东莞市2024届高三年级上册期末数学试题（解析版）

东莞市2023-2024学年度第一学期期末教学质量检查

局二数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

l+2i

Z二-----

1.已知复数2—i，则z=（）

A.iB.-i

C.底D.-75i

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法可化简复数z.

l+2i_（l+2i）（2+i）_5i

【详解】z2-i（2-i）（2+i）-J

故选：A.

2.已知集合A={x|x=4左+1,左eZ},B=|x|x=4^-1,^eZj,则&（74°3）=（）

A.{x|x=4左/eZ}B.{x[x=4左+2,左eZ}

C.{x|x=2左,keZ}D.{x[x=2左+1,左eZ}

【答案】C

【解析】

【分析】根据并集和补集的定义即可得出答案.

【详解】因为A={x|x=4左+1,左eZ},3={x|x=4左一1,左eZ},

所以Au3=^x\x=2k+\,keZ},

所以a（ADB）U^x\x=2k,keZ}.

故选：C.

3.已知由小到大排列的4个数据1、3、5、。，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据

的第75百分位数是（

A.9B.7

C.5D.3

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【答案】B

【解析】

【分析】求出这四个数的极差与中位数，根据已知条件求出。的值，然后利用百分位数的定义可求得结果.

【详解】由小到大排列的4个数据1、3、5、a,则。之5,

这四个数为极差为a-1,中位数为2=4,

2

因为这4个数据极差是它们中位数的2倍，则a-1=2x4,解得a=9,

所以，这四个数由小到大依次为1、3、5、9,

5+9

因为4x0.75=3,故这4个数据的第75百分位数是一^二7.

2

故选：B.

4.函数=tzln国+工的图象不可能是()

【解析】

【分析】分a=0,a>0和。<0三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.

【详解】①当a=0时，/(%)=-,此时A选项符合;

alnx-\--,x>0

x

②当a>0时，7(x)=tzln|.x|+—=

X

(21n(-x)+—,x<0

x

当％v0时，f(%)—aIn(—x)H—,

X

因为函数丁=aln(-x),y=!在(-。,0)上都是减函数,

所以函数/'(x)在在(一。,0)上是减函数,

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如图，作出函数丁=aln(—x),y=-工在(一。,0)上的图象,

由图可知，函数y=aln(-x),y=-工的图象在(-8,0)上有一个交点,

即函数/(九)在在(-8,0)上有一个零点，

当1>0时，/(x)=ezlnx+—,则—(%)二.一二二融21，

X-XXX

由/'(X)〉。，得工〉工，由/'(x)<。，0<x<—,

aa

所以函数“X)在上单调递减，在上单调递增,

当a=l时，f=a\n—+a=l,故B选项符合;

Ia

^lnx+—,x>0

1x

③当Q<0时，/(x)=4zln|x|+—=

x

(21n(-x)+—,%<0

x

当％>0时，/(x)=«lnx+—,

X-

因为函数丁=alnx,y=,在(0,+e)上都是减函数，

x

所以函数/'(X)在(0,+。)上是减函数，

如图，作出函数丁=alnx,y=-工在(0,+e)上的图象,

X

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由图可知，函数y=olnx,y=-工的图象在(0,+e)上有一个交点,

x

即函数/(x)在在(0,+“)上有一个零点，

当x<0时，/(x)=tzln(-x)+—,则/⑺，一』二二1,

由/''(x)>0，得x<‘，由/''(x)<0,得工<x<0,

aa

1,o］上单调递减，在-8,工］上单调递增,

所以函数“X)在

a)aJ

当〃二一1时,故C选项符合，D选项不可能.

故选：D.

11111

则——+——+——+——+——=

5.在等比数列｛a〃｝中，q+%+%+4+%=11，«3=4,)

d?

3131

A.—B.------

3232

1111

C.—D.——

1616

【答案】C

【解析】

【分析】设出公比后整体求值即可.

