二项式定理-高考数学一轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题10-2二项式定理归类

目录

【题型一】通项公式1：基础......................................................................1

【题型二】通项公式2：因式相乘型求某项..........................................................2

【题型三】二项式给通项求n值...................................................................3

【题型四】给通项求参数..........................................................................5

【题型五】因式相乘型给通项求参数................................................................6

【题型六】赋值法................................................................................8

【题型七】换元型................................................................................9

【题型八】三项展开式...........................................................................10

真题再现.......................................................................................12

模拟检测.......................................................................................14

热点题型归纳

【题型一】通项公式1：基础

【典例分析】

将二项式[百+京J的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为(

A.A；B.AXC.A：A；D.A；A；

【答案】C

【分析】先利用二项式定理判断其展开式中有理式的项数，再利用插空法进行排列即可.

【详解】根据题意，得出+1=以«8-[))

因为0W左V8且左eN*,

16r=4,即7；为有理式;

当无=0时,

当左=4时，——=1,即岂为有理式；

4

当左=8时，3二改=_2,即%为有理式；

4

当我｛1,2,3,5,6,7｝时，电言任Z,即】为无理式；

所以尸)展开式一共有9个项，有3个有理式,

6个无理式,

先对6个无理式进行排列，共有A；种方法;

再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有A；种方法;

利用分步乘法计数原理可得，一共有A；A；种方法.

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

二项展开式的通项公式。+1=C；a"-'，.可以求解某一项，也可求解某一项的系数）

【变式演练】

的展开式中『的系数为（）

A.-128Ci0B.128c*C.-8C；0D.8c1

【答案】C

【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出.

【详解】（x—的展开式中，通项公式：0dM（―2丫，

令10-『7,解得『3.

二尤7的系数为Cio（-2）3=—8品），

故选：C.

2..的展开式中㈠的系数为.

【答案】-20

分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的暴指数与题中所给的项的

事指数相等，从而求得「的值，再代入通项公式，求得对应的项的系数，得出结果.

详解：由二项式定理可知，展开式的通项为

（-2»M=Ggx）（-2y）r,

要求解—2y）的展开式中含炉/的项，则厂=3,

所求系数为（—2）L—20.

（3>30

3.二项式后-的展开式的常数项为第（）项

IRa）

A.17B.18C.19D.20

【答案】C

试题分析：由二项式定理可知匚.：=。.（石）冷=C.•口二尸，展开式的常数项是使

'J—=1颐的项，解得,•=18为第19项,答案选C.

与,

【题型二】通项公式2：因式相乘型求某项

【典例分析】

[-的展开式中/y2的系数为（）

A.6B.-9C.-6D.9

【答案】D

【分析】根据二项式定理可分别求得（x+y）6和?（尤+y『展开式中公产的系数，由此可得结果.

【详解】9卜+丫广口+寸一号"+丫），

(x+y)6展开式中x4y2的系数为c；=15；!(x+y)6展开式中x,V的系数为C：=6；

.■11-£|(x+y)6展开式中xV的系数为15_6=9.

故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

因式相乘型，可以采取乘法分配律，变为两式相加型再转而求对应通项系数

【变式演练】

1.)-£|(x+y)8的展开式中/y6的系数为()

A.-56B.-28C.28D.56

【答案】B

【分析】将多项式按第一项展开，再将各项通过二项式定理拼成Vy6的形式，计算出结果

【详解】由题知［1-(x+4=(x+4-)(x+4,

VX)x

(x+y)8展开式的通项公式为配尸

将含Yy6项记为M，则M=C"2y6_)C#y5=28x2/-56x2/=-28x2y6,

X

故含Vy6项的系数为—28,

故选：B

2.在+—的展开式中常数项为()

A.14B.-14C.6D.-6

【答案】D

【彳析】根据二项式定理及多项式乘法法则求解.

【详解】由二项式定理得d-i)5=(-i+5=-i+cH-c；3+c；3-c：e+l，

尤尤xx2x3x4x5

所以所求常数项为-1+C；-C；=-1+5-10=-6.

