二次函数的综合应用 学案（含答案）-2025年陕西中考数学一轮复习教材梳理

第7节二次函数的综合应用

（6年6考,8~19分）

•命题分析

从近6年陕西中考的考试内容来看，二次函数的综合应用题主要考查二次函数与特殊三

角形的综合应用、二次函数与特殊四边形的综合应用、二次函数最值与图象、信息问题的综

合应用等.

【回归教材•过基础】

【知识体系】

二次函数-----»联系）_1应用

与一元二次

方程、不等

式的关系

【真题精粹・重变式】

考向1二次函数与特殊三角形的综合应用

1.（2021.陕西25题8分）已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于点A,B（点A在点B

的左侧），与y轴交于点C.

（1）求点B,C的坐标.

（2）设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点巳使^PCC

与△POB相似，且PC与PO是对应边?若存在，求出点P的坐标;若不存在,请说明

理由.

考向2二次函数与特殊四边形的综合应用

2.(2023・陕西25题8分)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并

要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2,还要兼顾美观、大方、和谐、通畅

等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入

平面直角坐标系中，如图所示：

方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m淇中，点N在x轴

±,PE±ON,OE=EN.

方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m,拱高P'E'=6m.其中，点N在x轴

上,PE」ON,OE=EN.

要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方

案一中，矩形框架ABCD的面积记为Si,点A,D在抛物线上，边BC在ON上;方案

二中，矩形框架AECD的面积记为S2,点在抛物线上，边BC在ON上.现知，

小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时,S2=12/n?,请你根据以上提供的相关

信息，解答下列问题：

(1)求方案一中抛物线的函数表达式.

(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积Si并比较SiS的大小.

方案一方案二

考向3二次函数最值与图象、信息问题的综合应用

3.（2024.陕西25题8分）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索Li与

缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，

以直线FF为x轴,以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

已知:缆索Li所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC

之间的距离OC=100m,AO=BC=17m,缆索Li的最低点P到FF的距离PD=2m.（桥

塔的粗细忽略不计）

（1）求缆索Li所在抛物线的函数表达式.

⑵点E在缆索L2上,EFLFF,且EF=2.6m,FO<OD,求FO的长.

料/m

FODCF'x/m

【核心突破・拓思维】

题型1二次函数与三角形的综合应用

如图，直线y=-x+n与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c

经过点A,B.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)E(m,0)为x轴上一动点，过点E作ED±x轴,交直线AB于点D,交抛物线于点

P,连接BP.

①点E在线段0A上运动，若△BPD与小ADE相似，求点E的坐标；

②若点E在x轴的正半轴上运动，且NPBD+NCBO45。,请直接写出m的值.

备用图

题型2二次函数与四边形的综合应用

如图，已知抛物线y=ax2+bx+2(a<0)与y轴交于点C,与x轴交于A(-l,0),B(2,0)

两点.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)若D是第二象限抛物线上的动点,DE〃x轴,交直线BC于点E,点G在x轴上,

点F在坐标平面内.是否存在点D,使以D,E,F,G为顶点的四边形是正方形?若存在,

求点D的坐标;若不存在,请说明理由.

备用图

方法归纳

二次函数与特殊四边形判定问题巧妙化解:

1.判定平行四边形时，一定要学会分类讨论.

2.判定菱形时，在平行四边形的基础上，满足邻边相等或对角线互相垂直即可.

3.判定矩形时，在平行四边形的基础上，满足有一个角为直角或对角线相等即时

4.判定正方形时，在平行四边形的基础上，满足有一个角为直角且邻边相等或对角线互相垂直

且相等即可.

题型3二次函数最值与图象、信息问题的综合应用

3（2024.西安新城区模拟）某市护城河管理部门为了提高市民的休闲与运动

质量，增强锻炼的幸福感，计划在护城河里修建小喷泉,具体方案如下:在水面下适

当的地方设置一个圆柱形柱子，在柱子顶端处安装一个喷水头向外喷水，从而形成

小喷泉.经过实践发现，小喷泉水流形成抛物线，喷水口高出水面:m,当落水点距

喷水口的水平距离为1m时，喷泉水流达到最高点处，距水面:m.以水面所在位置

为X轴，喷水头所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则水流距离水面的高度y（单

位:m）与水流距喷水头的水平距离x（单位:m）之间的关系图象如图所示.

_________耳

（1）请求出在第一象限内喷泉水流形成的抛物线的函数表达式.

（2）喷泉喷出的水流落在水面上形成一个圆，忽略其他因素,若喷水头向上平移;m,

则喷水头的水流落在水面上形成的圆的面积会增大多少?（结果精确到01m2;参

考数据：V^2.45,7^2.24,g3.14）

参考答案

真题精粹•重变式

1.解析：(1):>=-%2+2%+8,取x=0,得y=8,

,：。(0,8),取产0,得-%2+2%+8=0,解得阳=-2陷=4.7点4在点8的左侧,.：3(4,0).

