二次函数与幂函数（讲义）（新高考）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第09讲二次函数与募函数（精讲）

题型目录一览

①幕函数的定义与图像

②幕函数的性质和综合应

用

③二次函数单调性问题-

④二次函数最值问题

⑤二次函数恒成立问题-

、知识点梳理

L幕函数的定义

一般地，y=x"（aeR）（a为有理数）的函数，即以底数为自变量，幕为因变量，指数为常数的函数称为幕函

数.

2.幕函数的特征：同时满足一下三个条件才是导函数

①V的系数为1;②犬的底数是自变量；③指数为常数.

（3）幕函数的图象和性质

3.常见的幕函数图像及性质：

23

函数y=xy=xy二/y=

VJL

图象Vk

TV]oxOx

定义域RRR{x|x>0}{x[%w0}

值域R{yly>0}R(y\y>0]

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在（-8,0）上单调递在y,0）和

在R上单在R上单调递在［0,+8）上单调

单调性减，在（0,+8）上单（0,+网上单调递

调递增增递增

调递增减

公共点(1，1)

4.二次函数的图像

二次函数/（》）=奴2+法+。（。/0）的图像是一条抛物线，二次项系数。的正负决定图象的开口方向，对

称轴方程为％=-2,顶点坐标为（―2,4"一"）.

2a2a4a

【常用结论】

1.幕函数y=x"（aeR）在第一象限内图象的画法如下:

①当。<0时，其图象可类似y=xT画出；

②当0<〃<1时，其图象可类似尸蓝画出；

③当。>1时，其图象可类似y=V画出.

2.实系数一元二次方程+6x+c=0（aw0）的实根符号与系数之间的关系

A=Z?2—4ac>0

方程有两个不等正根O

(1)b_

*1+*2=------>0

a

c八

xx=—>0

{2a

A=Z?2-Aac>0

（）方程有两个不等负根玉,％2O<b_

2%%=--<。

a

c

xx=—>0

x2a

（3）方程有一正根和一负根，设两根为玉,马O工1%2=,<0

a

二、题型分类精讲

题型一幕函数的定义与图像

-策略方法若嘉函数y=d(a©Z)是偶函数，则a必为偶数.当a是分数时，一般将其先化

为根式，再判断.

【典例1］已知幕函数满足黑=4,则的值为()

A.2B.—C.—D.—2

44

【答案】B

【分析】设出塞函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.

【详解】依题意，设〃尤)=/，则黑=*=3°=4,

所以殖)=5

故选：B

【题型训练】

一、单选题

1.现有下列函数：①y=丁；②y=g］；③y="；④y=K'+l；⑤y=(x-l)2；©y=x-,@y=a\a>1),

其中累函数的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据嘉函数的定义逐个辨析即可

【详解】塞函数满足y=x"形式，故y=d,y=x满足条件，共2个

故选：B

2.已知Ax)为累函数，且/(8)=J,则/(4)=()

4

1111

A.—B.T7=C.D.—

2WV416

【答案】B

【分析】根据募函数及"8)=：求其解析式，进而求"4).

4

【详解】因为/(x)为嘉函数，

设“幻=丁，则〃8)=；=8a=23。

2_21

所以-2=3a,可得］=一1，贝［］/(4)=43=痛.

故选：B

3.下列幕函数中，定义域为R的幕函数是()

3

A・y=/B・y=”

A2

C.y=xD.—5

/y一r4

【答案】D

【分析】利用分数指数式与根式的互化，结合具体函数的定义域的求法逐项分析即可求出结果.

33

【详解】Ay=/=G，则需要满足dZO,即XN0,所以函数y=/的定义域为［°，+8)，故A不符合题

意；

By=x^=_L,则需要满足x>0,所以函数y=xT的定义域为(0,+8),故B不符合题意；

Cy=x-6=《，则需要满足xwO,所以函数丫=d的定义域为(F,0)5°，y)，故C不符合题意；

2____2

ny=x5=^,故函数y=/的定义域为R,故D正确；

故选：D.

4.已知恭函数/(尤)=/的图像过点(8,4),则/(尤)=严的值域是()

A.(-oo,0)B,(^»,0)u(0,+oo)

C.(0,+co)D.［0,+oo)

【答案】D

【解析】先求出基函数解析式，根据解析式即可求出值域.

【详解】•••募函数/(兄=喘的图像过点(8,4),

2

.•.8“=4,解得

/(x)=#=浮20，

/W的值域是［0,+8）.