故选：D.

3.(尤-2y)(2x-y)5的展开式中的W系数为()

A.-200B.-120C.120D.200

【答案】A

【分析】由题意首先确定(2x-y)5展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定Vy3的系数.

【详解】3-»展开式的通项公式为之=G/2X)5T(_y)'=25"C05T(一城，

当r=3时，7；=25-3c#-3(_y)3=_40x2y3,此时只需乘以第一个因式(x—2y)中的x即可，得至『40尤3y)

当厂=2时，I=25-2C^5-2(-y)2=80x3y2,此时只需乘以第一个因式(》—2y)中的-2y即可，得至『160//；

据此可得：x3y3的系数为_4。_160=-200.故选：A.

【题型三】二项式给通项求n值

【典例分析】

若［了-：］展开式中含J项的系数与含g项的系数之比为-5,则〃等于（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+l项，令x的指数分别为一2,T求出展开式含二项的系数

X

和含二项的系数，列出方程求出

【详解】解：（2x」）”展开式的通项为乙=C；（2无）"（一与=（一1丫2"y""必令吁2r=一2得「=与

xx2

1n+2n-2n+2，/日〃+4一人1工上乙三亚二、〃+4〃-4n+4

故含静的系数为（_1）〒2三C?令〃-2厂=~4得r=亍故含彳项的系数为（_i）、2、C7

n+2n-2n+2

22

/_i\22C

-------4I；+4=-5将几=4,6,8,10代入检验得〃=6故选：C.

（-1产2工C?

【提分秘籍】

基本规律

利用二项展开式通信公式，待定系数法可求得。注意n值为正整数，可能存在分类讨论的情况。

【变式演练】

的展开式中第r+1项为常数项，则上=

n

【答案】-

3

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得力-2〃=0,从而得到乙的值.

n

【详解】解：［六一九J的展开式中第一+1项为

（―1）"三々"，再根据它为常数项，

?2

可得3r—2〃=0,求得一r=—,故答案为：一.

n33

2.若（l+2x）"展开式中含丁项的系数等于含尤项的系数的8倍，贝腐等于（)

A.5B.7C.9D.11

【答案】A

【分析】由二项展开式通项公式得/和x的系数，由其比值为8求得〃值.

【详解】&1=，（2尤）'=2«，,

23c3

所以导=8,解得〃=5（负值舍去）.故选：A.

3.若，3+5］的展开式中存在常数项，则〃可能的取值为（）

A.2B.3C.5D.7

【答案】A

【分析】利用通项公式，令元的指数为0,可得〃与％的关系，即可求解

【详解】13+｝］展开式的第七+1项兀|=C（无3片（一¥=C/W

令3〃一6左=0贝!j〃=2左（左eZ）

所以“为偶数。故选：A

【题型四】给通项求参数

【典例分析】

已知（办+jJ的展开式中1项的系数为160,则当。>0,>>0时，a+6的最小值为（）

A.4B.2及C.2D.72

【答案】B

3

【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过户幕指数为160,求出必关系式，然后利用基本不等

式求解表达式的最小值.

【详解】（办+2］的展开式中1项的系数为160,

所以&=C：（亦广［子］=/一方晨:|,,

33

令6-；r=；,解得r=3

22

所以Y/y。,所以成=2,

•：a>Q,b>0,a+bN2猴=2叵,当且仅当a=6=后时等号成立，

a+b的最小值为20，

故选：B.

【变式演练】

1.若（1--）9的展开式中丁的系数是—84,则a=.

%

【答案】1

【分析】

先求出二项式（％-@）9的展开式的通项公式，令X的指数等于4,求出厂的值，即可求得展开式中V的项

x

的系数，再根据丁的系数是-84列方程求解即可.

【详解】

（%-1）9展开式的的通项为（+1=Gd-（―=C；x9-2r（—a）"

令9—2r=3nr=3,

（X--）9的展开式中V的系数为C；（―a）3=—84na=1,

故答案为1.

