二次函数的应用-2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第三单元函数及其图象

《第15讲二次函数的应用》

【知识梳理】

1.根据数量关系列函数表达式并求最大(小)值或设计方案

在生产和生活中，经常会涉及求最大利润，最省费用等问题，这类问题经常利用函数来解答，

其步骤一般是:先列出函数表达式，再求出自变量的取值范围，最后根据函数表达式和自变量的

取值范围求出函数的最大(小)值.

2.根据点的坐标，求距离、长度等

在实际问题中，有些物体的运动路线是抛物线，有些图形是抛物线，经常会涉及求距离、长度

等问题，一般可以把它转化成求点的坐标问题.

【考题探究】

类型一利用二次函数解决抛物线形问题

【例1][2023•温州]一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路

线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3nl.已知球门高

为2.44m,现以。为原点建立如图所示的直角坐标系.

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).

(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后

方移动多少米射门，才能让足球经过点。正上方2.25m处？

例1图

解:(1)由题意得，抛物线的顶点生标为(2,3),设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2+3,

1

杷点A(8,0)代入，得36。+3=0,斛得a=一%,

-1

・••抛物线的函数表达式为y=——(x—2)2+3.

o

当x=0时，y=g>2,44,••球不能射进球门.

1

(2)设小明带球向正后方移动机未，则移动后的抛物线为y=——(x—2—机产+3,

把点(0,2.25)代入，得2.25=一2(0—2—》1)2+3,

斛得7〃i=-5(舍去)，帆2=1,

/.当时他应该带球向正后方移动1米射门.

变式1—1［2024•杭州模拟］［问题背景］

水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作

喷射剂.图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭.

期

弋尸

:噎£节飞■:姬水平地面

薇一pTB"

图1图2

变式1-1图

［实验操作］

为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x(m)

与飞行时间f(s)的数据，并确定了函数表达式为x=3f.同时也收集了飞行高度y(m)与飞行时间/(s)

的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如下表：

飞行时间?(s)02468…

飞行高度y(m)010161816…

［建立模型］

任务1:(1)求y关于t的函数表达式.

［反思优化］

图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台(距离地面的高

度为P。)，当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段A3为水火

箭回收区域，已知AP=42m,AB=(18V2-24)m.

任务2:⑵探究飞行距离:当水火箭落地(高度为0m)时，求水火箭飞行的水平距离.

任务3:(3)当水火箭落到AB内(包括端点A,B),求发射台高度PQ的取值范围.

解：(1)'.•二次曲教图象经过点(4,16),(8,16),

抛物线的顶点生标为(6,18).

设抛物线表达式为y=a«-6)2+18.

•・•抛物线经过点(0,0),

•二36。+18=0,斛得a=-3，

-1

•力关于，的函数表达式为y=—«—6>+18.

(2y：x=3t,•1=；，

•••)=—退―6了+18

=——x2+2x.

18

当水火徜落地(高度为0m)时，

——x2+2x=0,

18

解得xi=0(不合题意，舍去)，*2=36.

答:水火带■飞行的水平跖离为36米.

(3)3殳尸。的长度为c(m),

-1

则水火箱的抛物线表达式为y=——x2+2x+c.

18

①当抛物线经过点A时.

VAP=42m,

.•.点A的生标为(42,0),

--X422+2X42+c=0,

18

斛得c=14.

②当抛物线经过点B时.

VAP=42m,AB=(18V2-24)m,

.,.^=(18+1872)111,

/,点5的金标为(18+18V2,0),

，--X(18+18V2)2+2X(18+18V2)+C=0,

斛得c=18.

;人火箱落到A5内(包括端点A,B),

.•.14<c<18.

答:发射台高度尸。的取值范围是14mWPQW18m.

变式1—2某游乐场的圆形喷水池中心。有一雕塑。4从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物

线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，。为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上

的C,。为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=—：(x—5产+6.

⑴求雕塑高0A.

(2)求落水点C,。之间的距离.

(3)若需要在。。上的点E处竖立雕塑ER0E=10m,EF=1.8m,EfUOD问:顶部口是否会

碰到水柱?请通过计算说明.

解:(1)由题意得，点A在抛物线上.

当x=0时，j=--(0—5)2+6=——+6=—,

666

11

：.OA=­m.

6

11

答:雕塑高OA为m.

6

(2)由题意得，点。在抛物线上.

当y=0时，一'(X—5)2+6=0>

斛得X1=1I,X2=-1(不合题意，舍去)，

，OD=Um,：.CD=2OD^22m.

答:落水点C,D之间的距离为22m.

(3)不会.

当x=10时，j=-i(10-5)2+6=-^+6=^>1.8.

答:顶部F不会碰到水柱.

类型二利用二次函数求最值问题

【例2】为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其

平均单株产量y千克与每平方米种植的株数X(2WXW8,且x为整数)构成一种函数关系.每平方

米种植2株时，平均单株产量为4千克;以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，

单株产量减少0.5千克.

(1)求y关于x的函数表达式.