故选：D.

5.函数〃司=胴的图象大致为（）

【分析】利用函数的奇偶性及塞函数的性质进行排除可得答案.

【详解】因为〃-力=历=/（刈，所以/⑺为偶函数，排除A,B选项;

易知当天>0时，/（》）=«为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.

故选：C.

6.下列函数中，其图像如图所示的函数为（）

22_2

A.y=x§B.y=JC.y=JD.y—x3

【答案】A

【分析】根据函数的性质逐项分析即得.

【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为（-8,0）U（0,+«））,且在（0,+8）单调递减,

.11!

对于A,>=尤3=我，定义域为（-8,0）U（0,4<o）,〃_司=__=_〃尤），

所以函数为奇函数，在（o,+8）单调递减，故A正确；

2

对于B,y=x3=^,定义域为R,故B错误；

对于C,>=£=也，定义域为R，故C错误；

对于D,y=x^=~f,定义域为（-e,O）U（O,y）,以/=^^=症=/«）,函数为偶函数，故D

错误.

故选：A.

m

7.如图所示是函数>=V（加、“cN*且互质）的图象，贝I（）

B.加是偶数，〃是奇数，且‘>1

n

ryj

C.旭是偶数，，是奇数，且‘<1D.m、n是偶数,且竺>1

nn

【答案】C

【分析】根据募函数的性质及图象判断即可

【详解】解：•••函数的图象关于y轴对称，故九为奇数，加为偶数,

在第一象限内，函数是凸函数，故生<1,

n

故选：C.

二、填空题

1

8.函数〃力=35的定义域为.

【答案】（O,+e）

【解析】将函数解析式变形为/（x）=J=,即可求得原函数的定义域.

_11

【详解】••,/（x）=x2=-，所以，x>0.

yjrx

因此，函数〃尤）=/的定义域为（0,+⑹.故答案为：（O,+e）.

9.设集合A=<yy=,xeR>,集合B=，yy=炉"N0>,则=.

【答案】(y(y>o))/(o,w)

【分析】根据指数函数与塞函数的性质，先求出集合A、B,然后根据交集的定义即可求解.

【详解】解：因为集合A=，yy=,尤wR"={y|y>0},B=-yy=x2,x>0>={y|y>0},

所以4门3=口”>0小{小20}={#>0},

故答案为：{y|y>。}.

10.若函数y=x。的图像经过点(2,16)与(3,加)，则根的值为.

【答案】81

【分析】根据函数图象过的点求得参数。，可得函数解析式，再代入求值即得答案.

【详解】由题意函数V=的图像经过点(2,16)与(3,m),

则16=2",;.a=4,则y=£

故加=34=81,

故答案为：81

11.幕函数〃尤)=£(aeR)满足：任意xeR有〃一力=〃力，且〃T)<〃2)<2,请写出符合上述条件

的一个函数〃x)=.

2

【答案】J(答案不唯一)

2

【分析】取再验证奇偶性和函数值即可.

22

【详解】取/(x)=Q,则定乂域为R,且/(—%)=(―2=声=/(%),

2

〃一1)=1，〃2)=2)=血，满足H—l)<〃2)<2.

2

故答案为：

12.已知函数=无4”若函数"X)在R上不是增函数，则。的一个取值为.

【答案】-2(答案不唯一，满足。<-1或0<°<1即可)

【分析】作出y=x和y=/的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值.

【详解】y=x和y=V的图象如图所示:

...当a<-1或0<“<1时，y=x3有部分函数值比y=x的函数值小,

故当"-1或0<”1时,函数“可在R上不是增函数.

故答案为：-2.

题型二是函数的性质和综合应用

策略方法

(1)紧扣募函数y=j的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注

意a为奇数时，x"为奇函数，夕为偶数时,X。为偶函数.

(2)若募函数y=d在(0,+oo)上单调递增，则a>0；若在(0,十⑹上单调递减，则a<0.

⑶在比较嘉值的大小时，必须结合嘉值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

【典例1】函数/(尤)=(>-根+1)无'/37(04加43,meZ)同时满足①对于定义域内的任意实数X,都有

/(-%)=/(x);②在(0,—)上是减函数，则/』的值为()

k27

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【分析】由加的值依次求出疗-2〃-3的值，然后根据函数的性质确定加，得函数解析式，计算函数值.