9

2.设常数a>0,若+的二项展开式中V的系数为144,贝!Ja=_.

【答案】2

【分析】

利用公式=G/f=。卬产2「(厂=0/,2「-,9)，令9—2r=5即可求值.

【详解】

解：=6优1(厂=0,1,2「..,9).

令9—2厂=5,解得r=2,

则或1=144,a>Q,解得a=2.故答案为：2.

3.若关于光的二项式［2x+q］的展开式中一次项的系数是-70,则。=

【答案】二

2

【分析】

利用二项式定理的展开式的通项公式，通过基指数为1,即可得到实数a的值。

【详解】

展开式的通项公式为./-2"由7—2厂=1,得r=3,

所以一次项的系数为C^-24-a3=-70,得a=—g,

故答案为：—.

2

【题型五】因式相乘型给通项求参数

【典例分析】

已知a>0,二项式一展开式中常数项为且卜3+£||/+2)的展开式中所有项系数和为192,

则,3+J|1x2+£|6的展开式中常数项为()

A.66B.36C.30D.6

【答案】B

【分析】利用二项式的通项公式求某一项.

【详解】设二项式卜-勺展开式中的第％+i项为常数项，贝%|=或(/广］_£|,

(-l)kbkC^=—1

’16,所以％=4,b=+-

2(6-k)-k^02

令x=l,贝U(l±2)(l+o『=192,所以3(l+a『=192或-(l+a)6=192舍去，

所以l+a=±2,b=L,又因为a>0,所以a=l,

2

展开式中的常数项和:的项

33

当（+i为含J的项时，2（6-r）-r=-3,r=5,T5+l=C1x~=6x~；

6

所以(丁+2)卜+：I的展开式中的常数项为2x15+6=36.

故选：B

【变式演练】

1,若I?一千［x+g］的展开式中＜2的系数为75,则“=()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】A

【分析】结合二项式的展开式的通项公式以及多项式的乘法运算可得C：+(-。)屋=15-20a,进而可求出

结果.

【详解】［+96的展开式的通项公式为j=《产2「，所以“一［+£|6的展开式中一的系数为

C：+(-a)C：=15-20。，由题知，15-20a=75,解得a=-3.

故选：A.

2.关于二项式(1+分+/卜1-幻8,若展开式中含/的项的系数为21,则。=()

A.3B.2C.1D.-1

【答案】C

【分析】根据二项式展开式可求得含x2的项的系数，即得方程，求得答案.

【详解】由题意得/的系数为lxC；x(-l)2+axC；x(-l)+lxC；=21,解得a=l,

故选：C.

3.已知［+畋的展开式中xV的系数为40,则机的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】首先变形得R+阳)(2x-y)5=［2x-y)5+%(2x-y)5,然后利用二项式展开式的通项公式

2

Tr+］=以求出x/的系数即可.

【详解】由题意可得+畋上了-丫丫=/(2工-"+畋(2x-y)s,

在)(2x-才的展开式中，由—G(2x『(-y)r=(-1)’"飞"〜了，

(4—r=21

令/无解，即一(2%-丁丫的展开式没有Vy4项；

\r=4x

在冲（2x-y）s的展开式中，由〃71yG（2xy'y）',

[S-r-2

令厂+1=4解得r=3,即冲3-才的展开式中—4的项的系数为㈠,泮〃©=_40加，又一4的系数

为40,所以-40帆=40,解得%=-1.

故选：B

【题型六】赋值法

【典例分析】

•已知（x+2）（2x—1）=UQ+ci^x+gx++a$x.则g+a2+“4=（）

A.123B.91C.-152D.-120

【答案】c

【分析】

由二项式定理及利用赋值法即令X=1和=-1,两式相加可得力+。2+/+4，结合最高次系数%的值即

可得结果.