11,

【详解】设首项为见,公比为4,易知q+W+a3+a4+a5=11,a3=4,可得4(二■+-+1+4+/)=11,

q-q

11,211

解得=+―+i+q+q-=—

q-q4

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111111,1112、11

而—।—।—।—+7=：匕+二+i+q+q)=布,

4qq

故选：c

=2,贝Ucosa的值为（)

43

B.

5

43

C.D.

55

【答案】A

【解析】

【分析】由两角和的正切公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算即可得.

a7i

tan—+tan—tan—1

lptan

【详解】242=2,vl

1a7i

1-tan—•tan—1-tan—

242

8

2a.2

cos----sm—1—tan—9一4

,2.2。-

a一

由cosa-cos----sin—2225-

2a.2a，，210

22cos—+sin——1+tan—a91

222

故选：A.

7.以抛物线C的顶点。为圆心的单位圆与C的一个交点记为点A,与C的准线的一个交点记为点8,当点

A,8在抛物线C的对称轴的同侧时，则抛物线C的焦点到准线的距离为（）

A.拽B.m

35

「8岳8后

*--------------nJLv.--------------

1517

【答案】D

【解析】

P0

故忸闾=|0N|=孑，从而求出3

【分析】作出辅助线，得到三角形全等,8’2),根据勾股定理列出方

程，求出夕=殳叵，得到答案.

17

【详解】设抛物线方程为y2=2/（p>0）,

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由题意得|。4|=|。5|=1,|。2=勺

过点B作轴于点股，

因为OAJ_O8,所以NA0N+/BOM=9O°,

又ZAON"OAN=90°,所以NBOM=NOAN,

则,

故忸闾=|ON|=>|,

令丁二■得，^=2px，解得x=g

故选：D

8.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.己

知每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1,则该正四棱台的体积为（）

【答案】C

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【解析】

【分析】设每个直三棱柱高为a,每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为6,设正四棱

—abh=3

2

台的高为〃，可得出，求出4丸的值，即可求得该正四棱台的体积.

—b'h=1

[3

【详解】设每个直三棱柱高为每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为6,

设正四棱台的高为力，因为每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1,

1,,.

—abh=3

2

则[，可得a%%?==a%x3=36,可得a%=12,

—b2h=1

[3

所以，该正四棱台的体积为V=a2〃+4x3+4xl=12+16=28.

故选：C.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项

在答题卡中的相应位置涂黑.

9.已知函数/(x)=cos((ux+e),a)>Q,g(x)是/'(x)的导函数，则下列结论正确的是()

A./(X)与g(x)对称轴相同B./(x)与g(x)周期相同

c.y(x)g(x)的最大值是孩D.y(x)g(x)不可能是奇函数

【答案】BC

【解析】

【分析】求导得出g(x),利用三角函数性质直接判断AB；结合二倍角公式判断C；结合二倍角公式及正

弦函数性质判断D

【详解】由题意知/(尤)=cos(°x+0),所以g(x)=r(x)=—osin((yx+9),

对A：/(%)=<：0$(0%+夕)的对称轴为+0=左eZ,解得x=>",左eZ；

CD

g(x)=—(ysin((yx+e)的对称轴为5+夕=4+左兀，左eZ,解得上6Z,

2x-

co

所以与g(x)的对称轴不相同，故A错误；

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27c27r

对B：/(x)=cos(0X+o)的周期为7=一，g(x)=-osin(ox+e)的周期为7=一，

CDCD

所以“X)与g(x)的周期相同，故B正确；

对C：/(x)g(x)=-℃os(0x+0)sin(ox+0)=-£sin(20x+2e),

因为5析(20尤+29)6[一1,1],所以/(x)g(x)=—£sin(2s:+2e)e—g%,故C正确；

对D：当2。=2而，左eZ,/(x)g(x)=-£sin(20x+29)=—£sin20x,

所以/(-x)^(-x)=-ysin(-2®x)=^sin2(yx=-/(x)g(x),此时f(x)g(x)为奇函数,故D错误；

故选：BC.