【详解】mqZ,0<m<3,m=0,1,2,3,代入苏一2利-3分别是一3,-4,-3,0,

在定义域内/(-%)=/(%),即〃%)是偶函数，因此2机-3取值T或0,

4-2m-3=0时，f(x)在(。,+8)上不是减函数,

只有用2-2加一3=-4满足，此时机=1,f(x)=x-4,

樗)=(与Y=(0)4=4・

故选：B.

【题型训练】

一、单选题

1.已知事函数〃力=(。2-3a+3)x"M为偶函数，则实数。的值为()

A.3B.2C.1D.1或2

【答案】C

【分析】由题意利用塞函数的定义和性质，得出结论.

【详解】•・・塞函数/■")=(/-3d+3卜"为偶函数，

:.a2-3a+3=l,且“+1为偶数，

则实数。=1,

故选：C

2.幕函数y=/+*2(0WmW3,”?eZ)的图象关于y轴对称，且在(0,+8)上是增函数，则机的值为()

A.0B.2C.3D.2和3

【答案】D

【分析】分别代入机的值，由基函数性质判断函数增减性即可.

【详解】因为04〃z<3,

所以当机=0时，y=x2,由嘉函数性质得，在(。,+8)上是减函数；

所以当机=1时，y=x°,由基函数性质得，在(0,+S)上是常函数；

所以当机=2时，>=/,由塞函数性质得，图象关于y轴对称，在(。,+⑹上是增函数；

所以当机=3时，y=M°,由基函数性质得，图象关于y轴对称，在(。,+◎上是增函数；

故选：D.

3.已知。、beR,贝!1"°>人”是“d>*的()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】利用函数/(X)=/在R上单调递增即可判断出结论.

【详解】•."(x)=x3,xeR是奇函数且为递增函数，所以">6,则/(。)>/3),即/>应同理，/>凡

贝！!/(“)>/(»,函数单调递增，得。>6；

"“>6”是％3>引,的充要条件.

故选：C.

4.已知暴函数/(x)=x*aeR)的图象经过点［gj,且/(a+l)</(3),则。的取值范围为()

A.(f2)B.(2,+oo)

C.(-00,-4)o(2,+00)D.(-4,2)

【答案】C

【分析】首先根据已知条件求出/“)的解析式，再根据/(无)的单调性和奇偶性求解即可.

【详解】由题意可知，/(1)=(1r=4,解得，«=-2,

故/。)=y2,易知，/*)为偶函数且在(0,+8)上单调递减，

又因为/m+i)</(3),

所以|a+l|>3,解得，。<-4或a>2.

故。的取值范围为(-*T)。(2,+8).

故选：C.

5.已知a=1=1.2「3,c=1.3"，则()

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用中间值I2。比较a,b的大小，再让b,c与中间值13比较，判断b,c的大小，即可得解.

【详解】«=1.112<1,21-2<1,213=/2,又因为通过计算知11,〈I®,所以”「〈”广,即1.尹<1.3。,9,

又1.2°」<1.3°/，所以1.升3<13<13'=。,所以a<b<c.

故选：B

二、多选题

6.已知幕函数/(X)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有().

A.函数〃x)的定义域为R

B.函数f(x)为非奇非偶函数

C.过点尸,，；］且与图象相切的直线方程为y

D.若…＞。，则/叫

【答案】BC

【分析】先利用待定系数法求出塞函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A错误、

选项B正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点尸求出切线方程，进而判定选项C正确；平方作

差比较大小，进而判定选项D错误.

【详解】设〃“=才，将点（4,2）代入〃”=才，

得2=4。，贝！1。=；，即/（x）=），

对于A：〃尤）的定义域为［0,内），即选项A错误；

对于B：因为的定义域为［0,茁）,

所以/（x）不具有奇偶性，即选项B正确;

对于c：因为“x）=f,所以广（“=在，

设切点坐标为（q,向），则切线斜率为左=/'（无。）=万友，

切线方程为＞一人=52（尤-毛）,又因为切线过点次。，；），

所以;工（°一%），解得％=1，

22网

即切线方程为y-l=g（x-l）,即＞=

即选项c正确;

对于D：当。＜玉＜芍时,

[/&)+/(尤2)]2_,2f占+%]=("+后]

%+%2

2

即"芯）；〃X2）＜/（与迤）成立，即选项D错误.

故选：BC.