【详解】

52345

（x+2）（2x-l）=a0+alx+a2x+a3x+a4x+a5x+4x6中，

取九=1,得％+q+%+〃3+。4+〃5+〃6=3,

取工二—1,得%—%+%—〃3+。4—〃5+〃6=—243,

所以2（4+/+%+4）=—24。，即。°+/+%+。6=—12。，又。6=32,

则。o+%+%=-152,故选C.

【提分秘籍】

基本规律

常见的通法是通过赋值使得多项式中的"1变为。和1,在本题中要使工一：=0即给等式中的X赋

值1,求出展开式的常数项‘：;

【变式演练】

l.^(x—2)5=a5X5+a4X4+a3X3+a2X2+aix+aQ,贝!J。1+〃3+。5=().

A.1B.-1

C.121D.106

【答案】C

【分析】

利用特殊值法构造方程组求解.

【详解】

52

解：(X-2)=%九5+%尤3+a2X+4%1+%

令光=1得。5+〃4+%+。2++。0=-1①

令JV=一1得一生+/—〃3+〃2—-35②

①减②得2(%+4+%)=—1+35

%+。3+。1=121

故选：C

2.若(-1+21)"(〃€2^)的展开式中，奇数项的系数之和为-121,则"=o

【答案】5

【分析】

令X=1和1=-1,作和即可得到奇数项的系数和，从而构造出方程解得结果.

【详解】

(-1+24=c：(-17(2尤)。+C：(-1)7(2"+Q(-1P(2x)2+…+G(-1)°(2尤)"

令x=1得：C(-l)n+C*(-ir吸+C；(-1)--222+…+G(—1)°2〃=1

令x=—1得：C：(-1)"+CX-lf(-2)'+C；(-If2(一以+…+C；(-2)n=(-3)-

,奇数项的系数和为：1+(—3)=_121，解得：〃=5

2

本题正确结果：5

3.设(1一ax)2°i8=%+。逮+。2%2++«2018%20181若6+2a2+3/+…+2018。2()18=2018。

则实数。=.

【答案】2

【分析】

将左右两边的函数分别求导，取x=l代入导函数得到答案.

【详解】

018

(1—ax)一°"=<70+qx+++tz201gx-

两边分别求导：

2017

—2018a(l—ax)?。"=q+2a2x++2018<22018-^

取x=l

—2018G(1—a)~°"=%+2a、++2O18<72oi8=2018a

a=2

故答案为2

【题型七】换元型

【典例分析】

8

.已知X(X—2)7=%+Q](X—1)+。2(兀—1)2+...+«8(X—I),贝U。5+。6=

A.-14B.0C.14D.-28

【答案】B

【解析】由题可知，将x(x-2)7转化为[(尤-1)+1][(尤-1)-11，再根据二项式展开式的性质，即可求出生和

。6，便可得出生+4.

8

【详解】解：由题知，x(无—2)7=4+%(x—1)+g(尤—1)-+...+a8(x—I),

且尤(x-2)7=[(x-1)+1)-1],则1)+1-Cy-1)=-14,

%=C*(—iy+LC，(—l)2=14,所以%+46=-14+14=0.故选：B.

【变式演练】

1.右=4+q(尤-l)+a,(x—1)+…+6/6(X—1)，贝U%=()

A.1B.6C.15D.20

【答案】C

【分析】令x-l=r,利用二项式展开式通项可确定为.

【详解】令X—1=1,则(，+1).=/+"I++…+，

又。+球展开式通项为：Cr产".•.%=或=15.

故选：C.

2.对任意实数%,有(2x—3)9=%+4(x—1)+%(%—l)2+%(x—1)3+.+%(xT)9.则下歹U结论成立的是()

A.%=1B.%=-144

C.%+%+出+L+=1D.a。—。］+2—。3+,,,一，9=-39

【答案】BCD

【分析】由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD,转化法求指定项的系数判断选项B.