10.已知圆G：(x+2『+y2=i,圆02：(x-3)2+y2=4,P,Q分别是G，G上的动点，则下列结论

正确的是()

A.当GP//C2。时，四边形GC20P的面积可能为7

B.当GP//C2Q时，四边形GC2QP的面积可能为8

C.当直线P。与G和G都相切时，|PQ|的长可能为26

D.当直线PQ与C1和G都相切时，|p0的长可能为4

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于AB：设/尸602=。€(0,兀)，可得梯形Ge2。？的面积为?sin6,进而分析判断；对于

CD：根据切线性质结合对称性分析求解.

【详解】圆G：(x+2『+y2=l的圆心G(—2,0),半径4=1；

圆。2：(x—3)2+y2=4的圆心。2(3,0)，半径4=2；

可知|。1。2|=5>3=4+々，可知两圆外离，

对于选项AB：设ZPQC2=。e(0,兀)，

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因为QP//QQ,可知梯形QPQC2的高为1•sin6>=5sin6",

所以四边形的面积为gx5sin6»x(l+2)=葭sin6»<£,

可知四边形GGQP的面积可能为7,不可能为8,故A正确，B错误;

对于选项CD：设直线PQ与无轴的交点为M,根据对称性可知：

如图，因为尸GLPMQG^QM，可知尸6//。。2，

所以|PQ|=|PM=7lMCi|2-IPCI|2=2几；

如图，因为PC|，PM,QG，QM，可知

所以|PQ|=3|PC/=4;

故CD正确；

故选：ACD.

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11.己知函数/■(%),g(x)的定义域均为R,且〃x)+g(2-x)=5,g(x)—"%—4)=7.若X=2是g(x)

的对称轴，且g(2)=4,则下列结论正确的是()

A./(X)是奇函数B.(3,6)是g(x)的对称中心

22

C.2是/>(X)的周期D.(左)=130

k=\

【答案】BD

【解析】

【分析】根据对称性和已知条件得到了(^^(-x),判断A；结合已知条件变形得到

g(2—x)+g(x+4)=12,判断B；利用赋值法求得〃2)w/(O),判断C；根据条件得到的g(x)周期为

4,对称中心为(3,6),从而得到函数值即可求解，判断D.

【详解】对于A,因为x=2是g(x)的对称轴，所以g(2—x)=g(x+2),

又因为〃x)+g(2-x)=5,所以〃f)+g(2+x)=5,故/(x)寸(f),

即/'(x)为偶函数，故A错误；

对于B,因为g(£)—/(x—4)=7,所以g(九+4)—/(尤)=7,

又因为/(%)+g(2-x)=5,联立得g(2—x)+g(x+4)=12,

所以y=g。)的图像关于点(3,6)中心对称，故B正确；

对于C,因为〃x)+g(2-无)=5,g⑵=4,则〃0)+4=5,即〃0)=1；

因为g(%)一/(%—4)=7,则4—/(—2)=7,即7(—2)=—3,则/(2)=—/(—2)=3；

显然/(2)//(0),所以2不是/'(X)的周期，故C错误；

对于D,因为无=2是g(x)的对称轴，所以g(6—x)=g(x—2),

又因为g(2-x)+g(x+4)=12,即g(x)+g(6-x)=12,

则g(x)+g(x-2)=12,所以g(x+2)+g(x)=12,

所以g(x+2)=g(x—2),即g(x)=g(x+4),所以g(x)周期为4,

因为g(九)周期为4,对称中心为(3,6),所以g(3)=6,

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当x=4时，代入g（x）—/（x—4）=7,即g（4）—/（0）=7,所以g（4）=8,

所以g（4）=g⑼=8,又x=2是g（x）的对称轴，所以g⑴=g0=6,

22

所以Zg（左）=5X（6+4+6+8）+6+4=130,故D正确，

k=l

故选：BD.

12.如图几何体是由正方形ABCD沿直线A3旋转90。得到的，已知点G是圆弧位的中点，点H是圆弧

。尸上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）

A.存在点H,使得平面8DG

B.不存在点X,使得平面〃平面BAG

C.存在点X,使得直线跳/与平面BDG的所成角的余弦值为立

3

D.不存在点H，使得平面BDG与平面CEH的夹角的余弦值为:

【答案】ACD

【解析】

【分析】将图形补全为一个正方体ADMF—BCNE,设AO=2,以点A为坐标原点，AD.AF>AB

所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.