7.已知函数〃x）=（加-相-1）/+时3是募函数，对任意巧，x2e（o,^）,且x产/，满足>0.

若b&R,且的值为负值，则下列结论可能成立的有（）

A.a+b>0,ab<0B.tz+Z?<0,ab>0

C.a+b<0fab<QD.a+b>0,ab>Q

【答案】BC

【解析】首先根据函数是募函数，求得的两个值，然后根据题意判断函数在（0,+8）上是增函数，确定m

的具体值，再结合函数的奇偶性可判断得正确选项.

【详解】由于函数〃x）为嘉函数，故病-m-1=1,即川-m-2=0,解得m=Tm=2.当利=-1时，〃x）=g,

当机=2时，”力=立由于，，对任意为,电«0,口）,，且%NW，满足"*）一"0）>0，，知,函数在（0,+助

%一％2

上为增函数，故"x）=V.

易见/（f）=-〃x）,故函数〃x）=d是单调递增的奇函数.

由于7（。）+/0）<0,即/（。）<一/0）=/（—6），得a<-b,所以。+匕<0,此时，若当a=0时，b<0,

故"=0；当。>0时，0<a<-b,故b<0,故而<0；当时，由知，b<-a,故b<0或6=0或

b>0,即而>0或o/?=0或a/?<0.

综上可知，a+b<0,且而>0或出?=0或必<0.

故选：BC.

【点睛】本题解题关键是熟知募函数定义和性质突破参数m,再综合应用奇偶性和单调性的性质确定

和向的符号情况.

三、填空题

8.已知累函数〃x）=x"是偶函数，在［0,+动上递增的，且满足了（；".请写出一个满足条件的。的值，a=

【答案】：

【分析】结合偶函数和单调性及3可得，答案不是唯一的.

【详解】因为/（；）>〈，所以£<1;

因为了（无）在［0,+e）上递增的，所以夕>0；

因为塞函数〃尤）=/是偶函数，所以。的值可以为

故答案为：

【点睛】本题主要考查塞函数的性质，塞函数的单调性和奇偶性取决于侧重考查数学抽象的核心素养.

2

9.已知产”）是奇函数，当定0时，=Q，则4-8）的值是.

【答案】T

【分析】先求48）,再根据奇函数求〃-8）

2

【详解】”8）=83=4,因为/⑺为奇函数，所以/（-8）=-/（8）=-4

故答案为：-4

【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

10.已知函数〃x）=a，则关于/的表达式八产-2。+/（2--1）<（）的解集为.

【答案】卜和

【分析】利用募函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.

【详解】由题意可知，〃尤）的定义域为（F,y）,

11

所以4-x）=（-%>=-户=-/（x）J

所以函数“X）是奇函数，

1,、

由塞函数的性质知，函数〃元）=炉在函数（F，”）上单调递增，

由/卜2_2。+/（21）<0,得即/），

所以产—2/<1-2/，即3»-2/-1<0,解得一；</<1,

所以关于/的表达式/（r-^）+/（2r-l）<0的解集为,1）.

故答案为：（一;,。

四、解答题

H.已知幕函数"X）=（病-3根-⑺产2的图像关于y轴对称.

⑴求“X）的解析式；

⑵求函数g（x）=〃2x）-谓+3在［T2］上的值域.

【答案】(1)〃。=白

⑵卜43

【分析】(1)根据塞函数的定义和性质求出m的值即可；

(2)由⑴求出函数g(x)的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果.

【详解】⑴因为〃x)=(疡-3*17卜片2是塞函数，

所以"一3机—17=1,解得m=6或根=—3.

又的图像关于y轴对称，所以m=6,

故/(x)=4.

(2)由(1)可知，g(x)=16--4x?+3=16,2)~+3=16卜+'.

因为xe［—l,2］,所以

又函数丫=161-』［+口在(-8,3上单调递减，在(：,+g)上单调递增，

(8J488

所以一口一+1』口,243.

I8j4L4」

故g(x)在［T2］上的值域为",243.

12.已知累函数〃元)=(疗一2〃L2*T的定义域为R.

(1)求实数机的值；

⑵若函数8(尤)=2仆-："尤)在［,12］上不单调，求实数0的取值范围.

【答案】(1)m=3；

(2)-log23<a<3.

【分析】(1)由幕函数定义求得参数加值；

(2)由二次函数的单调性知对称轴在开区间(g,12)上，再由指数函数性质，对数的定义得结论.

