二次函数与动点综合问题-2023年中考数学压轴题专练（学生版）

专题16二次函数与动点综合问题

方法揭秘,

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二次函数与动点问题的背景是特殊图形,考查问题也是二次函数的有个性质和特殊图形的性质，体现

的数学思想方法主要是数形结合思想和分类讨论思想，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别

要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.)

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或三角函数、线段或面积的最值.

解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的数、不变的量、

不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题.根据题意灵活运用特殊三角形和四边形

的相关性质、判定、定理知识确定二次函数关系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”

涉及的线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题.

典例剖析.

【例1】(2022•本溪二模)如图，抛物线y=-刍＜：2+法+。经过A(3,。)，C(-1,0)两点，与y轴交于点8.

-3

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点M是线段A3上方抛物线上一动点，以为边作平行四边形A8M。，连接OM,若将

平行四边形的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；

(3)如图2,点尸从点8出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，同时点。从点A出发，以

每秒1个单位长度的速度沿A-。-8匀速运动，当点尸到达点A时，P、。同时停止运动，设点P运动

的时间为/秒，点G在坐标平面内，使以8、P、。、G为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件

的“直.

【例2】(2022•沈北新区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线〉=0?+区+6(#0)交x轴于A、B

两点，交y轴于点C,MOA=OC=3OB,连接AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)动点P和动点。同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A,点Q从点O

以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C,连接PQ,当点P到达点A时，点。停止运动，求S&CPQ

的最大值及此时点P的坐标；

(3)点〃是抛物线上一点，是否存在点使得/ACM=15°?若存在，请直接写出点M的坐标；若不

存在，请说明理由.

【例3】(2022•三亚模拟)如图1,抛物线y=-/+6x+c与x轴正半轴、y轴分别交于A(3,0)、8(0,3)两点，

点P为抛物线的顶点，连接AB、BP.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求NP8A的度数；

(3)如图2,点M从点。出发，沿着OA的方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时点N从点A出

发，沿着A8的方向以圾个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为f秒，轴交于点E,

NFLx轴交抛物线于点尸，连接MN、EF.

①当时，求点尸的坐标；

②在M、N运动的过程中，存在t使得△BNP与相似，请直接写出f的值.

【例4】(2021•长沙模拟)在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角

形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”.

(1)已知一个“调和二角形”二条边的长度分别为4,6,777-1,求机的值.

(2)已知Rt^ABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a,b,c,且a<b<c.

①求a：b：c的值；

②若AABC周长的数值与面积的数值相等，求m6,c的值.

(3)在(2)的条件下，动点尸从点A出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线A-B-C运动，动点。从点

C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运

动时间为/秒，设尸PQ2.

①求y关于r的函数关系式；

②求y的最小值.

满分训练“

1.(2021•遵化市模拟)如图，关于x的二次函数y=/+foc+c的图象与无轴交于点4(1,0)和点2,与y轴交

于点C(0,3),抛物线的对称轴与无轴交于点。.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在y轴上是否存在一点尸，使△P2C为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点2运动，另一个点N从点。与点M同

时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动,

问点M、N运动到何处时，△A/NB面积最大，试求出最大面积.

2.(2020•市中区一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+a+4经过A(-3,0)、8(4,0)两点，且

与y轴交于点C,D(4-4、,巧，0).动点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向点B移

动，同时动点。从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若经过f秒的移动，线段被CD垂直平分，求此时f的值；

(3)在第一象限的抛物线上取一点G,使得SAGCB=SAGO4,再在抛物线上找点E(不与点A、B、C重合),

使得NGBE=45°,求E点的坐标.

3.(2020•项城市三模)如图，抛物线y=ax2+bx吟■(a7^:0)经过4-3,0),C(5,0)两点，点2为抛物线

顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t,过

点尸作交2C于点M,以尸M为正方形的一边，向上作正方形PMAQ,边QN交BC于点R,

延长交AC于点E.

①当/为何值时，点N落在抛物线上；

②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECR。为平行四边形？若存在，求出此时刻的f

值；若不存在，请说明理由.

4.(2018•泉山区三模)在平面直角坐标系尤0y中，抛物线丫=0?+次+4经过4(-3,0)、8(4,0)两点，且与

y轴交于点C,点。在x轴的负半轴上，且BO=BC,有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单

位长度的速度向点B移动，同时另一个动点。从点C出发，沿线段C4以某一速度向点A移动.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若经过/秒的移动，线段P。被CD垂直平分，求此时f的值；

(3)该抛物线的对称轴上是否存在一点使MQ+MA的值最小？若存在，求出点〃的坐标；若不存在，

请说明理由.