【详解】由题意可将图形补全为一个正方体ADMR-8OVE,如图所示：

不妨设4。=2,以点A为坐标原点，AD,AF>A5所在的直线分别为x、，、z轴建立空间直角坐标

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系,

则A（0,0,0）、8（0,0,2）、C（2,0,2）、D（2,0,0）,E（0,2,2）、F（0,2,0）,G（血，血,2b

设点H（2cosa,2sina,0）,其中

对于A选项，假设存在点H,使得CH_1_平面BOG,CH=（2cos（z-2,2sin（z,-2）,

加=（-2,0,2）,5G=（V2,V2,0）,

则<=2应（cosa—1）+20sina=0'可得］cosa=0'

7TTT

因0«a<—,则。=—,即当点”与点E重合时，CH平面BOG,A对；

22

对于B选项，由A选项可知，平面BOG的一个法向量为交=（2,-2,2）,

假设存点、H,使得平面〃平面8DG,则CFLAE,

FCAH=4cos（z-4sincr=0兀兀

则〈一.—.,可得tana=1，又因为0«a<—,解得a=—,

FC-AE=-4+4=024

即当点X为。尸的中点时，面〃平面BAG,B错;

对于C选项，若存在点H,使得直线EH与平面BAG的所成角的余弦值为

3

则直线EH与平面BDG的所成角的正弦值为

一丁

且£7/=(2cosa,2sina—2,—2),

\EH-FC\14cosa-4sina|

所以，卜os（由，定”=

|EH|-|FC|J4cos2a+4(sina-l)2+4.2/

\cosa-sma\_V2

整理可得3sin2a-4sin<z+3=0,

6・A/3-2sina~3

■jr

因为函数/（a）=3sin2a—4sina+3在aw0,-时的图象是连续的,

兀

且〃0)=3>0,f=-4+3=-1<0,

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所以，存在,使得了(%)=。,

所以，存在点H,使得直线即与平面9G的所成角的余弦值为也，C对;

3

对于D选项，设平面CEH的法向量为3=(x,y,z),

CE=(-2,2,0),CH=(2coso-2,2sina,-2),

-CE=-2x+2y=

•CH=2x(cosa—l)+2ysina—2z=0

取％=1,可得〃=(l/,sina+coso-l),

假设存在点H，使得平面BDG与平面CEH的夹角的余弦值为

3

2卜ina+cosa-1|1

df+COS6Z-1)2x263

可得(sina+cosa—I)2=1,即sino+coso-l=±l,

可得sina+cosa=0或sina+coso=2,

因为ae0,—,则二《。+工4型，则+,

L2J4442

je[l,可

所以，sina+cosa-42sina+—

I4

故当。£0,—时，方程sina+coso=0和sina+coso=2均无解，

_2_

综上所述，不存在点H,平面9G与平面CEH的夹角的余弦值为'，D对.

3

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

(1)利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可

确定线面角；

(2)在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度/7,从而不必作出线面角，则线面

h

角。满足sinG=7(/为斜线段长)，进而可求得线面角；

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（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设％为直线/的方向向量，［为平面的法向量，则线面角。的

正弦值为sin0=|cos<a,H>|.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

22

13.双曲线C：=—2r=1（。>0,6>0）的渐近线方程为丁=土缶，则其离心率e=.

ab

【答案】6

【解析】

【分析】结合渐近线的定义与离心率定义即可得.

【详解】由题意可得：=&,则e，=g=产［二］=/+（可="

故答案为：百.

14.已知向量：=（1,2）,5=（—2,1）,则使（花+可•（芯叫<0成立的一个充分不必要条件是

【答案】2=0（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据向量坐标运算公式将原问题转化为-1<2<1的一个充分不必要条件进而求解.