【详解】(1)由题意，，-2机-2=1且切-1>0,解得m=3；

(2)由(1)g(x)=-1x2+2ax,g(x)的对称轴元=3・2"一，

因为g(x)在弓,12］上不单调，所以：<3・2"T<12,

解得-1暇3<。<3.

题型三二次函数单调性问题

畲策略方法二次函数单调性问题的求解策略

⑴对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不

确定，则需要分类讨论求解.

⑵利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同

一单调区间上比较.

【典例1】“函数/(%)=产-3侬+18在区间(0,3)上不单调”是“0〈加<2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案.

3

【详解】由函数/(%)=%02-3加x+18在区间(0,3)上不单调，可得即0<加<2；

由0<〃?<2,得0<：相<3,得函数/(%)=/-3加X+18在区间(0,3)上不单调，

所以“函数/(%)=#_3旧+18在区间(。,3)上不单调”是“0〈加<2”的充分且必要条件.

故选：C

【题型训练】

一、单选题

1.若二次函数/。)=依2+版+9<0),满足"1)=/(3),则下列不等式成立的是()

A.f(l)</(4)</(2)B./(4)</(1)</(2)

C./(4)</(2)</(1)D.〃2)</(4)</■⑴

【答案】B

【分析】首先根据/'(1)=/(3),判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案.

【详解】因为〃1)=/(3),所以二次函数/。)=0^+云+。的对称轴为x=2,

又因为a<0,所以为4)<片3)<〃2),

又f(D=/⑶，所以7(4)<〃1)<”2).

故选：B.

2.已知/（力=9+2%+3在（一9,。）为单调函数，则a的取值范围为（）

A.（一8,-1）B.C.（-9,-1）D.（-9,-1]

【答案】D

【分析】求出〃x）=f+2x+3的单调性，从而得到-9<aV-l.

【详解】/（力=公+2彳+3在（9,-1）上单调递减，在（-1,"）上单调递增，故要想在（-9,a）为单调函数,

需满足—9<a<—l>

故选：D

3.已知二次函数y=Y-4x+a的两个零点都在区间（1,+⑹内，则a的取值范围是（）

A.(-a>,4)B.(3,+a>)C.(3,4)D.S，3)

【答案】C

【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解.

【详解】二次函数y=/_4x+a,对称轴为尤=2,开口向上，

在（f,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增，

要使二次函数/（%）=1-4x+a的两个零点都在区间（L+8）内,

f/（l）=l-4+a>0

需:二,0八，解得3<a<4

[/（2）=4-8+a<0

故实数a的取值范围是（3,4）

故选：C

4.已知函数〃司=卜「（"+1）'+2,无<1,若函数/⑺在R上为减函数，则实数。的取值范围为（）

a,x>l

一1八「11]11「1八

A4.-JB.-C.0,—D.—,1

L3）[32」I3J[2）

【答案】B

【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a的不等式组，解不等式组

即可得答案.

【详解】解：因为函数/(》)=卜无+2,尤<1在R上为减函数，

［a,x>l

2

所以0<a<l,解得;WaW.

12-(30+1)+22"

所以实数a的取值范围为,

故选：B.

二、填空题

5.若函数/(x)=/+(2a-l)x+l在区间(F,2］单调递减，则实数。的取值范围为

【答案】］凡一|

2/7-1

【分析】根据一元二次函数单调性，结合条件，可知然后求出。的取值范围即可.

【详解】易知二次函数/(外=/+(2-1"+1的单调递减区间为1巴-甘,

又因为函数/(刈=尤2+(2°-1勿+1在区间(y),2］单调递减，

所以(一叫2仁,巴一丹二，

即2W-智，解得於一看

故答案为：1G0「T-

6.若函数/(x)满足下列性质：

(1)定义域为R,值域为。+«);

(2)图象关于直线x=l对称；

(3)对任意的看,%e(一℃,l),且占片%，都有“%)/(%)<0.

xt-x2

写出函数〃尤)的一个解析式：.

【答案】/(x)=x2-2x+l(不唯一)

【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式.

【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式/(x)=(x-l)2,

此时/(X)对称轴为x=l,开口向上，满足(2),

因为对任意巧，x,e(ro,0),且无产%,‘都有'("2)<0,

xl-x2

等价于f(x)在(f,。)上单调减，

.-.f(x)=(x-D2,满足(3),

X/(x)=(x-l)2>0,满足(1),

故答案为：f(x)=x2-2x+l(不唯一).