5.(2018•扬州)如图1,四边形042C是矩形，点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,6),点P从点。出

发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点。从点A出发，沿以每秒2个单位长度

的速度向点2运动，当点尸与点A重合时运动停止.设运动时间为r秒.

(1)当t=2时，线段PQ的中点坐标为；

(2)当△C8。与△B4。相似时，求t的值；

⑶当t=l时，抛物线y=/+6x+c经过P,。两点，与y轴交于点抛物线的顶点为K,如图2所示,

问该抛物线上是否存在点。，使若存在，求出所有满足条件的D的坐标;若不存在,

2

6.(2019•兰州)二次函数y=a,+Z»+2的图象交无轴于点(-1,0),2(4,0)两点，交y轴于点C.动点M从

点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A8方向运动，过点M作MNLx轴交直线8C于点N,交抛物

线于点D连接AC,设运动的时间为/秒.

⑴求二次函数》=。/+6无+2的表达式；

(2)连接2D,当f=3时，求△DA®的面积；

2

(3)在直线上存在一点P,当△PBC是以/8PC为直角的等腰直角三角形时，求此时点。的坐标；

(4)当片巨时，在直线MN上存在一点。，使得NAQC+NO4c=90°,求点。的坐标.

4

7.(2019•鄂州)如图，已知抛物线y=-/+fcv+c与尤轴交于A、B两点，AB=4,交y轴于点C,对称轴是

直线X—1.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)连接BC,E是线段OC上一点，E关于直线x=l的对称点F正好落在8c上，求点尸的坐标；

(3)动点M从点。出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N,

交线段BC于点Q.设运动时间为您＞0)秒.

①若△AOC与△8MN相似，请直接写出t的值；

②△B。。能否为等腰三角形？若能，求出/的值；若不能，请说明理由.

8.(2019•乐山)如图，已知抛物线y=a(尤+2)(x-6)与x轴相交于A、8两点，与y轴交于C点，HtanZCAB

=3.设抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于点M

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)P为抛物线的对称轴上一点，。(%0)为x轴上一点，且PQJ_PC.

①当点尸在线段朋N(含端点)上运动时，求”的变化范围；

②在①的条件下，当“取最大值时，求点尸到线段C。的距离；

③在①的条件下，当〃取最大值时，将线段CQ向上平移f个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交

点，求f的取值范围.

9.(2019•西宁)如图①，直线y=-逐刀+2正与x轴，y轴分别交于A,8两点，以A为顶点的抛物线经过

点8,点尸是抛物线上一点，连接OP,AP.

JT

图①图②

(1)求抛物线的解析式；

(2)若AAOP的面积是3«,求尸点坐标；

(3)如图②，动点M,N同时从点0出发，点〃以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，

点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点

也随之停止运动，过点N作人万〃彳轴交直线A8于点E.若设运动时间为/秒，是否存在某一时刻，使

四边形AMVE是菱形？若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.

10.(2019•沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=0?+a+2(°#0)与x轴交于A,8两点(点A在点B

的左侧)，与y轴交于点C,抛物线经过点。(-2,-3)和点E(3,2),点尸是第一象限抛物线上的一个动

(1)求直线DE和抛物线的表达式；

⑵在y轴上取点F(0,1),连接PRPB,当四边形。3P尸的面积是7时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线OE上存在两点M,N(点M在点N的上方),

且MN=2如,动点。从点P出发，沿的路线运动到终点A,当点Q的运动路程最短时,

请直接写出此时点N的坐标.

11.(2019•湖州汝口图1,已知在平面直角坐标系xOy中，四边形0ABe是矩形，点A,C分另I」在x轴和y轴

的正半轴上，连接AC,。4=3,tan/OAC=1,。是的中点.

3

⑴求OC的长和点D的坐标;

(2)如图2,M是线段OC上的点，OM=Zoc,点尸是线段0M上的一个动点，经过P,D,B三点的抛

3

物线交无轴的正半轴于点E,连接。£交于点?

①将△Q8/沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；

②以线段。尸为边，在。P所在直线的右上方作等边△。/G,当动点P从点。运动到点M时，点G也随

之运动，请直接写出点G运动路径的长.

12.(2021•高明区校级模拟)在平面直角坐标系中，RtAABC,ZACB=90°,A8〃x轴，如图1,C(l,0),

且OC：OA=AC：BC=1：2.