【详解】因为万=0,2）,B=（—2,1）,

所以/Uf+B=（/l—2,22+1）,=（2+2,22-1）,

所以（23+石>（2万—5）=（3_4）+（422_1）=5/12_5<0,

解得—1<%<1,

所以使（4〃+•日万一5）<0成立的一个充分不必要条件是2=0.

故答案为：2=0（答案不唯一）

15.用试剂。检验并诊断疾病6,A表示被检验者患疾病6,8表示判断被检验者患疾病6.用试剂。检验

并诊断疾病b的结论有误差，己知P（叫A）=0.9,P（B|A）=0.8,且人群中患疾病匕的概率

P（A）=0.01.若有一人被此法诊断为患疾病6,则此人确实患疾病6的概率尸（川3）=.

【答案】—

23

【解析】

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【分析】利用条件概率公式求出P(AB)、p(M)的值，可得出尸(⑷的值，再利用条件概率公式可求得

P(A忸)的值.

【详解】由条件概率公式可得P(AB)=P(A)P(B|A)=0.01X0.9=0.009,

P(B|A)=1-P(B|A)=1-0.8=0.2,

由条件概率公式可得P(AB)=P(A)P(B|A)=0.99X0.2=0.198,

所以，P(B)=P(AB)+P(Afi)=0.009+0.198=0.207,

0.0091

所以，取人⑻=2需=

0.20723

故答案为：—.

23

16.若函数/(%)=(%2—2，(炉+公+。)的图象关于％=_2对称，则。+匕=,〃x)的最小

值为.

【答案】①.34②.-36

【解析】

【分析】由函数的对称性可知，方程/+公+。=o的两根分别为x=Y、x=—6,利用韦达定理可求得a、

6的值，可得出a+b的值，变形可得出/('=(%2+4城必+4%—12),令公f+钛之一，利用二次

函数的基本性质求出〃(/)=《/—12)在/2T时的最小值，即可得出函数/(x)的最小值.

【详解】因为函数“x)=(f-2x)(d+G；+b)的图象关于％=—2对称，

令/(x)=0,可得好―2x=0,可得x=0或尤=2,

由对称性可知，方程％2+双+人=0的两根分别为％=-4、x=-6,

—4—6=—a(Q=10

由韦达定理可得/八/八小可得7»，

(—4)x(—6)=/?也=24

所以，/(%)=%(%-2乂12+10%+24)=%(%-2)(X+4)(%+6),

则“T—%)-(-%-4)(-%-6)(-%)(-%+2)=x(x-2)(x+4)(x+6)=/(%),

所以，函数/(%)=%(%-2)(%+4)(%+6)的图象关于直线％=-2对称,则a+b=34,

因为/(%)=(Y+4%)(炉+4]-12),

第15页/共25页

令/=尤2+4%=(%+2)2—42—4,令/z«)=《t—12)=〃-12r=(t—6)2—36,

所以，3L="(6)=-36.

故答案为：34；-36.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到方程^-2x=0有两个根，利用f(x)的对称性求得

x?+ax+Z?=0有对应的两个根，从而求得b,由此得解.

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域

内，超出指定区域的答案无效.

17.数列｛%｝前〃项积为7；,且满足/=；("+1乂”+2).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)记＞=(-求数列出｝的前2〃项和打.

〃+2

【答案】(1)%=——

n

(2)S,“=ln-^

2n+\

【解析】

【分析】(1)分〃=1和两种情况，结合7；与%之间的关系分析求解;

〃-2

(2)由(1)可得a=(-l)”ln^—,结合分组求和法运算求解.

【小问1详解】

因为(=^-(n+l)(n+2),

若加=1,则%=4=3；

J；_gW+l）（"+2）_/+2

若〃22，

n

Tn+

且q=3符合an=-----，

n

综上所述：数列｛4｝的通项公式=2土2

【小问2详解】

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F7-I-Q

由（1）可知：bn=（-1）"In------,

可得=4+…+&=（乙+4+…+向”-1）+仅2+“+…+处）

[,3.512n+l

——In—FIn—F,••+In-------+1d+1心+…+1小

（132n-l[242n

=—In（2〃+l）+ln（〃+l）=In；+；

所以邑〃=峭"-

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形48C。是边长为2的正方形，PB=PD.