7.若定义在R上的二次函数«x)=ax2_4ax+6在区间［0⑵上是增函数，且危〃)30),则实数m的取值范围是

【答案】［0,4］

【分析】可先求出二次函数的对称轴x=?=2,再根据函数的增减性及对称性可求得m的取值范围.

-2a

【详解】二次函数的对称轴x=W=2,•.・尤e(0,2)时函数单调递增，.“<0,二次函数开口向下，，xe(2,4)

-2a

函数单调递减，根据二次函数的对称性，f(0)=f(4),f(m)>f(0),.-.mG［0,4］

【点睛】二次函数是对称函数，解题时，一定要根据对称性来解题，防止漏解错解.

题型四二次函数最值问题

畲策略方法二次函数最值问题的类型及解题思路

(1)类型：

①对称轴、区间都是给定的；

②对称轴动、区间固定；

③对称轴定、区间变动.

(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴

指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题.

【典例1］若函数式x)=aN+2ax+l在［-1,2］上有最大值4,则。的值为()

A.-B.-3C.巳或一3D.4

88

【答案】C

【分析】按。=0，。>0，。<0分类讨论求/⑺的最大值，然后由最大值为4得参数值.

【详解】由题意得f(x)=a(x+l)2+l-a.①当a=0时，函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合

题意，舍去；

3

②当a>0时，函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数，最大值为f(2)=8a+l=4,解得。=；；

O

③当a<0时，函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数，最大值为f(—1)=1-a=4,解得a=-3.

综上可知，a的值为(或一3.

O

故选：C.

【题型训练】

一、单选题

1.已知函数〃力=一尤2+4了+。，XG[0,1],若/(X)的最小值为—2,则/(X)的最大值为()

A.1B.0C.-1D.2

【答案】A

【分析】根据二次函数性质求得最小值，由最小值得“值，从而再求得最大值.

【详解】•."(力=-/+4了+。在[0』上单调递增，，其最小值为〃0)=4=-2,

,其最大值为〃1)=3+。=1.

故选:A.

2.已知函数“力=尤3-3〃£+9恤+1在(1,内)上为单调递增函数，则实数机的取值范围为()

A.B.[-1,1]C.[1,3]D.[-1,3]

【答案】D

【分析】求导，由单调性得到3/-6m+9m20在(1,+s)上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系,

求出m的取值范围.

【详解】_f(x)=3x2-6〃zx+M

因为/(x)在(1，+s)上为单调递增函数，

所以3x?0在。,+°0)上恒成立,

令g(x)=3x2-6mx+9m,

X=-----1X=----->1

要满足6①，或6②，

f(l)>01/(^)>0

由①得：由②得：me(l,3］,

综上：实数m的取值范围是［T,3］.

故选：D

3.若函数=-2办+1-。在［0,2］上的最小值为-1,则。=()

A.2或9B.1或C.2D.1

55

【答案】D

【分析】先求出二次函数的对称轴，然后讨论对称轴与区间［0,2］的关系，求出其最小值，列方程可求出。的

值

【详解】函数〃尤)=/-2QX+1-Q图象的对称轴为％，图象开口向上，

(1)当时，函数/(九)在［0,2］上单调递增.贝！］/(%)加〃=/(0)=1-。，由1一々二一1,得［=2,不符合〃《0；

(2)当0<〃<2时.贝！|/(%).=/(〃)=/一2片+1—。=一/一〃+1,由一片―。+1=—1,得〃=一2或々=1,又

0<a<29/.々=1符合；

(3)当时，函数/(%)=4_2侬+1-々在［0,2］上单调递减,

・"(%)欣〃=/⑵=4—4a+l—a=5—5a,由5—5a=—1,得〃二g,

又422,a不符合，

综上可得1=1.

故选：D

4.已知二次函数〃x)=ox2+2x+c(xeR)的值域为［1,+8),则:+g的最小值为()

A.一3B.3C.-4D.4

【答案】B

【分析】由二次函数的值域可得出。=；1>0,可得出c>l,则有1上4+?=。+4--1,利用基本不等式可求

c-1acc

得结果.

【详解】若。=0,则函数〃x)的值域为R,不合乎题意，

因为二次函数〃尤）=加+2尤+c（尤eR）的值域为［1,内），则a>0,

且“尤*=^^=7=1，所以，ac-l^a,可得°=工>0,贝!|c>l,

'/nun4aac-1

所以，l+f=c+l-i>2,O-l=3,当且仅当c=2时，等号成立，

accVc

14

因此，工+?的最小值为3.

ac

故选：B.