［施军］由(2%_3)9=CLQ+_1)+〃2(%―1)2+〃3(X_1)3++［式1_1)9，

当元=1时，(2—3)9=%,%=T,A选项错误；

当％=2时，(4—3)9=%+%+/++。9，即4+。1+〃2+1+〃9=1，C选项正确；

当％=0时，(―3)9="+。23T----。9，即%—%+%—%■1----〃9=-3。，D选项正确;

999-22

(2X-3)=［-1+2(X-1)］,由二项式定理，672=C9(-l)2=-144,B选项正确.

故选：BCD

9

3.若多项式/+父。=4+01(%+1)++<z9(x+l)+«10(%+1)'°,则%=()

A.9B.10C.-9D.-10

【答案】D

109910

(x+1)"=C°+C>+..，O^fl9(x+l)=«9^+CgX+...CgX］，«10(%+1)=

%oCo+GoX+..-+GoX+Go")，根据已知条件得了9的系数为0,小的系数为1

为=—10

故选D.

Ao-1

【题型八】三项展开式

【典例分析】

在（1+X+/函严的展开式中，N项的系数为（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】B

【解析】把X+&看做一个整体，即可得到（1+X+&严的通项公式为：方+'=4・小+一由］,再求出

［+击）的通项公式改+/=6岂/。2%再结合条件列式即可得解.

【详解】在（l+x+•五严的展开式中，通项公式为乃+广，•1+，）.

对于［尤+一^）,通项公式为TL+/=C：。犷2。%,后广，八k^N,r<10.

令r-2021%=2,可得r=2+2021匕故左=0,r=2,

故N项的系数为CQ《=45,故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

三项展开式的通项公式：

〃！

a+tzH-------1-a）的通项j;■dxct^a3-''am

<x27x2

Xj!x2!•••xm!

【变式演练】

1.下列各式中，不是（"+2a-6）4的展开式中的项是（）

A.8a7B.6a4b2C.-32a3bD.—24a3b?

【答案】D

【分析】根据题意多项式展开式中，有一个因式选2%有2个因式选-b,其余的2个因式选/,有1个

因式选4,剩下的3个因式选2°,分别计算所得项，即可得到结果.

【详解】（/+2。表示4个因式/+2._万的乘积，在这4个因式中，有一个因式选2°,其余的3个

因式选/，所得的项为C：x2aC；x（叫3=8a7,所以8a?是（/+2””的展开式中的项，在这4个因式中，

有2个因式选-从其余的2个因式选片,所得的项为Cjx（-b）2xC；x（a2y=6q72,所以是

（1+2°-6）4的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选-b,剩下的3个因式选2a,所得的项为

C；x（-6）xC；（2a）3=-32。％,所以一32a3。是+2〃-4的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式

选-b,其余的2个因式中有一个选/,剩下的一个因式选2°,所得的项为

C；X（-6）2xCix«2xC；x（2a）=24a3b2,所以-24a62不是+2a-6）4的展开式中的项.

故选:D.

2..“+1一;1的展开式中，孑的系数为（）

A.60B.-60C.120D.-120

【答案】A

【分析】设（尤+1-2］的通项为的=晨。-2严，设（x-2厂的通项为小=（_2）«_，尸）?即得解.

Iy）yy

【详解】解：设1+的通项为j=C：（x-:尸，

设（x-2厂的通项为如=《/»（二y=（-2）y_,声,

yy

令k=2,6—r—k=4,:.k=2,r=0.

所以上的系数为c1-2尸或=60.

y

故选：A

3.（2a-3b+c）8展开式中a26c5的系数是.

【答案】-2016

【分析】结合乘法运算以及组合数的计算求得正确答案.

【详解】（2a-的展开式中，含有/儿5的项为：

Cg(2a)2C(-W•*=一2016a26c$,

所以(2。-36+c)8展开式中a26c5的系数是-2016.

故答案为：-2016

真题再现

1.(江苏•高考真题)设左=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中一的系数不可能是()

A.10B.40C.50D.80

【答案】C

【分析】得到展开式的通项公式，求出左=1,2,3,4,5时的系数，选出答案.

