

1c=3.I。=3.

抛物线的函数表达式为y=-+3.

44

(2)；直线AB经过点A(4,0),B(0,3),

直线AB的函数表达式为y=-；%+3.

设P("W+'+3),

则用("(+3),其中0«<4,

5"=-*+)+3-序+3)=-评+3»,MQ=一|t+3.

VAO=4,BO=3,/.AB=V32+42=5.

.“ACMQOB3

smZ.MAQ=——=—=-

yAMAB5

AM=|M<?=-|t+5.

PM+-AM=--t2+3t+-f--(+5>)=--t2+-t+6=--(t-l)2+—.

545\4J424v74

3

•J0Vt<4,—V0,

4

At=l时，PM+|XM1取得最大值，最大值为?此时，点P的坐标为(1,；).

54N

12.(l)u=-|t+10,y=-|t2+10t

(2)6cm/s⑶不会，理由略

⑴根据表中数据由待定系数法即可求得两函数解析式；⑵把y=64代入函数解析式求得时间t,再由t的值即

可求解；(3)根据题意建立两球距离与时间的函数关系式，再根据函数的性质即可求解.

解：(l)v=--t+10,y=--t2+lOt.

24

(2)依题意，得64.—52+10t=64.

t2-40t+256=0.

解得.8出=32.

当ti=8时,v=6;

当t2=32时,v=-6(舍).

答:黑球减速后运动64cm时的速度为6cm/s.

(3)设黑白两球的距离为wcm.

w=70+2t—y=52-8t+70=-16尸+6.

1•,7>0,/.当t=16时,w的值最小为6,

4

・・・黑、白两球的最小距离为6cm，大于0,黑球不会碰到白球.

另解1：当3=0时，^t2-8t+70=。，判定方程无解.

4

另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球.先

确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s,再判断黑白两球的运动距离之差小于70cm.

13.(l)b=-l(2)1(3)a<0或a>|

⑴将已知点的坐标代入二次函数，列出三元一次方程组，两式相减，可直接求出b的值；⑵根据(1)中结论得

到a与c的等量关系，代入顶点坐标公式，构造关于顶点纵坐标的不等式，即可求解；(3)根据题意得x=-l和x=3

时函数值一正一负，即可求解.

解:⑴把点(-2,1),(2,-3)代入y=ax2+bx+c,

(1=4a—2b+c,

t—3=4d+2b+c,

两式相减，得4=-4b,

解得b=-l.

⑵1.

把b=-l代入4a-2b+c=l,

得4a+2+c=l,

.•・顶点纵坐标为誓■MC+anC+l+a—l.

V0-1,.*.c+l>0.

下证对于任意的正数a,b,都有a+b>2yfab.

—Vh)2=a+b—2yJ~ab>0,

a+h>2Vab,,当a二b时取等号，

c+]+1,2J(c+1)・-1»

1

・••顶点纵坐标的最小值为1.

(3)a<0或a>李

由4a-2+c=-3得c=-4a-l.

当x=-l和x=3时函数值一正一负，

(a+l-4a-l)(9a-3-4a-l)<0,

A-3a(5a-4)<0,

a(5a-4)>0,

ct>:或a<0.

14.(l)(-m,m2-m)(2)m<-3.5

(3)m=-2或m

⑴根据配方法或顶点公式法即可求得顶点坐标；

(2)根据开口方向、函数的增减性确定对称轴位置，从而求出m的取值范围;⑶分三种情况讨

论x取何值时，y有最小值6，代入函数y中，解方程即可求值.

解:⑴解法一：

y=x2+2mx+2m2—m=(%+m)2—m2+2m2—m=(%+m)2+m2—m.

・•・顶点A(—m>m2—m).

解法二：•・•%=—券=-m,

22

4xlx(2m-m)-(2m)9

y=----------启------

，顶点A的坐标为((-m^m2-m).

(2)m<-3.5.

⑶分三种情况讨论：

①-mgl,即m>-l.

当x=l时,y=6.

1+2m+2m2—m=6.

解方程，得爪1="二，爪2=-牛(不符合题意，舍去).

44

x=-m

第①种情况草图

②l<-mg3BP-3<m<-l.

当x=-m时,y=6.

•••m2—m=6.

解方程，得根1=-2,m2=3(不符合题意,舍去).

m=-2.

x=~m

第②种情况草图

③-m>3即m<-3.当x=3吐y=6.

9+6m+2m2—m=6.

解方程，得血1=-l,m2=-|(均不符合题意,舍去).

综上所述：m=-2或=里匚.

13：x

x=-m

第③种情况草图

16,(0<%<12)

15.⑴z=(_1%+I/(12<%<20)

⑵工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元.

⑴分0<x<12,12<x<20两种情况求z关于x的函数解析式；(2)根据自变量取值范围确定利润W的函数关系式，

结合一次函数与二次函数的图象与性质即可求得最大利润.

解:⑴由图可知，当0<x<12时,z=16.

当12<xK0时,z是关于x的一次函数设z=kx+b,则，燃得k=—；,6=19,

(NU/C।u—XT1,4

-1

即z=——x+19,

4

••.z关于X的函数解析式为

16.(0<J■《⑵

z=11

卜了工+19.(】2</《2。)

⑵设第X个生产周期工厂创造的利润为W万元.

①0<xW12时,

W=(16-10)x(5x+40)=30x+240,

当x=12时，

W最大值=30x12+240=600(万元).

②12〈xW20时，

W=Qx+19-10)x(5%+40)

=--x2+35x+360

4

=一；0-14)2+605,

当x=14时，讥大仙=605(万元).

取

综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605