(1)证明：平面QACJ_平面尸80；

(2)若PA=2,PB=BD,点、E,尸分别为尸2,尸。的中点，求点E到平面Ab的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵孚

【解析】

【分析】(1)由AC"D,。为AC和8。的中点，POLBD,得3D/平面H4C,可证得平面PACL

平面PBD；

(2)证明B4LAB,PA±AD,以A为原点，建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离.

【小问1详解】

连接AC,5。，AC与此相交于点。，连接P0,

四边形A8CO是边长为2的正方形，则AC1BD,。为AC和5。的中点,

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PB=PD,则PO_L5£),

POC\AC=O,3D1平面R4C,

5。u平面尸80,所以平面上4。，平面尸皿

【小问2详解】

四边形ABC。是边长为2的正方形，PB=PD=BD=2发,

PA=2,B42+AB2=PB->PA2+AD~=PEr,则有PA_LAB,PA±AD,

以A为原点，ARAB,AD分别为无轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),C(0,2,2),E(l,l,0),F(1,0,1),

AC=(O,2,2),AF=(1,0,1),设平面ACb的一个法向量为7=(x,y,z),

n•AC=2y+2z=0

则有,令x=l,得y=l,z=-1,即/=(1,1,一1).

n・AF=%+z=0

AS22^3

AE=(1,1,0)，点E到平面ACF的距离d==手=一

n733

19.AABC中，角A,5c的对边分别为a也c,且2a—c=2Z?cosC.

(1)求B；

(2)若b=3,且。为AABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+2DC的取值范围.

TT

【答案】(1)-

3

(2)(3,6)

【解析】

【分析】(1)根据题意，由余弦定理化简得/+°2—〃=ac，得到cosBug,即可求解；

(2)设NACD=a,得到得到=26sin/8=26sin(g—。)，得出

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AD+2DC=6cosa,进而求得AD+2DC的取值范围.

【小问1详解】

解：因为2a—c=2bcosC,由余弦定理得2a—c=2。•巴士人二二

2ab

_1/11

整理得a1+c2—b1=ac，可得cosB=----------=—,

2ac2

TT

又因为Be(0,7i),可得B=

【小问2详解】

27rjr

解：由圆内接四边形性质，可得ND=—,设NACD=a,则NC4D=——a,

33

AC_AD_CD=3/

在△ADC中，由正弦定理得sin/Dsinasin(60°-a)布,

所以AD=2y/3sina,CD=2^/3sin(^--tz),

所以AD+2DC=2^/3sina+46sin(^-a)=6cosa,

兀1

因为0<a<1,可得cosee(]/)，可得6costze(3,6),

所以4。+2。。的取值范围为(3,6).

20.己知椭圆C：=1(a>b>0),连接。的四个顶点所得四边形的面积为20，且离心率

/b2

为变.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆C的右焦点F且斜率不为零的直线/与椭圆C交于A,B两点，试问x轴上是否存在定点T,

使得ATAB的内心也在x轴上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

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2

【答案】（1）—+/=1

2

（2）存在;7（2,0）

【解析】

【分析】（1）根据题意中几何关系及离心率可以求出“力的值，从而求解.

（2）设出直线/方程％=阳+1,然后与椭圆联立，根据△力43的内心在天轴上，可得左AT+凝T=。并结

合根与系数的关系，从而求解.

【小问1详解】

ab=y/2

c_A/2a2=2

由题意得解得

a-Vb1=1

a2=b-+c2

所以椭圆C的方程为工+y2=l.