(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量?最大产量为多少千克？

解•每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，

/.j=4—0.5(x—2)=-0.5x+5,

/.j关于x的法数表达式为y=-0.5x+5(2WxW8,且x为整数).

(2)设每平方米小番茄的产量为W千克，

由题意，得W=x(—0.5x+5)=-0.5x2+5x=-0.5(x—5)2+12.5.

,:-0.5<0,

.,.当x=5时，W取最大值，最大值为12.5.

答:每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克.

变式2[2024•南充]2024年“五一”假期期间，间中古城景区某特产店销售A,3两类特产.A

类特产进价50元/件,3类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，

购买3件A类特产和5件3类特产需540元.

(1)求A类特产和3类特产每件的售价各是多少元.

(2)4类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售

出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函

数关系式，并写出自变量x的取值范围.

(3)在⑵的条件下，由于3类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销

售这两类特产的总利润为1P元，求1y与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总

利润w最大，最大利润是多少元(利润=售价一进价).

解:(1)设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为(132—x)元.

由题意，得3x+5(132-x)=540,斛得x=60,

132-60=72(元).

答:A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件.

(2)j=60+10x=10x+60(0<x<10).

(3)w=(60-50-x)(10x+60)+100X(72-60)

=-10x2+40x+l800=-10(x-2)2+l840.

V-10<0,...当x=2时，讪有最大值1840.

答:A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元.

类型三二次函数在几何图形中的应用

【例3】［2024•湖北］学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙(不超出墙)，另外三边用篱笆围成.

已知墙长42米，篱笆长80米设垂直于墙的边A3长为x米，平行于墙的边为y米，围成的

矩形面积为S平方米.

(1)求y与x,S与x的关系式.

⑵围成的矩形花圃面积能否为750平方米?若能，求出x的值;若不能，说明理由.

(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值.

/〃〃〃〃"〃〃〃〃〃〃"〃〃〃〃

AD

B1--------------1c

例3图

解:(1)由题意，得2x+y=80,

2x+80.

由0V—2x+80W42,且x>0,得19WxV40.

由题意，得S=A5•5C=x(-2x+80),

/.S=-2x2+80x.

(2)能.

令5=—2必+80%=750,

解得xi=15(舍去)，X2=25.

答:围成的矩形花圃的面积能为750平方米，x的值为25.

(3)S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800.

又,.•一2V0,且19WxV40,

:.当x=20时，S取■最大值800.

答:圉成的矩形花圃面积存在最大值，最大面积为800平方米，此时x的值为20.

变式3某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a(m)的墙，现准备用20m的篱笆围两

间矩形花圃，中间用篱笆隔开.小俊设计了如图1和图2的两种方案：

B'--------------------------------------IC

图1图2

变式3图

图1中AD的长不超过墙长;图2中AD的长大于墙长.若。=6,

(1)按图1的方案，要围成面积为25m2的花圃，AD的长为多少米?

(2)按图2的方案，能围成的矩形花圃的最大面积为多少？

解:⑴设AB的长为x(m),则AD的长为(20—3x)m.

由题意，得x(20—3x)=25,

解得Xl=5,X2=~-

当x=5时，AD=5<6,符合题意；

当*=三时，AD=15>6,不题意，舍去.

答:按图1的方案，要圉成面积为25m2的花圃，AZ>的长为5m.

(2)设5c的长为x(m),矩形花圃的面积为y(m2),则

AB=|[20-x一(x-6)]=偿-I")1n.

由题意，得y=x(g—|久)=一|炉+争：

=一沁-£)2+詈(x>6).

2

v--<o,

3

当％=?时，y有最大值mU

26

答:按图2的方案，能圉成的矩形花圃的最大面积为二mZ

6

【课后作业】

1.[2024,天津]从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度力（单位:m）与小球的运动时间/（单位:s）

之间的关系式是/?=30/—5尸（0WfW6）.有下列结论：

①小球从抛出到落地需要6s;

②小球运动中的高度可以是30m;

③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度.

其中，正确的结论是（A）

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

【解析】令/i=0,贝！130/-5於=0,

斛得，1=0,打=6,

,小球队抛出到落地需要6s,故①正确.

/i=30/—5产=-5俨一6力=一5«—3产+45.

V-5<0,...当t=3时，/I有最大值，最大值为45,

二小球运动中的嵩度可以是30m,故②正确.

当f=2时，71=30X2-5X4=40;

当，=5时，/i=30X5-5X25=25,

二小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，③错误.

综上所述，正确的是①②.

2.[2023•滨州]某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根带有喷水头的水管,

使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m（如图）.若水柱落地

处离池中心的水平距离也为3m,则水管的设计高度应为

【解析】由题意可知，(1,3)是抛物线的顶点，

，设这段抛物线的困数表达式为j=a(x—1)2+3.

,该抛物线过点(3,0),

/.0=a(3-l)2+3,斛得“=一',

4

•，«J=—|(x-1)2+3.

令x=0,则尸一|义(0—1)2+3=京

o

...水管的设讨高度应为Zm.