(2)存在点P,设P(O,y).

VCC'//05,且PC与P。是对应边,•：——=—，

即宁耳，解得以=16,”=与

.:「(0,16)或/3(0,?.

2.解析:(1)由题意知，方案一中抛物线的顶点P(6,4),

设抛物线的函数表达式为产a(x-6)2+4,

把。(0,0)代入得0=a(0-6)2+4,

解得。=一，

•:产-/6)2+4=-#+3，

.：方案一中抛物线的函数表达式为y=-$2+¥.

⑵令y=3,贝ij3=-*+}.

解得尤=3或x=9,

.：BC=9-3=6(m),

.：Si=AB-BC=3x6=18(m2).

718>12V2,.：SI>S2.

3.解析:(1)由题意，：ZO=17m,

.:点A(0,17).

又r(9C=100m,BC=17m,缆索Li的最低点2到万尸的距离PD=2m,

.：抛物线的顶点P的坐标为(50,2).

故可设抛物线为y=a(x-50)2+2.

将点A代入抛物线可得,2500a+2=17,解得。=看

.：缆索Li所在抛物线为广亮(H50)2+2.

(2)：•缆索L所在抛物线与缆索以所在抛物线关于y轴对称，缆索L所在抛物线的表

达式为丁=烹(450)2+2,

•:缆索工所在抛物线的表达式为产袅X+50)2+2,

令y=2.6,即施+50>+2=2.6,

.：x=-40或x=-60.

"."FO<OD=50m,

.：x=-40,

.：R9的长为40m.

核心突破•拓思维

例1解析:⑴丁直线产-x+〃与x轴交于点A(3,0),

.".Q=-3+n,

.：〃=3,

.：直线的表达式为y=-x+3.

当x=0时,y=3,

：'抛物线>=-%2+区+(:经过点4,3,

.[□=3,

#70=-9+3D+□,

MD：3：

.:抛物线的函数表达式为y=-/+2x+3.

(2)①：轴，

.：/PEA=90。,

.：ZBDP=ZADE<90°.

设E(/n,0),P(/n,-苏+2m+3),

ZZ)(m,-m+3),

ZPZ)2=(-m2+3m)2,BP2=m2+(-m2+2m)2,BD2=m2+(-m+3-3)2=2m2.

当NPBD=90。时石尸2+&52二尸£)2

Zm2+(-m2+2m)2+2m2=(-m2+3m)2,

.:m=1,m=0(舍去)，

•：E(1,O)；

当NBPD=90。时,BP2+PD?=BD2,

m2+(-m2+2m)2+(-m2+3m)2=2m2,

.:m=3(舍去)，机=0(舍去)，m=2,

,：E(2,0).

综上所述，点E的坐标为(1,0)或(2,0).

新的值为5或(

提示:当点P在龙轴上方时，如图1,连接3C,延长交x轴于点N.

：/(3,0)乃(0,3),

.：04=03=3,

/.ZBAO=ZABO=45°.

丁抛物线产-%2+2%+3经过点4,3,

.".0=-X2+2X+3,

.：X1=3,X2=-1,

.：C(-1,0),.：OC=1.

VZPBD+ZCBO=45°,ZBAO=ZPBD+ZBNO=45°,

.".ZCBO=ZBNO.

VZBOC=ZBON=9Q°,

.：△BCO^ANBO,.：—,BP3=—,

□□□□3

・：ON=9,

・：N(9,0),,：直线5N的表达式为y=%+3,

・：1%+3=-X2+2X+3,

3

.：》1=0（舍去）,x2=（,

.:点P的横坐标为g,

•.・〃！=一7.

3

当点P在斓1下方时，如图2,连接BC,使BP与x轴交于点H.

"/ZPBD+ZCBO=45°,ZOBH+ZPBD=45°,

r.ZCBO=ZOBH.

".'OB=OB,ZCOB=ZBOH,

.：△BOH^ABOC(ASA),

/.OC=OH=1,/.H(1,0),

.：直线3H的表达式为y=-3x+3,

.：-3x+3=-f+2x+3,

.：xi=0(舍去),X2=5,

.:点P的横坐标为5,

.".m=5.

综上所述川=5或机=(

例2解析:⑴由题意可知，抛物线的表达式为产a(x+。。々尸/%2"2),

则-2a=2,解得a=-l,

.：抛物线的表达式为yn-f+x+Z.

(2)存在.：Z(2,0),C(0,2).

设直线的表达式为y=kv+2,

将3(2,0)代入得2左+2=0,

解得上=-1,

.：直线3c的表达式为y=-x+2.

设£)«,-户+什2),

分两种情况:①为边时，设E(",-"+2),

如图1,四边形6。也是正方形，

.：DE=GD=EF,