【详解】(x+2)5展开式的通项公式为=C"5T.2,，

当r=0时，T=C>5.2°=X5,系数为i,

当r=l时，7；=C；X4-2=10X4,系数为10,

当r=2时，(=C*3.4=40x3,系数为40,

当r=3时，7；=C32.8=80/,系数为80,

当厂=4时，7；=C；rl6=80x,系数为80,

故系数不可能是50.

故选：C

2.(全国•高考真题)若(2x+6)3=4+。]彳+”2d+03/,贝式旬+“2)--(。1+4)2的值为()

A.-IB.1C.0D.2

【答案】A

【分析】分别令无=1和％=-1，然后所得两式相乘可得.

【详解】令x=l得4+4+生+/=(2+^3)3,

令x=—1得%—q+<z,-q=(-2+，

所以(a。+%)~—(q+/)-=(<2g+q+e+%)(%—4]+%一/)=(2+—2+—(3—4)3=-1.

故选：A.

3.(2022・北京・统考高考真题)若(2x-l)4=+。3工，+。2苫2+。逮+4，则4+/+%=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【分析】利用赋值法可求4+%+%的值.

【详解】令X=1,则%+%+。2+4+“0=1'

令"X——1,贝!]%—4+a、—q+4=(—3)’=81,

小1+81

故4+4+。<)=—-=41,

故选：B.

2

4.(2020.全国.统考高考真题)。+二)(x+y)5的展开式中43的系数为()

X

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【分析】求得(X+炉展开式的通项公式为(reN且r45),即可求得，+1：与(X+»展开

式的乘积为或C)jy+2形式，对「分别赋值为3,1即可求得x3y3的系数，问题得解.

【详解】(x+y)'展开式的通项公式为2=《一乎"eN且"5)

所以+：］的各项与（%+y）5展开式的通项的乘积可表示为：

22

rr6rrrr+2

xTr+l=xC^~y=C；x~y和匕小=匕减产了=C^~y

XX

在x&|=C,6—y■中，令厂=3,可得：xT,=Clx3y3,该项中的系数为四，

22

在二（M=C）Jy+2中，令厂=1,可得：2Ll；=C枭3y3,该项中三>3的系数为5

XX

所以三>3的系数为10+5=15

故选：C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属

于中档题.

5.（浙江•高考真题）若多项式炉+X1。=/+q（了+0+…+4口+球+%0（%+1）'°,则。9=（）

A.9B.10C.-9D.-10

【答案】D

【解析】利用二项式定理的系数，先求幺。的系数，再由％•《+4（）•品），可求炉的系数，即可得答案.

【详解】多项式x~+=CIQ+q（x+l）+…+%（尤+1）+q。（x+1）,

等号右侧只有最后一项旬）自+1）1°的展开式中含有力,并且胪的系数为八,等号左侧幺。的系数是1,

40=1；

又V的系数在右侧后两项中，一的系数为的.《+%,•%,左侧一的系数是0,

<29+10=0,a9=-10.

故选：D.

【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，搞清各项系数是解决本题关键，属于中档题.

/2_1>6

6.（•辽宁・高考真题）/-2尤”的展开式中常数项是.

\7

【答案】-160

【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.

（1i\6（iy-r/」丫

【详解】J-2X”的展开式通项为&］=CZ尤5-2/2=晨（-2）'针,其中共电小6,

V/\7\?

令3-厂=0?3r,故常数项为晨（-2）'=C就-2）3=-160,

故答案为：-160

（3_1Y

7.（湖北.高考真题）已知始+f］的展开式中各项系数的和是128,则展开式中/的系数是

I7

.（以数字作答）

【答案】35

63-1U人63—11%一

【分析】令X=1得展开式中各项系数的和2■，求得〃=7,整理展开式中的通项为令6=5

得k=3,从而求得炉的系数C>

【详解】令x=l得卜的展开式中各项系数的和2"=128,所以〃=7；

由几令区”=5得左=3，所以展开式中d的系数是C：=［等=35

故答案为：35

8.（2022.全国.统考高考真题）［1-5卜+>）8的展开式中无2y6的系数为（用数字作答）.