2

【小问2详解】

因为直线/过右焦点/（1,0）且斜率不为零，设直线/的方程为无=啊+1,8（X2，%），

x—my+1

得（苏+2）丁+2阳—1=0,△=（2m）2-4（加+2）（-1）=8疗+8>0恒成立,

联立《X221

——+V=1

12'

〜…2m1

所以=一中

im2+2

设x轴上存在定点7（%,0）使得△力钻的内心在尤轴上,

则直线力4和关于％轴对称，所以直线力4和力8的倾斜角互补,

上+上=0,

所以kAT+^BT=。，即^AT+^BT

xx-tx2-t

所以另（々7）+%（玉一。=。,即X（Wi+17）+%的2+1-。=0，

...、—1—2^/1t—2

整理得2nly]%+（1一。（另+%）=0，BP2mx———+（l-?）x———=2mx———=0,

m~+2m~+2m~+2

即2-2）=0对所有meR恒成立，所以。=2,

所以存在定点7（2,0）符合题意.

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【点睛】方法点睛：根据△力43的内心在x轴上得到直线力4和ZB的倾斜角互补，即《T+%BT=O,再由

直线与椭圆联立后利用根与系数关系得到相应的等式，从而求解.

21.某区域中的物种C有A种和B种两个亚种.为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比8

种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C,统计其中A

种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验w次（其中“eN*），记第i次试验中的A种数目

为随机变量Xj（z=l,2,•••,«）；③记随机变量X=一利用文的期望E（区）和方差。（区）进行估

〃1=1

算.设该区域中A种数目为M,8种数目为M每一次试验都相互独立.

（1）已知E（X,+xj=E（X）+E（xj,D（X,+X7.）=D（X,）+D（X7）,证明：E（又）=E（Xj,

。（区）=:。区）；

（2）该小组完成所有试验后，得到X,的实际取值分别为不。=1,2,…,〃），并计算了数据不。=1,2,…

的平均值输和方差然后部分数据丢失，仅剩方差的数据

n

（i）请用］和$2分别代替E（又）和。（区），估算（和白

（ii）在（i）的条件下，求X］的分布列中概率值最大的随机事件｛%=上｝对应的随机变量的取值.

【答案】（1）证明见解析

.M3-..

（2）（1）—=—，%=15；（打）15

N7'

【解析】

【分析】（1）根据题意结合期望、方差的性质分析证明；

（2）（i）根据（1）中结论结合二项分布的期望和方差公式运算求解；（ii）根据二项分布的概率公式列

式运算求解即可.

【小问1详解】

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由题可知Xj(Z=l,2,n)均近似服从完全相同的二项分布,

则

E(XJ=E(X2)==E(X〃)，D(X1)=D(X2)=--=D(X),

(1.、(n、1n1

=-E£x,二牙”J〒同XJ=E(XJ，

n

9)川>[\/=17

。国4X[=』4£X[=£D(X,)=4<M(XJ」D(X),

1〃日)ri3=1)nZ=1nn

所以石(又)=E(Xj,D(X)=1z)(X1).

【小问2详解】

MA

(i)由⑴可知Xi〜B\50,

M+N)

贝1JX1的均值E(XJ=黑'X的方差。氏)=5°><而片.八'

~G、50MN10.5M3,M7

所以D(X)=—，解得z—=一或—=—

n(M+NYnN7N3

由题意可知：64M<N,则0<竺<1,

N

加3_/—\jj'fv\50M

所以—=一，x—E\X\=E\X)=--------=15；

N7v7vy7M+N

(ii)由(i)可知：乂=03,则x：5(50,0.3),

M+N')

则P(Xi=切)=C；)•0.3叫(1—0.3)5g”,切=0,1,2,…,50,

Co-0.3仙(1—O.3)50-'>C$1•0.3人1•(1-0.3)49-i

由题意可知:

CM-0.3^(l-0.3)5°d3C^1-0.3，T.(1—0,3)51-"

解得14.3K/K15.3,且左eN*，则左=15,

所以X1的分布列中概率值最大的随机事件｛X]=左｝对应的随机变量的取值为15.

【点睛】关键点睛：本题关键是利用二项分布求期望和方差，以及利用期望和方差的性质分析求解.

22.已知函数〃x)=.

(1)讨论的单调性；

(2)若方程/(x)—L(x—1)=0有为