3.[2024•广西]如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是彳m,出手后实心球沿

一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M,则。"=号

第3题图

【解析】如答图，以。为生标原点，0M为x轴正半轴，。尸的y轴正半轴，建立平面直角生

标条，由题意可知，点尸(0,5(5,4),其中5为抛物线顶点.

第3题答图

设抛物线的曲数表达式为y=a(x—5)2+4,

将点尸(0,代人，将得a

100

9

即抛物线的表达式为J(X—5)2+4.

100

令7=一六(*-5)2+4=0,斛得*1=m，*2=一彳舍去),

•八八.

..OM=—35m.

3

4.[2024•自贡]九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地.地上两段围墙A3LCD于

点。(如图)，其中A3上的E。段围墙空缺.同学们测得AE=6.6m,OE=1Am,OB=6m,OC

=5m,3nl.班长买来可切断的围栏16m,准备利用已有围墙围出一块封闭的矩形菜地，

则该菜地最大面积是46.4n?.

cr

i1:三।

AE0B

从

第4题图

【解析】要使该矩形菜地面积最大，则要利用和OC构成矩形.

设矩形在射线。4上的一段长为x(m),矩形菜地面积为S(m2).

当x<8时，如答图1.

第4题答图1

16-X-1.4+519.6—%

则在射线。。上的长为

22

则S=x•-|x2+9.8x=-i(x-9.8)2+48.02,

V--<0,

2

；・当x<9.8时，S随工的增大而增大,

**•当x=8时，S的最大值为46.4;

当x>8时，如答图2,

X

C?|

AE0B

Di

第4题答图2

则矩形菜园的周长为16+6.6+5=27.6m,

则在射线。。上的长为1竺=13.8—x,

则S=X(13.8-X)=-X2+13.8X=-(X-6.9)2+47.61.

V-KO,

.,.当x>6.9时，S随x的增大而减小，

当x>8时，S的值均小于46.4.

综上所述，矩形菜地的最大面积是46.4m2.

5.某景区有两个景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：

方式1:只购买景点A,30元/人；

方式2:只购买景点3,50元/人；

方式3:景点A和3联票，70元/人.

预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万.为增加收入，对门票价格进

行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只

购买A门票的400人和原计划只购买3门票的600人改为购买联票.

(1)若联票价格下降5元，则购买方式1门票的人数有1.8万人，购买方式2门票的人数有0.7

万人，购买方式3门票的人数有1.5万人请计算门票总收入有多少万元?

(2)当联票价格下降x(元)时，请求出四月份的门票总收入巩万元)关于式元)之间的函数表达式，

并求出联票价格为多少元时，四月份的门票总收入最大?最大是多少？

解:(1)1.8X30+0.7X50+(70-5)X1.5=186.5(万元).

答:门票总收入有186.5万元.

(2)由题意，得)v=30(2-0.04x)+50(l-0.06x)+(70-x)(l+0.04x+0.06x)=-0.1x2+1.8x+180

=-0.1(x-9)2+188.1.

V-0.K0,

当x=9时，w取最大值，最大值为188.1>

此时70—9=61(元).

答：四月份的门票总收入w(万元)关于x(元)之间的函数表达式为w=-0.1x2+1.8x+180,族票

价格为61元时，四月份的门票总收入最大，最大是188.1万元.

6.如图1,一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加2cm/s;

然后在水平地面上继续滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减少0.8cm/s.速度o(cm/s)与时

间小)的关系如图2中的实线所示.(提示:根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程=平均

速度方X时间/,方=然£其中方是开始时的速度，口是/秒时的速度，匀减速运动时的路程

和平均速度类似可得)

(1)若〃=8时，求解下面问题.

①求m的值.

②写出滚动的路程s(cm)关于滚动时间f(s)的函数表达式.

(2)若小球滚动的最大路程为350cm,则小球在水平地面上滚动了多长时间？

解：(1)①当0W/W8时，小球在斜面上运动的速度与时间的关系为v=2t.

当r=8时，0=16.

,小球在地面上滚动的速度每秒减少0.8cm/s,

...小球在地面上滚动的速度为r=16—0.8(^—8).

当0=0时，t=28,即m=28.

②小球在斜面上运动的时间范圉是0W/W8,在斜面上的平均速度为方=写”=/,

...小球在斜面上的运动路程为s=t2.

当8V/W28时，小球在地面上运动的速度为0=16—0.8«—8),

[6-I—

...小球在地面上运动的平均速度为了=-y-=-0.4^4-19.2,

二小球运动的路程为s=82+(-0.4/+19.2)(t~8)=-0.4(^-28)2+224.

(t2,(0<t<8)

综上所述，s=1

l-0.4(t-28)29+224.(8<t<28)

(2"殳小球在斜面上的运动时间为n(s),

则小球在斜面上运动的速度为v=2n,小球在斜面上运动的平均速度为方=〃，小球在斜面上运

动的路程为s'=n2,

-277,+t/

f

；・小球在地面上运动的速度为v