【答案】-28

【分析】1-:）苫+^^可化为^+了丫-9仁+y丫，结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为11-£j（x+y>=（x+y）8-?x+y）\

所以11-£|（x+y）8的展开式中含/y6的项为葭彳2科一号c京3y5=-28犬2r，

“-£j（x+y『的展开式中/；/的系数为一28

故答案为：-28

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4234

1.（1+x）=a0+tZ1X+a2x+a3x+a4x,则4-q+a?-4+%=（）

A.1B.3C.0D.-3

［答案］C

【3析】根据展开式，利用赋值法取x=-l即得.

434

【详解】因为（1+x）=%+4］*+%X2+a3x+a4x,

令X——］,可得UQ_q+。2_。3+。4=（1-1）=0.

故选：C.

2.设。为实数，甲：0=1；乙：（x+o）4二项展开式常数项为1.则甲是乙成立的（）条件

A.充分但不必要B.充要

C.必要但不充分D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】求出（尤+。）4展开式的常数项，即可得出结论.

【详解】（x+“）4展开式中的第k+1项为笈=0,1,2,3,4.

当％=4时，该项为常数项，常数项为C：./=/.

显然，当。=1时，.4=1；当"=1时，°=±1

所以，甲是乙成立的充分但不必要条件.

故选：A.

3.己知-x］的展开式中二项式系数的和是1024,则它的展开式中的常数项是（）

A.252B.-252C.210D.-210

【答案】B

【分析】求解先求出n,在利用通项公式求解

【详解】由F■-x）的展开式中二项式系数的和是1024,故2"=1024,所以〃=10.

由二项式定理得展开通项为=Codyj（T）’，

X

当r=5时为常数项，1=-C：。=-252

故选：B

4.［l+/］（l+x）4的展开式中含/项的系数为（）

A.10B.12C.4D.5

【答案】A

【分析】利用二项式定理的通项公式进行分类讨论即可求解.

【详解】(1+x)4的二项展开式的通项为cx，

当r=2时，(1+工)(1+幻4的展开式中含％?项为IC：/；

X

当厂=3时，(1+-)(1+x)4的展开式中含/项为d)•C%3.

XX

所以(1+1)(1+%)4的展开式中含/项的系数为c；+C：=10.

X

故选：A.

5.QV+y+l］的展开式中公,2项的系数为()

A.120B.160C.180D.210

【答案】A

【分析】将(2/+y+日看作5个因式2/+y+1相乘，根据x"的指数可认为5个因式中有两个选2无,项，

其余两个选y,最后一个因式选1,进行相乘，可得答案.

【详解】由题意(2炉+丫+1『的展开式中xV项的系数为C；X22XC；=12。，

故选：A

6.若二项式(如+；］(a>0)的展开式中所有项的系数和为64,则展开式中的常数项为()

A.10B.15C.25D.30

【答案】B

【分析】根据赋值法可得系数和，进而求解a=l,由二项式展开式的通项公式即可求解常数项.

【详解】令x=l,则所有的项的系数和为(a+l)6=64,由于。>0,所以。=1,

展开式的通项为&1=晨上，/，=鼠产3"故当6-3厂=0时，即r=2,此时展开式中的常数项为

或=15,

故选：B

7.(l+2x-尤2)'展开式中各项系数的和为64,则该展开式中的无3项的系数为()

A.-60B.-30C.100D.160

【答案】C

【分析】先用赋值法求得项数%由于原式为三项式，需将l+2x作为整体进行二项式展开，从原式展开式

中取出前两项再进行展开，分别求出包含彳3项和x项的系数，最后代回原式求和即可.

【详解】取x=l代入，得(1+2-1)"=64,解得附=6

则原式=(1+2x-X?y=C；(1+2x)6+C；(1+2幻5(_/)++C6(_尤2)6

其中，只有前两项包含/项.

(1+2尤)6=烧(2球+《(24+.+C：(2x)。,其中无3项的系数为C>23=160；

(1+24