(1)A点坐标为,B点坐标为；

(2)求过A、B、C三点的抛物线表达式；

(3)如图2,抛物线对称轴与AB交于点。，现有一点尸从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点

B运动,另一点。从点D与点尸同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动.当点P到达8点时，

13.(2020•香洲区校级一模)如图1,矩形028的边OD,分别在x轴和y轴上,且2(0,8),0(10,0).点

E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点。的射线0E折叠，使点。恰好落在BC边上的点A处.

(1)若抛物线y=a/+fcv经过点A,D,求此抛物线的解析式；

(2)若点M是(1)中的抛物线对称轴上的一点，点N是坐标平面内一点，是否存在M,N使以A,M,N,

E为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；

(3)如图2,动点P从点。出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点。运动，动点。从点。出发

沿折线。-C-A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点

尸作直线轴，依次交射线04OE于点F,G,设运动时间为小秒)，△QFG的面积为S,求S与/

的函数关系式，并直接写出/的取值范围.(f的取值应保证△OFG的存在)

14.(2020•南充一模)如图，抛物线y=-L(x+l)(x-〃)与无轴交于A,B两点(点A在点8左侧)，与y轴交

2

于点C,△ABC的面积为5.动点P从点A出发沿43方向以每秒1个单位的速度向点2运动，过P作

PN_Lx轴交8C于交抛物线于N.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当M在线段2C上，MN最大时，求运动的时间;

(3)经过多长时间，点N到点8、点C的距离相等？

15.(2020•潮南区模拟)如图，关于x的二次函数y=/+6无+c的图象与％轴交于点4(1,0)和点2,与y轴交

于点C(0,3),抛物线的对称轴与无轴交于点。.

(1)求二次函数的解析式.

(2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在A8上向点8运动，另一个点N从点。与点M同

时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，

问点M、N运动到何处时，△MN8面积最大，试求出最大面积.

(3)在y轴上是否存在一点尸，使△P8C为等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标，若不存在请说

明理由.

16.(2020•潮州模拟)如图1,已知抛物线y=L：2+bx+c与x轴交于A、8两点(点A在点8的左侧)，与y轴

2

交于点C,且02=204=4.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)设尸是(1)中抛物线上的一个动点，当直线0C平分NACP时，求点P的坐标；

(3)如图2,点G是线段AC的中点，动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点2运动，动

点F从点B出发，以每秒加个单位长度的速度向终点C运动，若E、F两点同时出发，运动时间为t

秒.则当f为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的工？

17.(2021•饶平县校级模拟)如图，抛物线y=/+bx+c过点A(3,0),8(1,0),交y轴于点C,点尸是该抛

物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与A重合)，过点P作尸。〃y轴交直线AC于点

D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

⑶△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点尸坐标；若不能，请说明理由.

18.(2020•山西模拟)综合与实践

如图，抛物线y=3/一旦x-3与％轴交于点42(点A在点2的左侧)，交y轴于点C.点。从点A出

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发以每秒1个单位长度的速度向点8运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时

间为/秒.

(1)求点A,B,C的坐标;

(2)求t为何值时，ABDE是等腰三角形;

(3)在点。和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出

f的值；若不存在，请说明理由.

19.(2020•雁塔区校级模拟)将抛物线Ci：y=-/+3沿x轴翻折，得抛物线C2.

(1)请求出抛物线C2的表达式；

(2)现将抛物线Ci向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为与x轴的交点从左到右

依次为A、B；将抛物线C2向右也平移，"个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴交点

从左到右依次为。、E.在平移过程中，是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形？若

存在，请求出此时，〃的值；若不存在，请说明理由.

20.(2020•清江浦区模拟)如图1,矩形的边。OB分别在无轴和y轴上，且8(0,8),0(10,0).点

E是。C边上一点，将矩形OBCD沿过点。的射线OE折叠，使点。恰好落在BC边上的点A处.

(1)若抛物线y=—+6x经过点A,D,求此抛物线的解析式；

(2)若点M是(1)中抛物线对称轴上的一点，是否存在点使为等腰三角形？若存在，直接写出

点M的坐标；若不存在，说明理由；

(3)如图2,动点尸从点。出发沿龙轴正方向以每秒1个单位的速度向终点。运动，动点。从点。出发

沿折线Q-C-A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点

尸作直线轴，依次交射线。4,0E于点F,G,设运动时间为"秒)，△。/G的面积为S,求S与r

的函数关系式，并直接写出/的取值范