5.设二次函数/（x）=（o-2）x2+3a%+2在R上有最大值，最大值为加⑷，当心㈤取最小值时，”=（）

A.0B.1C.1D.72

【答案】A

【分析】根据二次函数的性质求出帆（a）,然后利用基本不等式即得.

［详解］­.­/（%）=（a-2）x2+3ar+2在R上有最大值m（a）,

.，2<。且当—已时，/⑴的最大值为途答，

即2-a>0且〃标）=2-疝%为=京2-0）+722*子中二-7=2,

'/4（。-2）42-aV42-a

当且仅当若时，即a=o时，利⑺）有最小值2,

42-a

故选：A.

二、填空题

6.若函数〃力=/—（〃?+1卜+3在区间（3,5）内存在最小值，则加的取值范围是.

【答案】（5,9）

【分析】根据二次函数的性质确定在开区间（3,5）内存在最小值的情况列不等式，即可得加的取值范围是.

【详解】解：二次函数“xLY-m+iA+s的对称轴为x=亭，且二次函数开口向上

若函数在开区间（3,5）内存在最小值,贝！］x=”•e（3,5）,即祖e（5,9）,此时函数在x=中处能取到最小值,

故机的取值范围是（5,9）.

故答案为：（5,9）.

7.若函数〃x)=d—2x+a的定义域和值域均为则的值为.

【答案】0

【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于龙=1成轴对称，即可得到从而得到方程组,

解得即可.

【详解】解：因为/(%)=%2一2%+〃=(%—1)2+。一1,对称轴为九=1,开口向上，

所以函数在［1回S>1)上单调递增，

又因为定义域和值域均为［1,切他>1),

［b2-2b+a=b

f(b)=bra=2ra=2

所以「即。-1=1，解得八(舍去)或人.

1b>l也=11也=2

所以〃-/?=0.

故答案为：。

8.函数〃%)=m+/+1(〃>0,且awl)在［-1,1］上的最大值为13,则实数〃的值为.

【答案】3或g

【分析】令优=f,讨论a>l或0<“<1,求出/的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解.

【详解】V/(x)=a2r+aI+l

令用=t,则/>0,

131

则］y=y+f+i=(r+5)2+*,其对称轴为/=-］.

该二次函数在,+8)上是增函数.

①若a>l,由得=/£—,a,

a_

故当£=〃,即x=l时，

Nmax=。2+4+1=13,解得々=3(4=-4舍去).

②若Ovavl,由％可得/=优£a,—,

_a_

故当/=工，即尸-1时，

a

+-+1-13.

a

,a=§或一[（舍去）.

综上可得"=3或1.

故答案为：3或$

9.设外力=加-（a+l）x+l,若函数y=〃x）在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不

是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数。的取值范围是.

【答案】

【分析】对①：根据奇偶函数的定义可得aw-1;对②：分类讨论可得二次项系数小于零，且对称轴为

x=£±leCl求出a的取值范围；对③：结合②中所求的范围验证即可.

2〃I22J

【详解】对①：,•*/（x）+/（―x）=[ax?—（a+l）x+1]+[a（—x）—（a+1）（—尤）+1]=2（⑪2+1）w0,即

故〃尤）不是奇函数；

若/（X）是偶函数，贝!|/（可-/（-司=[依2-（0+1）X+1]-[“-司2-（4+1）（-;（;:）+1]=一2（0+1）苫=0,

可得a+l=0,即a=—1；

故若/（x）是非奇非偶函数，则。工-1；

对③：若〃x）在（J，g）上有最大值，则有：

当。=0时，则〃x）=f+l在上单调递减，无最值，不合题意;

当.力0时，则/（尤）=加-（。+1）%+1为二次函数且对称轴为人弋,

a<0

由题意可得,1a+11，解得。<-不

[22Q2

故若/（X）在上有最大值，贝普<-；；

对②：若a<_g,贝!|〃尤）=加一（a+1）尤+1开口向下，且对称轴为》=今，€

故〃尤)在上既不是增函数也不是减函数；

综上所述：实数a的取值范围为(-8,-1)

故答案为：

题型五二次函数恒成立问题

畲策略方法由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

⑵两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这

两个思路的依据是：